在阅读前，建议看：t检验、t分布、t值

先深入理解$t$检验、$t$分布、$t$统计量的数学意义

在编程的时候，不少语言或者编程包只有现成的双侧T检验的函数，我想知道怎么根据双侧T检验的 $p$ 值来得到单侧T检验的 $p$ 值。或者更广一点来说，单侧T检验 $p$ 值与双侧T检验的 $p$ 值是什么关系？
双侧T检验
零假设$H0:μ=0$，对立假设$H1:μ≠0$。

简单理解：

我们假设了$H0:μ=0$，并要去检验此假设下H0成立的概率高不高。

因为是双侧，如下图所示，只要算出来的$t$统计量-$tscore$在95%的区域中，都是能够证明H0成立的。



$P-value$


在原假设为真时，检验统计量的观察值>=其计算值的概率：

双侧检验为分布中两侧的面积之和


$P$越小，拒绝$H0$ 的理由越充分。$P$可看作$H0$是正确的概率，或拒绝了$H0$会犯错的概率，所以$P$越小说明，犯错的风险越小。


对某一给定的样本，$P$越小，说明犯第一类错误（弃真）的概率越小，如果$P<=α（可接受的最大第一类错误风险）$，则拒绝原假设$H0$；相反如果$P>α$，则认为第一类错误（弃真）的风险太大，于是接受原假设$H0$。


决策规则：$P<α$，拒绝$H0$



单侧T检验
零假设$H0:μ<=0$，对立假设$H1:μ>0$。

简单理解：

我们假设了$H0:μ<=0$，并要去检验此假设下H0成立的概率高不高。

因为是右侧检验（拒绝域在右边），如下图所示，只要算出来的$t$统计量-$tscore$在95%的区域中，都是能够证明H0成立的。



零假设$H0:μ>=0$，对立假设$H1:μ<0$。

简单理解：

我们假设了$H0:μ>=0$，并要去检验此假设下H0成立的概率高不高。

因为是左侧检验（拒绝域在左边），如下图所示，只要算出来的$t$统计量-$tscore$在95%的区域中，都是能够证明H0成立的。



单尾、双尾T检验的p值关系
$双侧检验的p值=双侧分布中两端面积的总和$
Excel-TDIST函数
在Excel中使用TDIST函数 计算$p值$:
$TDIST(x,degrees_freedom,tails)$

X：为需要计算分布的数字。
Degrees_freedom：为表示自由度的整数。
Tails：指明返回的分布函数是单尾分布还是双尾分布。如果 tails = 1，函数 TDIST 返回单尾分布。如果 tails = 2，函数 TDIST 返回双尾分布。


TDIST函数适用于：Excel2003、Excel2007、Excel2010、Excel2013、Excel2016。


如果任一参数为非数值型，函数 TDIST 返回错误值 #VALUE!。
如果 degrees_freedom < 1，函数 TDIST 返回错误值 #NUM!。
参数 degrees_freedom 和 tails 将被截尾取整。
如果 tails 不为 1 或 2，函数 TDIST 返回错误值 #NUM!。
如果 x < 0，TDIST 返回错误值 #NUM!。 当 x < 0 时要使用 TDIST:

$TDIST(-x,df,1) = 1 – TDIST(x,df,1) = P(X > -x)$

$TDIST(-x,df,2) = TDIST(x,df,2) = P(|X| > x)$。
如果 tails = 1，$TDIST = P( X>x )$，其中 X 为服从 t 分布的随机变量。
如果 tails = 2，$TDIST = P(|X| > x) = P(X > x\ or\ X < -x)$。


上述第5-7点对于x<0时的p值讨论，针对左侧检验和右侧检验都是一样的，同样适用！

TDIST函数 计算可知：

$p双侧=TDIST(x,df,2)=TDIST(-x,df,2)= P(|X| > x) = P(X > x \ or\  X < -x)$
当$t$统计量>0时，$p单侧=p双侧/2=P(X >x)$
当$t$统计量<0时，$p单侧=1-p双侧/2=P(X > -x)$


Python-ttest等函数
$H0:μ=μ0，H1:μ≠μ0$
T检验涉及的函数：ttest_1samp进行双侧检验
# 导入包
from scipy import stats
import numpy as np

# 1.单一样本T检验-ttest_1samp
# step1:生成数据,生成50行×2列的数据
np.random.seed(120) # seed 保证每次运行得到的结果是一样的

rvs=stats.norm.rvs(loc=41000,scale=5000,size=20) # 均值为5，方差为10，50行×2列的数据

# step2：检验两列数的均值差异是否显著
stats.ttest_1samp(rvs,40000)

返回结果 ：Ttest_1sampResult(statistic=2.481538955443869, pvalue=0.02260211710111142)
此处的 $t$ 统计量statistic=2.481538955443869,$p双侧$pvalue=0.02260211710111142
$t$ 统计量在双尾和单尾检测中的区别：

$t$ 统计量不管是双尾检验还是单尾检验，算出来的 $t$ 值都是一样的，唯一的区别在于双尾中的是 $|t|$ ,而单尾中的 $t$ 是包含+、-符号的。
另一区别在于，查 $t$ 分布表得出的临界值是不一样的。

双尾查的是 $t-α/2(df)$ ，对比的是 $p双侧$ 和 $t-α/2(df)$ ；

单尾查的是$t-α(df)$，对比的是 $p单侧$ 和 $t-α(df)$

1)当$t$统计量>0时，$p单侧=p双侧/2=P(X >x)$

2)当$t$统计量<0时，$p单侧=1-p双侧/2=P(X > -x)$


更多应用：【DA】常见的假设检验

总结
单侧检验和双侧检验是等价的。没有谁更严格之说。
选择单尾和双尾检验时，就先根据实际问题确定正确的H0和H1，这样验证的思路也会更清晰。
实际上，同一个单尾检验问题，根据关注点的不同（提问方向的不同），既可以用左侧检验，也可以用右侧检验。两种检验得到的 $t$ 统计量的值是一样的，区别在于拒绝域在哪一侧。

单侧检验和双侧检验单侧检验和双侧检验
医学统计学及其软件包 上海第二医科大学 生物统计教研室 第一节  医学统计学                         第一节  医学统计学 1.统计学 (statistics)：收集，整理和分析带有随机性的数据。 2.医学统计学 (medical statistics)：统计学的原理和方法在医学和生物学中的应用。 第一节  医学统计学     医学统计学的主要内容有：     1.统计研究设计     2.统计描述     3.统计推断     4.研究联系     5.研究分类，鉴别     6.研究检测      统计研究设计  1.估计研究对象的数量(样本大小估计) 2.跟据研究目的确定对照的类型 3.保证随机化和双盲原则的贯彻 4.跟据研究目的确定主要和次要考核指标 5.如何收集和汇总数据以保证数据质量 6.如何进行统计分析     统计研究设计 1．调查研究或观察性研究(observational study)  2．实验研究(experimental study) 统计描述(statistical discription) ?     统计描述指用统计指标、统计表、统计图等方法，对资料的数量特征及其分布规律进行测定和描述。      统计推断(statistical inference)     统计推断指用样本推断总体。     总体(population)：一个统计问题所研究对象的全体。          总体中每一个研究对象称为个体(individual)。     有限总体：有确定的时间和空间范围，总体内观察单          位是有限的。     无限总体：没有时间和空间范围限制，因而观察单位          数无限。   样本(sample)：按随机的方式从总体中抽取若干个       体构成一个样本。 参数(parameter) ：用于描述总体分布的数字特征       的量。如：?，?，? 统计量(statistics)：不包含总体中任何未知参数的       样本指标和样本数据的函数。如：   ，S，P   1.参数估计(estimation of parameter)     根据总体中所抽得的样本，由样本统计量估计总体分布中的未知参数。可分为点估计和区间估计。     1)点估计(point estimation)：选择一个适当的样本统计量作为总体参数的估计值称为点估计。 统计推断(statistical inference)    2)区间估计(interval estimation)：根据一定的精确度要求，确定一个概率水平，由样本统计量计算出一个适当的区间作为未知总体参数真值所在的范围，称为区间估计。称此概率水平为可信度，或置信度，或可信水平，或置信水平( confidence level)。所估计的区间称为可信区间或置信区间(confidence interval)，区间的端点称为可信限(confidence limit)，有上限，下限之分。       例如，估计用某方法治疗某病的治愈率。从患某病的病人总体中随机抽得100例病人进行治疗，治愈50例，则可得样本治愈率为50%。总体治愈率的点估计为50%。总体治愈率区间估计，当可信度为95%时，总体治愈率的95%可信区间为40%～60%。当可信度为99%时，总体治愈率的99%可信区间为37%～63%。  统计推断(statistical inference) 统计推断(statistical inference)  2.假设检验(hypothesis testing)    又称显著性检验(significance testing)。 先对总体的参数或分布作出某种假设，例如总体为正态分布，两个总体均数相等，两总体率相等，然后检验这个假设成立的可能性大小，作出推断。  ? ?  统计推断(statistical inference) 无效假设(null hypothesis)H0 ： π1＝π2  备择假设(alternative hypothesis) H1 ：π1≠π2  然后根据检验假设, π1＝π2＝70%，成立的情况 下，计算由于抽样误差得到目前样本及更极端情况 的可能性大小。本例用卡方检验，得到检验统计量 χ2=9.524，根据检验统计量的分布计算概率(可 能性大小)P值，P=0.002，可能性很小。 统计推断(statistical inference)  概率论认为：在一次试验中小概率事件不可能发生。    在统计中，一般公认为P≤0.05为小概率。本例P=0.002＜0.05，因此可认为假如π1＝π2，即使抽样误差也不可能得到目前样本，于是检验假设, π1＝π

What are the
differences
between one-tailed and two-tailed
tests?
来源：
Institute for Digital Research
and Education
When you conduct a test of statistical significance, whether it
is from a correlation, an ANOVA, a regression or some other kind of
test, you are given a p-value somewhere in the
output. If your test statistic is symmetrically
distributed, you can select one of three alternative hypotheses.
Two of these correspond to one-tailed tests and one corresponds to
a two-tailed test. However, the p-value presented
is (almost always) for a two-tailed test. But how
do you choose which test? Is the p-value
appropriate for your test? And, if it is not, how can you calculate
the correct p-value for your test given the p-value in your
output?
就相关性、方差、回归等方面做统计学显著性检验，在结果中总会给出p值。倘若检定统计量(test
statistic)为均匀分布，那么就可以在三个替代假设(alternative
hypotheses)中选择一个。其中，有两个跟单侧检验(one-tailed test)对应，一个跟双侧检验(two-tailed
test)对应。不过，无论如何，p值(总是)采用的是双侧检验。但是如何来选择检验方法呢？p值是否与其般配呢？如果不合适，如何来正确地计算p值呢？
What is a two-tailed test?
什么是双侧检验？
First let’s start with the meaning of a two-tailed test.
If you are using a significance level of 0.05, a
two-tailed test allots half of your alpha to testing the
statistical significance in one direction and half of your alpha to
testing statistical significance in the other
direction. This means that .025 is in each tail
of the distribution of your test statistic. When using a two-tailed
test, regardless of the direction of the relationship you
hypothesize, you are testing for the possibility of the
relationship in both directions. For example, we
may wish to compare the mean of a sample to a given value x
using a t-test. Our null hypothesis is that the
mean is equal to x. A two-tailed test will test both if the
mean is significantly greater than x and if the mean
significantly less than x. The mean is considered
significantly different from x if the test statistic is in
the top 2.5% or bottom 2.5% of its probability distribution,
resulting in a p-value less than
0.05.
首先来看双侧检验的定义。如果显著性水平为0.05，双侧检验将检测统计显著性的alpha的一半置于一侧，另外一半置于另一侧，即，一侧的检定量分布为0.025，另一侧的也是0.025。采用双侧检验的时候，无论假设的关系的方向如何，对关系的可能性都要要进行双侧检验。例如，当希望将某一样本的均值来跟一个给定的值
x 做比较的时候，初始假设(null hypothesis)为均值等于 x 。接下来是一个双侧检验，看均值是否明显大于 x
还是明显小于 x 。如果检定统计量位于概率分布的右侧的2.5%或者概率分布的左侧的2.5%，导致 p 值小于0.05的话，则认为均值与
x 有明显的区别。
概率正态分布
What is a one-tailed test?
什么是单侧检验？
Next, let’s discuss the meaning of a one-tailed
test. If you are using a significance level of
.05, a one-tailed test allots all of your alpha to testing the
statistical significance in the one direction of
interest. This means that .05 is in one tail of
the distribution of your test statistic. When using a one-tailed
test, you are testing for the possibility of the relationship in
one direction and completely disregarding the possibility of a
relationship in the other direction. Let’s return
to our example comparing the mean of a sample to a given value
x using a t-test. Our null hypothesis is
that the mean is equal to x. A one-tailed test will test
either if the mean is significantly greater than x or if the
mean is significantly less than x, but not both. Then,
depending on the chosen tail, the mean is significantly greater
than or less than x if the test statistic is in the top 5%
of its probability distribution or bottom 5% of its probability
distribution, resulting in a p-value less than
0.05. The one-tailed test provides more power to
detect an effect in one direction by not testing the effect in the
other direction. A discussion of when this is an appropriate option
follows.
接下来讨论单侧检验的定义。如果显著性水平采用0.05，单侧检验将检验统计显著性的alpha完全放在相关的一侧，即，将0.05放在检验统计量分布的一侧。采用单侧检验的时候，考虑的只是一侧的关系概率，而对另一侧的则视之不见。退回到上例，采用
t 检验对均值跟一个给定的 x 值做比较，原始假设为均值等于 x 。单侧检验只检验均值是否明显大于 x 或者明显小于 x
，不会同时检验两者。那么，根据所选择的一侧，如果检测统计量落在其概率分布的右侧的5%内或者左侧的5%内，均值明显大于或者小于 x
将得出一个小于0.05的 p
值。单侧检验，在对另一侧的效果不做检测的情况下，拥有更多的权重来检测一侧的效果。下面就来讨论在什么情况下适合采用单侧检验的方法。
When is a one-tailed test appropriate?
在什么情况下适合采用单侧检验的方法
Because the one-tailed test provides more power to detect an
effect, you may be tempted to use a one-tailed test whenever you
have a hypothesis about the direction of an effect. Before doing
so, consider the consequences of missing an effect in the other
direction. Imagine you have developed a new drug
that you believe is an improvement over an existing
drug. You wish to maximize your ability to detect
the improvement, so you opt for a one-tailed test. In doing so, you
fail to test for the possibility that the new drug is less
effective than the existing drug. The
consequences in this example are extreme, but they illustrate a
danger of inappropriate use of a one-tailed test.
单侧检验具有更多的权限(power)来检测效果，只要手头有一个关于某一效果的方向的假设，实验者就想将它放在优先的位置来考虑。不过，在正式采用之前，必须斟酌因丢失另一个方向的效果而产生的各种后果。设想实验者开发了一种新药，并认为它相对于目前存在的某种药物有改善。他想最大化检测这种改善的能力，于是采用了单侧检验。这么一来，他没能对新药的效果是否不如现存的那种药物的效果进行检测。这不过是一个极端的例子，但是它揭示了采用单侧检验不当的危险。
So when is a one-tailed test appropriate? If you consider the
consequences of missing an effect in the untested direction and
conclude that they are negligible and in no way irresponsible or
unethical, then you can proceed with a one-tailed test. For
example, imagine again that you have developed a new drug. It is
cheaper than the existing drug and, you believe, no less
effective. In testing this drug, you are only
interested in testing if it less effective than the existing
drug. You do not care if it is significantly more
effective. You only wish to show that it is not
less effective. In this scenario, a one-tailed test would be
appropriate.
那么什么时候采用单侧检验才合适呢？在对未检验一侧丢失的效果所产生的各种后果都做了考虑，并且认定它们可以忽略不计，绝对不是不负责任或者不道德的表现之后，才能实施单侧检验。例如，再次设想实验者开发来一种新药。它比现存的某种药物要便宜，并且实验者相信它绝对不会比现存的那种药物的效果要差。在检验这个药物的过程中，实验者仅仅对它是否比现存的药物的效果要差感兴趣。他对这种药物是否比现存的这种药物的效果明显要好不感兴趣。他只是希望它的效果不低于现有的药物。在这种情况下，采用单侧检验是合适的。
When is a one-tailed test NOT appropriate?
什么时候单侧检验不合适呢？
Choosing a one-tailed test for the sole purpose of attaining
significance is not appropriate. Choosing a
one-tailed test after running a two-tailed test that failed to
reject the null hypothesis is not appropriate, no matter how
"close" to significant the two-tailed test was. Using statistical tests inappropriately can lead to invalid results
that are not replicable and highly questionable–a steep price to
pay for a significance star in your results
table!
Deriving a one-tailed test from two-tailed output
从单侧检验派生出双侧检验
The default among statistical packages performing tests is to
report two-tailed p-values. Because the most
commonly used test statistic distributions (standard normal,
Student’s t) are symmetric about zero, most one-tailed p-values can
be derived from the two-tailed
p-values.
Below, we have the output from a two-sample t-test in
Stata. The test is comparing the mean male score
to the mean female score. The null hypothesis is
that the difference in means is zero. The
two-sided alternative is that the difference in means is not
zero. There are two one-sided alternatives that
one could opt to test instead: that the male score is higher than
the female score (diff > 0) or that the female
score is higher than the male score (diff <
0). In this instance, Stata presents results for
all three alternatives. Under the headings Ha:
diff < 0 and Ha: diff > 0 are the results for the
one-tailed tests. In the middle, under the heading Ha: diff !=
0 (which means that the difference is not equal to 0), are the
results for the two-tailed test.
Note that the test statistic, -3.7341, is the same for all of
these tests. The two-tailed p-value is P >
|t|. This can be rewritten as P(>3.7341) + P(<
-3.7341). Because the t-distribution is symmetric
about zero, these two probabilities are equal: P > |t| = 2
* P(< -3.7341). Thus, we can
see that the two-tailed p-value is twice the one-tailed p-value for
the alternative hypothesis that (diff < 0). The other one-tailed alternative hypothesis has a p-value of
P(>-3.7341) = 1-(P
0.9999. So, depending on the
direction of the one-tailed hypothesis, its p-value is either
0.5*(two-tailed p-value) or 1-0.5*(two-tailed p-value) if the test
statistic symmetrically distributed about zero.
注意，检测统计量，-3.7341，对所有的检测来说都是相同的。双侧的 p 值为 P > |t|。这可以重新写做 P
(>3.7341)+ P ( |t| =
2 * P(< -3.7341)。因此，对应于替代假设 (diff <
0)，可以将双侧检验的 p 值看成是单侧检验的 p 值的两倍。另一侧的单侧替代假设的 P (>-2.7341)的 p 值 =
1-(P
0.9999。所以，根据单侧假设的方向，如果检测统计量是关于零的对称分布的话，它的 p 值要不是 0.5 * (双侧 p 值)，就是 1-0.5 * (双侧 p 值)。
In this example, the two-tailed p-value suggests rejecting the
null hypothesis of no difference. Had we opted for the one-tailed
test of (diff > 0), we would fail to reject the null because of
our choice of tails.
在这个例子中，双侧 p 值建议对无差异的原始假设(零假设)不予考虑。但是，倘若实验者采用了(diff >
0)的单侧检验的话，他可能因为他所做的选择而不能排斥该原始假设。
The output below is from a regression analysis in
Stata. Unlike the example above, only the
two-sided p-values are presented in this output.
下面是采用统计软件 Stata 做的回归分析的结果。跟上面的例子不一样，该结果中只有双侧的 p 值。
For each regression coefficient, the tested null hypothesis is that
the coefficient is equal to zero. Thus, the
one-tailed alternatives are that the coefficient is greater than
zero and that the coefficient is less than zero. To get the p-value
for the one-tailed test of the variable science having a
coefficient greater than zero, you would divide the .008 by 2,
yielding .004 because the effect is going in the predicted
direction. This is P(>2.67). If you had made your prediction in
the other direction (the opposite direction of the model effect),
the p-value would have been 1 – .004 = .996. This
is P(<2.67). For all three p-values, the test statistic is
2.67.
回归系数在原始假设里都等于零。因此，所有的单侧替代假设都将其系数设为大于零和小于零。为了取得系数大于零的变量“科学(science)”的单侧检验的
p 值，必须将 0.008 除以 2，得0.004，因为该效果会落在预计的方向。这是 P
(>2.67)。如果实验者在这之前将预测放在方向的另一侧(与本模型效果相反的方向)，p 值就会是 1 –0.004 =
0.996。这是 P (<2.67)。对所有三个 p 值，检验统计量都是 2.67。

用过SPSS的人都知道，卡方检验的时候，最重要的点在于，根据期望值选择什么计算P值的方法。
所有期望数值>5,选择pearson 卡方p；1-5，选择连续校正P；<1,祖安泽精确概率的P值。
如图，SPSS能够一个表格中一下出来期望值，列频数和三种方法的检验P值，对应着看就可以
作为据说更优秀的R，尝试写了一下，用最原始的方法：
第2-4行命令分别对应，看四格表实际数，看列频数，看期望值
第5行是真正的卡方检验，要根据期望值，觉得是否需要校正，correct=T or F，或者干脆得用fisher.test
如果R只能这样做卡方检验，我宁愿去吃屎，简直太不智能了，所以继续探索，其实还可以更简单:
在CrossTable语句中，其实还有很多个参数，但是我想需要的也无非就是上面提到的三个。所以不想要的就直接改成F，结果如下
根据期望值，选择想要的P值即可。
fisher精确概率这里看着复杂，其实就是双侧检验和单侧检验而已啦，一般是前者。 
到这里呢，也只能说R跟SPSS差不多，并没有很简便啊，那么能不能做批量卡方检验呢？待开发