概率模型是数学模型的一种。现实的变化总是受多个随机的或确定的因素影响，而概率模型就是以数学层面来描述变量因素关系的不确定现象，它也具有一定的预测性。常见的概率模型有古典概率模型、几何概率模型和伯努利概率模型等，较受欢迎的概率模型是贝叶斯概率模型和隐马尔可夫概率模型。
 
概率模型的常见用途
 
1.人工智能，借助概率模型获得概率分布，对于描述实际中复杂的问题和建立大型的人工智能系统具有重大的意义。
2.机器学习，概率模型是机器学习的一个重要部分，能够帮助工程师和相关研究人员在机器学习过程中产生灵感和新思路。
3.负荷管理系统，随着计算机处理的数据越来越庞大，数据种类愈加繁多，就需要应用概率模型来处理这些大量的不确定性信息。
 

  
 
 
概率模型的绘制方法
 
第一步，打开亿图图示PC端或访问网页上的在线版。
 
第二步，搜索关键词“概率模型”。选择下方例子库筛选出的模板，点击“使用此模板”。或者新建空白画布自制概率模型。
 

  
 
 
第三步，修改模板样式，直接从左侧符号库进行拖拽将需要的符号加入图中。
 

  
 
 
第四步，双击文本框进行概率模型模板中的文字替换。
 

  
 
 
第五步，概率模型绘制完毕，点击左上角即可一键进行保存、导出和打印等操作，能将作品导出为多种图片格式、PDF、SVG等。也可以直接发送邮件分享给对方。
 

  
 
 
概率模型绘制软件——亿图图示
 
亿图图示是一款集大成的图表绘制软件。除了概率模型，用户还可以使用亿图图示绘制思维导图、波特五力模型、柱状图、甘特图、网络拓扑图等两百多种图表，无论是教师、学生，还是产品经理、程序员不同人群的图表绘制需求亿图图示都能满足。亿图图示还提供了海量模板，对新手小白友好，为老手节约工作时间。 作为国产制图软件，亿图图示功能齐全、安全稳定、操作简单、性价比高，不妨下载试用一下。
 

  
 
 
为什么选择亿图图示绘制概率模型？
 
1.高颜值，易上手
亿图图示蓝白的UI设计的商务风的，简约大方，带给用户舒适的视觉体验。并且仅需拖拽画布左侧的符号即可更改模板样式。
2.多平台，多格式
亿图图示支持Windows、Linux和Mac系统，办公随时切换设备，效率翻倍。支持vision和svg等格式的导入导出，更能导出为JPG、PNG、PS、PDF和Excel等多种格式。
3.云存储功能强大
亿图图示内置云存储空间供用户存储资料，每位用户都会获得一定大小的云空间。并且亿图图示的云存储空间安全稳定，能够为用户存储的作品保驾护航。

 


 
目录
 
一、离散随机变量的相关概念
二、几个离散概率分布整理

 
一、离散随机变量的相关概念
 
 
随机变量：随机变量Y是一个定义在样本空间上的数值函数，样本空间中的每个简单事件都被指派一个$Y$值。【什么是随机变量】
 
 
离散随机变量的定义：离散随机变量$Y$是一个仅能取可数个值得变量。
 
 
离散随机变量的概率分布：离散随机变量$Y$的概率分布是给出Y的每个可能取值$Y=y$以及相应概率$p(y)$的表、图或公式。且有如下的要求：$p(y)\ge 0,且\sum p(y)=1$。
 
 
离散随机变量的概率模型：伯努利试验、二项分布、多项分布、负二项分布、几何分布、超几何分布以及泊松分布。
 
 
二、几个离散概率分布整理
 
如有错误，恳请指出！
 
名称
该随机变量的特征
概率分布形式
期望和方差
$伯努利试验$
1.试验得到两个互斥结果$A$、$B$之一. 
2.两个结果是完备的.
3.$A$和$B$的概率分别用$p$和$q$表示，即$P(S)=p$，$P(F)=q$.
$p(y)=p^y{q}^{1-y}$
其中：$p$是试验成功的概率；$q=1-p$
$\mu =p$
${\sigma }^2=pq$
$二项概率分布$
1.试验包含$n$次相同的伯努利试验. 
2.每次试验只有两种结果.
3.每次试验保持$P(S)=p$，$P(F)=q$.
4.$n$次试验是独立的.
5.二项随机变量$Y$表示n次试验中成功的次数.
$p(y)=\left(\begin{array}{c}n\\ y\end{array}\right)p^y{q}^{n-y}$ 
其中：$n$是试验的次数；$y$是$n$次试验中成功的次数.
$\mu =np$
${\sigma }^2=npq$
$多项概率分布$
1.试验包含$n$次相同的伯努利试验.
2.每次试验有$k$个可能的结果.
3.$k$个结果的概率在每次实验中保持不变.
4.试验是独立的.
$p(y_1,y_2,...,y_k)=\frac{n!}{y_1!y_2!\cdots y_n!}(p_1{)}^{y_1}(p_2{)}^{y_2}\cdots (p_n{)}^{y_n}$
其中：$p_i$是一次实验中出现结果$i$的概率；$y_i$是$n$次试验中出现结果$i$的次数.
${\mu }_i=n{p}_i$
${\sigma }_i^2=n{p}_i(1-p_i)$
$负二项概率分布$
随机变量$Y$表示直至观测到第$r$次成功时试验的次数.
$p(y)=\left(\begin{array}{c}y-1\\ r-1\end{array}\right)p^r{q}^{y-r}$ 
其中：$p$是一次伯努利试验成功的概率；$y$是直至观测到第$r$次成功的试验次数.
$\mu =\frac{r}{p}$
${\sigma }^2=\frac{rq}{p^2}$
$几何概率分布$
基于负二项分布，对于$r=1$的特殊情况，$Y$的概率分布称为几何概率分布.
$p(y)=p{q}^{y-1}$
$\mu =\frac{1}{p}$
${\sigma }^2=\frac{q}{p^2}$
$超几何概率分布$
1. 总体是包含$r$个$S$(成功)和$N-r$个$F$(失败)的集合.
2.试验是从该集合中无放回地随机抽取$n$个元素. 
3.样本容量$n$相对于总体元素的个数$N$是大的，即$n/N>0.05$. 
4.超几何随机变量$Y$时抽出$n$个元素中$S$的个数.
$p(y)=\frac{\left(\begin{array}{c}r\\ y\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}N-r\\ n-y\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}N\\ n\end{array}\right)}$ 
其中：$N$是元素的总数；$r$是$N$个元素中成功的个数；$n$是所抽出的元素个数；$y$是$n$中成功的个数.
$\mu =\frac{nr}{N}$
${\sigma }^2=\frac{r(N-r)n(N-n)}{N^2(N-1)}$
$泊松概率分布$
1.试验是在给定的时间单位或面积、体积单位内发生某个事件的概率. 
2.事件发生在给定单位内的概率对所有单位都相同.
3. 发生在一个单位内的事件数与发生在其他单位内的事件数是独立的.
$p(y)=\frac{{\lambda }^y{e}^{-\lambda }}{y!}$ 
其中：$\lambda$是给定单位内事件发生的平均数；$e$=2.71828…
$\mu =\lambda$
${\sigma }^2=\lambda$

要求：量变量服从正态分布
 
实例与SPSS演示：
 
用SPSS打开文件；ttest2.sav。下载地址：https://download.csdn.net/download/weixin_42141390/11701140；路径为：.\9\ttest2.sav
 
零假设：组别1，2之成绩总体分布的均值无明显差异
 
组别1、2之成绩分别为随机变量
 
检验统计量：两变量总体方差是否相等，t的取值也随之差异，详细见：
 
http://www.doc88.com/p-4107669138492.html
 
检验两变量是否相等：称为方差齐性检验。
 
采用levene F检验，检测统计量为F，满足F分布。零假设为：方差无显著差异。
 
SPSS操作：
 
点击独立变量分析：设置如下
 
 
可得分析结果：
 
 
 
 
表中F为levene F检验检验方差齐性时，检验统计量F的值。F的显著性，即概率为0.445，若置信水平为95%，则接受原假设，两变量满足方差齐性。故看第一行即可。看出t的显著水平为0.002，小于0.05，故不接受原假设。即两变量的方差存在显著差异。
 
 

模型为Y=B1+B2X+u
Y—平均小时工资
X—读书年数
import statsmodels.api as sm
Y=[4.4567,5.77,5.9787,7.3317,7.3182,6.5844,7.8182,7.8351,11.0223,10.6738,10.8361,13.615,13.531]   
X=[6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18] 
X1=sm.add_constant(X)#在X前加上一列常数1，方便做带截距项的回归
model = sm.OLS(Y,X1)   
results = model.fit()   
print(results.params)
print(results.summary())
得到回归方程Y=-0.0145+0.7241X
说明读书年数每增加一个单位，平均小时工资增加0.7241个单位，截距项没有实际意义。
输出结果如下：


样本容量n=13
残差平方和RSS的自由度=n-2=11
回归平方和ESS的自由度=1
R^2=0.908  ，表明 X 解释了Y的约90.8%的变异，拟合效果很好
对回归系数的t-检验：H0：Bi=0，H1：Bi≠0     (置信水平α=0.05，统计量t=(bi-Bi)/se(bi))
b1=-0.0145  ，p值=0.978>0.05, 不拒绝原假设，认为B1的值=0，b1的t-检验不显著，回归系数b1未通过t-检验(考虑过原点模型？)。
b2=0.7241  ，p值=0.000表示当自由度为n-2=11时，得到一个t值≥现在的t值（=10.406）的概率是0.000
                      p值=0.000<0.05, 拒绝原假设，认为B2的值≠0，b2的t-检验显著，回归系数b2通过了t-检验。
对回归模型的F-检验(双变量模型可省略，多元回归必须做)：H0：B2=0，H1：B2≠0     (置信水平α=0.05, 统计量F=ESS/(RSS/(n-2))
统计量F值=108.3，对应自由度（1,11）的p值=4.96e-07<0.05,表示如果拒绝原假设H0，犯第一类错误（弃真）的概率是4.96e-07，这个概率很小，所以拒绝原假设，认为模型的B2≠0
对残差的正态性检验（雅克-贝拉检验Jarque-Bera test）:H0:残差为正态分布，H1：残差不是正态分布
JB统计量=0.829，对应的p值=0.661>0.05,不能拒绝原假设H0，认为残差服从正态分布。