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  • 参数微分法中的欧拉法求非线性方程组的一组解
  • 本文主要对简单的连续系统微分方程(含系数矩阵)的MATLAB数值解求法进行归纳,并绘制仿真图像。同时也对一阶和高阶微分方程求法进行总结。 系统方程为一阶积分器的连续系统 目录1. 可解析解的微分方程2. MATLAB...

    在多智能体系统(MASs)论文数值仿真时,时常碰到连续系统的情况,其中参数也多为系数矩阵。本文主要对简单的连续系统微分方程(含系数矩阵)的MATLAB数值解求法进行归纳,并绘制仿真图像。同时也对一阶和高阶微分方程求法进行总结。

    1. 可求解析解的微分方程

    系统方程为一阶积分器的连续系统 x˙=u,  xRn,\dot{x}=u,~~x \in R^n,
    其中为了实现平均一致性,设计控制器 u=Lxu=-Lx, LRn×nL \in R^{n \times n} 为对应图的拉普拉斯矩阵。
    为了进行系统仿真,设 n=4,Ln=4,L 如下,此处连续系统方程为
    x˙==(3111121011311012)x\dot{x}==-\begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 3 & -1 \\ -1 & 0 & -1 &2 \\ \end{pmatrix}x
    假设初值 x0=(10;0;5;10)x_0=(10;0;5;10), 对其进行数值求解与仿真。

    可见对于如上 x˙=Lx\dot{x}=-Lx 形式的微分方程,可用常微分方程的知识,先求出其解析解,再进行数值仿真。解析解为:
    x=eLtx0.x=e^{-Lt}x_0.

    MATLAB代码如下:

    %%初始化设置
    step=200;          %定义迭代步数
    y=zeros(step,4);   %初始化矩阵来存储迭代值,用于作图
    x0=[10; 0; 5; 10]; %微分方程初值
    L=[3 -1 -1 -1;     %系数矩阵L
      -1  2 -1  0;
      -1 -1  3 -1;
      -1  0 -1  2];
    for i=1:4         %迭代初值
        y(1,i)=x(i);
    end
    
    %%系统迭代步
    for k=2:step      %迭代过程
        x=expm(-L*k/50)*x0;   %注意指数矩阵求解用函数expm()
        for i=1:4
            y(k,i)=x(i);
        end
        k=k+1;
    end
    
    %%仿真作图
    t=1:step;
    plot(t/50,y(t,1),t/50,y(t,2),t/50,y(t,3),t/50,y(t,4))
    xlabel('t');
    ylabel('x');
    legend('x1','x2','x3','x4')
    

    仿真图像如下:
    在这里插入图片描述

    2. MATLAB函数直接调用

    在很多情况下,微分方程的解析解是很难求得的,所以才需要求其数值解并进行仿真。这里主要运用MATLAB自带函数ODE45(龙格库塔方法)来求解。
    对于题设 1 中问题,我们将其转化为微分方程组,如下:
    {x1˙=[ 3x1x2x3x4 ]x2˙=[ x1+2x2x3+0 ]x3˙=[ x1x2+3x3x4 ]x4˙=[ x1+0x3+2x4 ] \left\{ \begin{array}{c} \dot{x_1}=-[~ 3x_1-x_2-x_3-x_4~] \\ \dot{x_2}=-[~ -x_1+2x_2 -x_3+0~]\\ \dot{x_3}=-[~ -x_1-x_2+3x_3-x_4~] \\ \dot{x_4}=-[~ -x_1+0-x_3+2x_4~] \end{array} \right.

    定义m文件 func.mfunc.m,将函数信息存入此m文件。

    function dx=func(t,x)
    
    %% 初始化有4个分量的dx
    dx=zeros(4,1);
    
    %% 微分方程
    dx(1)=-(3*x(1)-x(2)-x(3)-x(4));    %dx(1)为x第一个分量的导数,下同
    dx(2)=-(-x(1)+2*x(2)-x(3)+0);      %x(1)指x的第一个分量,下同
    dx(3)=-(-x(1)-x(2)+3*x(3)-x(4));
    dx(4)=-(-x(1)+0-x(3)+2*x(4));
    

    如下代码对函数进行调用,并求数值解与仿真。

    %% 参数初始化
    startt=0;endd=10;      %区间开始和结束
    x1=10;x2=0;x3=5;x4=10; %变量初值
    
    %% ode45方法求解数值解
    [t,x]=ode45(@func,[startt endd],[x1;x2;x3;x4]);
    
    %% 仿真图像
    plot(t,x(:,1),t,x(:,2),t,x(:,3),t,x(:,4))
    xlabel('t');
    ylabel('x');
    legend('x1','x2','x3','x4')
    

    仿真图像绘制如下:
    在这里插入图片描述

    3. 其他情形

    3.1 一阶微分方程

    简单的一阶微分方程,无需将微分方程写入m文件,只需在命令行的ODE45函数中加入微分方程即可。例如求解如下微分方程数值解
    x˙=x+t,\dot{x}=x+t,

    MATLAB代码如下:

    %% 定义x初值
    x0=0;            
    %% ode5求微分方程数值解,其中[0 6]为求解区间
    % @(t,x) x+t 为要求解的微分方程表示
    [t,x]=ode45(@(t,x) x+t,[0 6],x0);
    %% 绘制图像
    plot(t,x);       
    

    仿真图像显示如下:
    在这里插入图片描述

    3.2 高阶微分方程

    高阶微分方程求数值解,基本思路是将其化为一阶微分方程组进行求解。例如对于如下二阶微分方程:
    x¨+x3+x˙3=0,x(0)=1, x˙(0)=0.\ddot{x}+x^3+\dot{x}^3=0,\\ x(0)=1,~\dot{x}(0)=0.
    我们将其化为两个一阶微分方程,如下:
    x˙1=x2,x˙2=x13x23. \dot{x}_1=x_2,\\ \dot{x}_2=-{x_1}^3-{x_2}^3.
    其实,x1x_1表示原系统xx, x2x_2表示原系统 x˙\dot{x}. 化为一阶方程组后,便可采用 2 中介绍的方法,先定义M文件 funcc.mfuncc.m 存储如上微分方程信息。MATLAB代码如下:

    function dx=funcc(t,x)
    dx=[x(2);
        -x(1)^3-x(2)^3];
    
    

    命令行输入如下代码,调用m文件,并求解与绘图。

    %% 给定x1和x2初值
    x0=[1;0];
    
    %% 使用ode45求解微分方程
    [t,x]=ode45(@funcc,[0 20],x0);
    
    %% 仿真作图(分别绘制了x和x的导函数图像)
    plot(t,x(:,1),t,x(:,2))
    xlabel('t');
    ylabel('x');
    legend('x_1','x_2')
    

    仿真图像如下所示:
    在这里插入图片描述

    4. 总结

    微分方程数值解求法总结:

    1. 直接求出其解析解,便可计算其数值解,如情况1。
    2. 不可求解析解的形式:
      2.1 一阶微分方程,如情况3.1。
      2.2 一阶微分方程组,如情况2。
      2.3 高阶微分方程,如情况3.2。

    参考资料

    [1] https://blog.csdn.net/qq_18820125/article/details/104727013
    [2] https://www.zhihu.com/question/22378594

    展开全文
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    DAY 4.

    这世上总要有个明白人,懂得克制。

    1. 利用莱布尼茨定理求高阶导

    只看两点:
    1、常用导数的高阶公式
    2、例题

    在这里插入图片描述
    例题:

    在这里插入图片描述

    2.隐函数求导

    这种方程里面y是x的函数,但是不显性。

    例题1
    y=y(x),y22xy+9=0y = y(x), y^2 - 2xy +9 = 0dydx\frac{d_y}{d_x}

    解:方程两边同时对x求导得

    2yy2y2xy=02yy' - 2y - 2xy' = 0

    dydx\frac{d_y}{d_x} = yyx\frac{y}{y - x}

    3.对数求导

    例题2

    y=(x1+x)xy = (\frac {x}{1+x}) ^x 求 y 的一阶导

    解:方程两边同时取对数有

    lny=xln(x1+x)\ln y = x \ln(\frac {x}{1+x})

    方程两边同时对x求导得

    yy=ln(x1+x)+x(1x11+x)\frac{y'}{y} = \ln(\frac {x}{1+x}) + x(\frac{1}{x} - \frac{1}{1+x})

    y=y(ln(x1+x)+1x1+x)y' = y(\ln(\frac {x}{1+x}) + 1 - \frac{x}{1+x})

    y=(x1+x)x(ln(x1+x)+11+x)y' = (\frac {x}{1+x}) ^x(\ln(\frac {x}{1+x}) +\frac{1}{1+x})

    4.参数函数求导

    例题3

    {x=t22y=1t\begin{cases} x = \frac{t^2}{2}& \text{}\\y = 1-t& \text{} \end{cases}dydx\frac{d_y}{d_x}, dy2dx2\frac{d^2_y}{d_x{^2}}

    解:

    dydx\frac{d_y}{d_x} = (1t)t22\frac{(1-t)'}{\frac {t^2}{2}'} = 1t\frac { - 1}{t}

    dy2dx2\frac{d^2_y}{d_x{^2}} = 1tt22\frac{\frac{-1}{t}'}{\frac {t^2}{2}'} = 1t3\frac{1}{t^3}

    5.用导数求切线、法线

    这部分的内容和我们在高中学的差不多,基本就是求导数得斜率,再点差法写方程

    例题4

    y=cosxy = \cos x 在 点(π3,12)(\frac{\pi}{3}, \frac{1}{2}) 处的切线与法线方程。

    解:对y求导得:

    y=sinxy = -\sin x 代入点得切线的斜率k = 32- \frac{\sqrt 3}{2}

    由点差法可得切线的方程为:y12=32(xπ3)y- \frac{1}{2} = - \frac{\sqrt 3}{2}(x -\frac{\pi}{3} )

    而函数的法线方程就只需要将斜率改写为 23\frac{2}{\sqrt 3}

    6.函数的微分

    和前面函数的求导一样的只不过要在结尾加上 dxd_x

    例题5

    已知 y=xsin2xy = x\sin 2x ,则 dy=d_y = ___ dxd_x

    解:dy=(sin2x+xcos2x2d_y = (\sin 2x + x \cos 2x * 2)dxd_x = (sin2x+2xcos2x(\sin 2x + 2x \cos 2x)dxd_x

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  • 关于一元函数微分学,专升本数学考试要求包括:(一)导数与微分1.理解导数的概念及其几何意义,了解左导数与右导数的定义,理解函数的可导性与连续性的关系,会用定义函数在...掌握对数求导参数方程求导。...

    5c255f5462f86768881c02fb8cbb2ab1.png关于一元函数微分学,专升本数学考试要求包括:

    ()导数与微分

    1理解导数的概念及其几何意义,了解左导数与右导数的定义,理解函数的可导性与连续性的关系,会用定义求函数在一点处的导数。

    2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

    3熟记导数的基本公式,会运用函数的四则运算求导法则,复合函数求导法则和反函数求导法则求导数。会求分段函数的导数。

    4会求隐函数的导数。掌握对数求导法与参数方程求导法。

    5.理解高阶导数的概念,会求一些简单的函数的n阶导数。

    6.理解函数微分的概念,掌握微分运算法则与一阶微分形式不变性,理解可微与可导的关系,会求函数的一阶微分。

    (二)中值定理及导数的应用

    1.理解罗尔(Rolle)中值定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理及它们的几何意义,理解柯西(Cauchy)中值定理、泰勒(Taylor)中值定理。会用罗尔中值定理证明方程根的存在性。会用拉格朗日中值定理证明一些简单的不等式。

    2.掌握洛必达(L’Hospital)法则,会用洛必达法则求未定式的极限。

    3会利用导数判定函数的单调性,会求函数的单调区间,会利用函数的单调性证明一些简单的不等式。

    4理解函数极值的概念,会求函数的极值和最值,会解决一些简单的应用问题。

    5会判定曲线的凹凸性,会求曲线的拐点。

    6会求曲线的渐近线(水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线)

    7会描绘一些简单的函数的图形。

    这一部分,我们来学习对数求导法技巧。对数求导法适用于两类函数,第一类是幂指函数,幂指函数指具有指数函数形式,且底数和指数都包含未知数x的函数。

    幂指函数求导

    aa3071399cb1d0e84fbb87e6ba61ea7d.png典型例题

    b47e12fcec00f6aae547852b1bd28804.png

    注意:对数求导法除了可用于求解幂指函数的导函数之外,还可用于“表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形的函数求导,利用对数的性质,“乘法变加法、除法变减法、指数变倍数”,可以大大简化做题的计算量,提高准确率,详见下例。

    典型例题

    c45d9f2653917d5de670d84b1d08eedb.png

    b1fd2cfd071d5b45c8a9823be3b22af4.png

    8a175a6a40022e6548bdb10658315fd7.png

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    关于一元函数微分学,专升本数学考试要求包括:

    ()导数与微分

    1理解导数的概念及其几何意义,了解左导数与右导数的定义,理解函数的可导性与连续性的关系,会用定义求函数在一点处的导数。

    2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

    3熟记导数的基本公式,会运用函数的四则运算求导法则,复合函数求导法则反函数求导法则求导数。会求分段函数的导数。

    4会求隐函数的导数。掌握对数求导法与参数方程求导法。

    5.理解高阶导数的概念,会求一些简单的函数的n阶导数。

    6.理解函数微分的概念,掌握微分运算法则与一阶微分形式不变性,理解可微与可导的关系,会求函数的一阶微分。

    (二)中值定理及导数的应用

    1.理解罗尔(Rolle)中值定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理及它们的几何意义,理解柯西(Cauchy)中值定理、泰勒(Taylor)中值定理。会用罗尔中值定理证明方程根的存在性。会用拉格朗日中值定理证明一些简单的不等式。

    2.掌握洛必达(L’Hospital)法则,会用洛必达法则求未定式的极限。

    3会利用导数判定函数的单调性,会求函数的单调区间,会利用函数的单调性证明一些简单的不等式。

    4理解函数极值的概念,会求函数的极值和最值,会解决一些简单的应用问题。

    5会判定曲线的凹凸性,会求曲线的拐点。

    6会求曲线的渐近线(水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线)

    7会描绘一些简单的函数的图形。

    这一部分,我们来学习反函数求导技巧。在此之前,我们先来学习抽象函数求导。

    0855479c62b188dede7800ce0dabbdc0.png

    解析式(表达式)没有完全给出的函数,可以称为抽象函数。求解这种类型函数的导函数要深刻理解函数的概念、熟练掌握复合函数求导法则。

    典型例题

    7cb24168db3b3e7d621356c3766f9b02.png

    掌握了抽象函数求导的方法之后,下面我们来学习反函数求导方法。

    0f1bae751077968438c9c1ea0c696039.png

    对于反函数相关问题,要深刻理解反函数的求解过程以及导数的概念(函数值的变化量比上自变量的变化量)。

    典型例题

    b23edd388c0fe25d08136365b1933d79.png

    33e4801226b180bd40ff58847c75b59a.png

    0a9cd464c01f5d9714d15ccdd3e5aaae.png

    58670a1e19abb153ff2bdbaf285fad72.png

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    千次阅读 2012-05-23 21:19:48
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  • (4)由于状态方程是一阶微分方程组,因而适用于计算机 其数值解,或用计算机对系统进行分析研究。 (5)对于结构和参数已确定的系统,需要研究如何把已建立 的微分方程或传递函数转变为相应的动态方程。
  • 3. 曲线在某点平面方程,可偏导: 曲线在某点切线方程,可偏导: 4. 曲线在从a到t一段上的弧长,可做如下积分: 5. 若两向量平行,则其叉乘积为零,若两向量垂直,则其点乘积为零 6. 曲线...
  • 根据系统微分方程,通过拉氏变换直接出系统的时间响应; 依据响应的表达式及时间响应曲线分析系统性能,找 出系统结构、参数与这些性能之间的关系; 是一种直接方法,准确且可提供系统时间响应的全部 信息。 2 ...
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空空如也

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参数法求微分方程