Source: Rizaudin Sahlan → Impulse Response Function with Stata (time series)
 
 
 
 
编译：许梦洁 (中山大学)
 
 
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2019暑期“实证研究方法与经典论文”专题班-连玉君-江艇主讲
 
 
 
 
在这篇推文中，我们讨论 VAR 模型中的脉冲响应函数 (IRFs)。
 
模型推导
 
脉冲响应函数反映了当 VAR 模型某个变量受到"外生冲击"时，模型中其他变量受到的动态影响。我们会根据这些变量受到此冲击后的一段时间内的动态变化画出脉冲响应图形。
 
脉冲响应函数是一种条件预测，更确切地说，是一种点估计，只不过我们会估计冲击发生后不同时点的值。
 
类似于 AR 模型有 MA 表达形式，VAR 模型也有 VMA 表达形式。 VMA 表达形式有助于我们探求在 VAR 系统中变量收到冲击后的随时间变化的路径。考虑一个由 $y_t$ 和 $z_t$ 构成的VAR 系统：
 
$$\left[\begin{array}{c}{y}_t\\ z_t\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_{10}\\ a_{20}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{y}_{t-1}\\ z_{t-1}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{e}_{1t}\\ e_{2t}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(1)}$$
 
该模型也可以写成如下形式：
 
$$\left[\begin{array}{c}{y}_t\\ z_t\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\overline{y}\\ \overline{z}\end{array}\right]+\sum _{i=0}^{\infty }{\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]}^i\left[\begin{array}{c}{e}_{1t-i}\\ e_{2t-i}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(2)}$$
 
方程 (2) 使用 {$e_{1t}$} 和 {$e_{2t}$} 序列表示了 $y_t$ 和 $z_t$ 。根据 Enders(2014, p286)，{$e_{1t}$} 和 {$e_{2t}$} 可以写成：
 
$$\left[\begin{array}{c}{e}_{1t}\\ e_{2t}\end{array}\right]=\frac{1}{1-b_{12}{b}_{21}}\left[\begin{array}{cc}1& -b_{12}\\ -b_{21}& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\epsilon }_{yt}\\ {\epsilon }_{zt}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(3)}$$
 
将 (3) 式代入 (2) 式中可得：
 
$$\left[\begin{array}{c}{y}_t\\ z_t\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\overline{y}\\ \overline{z}\end{array}\right]+\frac{1}{1-b_{12}{b}_{21}}\sum _{i=0}^{\infty }{\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]}^i\left[\begin{array}{cc}1& -b_{12}\\ -b_{21}& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\epsilon }_{yt}\\ {\epsilon }_{zt}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}( 4 )}$$
 
由于 (4) 式不太简洁，我们可以通过定义一个 $2\times 2$ 的矩阵 ${\varphi }_i$ 来简化它：
 
$${\varphi }_i=\frac{A_1^i}{1-b_{12}{b}_{21}}\left[\begin{array}{cc}1& -b_{12}\\ -b_{21}& 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(5)}$$
 
将 (5) 式代入 (4) 式可得：
 
$$\left[\begin{array}{l}{y}_t\\ z_t\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\overline{y}\\ \overline{z}\end{array}\right]+\sum _{i=0}^{\infty }{\left[\begin{array}{cc}{\varphi }_{11}(i)& {\varphi }_{12}(i)\\ {\varphi }_{21}(i)& {\varphi }_{22}(i)\end{array}\right]}^i\left[\begin{array}{c}{\epsilon }_{yt-i}\\ {\epsilon }_{zt-i}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(6)}$$
 
显然 (6) 式可以写成更简洁的形式：
 
$$x_t=\mu +\sum _{i=0}^{\infty }{\varphi }_i{\epsilon }_{t-i}\text{\hspace{1em}(7)}$$
 
以上 VMA 形式的表出对于我们理解 $y_t$ 和 $z_t$ 构成的VAR 系统格外有帮助。其中系数矩阵 ${\varphi }_i$ 即为来自 ${\epsilon }_{yt}$ 和 ${\epsilon }_{zt}$ 的冲击对 $y_t$ 和 $z_t$ 序列的影响。
 
很显然 ${\varphi }_{jk}(0)$ 是冲击的即时影响。比如，${\varphi }_{12}(0)$ 表示 1 个单位 ${\epsilon }_{zt}$ 的冲击会使当期的 $y_t$ 变化多少个单位。类似地，${\varphi }_{11}(1)$ 和 ${\varphi }_{12}(1)$ 则分别表示来自一个单位 ${\epsilon }_{yt-1}$ 和一个单位 ${\epsilon }_{zt-1}$ 的冲击对 $y_t$ 产生的影响。
 
${\varphi }_{11}(1)$ 和 ${\varphi }_{12}(1)$ 也可以表示来自一个单位 ${\epsilon }_{yt}$ 和 ${\epsilon }_{zt}$ 的冲击对 $y_{t+1}$ 产生的影响。以此类推，来自一个单位 ${\epsilon }_{yt}$ 和 ${\epsilon }_{zt}$ 的冲击对后续各期的 $y_t$ 和 $z_t$ 产生的影响可以通过对脉冲响应函数进行适当的汇总得到。比如来自一个单位 ${\epsilon }_{zt}$ 的冲击对 {$y_t$} 序列在后续第 $n$ 期产生的影响即为 ${\varphi }_{12}(n)$ ，则在此 ${\epsilon }_{zt}$ 冲击对 $y_t$ 序列在冲击发生后的 $n$ 期内产生的总影响为：
 
$$\sum _{i=0}^n{\varphi }_{12}(n)$$
 
令 $n$ 趋于无穷，可以得到冲击对 $y_t$ 和 $z_t$ 产生的长期影响。由于 {$y_t$} 和 {$z_t$} 被假定为平稳的，易得对于任意 $j$ 和 $k$ ：
 
$$\sum _{i=0}^{\infty }{\varphi }_{jk}^2(i)\text{ 在 i→∞ 时收敛}$$
 
四个系数集 ${\varphi }_{11}(i)$，${\varphi }_{12}(i)$，${\varphi }_{21}(i)$ 和 ${\varphi }_{22}(i)$ 被称为脉冲响应函数。绘制脉冲响应函数的图形是观察冲击 ${\epsilon }_{yt}$ 和 ${\epsilon }_{zt}$ 对系统内变量 $y_t$ 和 $z_t$ 影响的实用手段，也是观察来自 ${\epsilon }_{yt}$ 和 ${\epsilon }_{zt}$ 冲击造成的时变影响的有力工具。
 
使用 Stata 估计脉冲响应函数
 
在 Stata 中， 我们可以使用 irf create 命令得到脉冲响应函数，这个命令可以估计五种脉冲响应函数(IRFs)：简单脉冲响应函数(simple IRFs)、正交脉冲响应函数(orthogonalized IRFs)、累积脉冲响应函数(cumulative IRFs)、累积正交脉冲响应函数(cumulative orthogonalized IRFs)以及结构脉冲响应函数(structural IRFs)。
 
具体的操作思路为：首先拟合 VAR 模型，然后使用 irf create 命令估计脉冲响应函数并将其存储到文件中，最后使用 irf graph 或其他的 irf 分析命令检验结果。
 
本篇推文使用的数据集为 Data09.dta，可以点击这里下载。
 
我们想估计的 VAR 模型中包含的变量有：对数固定资本形成总额 (lrgrossinv) ，对数实际家庭消费支出额 (lrconsump) 以及对数 GDP (lrgdp)。
 
在估计脉冲响应函数之前，我们首先需要知道该 VAR 模型的最优滞后阶数：
 
 varsoc lrgrossinv lrconsump lrgdp, max (12)

   Selection-order criteria
   Sample:  1962q1 - 2010q3                     Number of obs      =       195
  +---------------------------------------------------------------------------+
  |lag |    LL      LR      df    p      FPE       AIC      HQIC      SBIC    |
  |----+----------------------------------------------------------------------|
  |  0 |  721.692                      1.3e-07   -7.3712  -7.35081  -7.32085  |
  |  1 |  1979.02  2514.7    9  0.000  3.5e-13  -20.1746   -20.093  -19.9731  |
  |  2 |  2022.28  86.525    9  0.000  2.4e-13   -20.526  -20.3833* -20.1735* |
  |  3 |  2030.07  15.571    9  0.076  2.5e-13  -20.5135  -20.3096    -20.01  |
  |  4 |  2036.31  12.492    9  0.187  2.5e-13  -20.4853  -20.2202  -19.8307  |
  |  5 |  2044.65  16.669    9  0.054  2.6e-13  -20.4784  -20.1522  -19.6728  |
  |  6 |  2056.46  23.622    9  0.005  2.5e-13  -20.5073  -20.1199  -19.5505  |
  |  7 |  2070.89  28.858*   9  0.001  2.4e-13*  -20.563* -20.1144  -19.4552  |
  |  8 |  2074.97  8.1629    9  0.518  2.5e-13  -20.5125  -20.0028  -19.2537  |
  |  9 |  2078.94  7.9406    9  0.540  2.6e-13  -20.4609  -19.8901   -19.051  |
  | 10 |  2083.77  9.6582    9  0.379  2.7e-13  -20.4181  -19.7861  -18.8572  |
  | 11 |  2088.52  9.5076    9  0.392  2.9e-13  -20.3746  -19.6814  -18.6626  |
  | 12 |     2094  10.959    9  0.279  3.0e-13  -20.3385  -19.5841  -18.4754  |
  +---------------------------------------------------------------------------+
   Endogenous:  lrgrossinv lrconsump lrgdp
    Exogenous:  _cons
 
以上结果显示，根据 AIC 准则，模型的最优滞后结束为 7 阶。使用 7 阶滞后重新估计 VAR 模型：
 
quietly var lrgrossinv lrconsump lrgdp,lags(1/7)dfk small
 
并基于估计结果估计脉冲响应函数：
 
 irf create order1, step(10) set(myirf1) replace
(file myirf1.irf created)
(file myirf1.irf now active)
irfname order1 not found in myirf1.irf
(file myirf1.irf updated)
 
在 Stata 中，多个脉冲响应的结果可以被存储在同一个文件中，并被标记为不同的名字。上述命令表示，此次脉冲响应估计的结果被存储在 myirf1 文件中，其名字被标记为 order1。order1 中存储了前面提到的该 VAR 模型的全部五种脉冲响应函数的估计结果。
 
得到了脉冲响应函数的估计结果后，我么就可以使用 irf graph 命令来绘制秒冲响应图形了：
 
irf graph oirf, impulse(lrgrossinv lrconsump lrgdp) response(lrgrossinv lrconsump lrgdp)  yline (0,lcolor(black)) byopts(yrescale)
 
 
脉冲响应图形中，每一行为同种冲击对不同变量造成的影响，每一列为不同冲击对同一变量造成的影响。
 
横坐标的刻度单位为 VAR 模型估计的单位时间(在这个案例中为每一季度)。这张图形中显示的是冲击在 10 个季度内造成的影响。纵坐标以每个变量自己的单位来衡量，由于我们估计的模型所有变量的单位均为百分比，因此纵坐标表示百分比的变化。
 
第一行展示了家庭消费 (lrconsump) 受到一个单位标准差的冲击对 VAR 系统造成的影响：家庭消费 (lrconsump) 会瞬间全部吸收冲击，并增加相应单位的百分比，此影响甚至到 10 个季度之后都没有消退。GDP (lrgdp) 受到该冲击的影响会在4个季度内有所上升，在第四个季度达到峰值，随后该影响慢慢衰退。固定资本形成额 (lrconsump) 与 GDP 呈现相似的变化。
 
第二行展示了GDP (lrgdp) 受到一个单位标准差的冲击对 VAR 系统造成的影响：家庭消费 (lrconsump) 和固定资本形成额 (lrconsump) 都在前 5 个季度轻微下降，之后回升。
 
第三行展示了固定资本形成额 (lrconsump) 受到一个标准差的冲击对 VAR 系统造成的影响：家庭消费 (lrconsump) 和 GDP (lrgdp) 都出现了高度持续的下降。
 
 
 
 
 
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NOTION: 
 
首先提一下辛士波老师反复讲到的问题：即VAR、VaR、Var三者的区别，切记千万不要混淆哈哈
 
VAR
Vector Autoregression，向量自回归
VaR
Value at Risk，称为风险价值模型，也称受险价值方法、在险价值方法，常用于金融机构的风险管理。
Var
Variance，统计量上的方差
第一节 VAR模型
 
探讨实际有效汇率（REER）与中国对美国出口的（X）的关系问题，假设两个变量相互影响，则可建立如下的VAR模型：
 
 
 （上述比较复杂的式子就是构建的VAR模型，式子比较复杂就用图片代替了，接着我们试着用数据通过Eviews算出那些待估参数。）
 
 
 
Eviews操作：新建Eviews文档，“Workfile structure type”选择时间序列，“Date specification”输入月度数据。这里数据的来源是http://cliometrics.gdufs.edu.cn/info/1007/1127.htm，名称是“数据表.docx”。
 
 
 
 

  
  
 
 
 
 
 Eviews操作：导入数据后，点击主页面的"Quick"——选择“Estimate VAR...”——单击该项——出现对话框——在"Endogenous Variables"（内生变量）输入你需要研究的变量“reer x”——把“Lag Intervals for Endogenous”（滞后期间）输入“1 1”。（中间空格）。
 
 
 
 

  
  
 
 
 
 
  Eviews操作：点击窗口的"Estimate”——把“Lag Intervals for Endogenous”（滞后期间）改成“1 2”。（中间空格）。观察两次的AIC和SC（如图1-3），并且把它们的值输入值表格1-1
 
 
 
滞后一期
滞后二期
AIC
12.06431
12.07172
SC
12.17115
12.25047
 最终，用上述两个准则确定最优滞后期的一个标准是，最有滞后期应使两个准则的数值最小。我们选择滞后一期，并且由于常数项不显著，我们将其剔除掉，于是可得图1-3的结果，将图1-3的结果转换成数学表达式，如下：
 
 
第二节 脉冲响应
 
为了了解变量间的相互影响关系和影响程度如何，一个解决办法就是做脉冲响应与方差分解。
 
 
 

  
  
 
 
随后默认选择后确定，得出
 
 
 

  
  
 
 
选择个别的脉冲分析，比如Response of REER to X：
 
 
 

  
  
 
 
 
 

  
  
 
 
图1-6 Response of REER to X表明的是，即X的变化引起的REER的反应或者回复，（单调判断）刚开始的变量X的变化对REER的冲击影响为0，随后随着X的增大，其对REER的作用力持续上升。（峰值判断）并且在第十期仍然没有到达冲击的峰值，说明X对REER的冲击具有持久性并且作用力持续增加。脉冲响应的结果表明（追本溯源：X代表的是中国对美国的出口，REER代表的是实际有效汇率），如果没有贸易逆差的压力，贸易问题对汇率的冲击影响将为0；如果存在贸易逆差，则随着贸易逆差变大，对汇率的冲击影响将越来越大。但逆差扩大引起汇率的具体变化有待考究。
 
——Written in 6353, miss you.

原文链接：http://tecdat.cn/?p=9384
 
原文出处：拓端数据部落公众号
 
 

目录
 
模型与数据
 
估算值
 
预测误差脉冲响应
 
识别问题
 
正交脉冲响应
 
结构脉冲反应
 
广义脉冲响应
 
参考文献
 

脉冲响应分析是采用向量自回归模型的计量经济学分析中的重要一步。它们的主要目的是描述模型变量对一个或多个变量的冲击的演化。因此使它们成为评估经济时非常有用的工具。这篇文章介绍了VAR文献中常用的脉冲响应函数的概念和解释。
 
 
 
模型与数据
 
 
为了说明脉冲响应函数的概念，使用了Lütkepohl（2007）的示例。可以从教科书的网站上下载所需的数据集。它包含从1960年1季度到1982年4季度按季度和季节性调整的时间序列，这些序列是西德的固定投资，可支配收入和数十亿德国马克的消费支出。
 
 
# 下载数据
data <- read.table("e1.dat", skip = 6, header = TRUE)

# 仅使用前76个观测值，因此有73个观测值
# 取一阶差分后，留给估计的VAR(2)模型。
data <- data[1:76, ]

# 转换为时间序列对象
data <- ts(data, start = c(1960, 1), frequency = 4)

# 取对数和差值
data <- diff(log(data))

# 绘图数据
plot(data,  main = "Dataset E1 from Lütkepohl (2007)")
 
 
 
 
 
 
此数据用于估计具有常数项的VAR（2）模型。
 
 
 
 
估算值
 
 
可以使用vars软件包估算VAR模型：
 
 

# 查看摘要统计信息
summary(model)
 
 
代码的结果应与Lütkepohl（2007）的3.2.3节中的结果相同。
 
 
 
 
预测误差脉冲响应
 
 
由于VAR模型中的所有变量都相互依赖，因此单独的系数估计仅提供有关反应的有限信息。为了更好地了解模型的动态行为，使用了脉冲响应（IR）。线性VAR模型的每个脉冲响应函数的出发点都是其移动平均值（MA）表示，这也是预测误差脉冲响应（FEIR）函数。
 
 
在R 中，程序包可用于获取预测误差脉冲响应。
 
 
 
 
识别问题
 
 
 
 
从上图可以看出，在第一期间FEIR为零。对于使用的数据集，估计为
 
 
##              invest       income         cons
## invest 2.129629e-03 7.161667e-05 1.232404e-04
## income 7.161667e-05 1.373377e-04 6.145867e-05
## cons   1.232404e-04 6.145867e-05 8.920351e-05
 
 
由于估计方差-协方差矩阵的非对角线元素不为零，因此我们可以假设VAR模型中的变量之间存在同期相关性。这由与Σ相对应的相关矩阵确认：
 
 
##           invest    income      cons
## invest 1.0000000 0.1324242 0.2827548
## income 0.1324242 1.0000000 0.5552611
## cons   0.2827548 0.5552611 1.0000000
 
 
但是，这些矩阵仅描述了误差之间的相关性，但不清楚因果关系的方向。识别这些因果关系是任何VAR分析的主要挑战之一。
 
 
 
 
 
 
正交脉冲响应
 
 
识别VAR模型的冲击的常用方法是使用正交脉冲响应（OIR）。基本思想是分解方差-协方差矩阵，使∑ = PP− 1，其中P是带有正对角线元素的下三角矩阵，通常通过Choleski分解获得。给定估计方差-协方差矩阵PP，可以通过以下方法获得分解
 
 

##             invest      income        cons
## invest 0.046147903 0.000000000 0.000000000
## income 0.001551894 0.011615909 0.000000000
## cons   0.002670552 0.004934117 0.007597773
 
 
从这个矩阵可以看出，收入冲击对消费具有同时性的影响，反之则不然。
 
 
在R 中，vars可以通过设置参数来使用包的功能来获得OIR：
 
 

plot(oir)
 
 
 
 
请注意，Choleski分解的输出是一个较低的三角矩阵，因此第一行中的变量永远不会对任何其他变量的同时冲击敏感，而系统中的最后一个变量将对所有其他变量的冲击敏感。因此，OIR的结果可能对变量的顺序很敏感，建议用不同的顺序估计上述VAR模型，以查看所产生的OIR受此影响的程度。
 
 
 
 
结构脉冲反应
 
 
在VAR模型的估计过程中，结构脉冲响应（SIR）已经考虑了识别问题。
 
 
 
 
广义脉冲响应
 
 
正交和结构响应都可以通过找到变量的正确顺序或通过识别估计的结构参数来约束。Koop等（1998）提出了一种不同类型的响应函数，即所谓的广义脉冲响应（GIR）。它们独立于变量顺序，因为它们将其他冲击的影响整合到响应之外。
 
 
对于难以识别结构关系的大型系统，GIR非常有用。
 
 
 
 
 
 
参考文献
 
 
Koop, G., Pesaran, M. H., Potter, S. M. (1996). Impulse response analysis in nonlinear multivariate models. Journal of Econometrics 74, 119-147. doi:10.1016/0304-4076(95)01753-4
 
 

 
最受欢迎的见解
 
 
 
 
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原文链接：http://tecdat.cn/?p=9368
 
原文出处：拓端数据部落公众号
 
 

 
自从Sims（1980）发表开创性的论文以来，向量自回归模型已经成为宏观经济研究中的关键工具。这篇文章介绍了VAR分析的基本概念，并指导了简单模型的估算过程。 
 
 
 
单变量自回归
 
 
VAR代表向量自回归。为了理解这意味着什么，让我们首先来看一个简单的单变量（即仅一个因变量或内生变量）自回归（AR）模型，其形式为yt=a1yt−1+et。 
 
 
 
 
平稳性
 
 
在估算此类模型之前，应始终检查所分析的时间序列是否稳定，即它们的均值和方差随时间变化是恒定的，并且不显示任何趋势行为。 
 
 
有一系列统计检验，例如Dickey-Fuller，KPSS或Phillips-Perron检验，以检验序列是否稳定。另一种非常常见的做法是绘制序列并检查其是否围绕恒定的平均值（即水平线）移动。如果是这种情况，它很可能是稳定的。 
 
 
自回归滞后模型
 
 
 
 
像AR（p）模型一样，仅凭其自身的滞后对宏观经济变量进行回归可能是一种限制性很大的方法。通常，更合适的假设是还有其他因素。通过包含因变量的滞后值以及其他（即，外生）变量的同期和滞后值的模型来实现这种想法。同样，这些外生变量应该是稳定的。对于内生变量yt和外生变量xt例如自回归分布滞后或ADL，模型可以写成
 
 
 
 

  yt=a1yt−1+b0xt+b1xt−1+et.
 
 
 
 
 
这种ADL模型的预测性能可能会比简单的AR模型更好。但是，如果外生变量也依赖于内生变量的滞后值怎么办？这意味着xt也是内生的，还有进一步的空间可以改善我们的预测。
 
 
 
 
向量自回归模型
 
 
 因此，如上所述，VAR模型可以重写为一系列单独的ADL模型。实际上，可以通过分别估计每个方程来估计VAR模型。
 
 
标准VAR模型的协方差矩阵是对称的，即，对角线右上角的元素（“上三角”）将对角线左下角的元素（“下三角”）镜像。这反映了这样一种想法，即内生变量之间的关系仅反映相关性，并且不允许做出因果关系的陈述，因为在每个方向上的影响都是相同的。 
 
 
在所谓的结构化 VAR（SVAR）模型的背景下分析了同时因果关系，或更确切地说，是变量之间的结构关系，该模型对协方差矩阵施加了限制 。 
 
 
在本文中，我考虑VAR（2）过程。 
 
 
此示例的人工样本是在R中生成的
 
 
set.seed(123) # 由于可复制性的考虑，重置随机数发生器

# 生成样本
t <- 200 # 时间序列观察数
k <- 2 # 内生变量数
p <- 2 # 滞后阶数

# 生成系数矩阵
A.1 <- matrix(c(-.3, .6, -.4, .5), k) # 滞后系数矩阵1
A.2 <- matrix(c(-.1, -.2, .1, .05), k) # 滞后系数2
A <- cbind(A.1, A.2) # 系数矩阵

# 生成序列

series <- matrix(0, k, t + 2*p) # 带有0的原始序列
for (i in (p + 1):(t + 2*p)){ # 生成e ~ N(0,0.5)的序列
  series[, i] <- A.1%*%series[, i-1] + A.2%*%series[, i-2] + rnorm(k, 0, .5)
}

series <- ts(t(series[, -(1:p)])) # 转换为时间序列格式
names <- c("V1", "V2") # 重命名变量

plot.ts(series) # 绘制序列
 
 
 
 
 
 
 
 
估算值
 
 
简单VAR模型的参数和协方差矩阵的估计很简单。
 
 
为了估计VAR模型，加载并指定数据（y）和 模型。 
 
 
 
 
 比较
 
 
VAR分析中的一个中心问题是找到滞后的阶数，以产生最佳结果。模型比较通常基于信息标准，例如AIC，BIC或HQ。通常，由于是小样本预测，AIC优于其他标准。但是，BIC和HQ在大型样本中效果很好 。
 
 
可以计算标准信息标准以找到最佳模型。在此示例中，我们使用AIC：
 
 
 通过查看，summary我们可以看到AIC建议使用2的阶数。
 
 
summary(var.aic)
 
 
## 
## VAR Estimation Results:
## ========================= 
## Endogenous variables: Series.1, Series.2 
## Deterministic variables: none 
## Sample size: 200 
## Log Likelihood: -266.065 
## Roots of the characteristic polynomial:
## 0.6611 0.6611 0.4473 0.03778
## Call:
## VAR(y = series, type = "none", lag.max = 5, ic = "AIC")
## 
## 
## Estimation results for equation Series.1: 
## ========================================= 
## Series.1 = Series.1.l1 + Series.2.l1 + Series.1.l2 + Series.2.l2 
## 
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## Series.1.l1 -0.19750    0.06894  -2.865  0.00463 ** 
## Series.2.l1 -0.32015    0.06601  -4.850 2.51e-06 ***
## Series.1.l2 -0.23210    0.07586  -3.060  0.00252 ** 
## Series.2.l2  0.04687    0.06478   0.724  0.47018    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## 
## Residual standard error: 0.4638 on 196 degrees of freedom
## Multiple R-Squared: 0.2791,  Adjusted R-squared: 0.2644 
## F-statistic: 18.97 on 4 and 196 DF,  p-value: 3.351e-13 
## 
## 
## Estimation results for equation Series.2: 
## ========================================= 
## Series.2 = Series.1.l1 + Series.2.l1 + Series.1.l2 + Series.2.l2 
## 
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## Series.1.l1  0.67381    0.07314   9.213  < 2e-16 ***
## Series.2.l1  0.34136    0.07004   4.874 2.25e-06 ***
## Series.1.l2 -0.18430    0.08048  -2.290   0.0231 *  
## Series.2.l2  0.06903    0.06873   1.004   0.3164    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## 
## Residual standard error: 0.4921 on 196 degrees of freedom
## Multiple R-Squared: 0.3574,  Adjusted R-squared: 0.3443 
## F-statistic: 27.26 on 4 and 196 DF,  p-value: < 2.2e-16 
## 
## 
## 
## Covariance matrix of residuals:
##          Series.1 Series.2
## Series.1  0.21417 -0.03116
## Series.2 -0.03116  0.24154
## 
## Correlation matrix of residuals:
##          Series.1 Series.2
## Series.1    1.000   -0.137
## Series.2   -0.137    1.000
 
 
仔细观察结果，我们可以将真实值 与模型的参数估计值进行比较：
 
 
# 真实值
A
##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,] -0.3 -0.4 -0.1 0.10
## [2,]  0.6  0.5 -0.2 0.05
# Extract coefficients, standard errors etc. from the object
# produced by the VAR function
est_coefs <- coef(var.aic)

# 仅提取两个因变量的系数，并将它们组合为一个矩阵

# 输出四舍五入的估计值
round(est_coefs, 2)
##      Series.1.l1 Series.2.l1 Series.1.l2 Series.2.l2
## [1,]       -0.20       -0.32       -0.23        0.05
## [2,]        0.67        0.34       -0.18        0.07
 
 
所有估计值都有正确的符号，并且相对接近其真实值。 
 
 
 
 
脉冲响应
 
 
一旦我们确定了最终的VAR模型，就必须解释其估计的参数值。由于VAR模型中的所有变量都相互依赖，因此单个参数值仅提供 有限信息。为了更好地了解模型的动态行为，使用了脉冲响应（IR）。可以绘制响应变量的轨迹，产生在许多宏观论文中都可以找到的那些波浪曲线。
 
 
在下面的示例中，我们想知道受到冲击后序列2的行为。指定了我们想要脉冲响应的模型和变量后，我们将时间范围设置n.ahead为20。该图给出了序列2的响应。 
 
 
# 计算脉冲响应

# 绘制脉冲响应
plot(ir.1)
 
 
 
 
 
 
请注意，正交选项很重要，因为它说明了变量之间的关系。在我们的示例中，我们已经知道不存在这样的关系，因为真正的方差-协方差矩阵（或简称协方差矩阵）在非对角元素中是对角为零的对角线。但是，由于具有200个观测值的有限时间序列数据限制了参数估计的精度，因此协方差矩阵的非对角元素具有正值，这意味着 非零同时效应。为了在IR中排除这种情况，我们设置了ortho = FALSE。结果是，脉冲响应在周期0中从零开始。 也可以尝试另一种方法并进行设置ortho = TRUE，那么绘图从零开始。 
 
 
 要了解这一点，还可以计算并绘制累积脉冲响应函数，以了解 总体长期影响：
 
 
# 计算脉冲响应

# 绘图
plot(ir.2)
 
 
 
 
 
 
我们看到，尽管序列2对序列1中的 反应在某些时期是负面的，但总体效果却是显着正面。
 
 

 
 
 
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