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  • 风险模型VaR模型2

    千次阅读 2018-08-14 16:30:55
    风险模型VaR模型1中,我为大家介绍了什么是VaR,如何求解VaR—利用收益率RRR的分布函数或分布律。今天我将为大家介绍如何求解VaR—如何求解收益率RRR的分布函数或分布律。 1.方差—协方差法 假定RRR服从某一...

      在风险模型—VaR模型1中,我为大家介绍了什么是VaR,如何求解VaR—利用收益率R的分布函数或分布律。今天我将为大家介绍如何求解VaR—如何求解收益率R的分布函数或分布律。

    1.方差—协方差法

      假定不管是过去的收益率R还是未来的收益率R,都是独立同分布的。所以方差—协方差法借助历史数据来估计未来收益率R的分布。而且,方差—协方差法事先假定R服从某一具体分布,如正态分布、对数正态分布等。具体步骤如下:
    (1)收集数据
    ①确定持有期T:即根据R的定义(未来持有期T的收益率),确定我们是要收集日收益率、周收益率还是年收益率等等;
    ②确定观察期:即确定我们是要收集多长时间里的收益率数据,观察期和持有期共同确定了我们收集数据的个数。

    (2)计算R
    ①确定置信水平p:根据需求确定;
    ②参数估计:我们已经假定了R服从某一具体分布,但是该分布函数的所有参数还是未知的,如,正态分布的均值μ,方差σ2;指数分布的λ;均匀分布的ab等。假如现在我们收集了n个收益率R的数据:Rii=1,2n,那么我们可用这些历史数据来估计参数,具体的估计方法有矩估计法、极大似然估计法等,就不具体阐述了;
    ③计算R:通过参数估计,我们获得了R的概率密度函数fx和分布函数Fx。根据R的定义(置信水平p下,未来持有期T的最小收益率),用数学语言表示:

    Rfxdx=FR=1p

    则我们要找的R等于:R的概率分布的下分位数z1p。特殊分布可通过查表求得该下分位数z1p

    (3)计算VaR
    ①计算绝对VaR:根据公式,

    VaR=V0R

    因为V0已知,R已求出,所以代入公式即可;
    ②计算相对VaR:根据公式,
    VaR=V0ERV0R

    这里的ER可由样本均值来估计,即:
    ER=1ni=1nRi

    也可通过概率密度函数来计算,即:
    ER=+xfxdx

    因为V0已知,ERR已求出,所以代入公式即可。

    (4)案例
    基金A的期初价值为V0=1000,假定其服从正态分布,根据收集到的历史收益率(持有期为10天),估计出R~N0.1,0.04。假定置信水平p=99%,则:

    Φ(R0.10.2)=1%,

    R0.10.2=z0.01通过查表,z0.01=2.33

    R0.10.2=2.33

    R=0.366

    所以,VaR=1000×0.366=366

    计算结果表明:在未来10天,期初价值为1000万的基金A的绝对损失大于366万的概率不超过1%。

    2.历史模拟法

      同样假定不管是过去的收益率R还是未来的收益率R,都是独立同分布的。所以历史模拟法同样借助历史数据来估计未来收益率R的分布。但不同的是,历史模拟法不事先假定R的具体分布,而将R看作离散型随机变量。具体步骤如下:
    (1)收集数据
    ①确定持有期T:即根据R的定义(未来持有期T的收益率),确定我们是要收集日收益率、周收益率还是年收益率等等;
    ②确定观察期:即确定我们是要收集多长时间里的收益率数据,观察期和持有期共同确定了我们收集数据的个数。

    (2)计算R
    ①确定置信水平p:根据需求确定;
    ②计算R:假如现在我们收集了n个收益率R的数据:Rii=1,2n。相当于分布律如下,

    PR=Ri=1ni=1,2n

    根据R的定义(置信水平p下,未来持有期T的最小收益率),用数学语言表示:
    RiRPR=Ri=1p

    联立两个式子,我们知道:将Ri从小到大排序,第n1p个数便是要找的R。若n1p不为整,则四舍五入。

    (3)计算VaR
    ①计算绝对VaR:根据公式,

    VaR=V0R

    因为V0已知,R已求出,所以代入公式即可;
    ②计算相对VaR:根据公式,
    VaR=V0ERV0R

    这里的ER由样本均值来估计,即:
    ER=1ni=1nRi

    因为V0已知,ERR已求出,所以代入公式即可。

    (4)案例
    基金A的期初价值为V0=1000,共收集到254个历史收益率(持有期为1天),将其从小到大排序。假定置信水平p=95%,则R为第254×5%=12.713 个数(假设第13个数的值为0.354),所以,

    VaR=1000×0.354=354

    计算结果表明:在95%置信水平下,期初价值为1000万的基金A未来1天的绝对损失不超过354万。

    3.蒙特卡罗模拟法

      当然也假定不管是过去的收益率R还是未来的收益率R,都是独立同分布的。但不同的是,蒙特卡罗模拟法事先假定该资产或资产组合的市场价值服从某一具体的随机过程。我们这里以几何布朗运动为例给大家阐述一下:
      假定基金A的价值波动满足几何布朗运动,单位时间的期望收益率为μ,单位时间的标准差为σ,则有:

    dVt=μVtdt+σVtεdt

    其中Vt为时刻t的市场价值,ε是随机数,且ε~N0,1
    将式①离散化:
    ΔVt=μVtΔt+σVtεΔt

    我们将持有期T看做是m个小时间段累积起来的,且有Δt=Tm基金A的期初值为V0,那么经过1个Δt后的价值为:
    V0+Δt=V0+ΔV0=V0+μV0Δt+σV0εΔt

    那么经过2个Δt后的价值为:
    V0+2Δt=V0+Δt+ΔV0+Δt=V0+Δt+μV0+ΔtΔt+σV0+ΔtεΔt

    依此类推,经过持有期TmΔt)后的价值为:
    V0+mΔt=V0+(m1)Δt+ΔV0+(m1)Δt

    其中V0+mΔt=VT。需要注意的是,上述推导过程中的ε是随机数,也就是说m个式子中的ε代表的不是同一个值。

      根据推导过程,我们发现只要依次求出V0+ΔtV0+2ΔtV0+(m1)Δt就可求出V0+mΔtVT。求解过程中涉及到V0TmΔtμσε
    V0T:已知;
    m:根据自身需求确定;
    Δt:根据公式Δt=Tm确定;
    μ:表示单位时间收益率的期望(单位时间可以为1小时、1天等),通过历史收益率数据估计得到;
    σ:表示单位时间收益率的标准差(单位时间可以为1小时、1天等),通过历史收益率数据估计得到;
    ε:生成随机序列εii=1,2,,m
    这样,就生成了VT的一种可能值。

      对ε模拟k次,我们就能得到VTk种可能值VTjj=1,2,,k
      在置信水平p下,VT的最小值VT:将VTj从小到大排序,第k1p个数便是VT。(该方法与历史模拟法异曲同工)
      根据绝对VaR的公式:

    VaR=V0VT

    V0已知,VT已求出,代入公式即可。
      根据相对VaR的公式:
    VaR=E(VT)VT

    可根据VTjj=1,2,,k估计E(VT)
    E(VT)=1kj=1kVTj

    V0已知,E(VT)VT已求出,代入公式即可。

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  • 风险模型VaR模型1

    千次阅读 2018-08-09 20:12:36
    风险模型VaR模型 VaR,Value-at-Risk 的缩写。直译过来,便是“在险价值”或“风险价值”;明确定义的话,便是“在市场正常波动下,给定置信水平ppp,某一金融资产或资产组合在未来持有期T内可能遭受的最大损失值...

    1.VaR是什么?

      VaR,Value-at-Risk 的缩写。直译过来,便是“在险价值”或“风险价值”;明确定义的话,便是“在市场正常波动下,给定置信水平p,某一资产或资产组合在未来持有期T内可能遭受的最大损失值”,用数学的语言描述:

    PXVaR=1p,①

    其中X:该资产或资产组合在未来持有期T内的损益,为随机变量。通常VaR为正,X可正可负,正代表盈利,负代表亏损。

      例:某基金公司在2008年8月8日公布,置信水平为99%,持有期为10天的基金A的VaR为3600万元,可为以下三种等价描述:
    (1)基金A在未来10天的损失超过3600万的概率小于1%;
    (2)该基金公司以99%的概率作出保证:基金A在未来10天的损失不超过3600万;
    (3)该基金在未来的100天有1天的损失可能会超过3600万。

    2.如何求解VaR?

      根据VaR的定义(式①),我们的第一反应:找到损益X的分布函数或分布律,就可解出VaR。但是,实际运用中,我们更多的是通过收益率的分布函数或分布律来求解(至于为什么,请大家思考下)。那么收益率跟VaR的关系是什么呢?

      假设某资产或资产组合期初的市场价值为V0。预测经过未来的持有期T,期末的市场价值为VT(随机变量)。在置信水平p下,期末的市场价值最低可能为VT。通常大家觉得该VaR应表示为:

    VaR=V0VT,②

    式②称为绝对VaR。
    若以VT的期望为参照来表示:
    VaR=EVTVT,③

    式③称为相对VaR。
    又因为VT可以表示为:
    VT=V01+R,④

    其中R为未来持有期T的收益率,为随机变量。
    VT可以表示为:
    VT=V01+R,⑤

    其中R为置信水平p下,未来持有期T的最小收益率。
    代入式②、式③:
    VaR=V0R,⑥

    VaR=V0ERV0R。⑦

    那么,只要找到R的分布函数或分布律,就能求解出VaR了,具体方法见下一章。

    展开全文
  • 条件风险值_CVaR_模型的理论研究_蒋敏.caj
  • VaR风险耦合理论模型_数值模拟技术及应用研究_何旭彪.caj
  • 提出了一种新的动态VaR和CVaR风险测度方法。 该方法旨在获取具有长期依赖性的波动时间序列的风险度量的预测估计。 该方法基于异方差时间序列模型。 FIGARCH模型用于波动率建模和预测。 该模型被简化为无穷级的AR模型...
  • 基于ARCH族模型的上证A股指数VaR风险预测分析,贾胜如,,VaR方法作为当前国际金融界广泛认可的一种度量金融风险的工具,本文用当前金融领域刻画条件方差最典型的GARCH模型及其最新衍生模型
  • 单从外观上看,VAR&...通过vars包可以调用向量自回归模型,通过PerformanceAnalytics包的VaR函数可以调用风险价值模型模型简介 library(vars) 向量自回归模型(Vector Autoregression),简称VAR模型,是...

    单从外观上看,VAR&VaR两个模型很容易混淆,但就模型方法和用处两者截然不同,R语言作为数据分析的有力工具,其函数包库中包含各种各样的统计模型。通过vars包可以调用向量自回归模型,通过PerformanceAnalytics包的VaR函数可以调用风险价值模型。

    模型简介

    • library(vars)
      • 向量自回归模型(Vector Autoregression),简称VAR模型,是一种常用的计量经济模型,由克里斯托弗·西姆斯(Christopher Sims)提出。VAR模型是用模型中所有当期变量对所有变量的若干滞后变量进行回归。VAR模型用来估计联合内生变量的动态关系,而不带有任何事先约束条件。它是AR模型的推广,此模型目前已得到广泛应用。
    • library(PerformanceAnalytics)=>VaR()
      • 风险价值模型(Value at Risk),通常被称作VaR方法。VaR按字面的解释就是“处于风险状态的价值”,即在一定置信水平和一定持有期内,某一金融资产或其组合在未来资产价格波动下所面临的最大损失额。JP.Morgan定义为:VaR是在既定头寸被冲销(be neutraliged)或重估前可能发生的市场价值最大损失的估计值;而Jorion则把VaR定义为:“给定置信区间的一个持有期内的最坏的预期损失”。

    向量自回归模型(Vector Autoregression)

    VAR模型R语言实例:

    library(vars)
    library(astsa) #数据包
    x = cbind(cmort, tempr, part)
    plot.ts(x , main = "", xlab = "")

    829106-20160605231428383-1668291478.png

    summary(VAR(x, p=1, type="both"))
    ## 
    ## VAR Estimation Results:
    ## ========================= 
    ## Endogenous variables: cmort, tempr, part 
    ## Deterministic variables: both 
    ## Sample size: 507 
    ## Log Likelihood: -5116.02 
    ## Roots of the characteristic polynomial:
    ## 0.8931 0.4953 0.1444
    ## Call:
    ## VAR(y = x, p = 1, type = "both")
    ## 
    ## 
    ## Estimation results for equation cmort: 
    ## ====================================== 
    ## cmort = cmort.l1 + tempr.l1 + part.l1 + const + trend 
    ## 
    ##           Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
    ## cmort.l1  0.464824   0.036729  12.656  < 2e-16 ***
    ## tempr.l1 -0.360888   0.032188 -11.212  < 2e-16 ***
    ## part.l1   0.099415   0.019178   5.184 3.16e-07 ***
    ## const    73.227292   4.834004  15.148  < 2e-16 ***
    ## trend    -0.014459   0.001978  -7.308 1.07e-12 ***
    ## ---
    ## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
    ## 
    ## 
    ## Residual standard error: 5.583 on 502 degrees of freedom
    ## Multiple R-Squared: 0.6908,  Adjusted R-squared: 0.6883 
    ## F-statistic: 280.3 on 4 and 502 DF,  p-value: < 2.2e-16 
    ## 
    ## 
    ## Estimation results for equation tempr: 
    ## ====================================== 
    ## tempr = cmort.l1 + tempr.l1 + part.l1 + const + trend 
    ## 
    ##           Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
    ## cmort.l1 -0.244046   0.042105  -5.796 1.20e-08 ***
    ## tempr.l1  0.486596   0.036899  13.187  < 2e-16 ***
    ## part.l1  -0.127661   0.021985  -5.807 1.13e-08 ***
    ## const    67.585598   5.541550  12.196  < 2e-16 ***
    ## trend    -0.006912   0.002268  -3.048  0.00243 ** 
    ## ---
    ## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
    ## 
    ## 
    ## Residual standard error: 6.4 on 502 degrees of freedom
    ## Multiple R-Squared: 0.5007,  Adjusted R-squared: 0.4967 
    ## F-statistic: 125.9 on 4 and 502 DF,  p-value: < 2.2e-16 
    ## 
    ## 
    ## Estimation results for equation part: 
    ## ===================================== 
    ## part = cmort.l1 + tempr.l1 + part.l1 + const + trend 
    ## 
    ##           Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
    ## cmort.l1 -0.124775   0.079013  -1.579    0.115    
    ## tempr.l1 -0.476526   0.069245  -6.882 1.77e-11 ***
    ## part.l1   0.581308   0.041257  14.090  < 2e-16 ***
    ## const    67.463501  10.399163   6.487 2.10e-10 ***
    ## trend    -0.004650   0.004256  -1.093    0.275    
    ## ---
    ## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
    ## 
    ## 
    ## Residual standard error: 12.01 on 502 degrees of freedom
    ## Multiple R-Squared: 0.3732,  Adjusted R-squared: 0.3683 
    ## F-statistic: 74.74 on 4 and 502 DF,  p-value: < 2.2e-16 
    ## 
    ## 
    ## 
    ## Covariance matrix of residuals:
    ##        cmort  tempr   part
    ## cmort 31.172  5.975  16.65
    ## tempr  5.975 40.965  42.32
    ## part  16.654 42.323 144.26
    ## 
    ## Correlation matrix of residuals:
    ##        cmort  tempr   part
    ## cmort 1.0000 0.1672 0.2484
    ## tempr 0.1672 1.0000 0.5506
    ## part  0.2484 0.5506 1.0000
    

    风险价值模型(Value at Risk)

    VaR模型R语言实例:

    library(PerformanceAnalytics)
    data(edhec)
    
    # first do normal VaR calc
    VaR(edhec, p=.95, method="historical")
    ##     Convertible Arbitrage CTA Global Distressed Securities
    ## VaR              -0.01916    -0.0354             -0.018875
    ##     Emerging Markets Equity Market Neutral Event Driven
    ## VaR        -0.044605             -0.006385     -0.02254
    ##     Fixed Income Arbitrage Global Macro Long/Short Equity Merger Arbitrage
    ## VaR               -0.00929     -0.01624          -0.02544        -0.013455
    ##     Relative Value Short Selling Funds of Funds
    ## VaR      -0.013175      -0.07848      -0.021265
    # now use Gaussian
    VaR(edhec, p=.95, method="gaussian")
    ##     Convertible Arbitrage  CTA Global Distressed Securities
    ## VaR           -0.02645782 -0.03471098            -0.0221269
    ##     Emerging Markets Equity Market Neutral Event Driven
    ## VaR      -0.05498927          -0.008761813  -0.02246202
    ##     Fixed Income Arbitrage Global Macro Long/Short Equity Merger Arbitrage
    ## VaR            -0.01900198  -0.02023018       -0.02859264      -0.01152478
    ##     Relative Value Short Selling Funds of Funds
    ## VaR    -0.01493049   -0.08617027    -0.02393888
    # now use modified Cornish Fisher calc to take non-normal distribution into account
    VaR(edhec, p=.95, method="modified")
    ##     Convertible Arbitrage  CTA Global Distressed Securities
    ## VaR           -0.03247395 -0.03380228            -0.0274924
    ##     Emerging Markets Equity Market Neutral Event Driven
    ## VaR      -0.06363081           -0.01134637  -0.02812515
    ##     Fixed Income Arbitrage Global Macro Long/Short Equity Merger Arbitrage
    ## VaR             -0.0246791  -0.01548247       -0.03037494      -0.01486869
    ##     Relative Value Short Selling Funds of Funds
    ## VaR    -0.01926435   -0.07431463    -0.02502852
    # now use p=.99
    VaR(edhec, p=.99)
    ##     Convertible Arbitrage  CTA Global Distressed Securities
    ## VaR            -0.1009223 -0.04847019           -0.06533764
    ##     Emerging Markets Equity Market Neutral Event Driven
    ## VaR       -0.1397195           -0.04404136  -0.06385154
    ##     Fixed Income Arbitrage Global Macro Long/Short Equity Merger Arbitrage
    ## VaR            -0.05850228  -0.02437999       -0.05508705      -0.03630211
    ##     Relative Value Short Selling Funds of Funds
    ## VaR      -0.050531     -0.122236    -0.05500037
    # or the equivalent alpha=.01
    VaR(edhec, p=.01)
    ##     Convertible Arbitrage  CTA Global Distressed Securities
    ## VaR            -0.1009223 -0.04847019           -0.06533764
    ##     Emerging Markets Equity Market Neutral Event Driven
    ## VaR       -0.1397195           -0.04404136  -0.06385154
    ##     Fixed Income Arbitrage Global Macro Long/Short Equity Merger Arbitrage
    ## VaR            -0.05850228  -0.02437999       -0.05508705      -0.03630211
    ##     Relative Value Short Selling Funds of Funds
    ## VaR      -0.050531     -0.122236    -0.05500037
    # now with outliers squished
    VaR(edhec, clean="boudt")
    ##     Convertible Arbitrage  CTA Global Distressed Securities
    ## VaR            -0.0192821 -0.03380228           -0.02281122
    ##     Emerging Markets Equity Market Neutral Event Driven
    ## VaR      -0.05335613          -0.006583541  -0.02588255
    ##     Fixed Income Arbitrage Global Macro Long/Short Equity Merger Arbitrage
    ## VaR            -0.01947099  -0.01612116       -0.02997413      -0.01255334
    ##     Relative Value Short Selling Funds of Funds
    ## VaR     -0.0147671   -0.07881339    -0.02474761
    # add Component VaR for the equal weighted portfolio
    VaR(edhec, clean="boudt", portfolio_method="component")
    ## $MVaR
    ##            [,1]
    ## [1,] 0.01206124
    ## 
    ## $contribution
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    ##       Emerging Markets  Equity Market Neutral           Event Driven 
    ##           3.044882e-03           3.255042e-04           1.633369e-03 
    ## Fixed Income Arbitrage           Global Macro      Long/Short Equity 
    ##           1.122597e-03           9.551128e-04           1.725166e-03 
    ##       Merger Arbitrage         Relative Value          Short Selling 
    ##           5.594788e-04           9.422577e-04          -2.647415e-03 
    ##         Funds of Funds 
    ##           1.756359e-03 
    ## 
    ## $pct_contrib_MVaR
    ##  Convertible Arbitrage             CTA Global  Distressed Securities 
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    ## Fixed Income Arbitrage           Global Macro      Long/Short Equity 
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    ##         Funds of Funds 
    ##            0.145620091

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  • VAR模型风险计量分析简单整理

    千次阅读 2019-03-04 23:36:18
    最近帮朋友研究一个海龟期货模型,一直以为模型模型,原来该模型是一种策略,并非模型。在此记录下成长了金融期货的知识,满满的干货,简单记录方便日后回顾。 data1=read_excel("检验(0.2,0).xlsx&...

    最近帮朋友研究一个海龟期货模型,一直以为模型是模型,原来该模型是一种策略,并非模型。在此记录下成长了金融期货的知识,满满的干货,简单记录方便日后回顾。
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    data1=read_excel("检验(0.2,0).xlsx")
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    mean.fun (y,1:500)
    
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         n <- sd(y[i])
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    mean.fun (y,1:500)
    
    air.boot <- boot(data, mean.fun, R = 500)
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        t=data1$时间
        str(data)
        length(y)
        mean(y)
        mean.fun <- function(d, i) 
        {    m <- mean(y[i])
             n <- sd(y[i])
             v <- (n-1)*var(y[i])/n^2
             return(c(m,n,v))
        }
        
        mean.fun (y,1:500)
        
        air.boot <- boot(data, mean.fun, R = 500)
        print(air.boot)
        
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        str(data1)
        data=data1[1:3]
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        y=data1$每日收益率
        t=data1$时间
        str(data)
        length(y)
        mean(y)
        mean.fun <- function(d, i) 
        {    m <- mean(y[i])
             n <- sd(y[i])
             v <- (n-1)*var(y[i])/n^2
             return(c(m,n,v))
        }
        
        mean.fun (y,1:500)
        
        air.boot <- boot(data, mean.fun, R = 500)
        print(air.boot)
        
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        str(data1)
        data=data1[1:3]
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        y=data1$每日收益率
        t=data1$时间
        str(data)
        length(y)
        mean(y)
        mean.fun <- function(d, i) 
        {    m <- mean(y[i])
             n <- sd(y[i])
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             return(c(m,n,v))
        }
        
        mean.fun (y,1:500)
        
        air.boot <- boot(data, mean.fun, R = 500)
        print(air.boot)
        
        data1=read_excel("盈亏分析 (1,1)策略.xlsx")
        
        str(data1)
        data=data1[1:3]
        data1=data[-2]
        
        y=data1$每日收益率
        t=data1$时间
        str(data)
        length(y)
        mean(y)
        mean.fun <- function(d, i) 
        {    m <- mean(y[i])
             n <- sd(y[i])
             v <- (n-1)*var(y[i])/n^2
             return(c(m,n,v))
        }
        
        mean.fun (y,1:500)
        
        air.boot <- boot(data, mean.fun, R = 500)
        print(air.boot)
    
    
    
    收集很多的Bootstrap模型的网站如下:
    https://blog.csdn.net/yujunbeta/article/details/24142545
    
    https://blog.csdn.net/yujunbeta/article/details/9255965
    
    https://blog.csdn.net/weixin_43452592/article/details/83893349
    
    http://blog.sina.com.cn/s/blog_5cd2f1e201019dz2.html
    
    https://blog.csdn.net/u013421629/article/details/73124004【直方图添加曲线】
    https://blog.csdn.net/yucan1001/article/details/13169687
    https://blog.csdn.net/it_beecoder/article/details/83090689
    
    https://blog.csdn.net/kmd8d5r/article/details/79366648
    
    par(mar=c(5,5,4,5)+0.1)
    bar <- barplot(absolute,ylab="总数",col="skyblue",col.axis="skyblue",col.lab="skyblue")
    mtext(LETTERS[1:8],side=1,line=1,at=bar,col="black")
    #mtext(" ",side=1,line=3,col="black")
    par(new=T)
    plot(bar,cum_per,axes=F,xlab="",ylab="",col="red",type="b")
    axis(4,col="red",col.ticks="red",col.axis="red")
    mtext("累计百分比%",side=4,line=3,col="red")
    title(main = '帕累托图')
    

    意义网站整理如下:
    http://www.cnblogs.com/wuzhitj/p/4363848.html 【累积分布函数:累计概率分布,将多个利润用折线图表示】

    https://blog.csdn.net/qq_19600291/article/details/79165229 【 蒙特卡罗分布】

    https://blog.csdn.net/PyDarren/article/details/79850368

    https://zhuanlan.zhihu.com/p/26517940

    http://www.sohu.com/a/67508574_116235

    https://weibo.com/p/230418659ec1310102wnes

    https://blog.csdn.net/qq_23851075/article/details/52052449

    展开全文
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