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    目录

    一、平面直角坐标系的建立

    二、平面坐标变换矩阵

    三、平移变换

    四、比例变换

    五、对称变换

    六、旋转变换

    七、错切变换

    八、复合变换

    (1)、复合平移

    (2)复合比例变换

    (3)复合旋转

    (4)相对某点的比例变换

    (5)相对某点的选址变换

     

    po一个B站线性代数学习资料,这个作者很好地解释线性代数操作空间的本质。

    【官方双语/合集】线性代数的本质 - 系列合集


    一、平面直角坐标系的建立

    平面坐标系

    在平面上选一点作为直角坐标的原点,过该原点作相互垂直的两轴,就建立起了平面直角坐标系,如上图所示。

    在代码中,我们可以用一个类表示一个点实体,他由一串坐标组成,但是,如果这些点如果位于不同的坐标系中,该怎么转换呢?通过对X,Y的操作,比如平移就在相应的X,Y分量上加偏移量,我们就可以实现。那如果,我们既要平移,又要旋转,或者一系列的对点实体的操作,该怎么实现?这个时候就可以用到平面坐标变换矩阵。

    平面坐标系

     

    二、平面坐标变换矩阵

      “变换矩阵是数学线性代数中的一个概念。在线性代数中,线性变换能够用矩阵表示。如果T是一个把Rn映射到Rm的线性变换,且x是一个具有n个元素的列向量 ,那么我们把m×n的矩阵A,称为T的变换矩阵。”

                                                                                                                                         -------百度百科-变换矩阵

     

    其实没有这么复杂,就是我们通过对一个坐标串构成的矩阵与某个矩阵相乘,得到的新矩阵包含了我们所要的坐标的信息。这个"某个矩阵"在这里就是屏幕坐标变换矩阵。

     

    怎么构建 矩阵吧,矩阵的构建可以用二维数组实现。这个不是算法的重点,所以我就不po代码了,想看代码可以到我的github上看

    https://github.com/XiaoZhong233/GIS_ALG/blob/master/src/scau/gz/zhw/BasicTransform.java

    平面坐标变换矩阵可由下式表示:

        /**      
         *      |a d g|
         * T= |b e h|      |a d|                                                                                                             |g|
         *       |c f   i|      |b e| 负责对图形的缩放,旋转,对称,错切 。[c f] 负责对图形进行平移变换    |h| 负责投影变换
         */    

    构建代码:

    public class SurfaceTransformationMatrix {
    	
    	private double a,b,c,d,e,f,g,h,i;
    	private double[][]  data= {{a,d,g},{b,e,h},{c,f,i}};
    	private Matrix matrix;
    	
    	public SurfaceTransformationMatrix() {
    		this.matrix = new Matrix(data);
    	}
    
    	public SurfaceTransformationMatrix(double[][] data) {
    		this.matrix = new Matrix(data);
    	}
    	
    	public Matrix getMatrix() {
    		return matrix;
    	}
    	
    }

     

    三、平移变换

    公式如下:

    平移变换矩阵

    (m,n)是变换后的坐标,(x,y)是变换前的坐标,tx,ty分别对应x轴,y轴的偏移量

    构建代码:

    public class TransformMatrix extends SurfaceTransformationMatrix{
    	
    	private Matrix matrix;
    	
    	public TransformMatrix(double Tx,double Ty) {
    		super(new double[][]{{1,0,0},{0,1,0},{Tx,Ty,1}});
    		this.matrix = super.getMatrix();
    	}
    	
    	public Matrix getTransformMatrix() {
    		return matrix;
    	}
    	
    	
    }
    

     

    平移算法:

    	/**
    	 * 平移算法
    	 * @param point
    	 * @param x	x正方向偏移量
    	 * @param y	y正方向偏移量
    	 * @return
    	 */
    	public static Point transform(Point point,double x,double y) {
    		Matrix matrix = new TransformMatrix(x, y).getTransformMatrix();
    		double [][] data= {{point.getX(),point.getY(),1}};
    		Matrix pointMatrix = new Matrix(data);
    		Matrix result = pointMatrix.RightMultiMatrix(matrix);
    		//System.out.println("平移后的点 :"+new Point(result.getMatrix()[0][0], result.getMatrix()[0][1]).toString());
    		return new Point(result.getMatrix()[0][0], result.getMatrix()[0][1]);
    	}
    	
    	public static Line transform(Line line,double x,double y) {
    		Point start = line.getStart();
    		Point end = line.getEnd();
    		
    		Point newStart = transform(start, x, y);
    		Point newEnd = transform(end, x, y);
    		return new Line(newStart,newEnd);
    	}
    	
    	public static Polygon transform(Polygon polygon,double x,double y) {
    		Point[] points = polygon.getPoints();
    		Point[] result = new Point[points.length];
    		for(int i=0;i<points.length;i++) {
    			result[i]=transform(points[i], x, y);
    			//System.out.println("result :"+result[i].toString());
    		}
    		return new Polygon(result, polygon.isClose());
    	}

    接下来的变换基本都和这个变换的例子差不多,无非是参数的变化

    四、比例变换

    变换公式:[x* y* 1] = [x y 1] x [{Sx,0,0},{0,Sy,0},{0,0,1}] = [Sx*x Sy*y 1]

    因为公式没找到图,就用二维数组来表示

    x*,y*是x,y变换后的坐标

    变换关系如下

    (1)当Sx = Sy = 1 时,为恒等比例变换,就是图形不变

    (2)当Sx = Sy > 1 时,图形沿两个坐标轴方向等比例放大。

    (3)当Sx = Sy < 1 时,图形沿两个坐标轴方向等比例缩小。

    (4)当Sx != Sy  时,图形沿两个坐标轴方向做非均匀的比例变换。

     

    构建代码:

    public class ScaleMtrix extends SurfaceTransformationMatrix{
    	private Matrix matrix;
    	public ScaleMtrix(double Sx,double Sy) {
    		// TODO Auto-generated constructor stub
    		super(new double[][]{{Sx,0,0},{0,Sy,0},{0,0,1}});
    		this.matrix = super.getMatrix();
    	}
    	
    	public Matrix getScaleMatrix() {
    		return matrix;
    	}
    }
    

    算法:

    	/**
    	 * 比例变换算法
    	 * x=y时,恒比例放大或缩小
    	 * x!=y时,图形沿两个坐标轴方向做非均匀比例变换
    	 * @param point
    	 * @param x 
    	 * @param y
    	 * @return
    	 */
    	public static Point scale(Point point,double x,double y) {
    		Matrix matrix = new ScaleMtrix(x, y).getScaleMatrix();
    		double [][] data= {{point.getX(),point.getY(),1}};
    		Matrix pointMatrix = new Matrix(data);
    		Matrix result = pointMatrix.RightMultiMatrix(matrix);
    		return new Point(result.getMatrix()[0][0], result.getMatrix()[0][1]);
    	}
    	
    	public static Line scale(Line line,double x,double y) {
    		Point start = line.getStart();
    		Point end = line.getEnd();
    		
    		Point newStart = scale(start, x, y);
    		Point newEnd = scale(end, x, y);
    		return new Line(newStart,newEnd);
    	}
    	
    	public static Polygon scale(Polygon polygon,double x,double y) {
    		Point[] points = polygon.getPoints();
    		Point[] result = new Point[points.length];
    		for(int i=0;i<points.length;i++) {
    			result[i]=scale(points[i], x, y);
    			//System.out.println("result :"+result[i].toString());
    		}
    		return new Polygon(result, polygon.isClose());
    	}

     

    五、对称变换

    公式如下:

    [x*,y*,1] = [x,y,1] x [{a,d,0},{b,e,0},{0,0,1}] = [ax+by dx+ey 1]

     

    变换关系:

    (1)当b=d=0,a=-1,e=1时,产生与y轴对称的反射图形

    (2)当b=d=0,a=1,e=-1时,产生与x轴对称的反射图形

    (3)当b=d=0,a=e=-1时,产生与原点对称的反射图形

    (4)当b=d=1,a=e=0时,产生与直线y=x对称的反射图形

    (5)当b=d=-1,a=e=0时,产生与直线y=-x对称的反射图形

     

    构建代码:

    /**
     * 对称变换矩阵
     * @author Administrator
     *
     */
    public class SymmetryMatrix extends SurfaceTransformationMatrix{
    	private Matrix matrix;
    	
    	public SymmetryMatrix(double a,double b,double d,double e) {
    		// TODO Auto-generated constructor stub
    		super(new double[][] {{a,d,0},{b,e,0},{0,0,1}});
    		this.matrix = super.getMatrix();
    	}
    
    	public Matrix getSymmetryMatrix() {
    		return matrix;
    	}
    }

    算法:

    	/**
    	 * 对称变换
    	 * @param point
    	 * @param symmetryType 枚举类型
    	 * @return
    	 */
    	public static Point symmetry(Point point,SymmetryType symmetryType) {
    		Matrix matrix;
    		switch (symmetryType) {
    		case xAxis:
    			matrix = new SymmetryMatrix(1, 0, 0, -1).getSymmetryMatrix();
    			break;
    		case yAxis:
    			matrix = new SymmetryMatrix(-1, 0, 0, 1).getSymmetryMatrix();
    			break;
    		case yx:
    			matrix = new SymmetryMatrix(0, 1, 1, 0).getSymmetryMatrix();
    			break;
    		case anti_yx:
    			matrix = new SymmetryMatrix(0, -1, -1, 0).getSymmetryMatrix();
    			break;
    		case origin:
    			matrix = new SymmetryMatrix(-1, 0, 0, -1).getSymmetryMatrix();
    		default:
    			matrix = new SymmetryMatrix(-1, 0, 0, -1).getSymmetryMatrix();
    			break;
    		}
    		double [][] data= {{point.getX(),point.getY(),1}};
    		Matrix pointMatrix = new Matrix(data);
    		Matrix result = pointMatrix.RightMultiMatrix(matrix);
    		return new Point(result.getMatrix()[0][0], result.getMatrix()[0][1]);
    	}

     

    六、旋转变换

    公式如下:

    [x*,y*,1] =

    [x,y,1] x [{cosa,sina,0},{-sina,cosa,0},{0,0,1}] = [xcosa-ysina xsina+ycosa 1]

    a是二维图形绕原点顺时针旋转a角。

    构建代码:

    public class RotateMatrix extends SurfaceTransformationMatrix{
    
    	private Matrix matrix;
    	
    	public RotateMatrix(double angle) {
    		// TODO Auto-generated constructor stub
    		super(new double[][] {{Math.cos(Math.toRadians(angle)),Math.sin(Math.toRadians(angle)),0},
    			{-Math.sin(Math.toRadians(angle)),Math.cos(Math.toRadians(angle)),0},
    			{0,0,1}});
    		this.matrix = super.getMatrix();
    	}
    	
    	public Matrix getRotateMatrix() {
    		return matrix;
    	}
    }

    算法:

    	/**
    	 * 旋转变换
    	 * @param point
    	 * @param angle 角度制单位
    	 * @return
    	 */
    	public static Point rotate(Point point,double angle) {
    		Matrix matrix = new RotateMatrix(angle).getRotateMatrix();
    		double [][] data= {{point.getX(),point.getY(),1}};
    		Matrix pointMatrix = new Matrix(data);
    		Matrix result = pointMatrix.RightMultiMatrix(matrix);
    		return new Point(result.getMatrix()[0][0], result.getMatrix()[0][1]);
    	}

     

    七、错切变换

    公式如下:

    [x*,y*,1] = [x,y,1] * [{1,d,0},{b,1,0},{0,0,1}]  = [x+by,dx+y,1]

    x*,y*为变换后的坐标。

     

    变换关系如下:

    (1)当d=0时,x*=x+by,y*=y,此时图形的y坐标不变,x坐标随初值(x,y)及变换系数b而作线性变换;若b>0,则图形沿+x方向做错切位移;b<0图形沿-x方向做错切位移。

    (2)当b=0时,x*=x,y*=dx+y,此时图形的x坐标不变,y坐标随初值(x,y)及变换系数d做线性变换;如d>0,则图形沿+y方向作错切变换;d<0时,图形沿-y方向做错切位移。

    (3)当b!=0时,且d!=0时,x*=x+by,y*=dx+y,图形沿x,y两个方向错切位移。

     

    错切变换图

    构建代码:

    public class MiscutMatrix extends SurfaceTransformationMatrix{
    	private Matrix matrix;
    	
    	public MiscutMatrix(double d,double b) {
    		// TODO Auto-generated constructor stub
    		super(new double[][] {{1,d,0},{b,1,0},{0,0,1}});
    		this.matrix = super.getMatrix();
    	}
    	
    	public Matrix getMiscutMatrix(){
    		return matrix;
    	}
    }

    算法如下:

    	/**
    	 * 错切变换
    	 * @param point 
    	 * @param b=0,y轴随变换系数d变换  b>0,图形沿+y方向做错切变换,b<0,图形沿-y方向做错切变换 
    	 * @param d=0,y轴随变换系数b变换  b>0,图形沿+x方向做错切变换,b<0,图形沿-x方向做错切变换
    	 * 		  b!=0 && d!=0时,x*=x+by y*=dx+y 图形沿x,y两个方向做错切变换
    	 * @return
    	 */
    	public static Point miscut(Point point,double b,double d) {
    		Matrix matrix = new MiscutMatrix(b,d).getMiscutMatrix();
    		double [][] data= {{point.getX(),point.getY(),1}};
    		Matrix pointMatrix = new Matrix(data);
    		Matrix result = pointMatrix.RightMultiMatrix(matrix);
    		return new Point(result.getMatrix()[0][0], result.getMatrix()[0][1]);
    	}

     

    八、复合变换

    复合变换是指图形做一次以上的几何变换,变换结果是每次变换矩阵相乘。

     

    (1)、复合平移

    直接上代码吧,就直接几个平移矩阵相乘

    	/**
    	 * 复合平移
    	 * @param point
    	 * @param matrixs
    	 * @return
    	 */
    	public static Point complexTransform(Point point,TransformMatrix...matrixs) {
    		int len = matrixs.length;
    		Matrix matrix = matrixs[0].getTransformMatrix();
    		
    		for(int i=1;i<len;i++) {
    			matrix = matrix.RightMultiMatrix(matrixs[i].getTransformMatrix());
    		}
    		double [][] data= {{point.getX(),point.getY(),1}};
    		Matrix pointMatrix = new Matrix(data);
    		Matrix result = pointMatrix.RightMultiMatrix(matrix);
    		return new Point(result.getMatrix()[0][0], result.getMatrix()[0][1]);
    	}

     

    (2)复合比例变换

    	/**
    	 * 复合比例变换
    	 * @param point
    	 * @param matrixs
    	 * @return
    	 */
    	public static Point complexScale(Point point,ScaleMtrix...matrixs) {
    		int len = matrixs.length;
    		Matrix matrix = matrixs[0].getScaleMatrix();
    		for(int i=1;i<len;i++) {
    			matrix = matrix.RightMultiMatrix(matrixs[i].getScaleMatrix());
    		}
    		double [][] data= {{point.getX(),point.getY(),1}};
    		Matrix pointMatrix = new Matrix(data);
    		Matrix result = pointMatrix.RightMultiMatrix(matrix);
    		return new Point(result.getMatrix()[0][0], result.getMatrix()[0][1]);
    	}

     

    (3)复合旋转

    	/**
    	 * 复合旋转变换
    	 * @param point
    	 * @param matrixs
    	 * @return
    	 */
    	public static Point complexRotate(Point point,RotateMatrix ...matrixs) {
    		int len = matrixs.length;
    		Matrix matrix = matrixs[0].getRotateMatrix();
    		for(int i=1;i<len;i++) {
    			matrix = matrix.RightMultiMatrix(matrixs[i].getRotateMatrix());
    		}
    		double [][] data= {{point.getX(),point.getY(),1}};
    		Matrix pointMatrix = new Matrix(data);
    		Matrix result = pointMatrix.RightMultiMatrix(matrix);
    		return new Point(result.getMatrix()[0][0], result.getMatrix()[0][1]);
    	}

     

    比例,旋转变换是与参考的有关的,上面的都是相对于原点的比例变换,如果要参考某个(m,n)点做比例 ,旋转变换,其变换过程就是先把该坐标系的原点移到(m,n)上来,然后做了旋转或比例变换,然后再移回去。

    (4)相对某点的比例变换

    	/**
    	 * 相对于某点的比例变换
    	 * @param point 待变换的点
    	 * @param center 相对点
    	 * @param x
    	 * @param y
    	 * @return
    	 */
    	public static Point scaleAround(Point point,Point center,double x,double y) {
    		TransformMatrix t1 = new TransformMatrix(-center.getX(), -center.getY());
    		ScaleMtrix scaleMtrix = new ScaleMtrix(x, y);
    		TransformMatrix t2 = new TransformMatrix(center.getX(), center.getY());
    		return complexTransmit(point, t1,scaleMtrix,t2);
    	}

    (5)相对某点的选址变换

    	/**
    	 * 围绕某点的旋转变换
    	 * @param point 待变换的点
    	 * @param center 相对点
    	 * @param angle
    	 * @return
    	 */
    	public static Point rotateAround(Point point,Point center,double angle) {
    		TransformMatrix t1 = new TransformMatrix(-center.getX(), -center.getY());
    		RotateMatrix rotateMatrix = new RotateMatrix(angle);
    		TransformMatrix t2 = new TransformMatrix(center.getX(), center.getY());
    		return complexTransmit(point, t1,rotateMatrix,t2);
    	}

     

    最后 po上我github地址,有需要的同学可以看看

    https://github.com/XiaoZhong233/GIS_ALG/blob/master/src/scau/gz/zhw/BasicTransform.java

    转载于:https://www.cnblogs.com/zhongHW/p/11047019.html

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  • 2.1.4 字书字符集 2.1.5 unicode解决方案 2.2 宽字符和c 2.2.1 char数据类型 2. 2. 2 宽字符 2.2.3 宽字符库函数 2.2.4 维护单一源代码 2.3 宽字符和windows 2.3.1 windows 头文件类型 ...
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  • 本仓库的 EFI 不兼容蓝天模具机型、广达模具机型、代(含)以下机型、低压处理器机型。 如果你是神舟笔记本,且模具型号没有出现在上述列表中,可以到 http://kfgl.hasee.com/lookup/book/bblist.asp 页面,查询你...
  • PCI.EXPRESS系统体系结构标准教材.pdf

    热门讨论 2013-02-17 16:21:16
    部分 pci express配置 第19章 配置概述 19.1 设备与功能的定义 19.2 主总线与二级总线的定义 19.3 系统启动时拓扑未知 19.4 每种功能实现一组配置寄存器 19.4.1 简介 19.4.2 功能配置空间 19.5 主机/pci桥的配置...
  • 作者积20多年从事概预算编制工作经验,结合当前通信行业发展现状,博采众长,潜心开发了这套系统。功能强大、专业齐全、开放接口。 对预算的印刷错误按勘误表进行了修正。经过反复验证、校对,确保了系统的完整性、...
  • 作者积20多年从事概预算编制工作经验,结合当前通信行业发展现状,博采众长,潜心开发了这套系统。功能强大、专业齐全、开放接口。 对预算的印刷错误按勘误表进行了修正。经过反复验证、校对,确保了系统的完整性、...
  • 第九招:取消“磁盘空间不足”通知 当磁盘驱动器的容量少于200MB时Windows XP便会发出“磁盘空间不足”的通知,非常烦人。可以打开“注册表编辑器”,定位到HKEY_CURRENT_USERSoftwareMi ...
  • 作者积30多年从事概预算编制工作经验,结合当前通信行业发展现状,博采众长,潜心开发了这套系统。功能强大、专业齐全、开放接口。 对预算的印刷错误按勘误表进行了修正。经过反复验证、校对,确保了系统的完整性、...
  • 作者简介 Andrew Koenig 和 Barbara E.Moo是夫妻. Andrew Koenig 是AT&T公司Shannon实验室大规模编程研究部门中的成员,同时也是C++标准委员会的项目编辑。他的编程经验超过30年,其中有15年在使用C++,他已经出版...
  • 我们归纳了种可以此种等效转换的结构,包括1x1-KxK连续卷积、average pooling等,并用这种变换给出了一种代表性的形似Inception的DBB实例,在多种架构上均取得了显著的性能提升。我们通过实验确认了“训练时非...
  • 1.2.6存储器、特殊功能寄存器及位地址空间 1.2.7输入/输出(I/O)口 1.3MCS-51单片机指令系统分析 1.3.1指令系统的寻址方式 1.3.2指令系统的使用要点 1.3.3指令系统分类总结 1.4串行接口与定时/计数器 1.4.1串行...
  • 《C++标准程序库》,英文名《The C++ Standard Library》,作者:【德】Nicolai M.Josuttis,翻译:侯捷、孟岩,出版社:华中科技大学出版社,ISBN:7560927823,PDF 格式,大小 2MB。 本资源仅包含《C++标准程序库...

空空如也

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