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  • 参考博客...导数,是我们最早接触的一元函数中定义的,可以在 xy 平面直角坐标系中方便的观察。当 Δx→0时,P0处的导数就是因变量y在x0处的变化率,反映因变量...

    参考博客https://blog.csdn.net/baishuo8/article/details/81408369和知乎https://www.zhihu.com/question/36301367

    一、导数(derivative)

    这里写图片描述

    这里写图片描述

    导数,是我们最早接触的一元函数中定义的,可以在 xy 平面直角坐标系中方便的观察。当 Δx→0时,P0处的导数就是因变量y在x0处的变化率,反映因变量随自变量变化的快慢;从几何意义来讲,函数在一点的导数值就是过这一点切线的斜率。

    二、偏导数(partial derivative)

    这里写图片描述
    偏导数对应多元函数的情况,对于一个 n元函数 y=f(x1,x2,…,xn),在 ℝn 空间内的直角坐标系中,函数沿着某一条坐标轴方向的导数,就是偏导数。在某一点处,求 xi轴方向的导数,就是将其他维的数值看做常数,去截取一条曲线出来,这条曲线的导数可以用上面的导数定义求。求出来就是此点在这条轴方向上的偏导数。

    三、方向导数 (directional derivative)

    很多时候,仅仅有了坐标轴方向上的偏导数是不够的,我们还想知道任意方向上的导数。函数在任意方向上的导数就是方向导数。而空间中任意方向,是一定可以用坐标轴线性组合来表示的,这就架起了偏导数和方向导数的桥梁:

    x

    x, x

    x

    其中,α是由偏导数定义的向量A 与 我们自己找的单位方向向量 I之间的夹角。

    这里写图片描述

    现在我们来讨论函数在一点沿某一方向的变化率问题.

    定义 设函数在点的某一邻域内有定义.自点引射线.设轴正向到射线的转角为(逆时针方向:0;顺时针方向:0),并设'(+△,+△)为上的另一点且'∈.我们考虑函数的增量(+△,+△)-'两点间的距离的比值.当'沿着趋于时,如果这个比的极限存在,则称这极限为函数在点沿方向的方向导数,记作,即

                                  (1)

    从定义可知,当函数在点的偏导数x、y存在时,函数在点沿着轴正向=轴正向=的方向导数存在且其值依次为x、y,函数在点沿轴负向=轴负向=的方向导数也存在且其值依次为-x、-y.

    关于方向导数的存在及计算,我们有下面的定理.

    定理  如果函数在点是可微分的,那末函数在该点沿任一方向的方向导数都存在,且有

                                                        (2)

    其中轴到方向的转角.

    证  根据函数在点可微分的假定,函数的增量可以表达为

               

    两边各除以,得到

                         

    所以                 

    这就证明了方向导数存在且其值为

                               

    在训练神经网络时,我们都是通过定义一个代价函数cost function),然后通过反向传播更新参数来最小化代价函数,深度神经网络可能有大量参数,因此代价函数是一个多元函数,多元函数与一元函数的一个不同点在于,过多元函数的一点,可能有无数个方向都会使函数减小。引申到数学上,我们可以把山这样的曲面看作一个二元函数z=f(x,y),二元函数是多元函数里最简单的情形,也是易于可视化直观理解的。前面提到一元函数导数的几何意义是切线的斜率,对于二元函数,曲面上的某一点(x0,y0,z0)会有一个切平面,切平面上的无数条直线都是过这一点的切线,这些切线的斜率实际上就是过这一点的无数个方向导数的值,和一元函数一样,方向导数的值实际反映了多元函数在这一点沿某个方向的变化率

    四、梯度 (gradient)与神经网络中的梯度下降

    在上面的方向导数中,
    x

    • A是固定的
    • |I|=1是固定的
    • 唯一变化的就是 α

    当 I与 A 同向的时候,方向导数取得最大,此时我们定义一个向量 ,其方向就是 A的方向,大小就是 A的模长,我们称这个向量就是此点的梯度。沿着梯度方向,就是函数增长最快的方向,那么逆着梯度方向,自然就是函数下降最快的方向。由此,我们可以构建基于梯度的优化算法。正如下山必然有一条最陡峭、最快的路径,方向导数也有一个最小值,在最小值对应的方向上,函数下降最快,而这个方向其实就是梯度的反方向。对于神经网络,在方向导数最小的方向更新参数可以使代价函数减小最快,因此梯度下降法也叫最速下降法

    向量(fx(x0,y0),fy(x0,y0))就是函数f(x,y)在点P0(x0,y0)的梯度,由此引出梯度的概念,梯度就是一个向量,这个向量的每个元素分别是多元函数关于每个自变量的偏导数。方向导数的值最大,多元函数增加最快,也就是说梯度的方向就是函数增加最快的方向,方向导数的值最小,多元函数减小最快,也就是在梯度相反的方向上,方向导数最小。

    1.梯度的定义

    与方向导数有关联的一个概念是函数的梯度.

    定义 设函数在平面区域内具有一阶连续偏导数,则对于每一点,都可定出一个向量

                                 

    这向量称为函数=在点的梯度,记作,即

                         =

    如果设是与方向同方向的单位向量,则由方向导数的计算公式可知

               

    这里,(^,e)表示向量的夹角.由此可以看出,就是梯度在射线上的投影,当方向与梯度的方向一致时,有

                           (^,) 1,

    从而有最大值.所以沿梯度方向的方向导数达到最大值,也就是说,梯度的方向是函数在这点增长最快的方向.因此,我们可以得到如下结论:

    函数在某点的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值.

    由梯度的定义可知,梯度的模为

                        

    不为零时,那么轴到梯度的转角的正切为

                                     

    我们知道,一般说来二元函数在几何上表示一个曲面,这曲面被平面z=c(c是常数)所截得的曲线的方程为

                                    

    这条曲线面上的投影是一条平面曲线(图8―10),它在平面直角坐标系中的方程为

                                    

    对于曲线上的一切点,已给函数的函数值都是,所以我们称平面曲线为函数的等高线.

    由于等高线上任一点处的法线的斜率为

                             ,

    所以梯度                       

    为等高线上点处的法向量,因此我们可得到梯度与等高线的下述关系:函数在点的梯度的方向与过点的等高线在这点的法线的一个方向相同,且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线(图8―10),而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数.这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向.

    2、解释方向导数只有一个最小值:

    具有一阶连续偏导数,意味着可微。可微意味着函数f(x,y) 在各个方向的切线都在同一个平面上,也就是切平面。所有的切线都在一个平面上,就好像光滑的笔直的玻璃上,某一点一定有且只有一个最陡峭的地方,因为方向导数是切线的斜率,方向导数最大也就意味着最陡峭。

    3、解释最大值在哪个方向?

    最大值的方向是梯度的方向。演示参照https://www.matongxue.com/madocs/222.html

    五、小结

    1. 导数、偏导数和方向导数衡量的都是函数的变化率;
    2. 梯度是以多元函数的所有偏导数为元素的向量,代表了函数增加最快的方向;
    3. 在梯度反方向上,多元函数的方向导数最小,函数减小最快;在神经网络中,在梯度反方向更新参数能最快使代价函数最小化,所以梯度下降法也叫最速下降法。

     

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  • 天线基础与HFSS天线设计流程

    万次阅读 多人点赞 2019-04-28 15:10:10
    1. 方向图 2. 辐射强度 3.方向性系数 4. 效率 5. 增益 6. 输入阻抗 7. 天线的极化 HFSS天线设计流程 2.1 HFSS天线设计流程概述 1.设置求解类型 2.创建天线的结构模型 3.设置边界条件【Assign Boundary...

    目录

    天线基础

    1.1 电基本振子的辐射场

    1. 近区场

    2. 远区场

    1.2 天线的性能参数

    1. 方向图

    2. 辐射强度

    3.方向性系数

    4. 效率

    5. 增益

    6. 输入阻抗

    7. 天线的极化

     

    HFSS天线设计流程

    2.1 HFSS天线设计流程概述

    1.设置求解类型

    2.创建天线的结构模型

    3.设置边界条件【Assign Boundary】

    4. 设置激励条件

    5. 设置求解参数

    6. 运行求解分析

    7. 查看求解结果

    8. Optimetrics优化设计

    天线基础

    天线的任务是将导行波变换为向空间定向辐射的电磁波,或将在空间传播的电磁波变为微波设备中的导行波,因此天线有两个基本作用:一个是有效地辐射或接收电磁波,另一个是把无线电波能量转换为导行波能量。

    天线是发射和接收电磁波的一个重要的无线电设备。

    天线辐射的原理:当导线上有交变电流通过时,就可以发生电磁波的辐射,辐射的能力与导线的长度和形状有关。若两条导线距离很近,电场被束缚在两条导线之间,那么辐射很微弱。若将两条导线张开,电场就散播在周围的空间内,那么辐射增强。当导线的长度L远小于波长λ时,辐射很微弱;当导线的长度L增大到可与波长λ相比拟时,导线上的电流将大大增加,因而就能形成较强的辐射。

    辐射的基本单元有电基本振子和磁基本振子。

     

    1.1 电基本振子的辐射场

    电基本振子又称电流元或者电偶极子,它是一段高频电流直导线,其长度dl<<λ,其截面半径a<<dl,导线上的电流处处等幅同相。

    E为电场强度,单位V/m;H为磁场强度,单位为A/m;下标γ、θ、φ分别表示球坐标系的各个方向分量;ε0为自由空间的介电常数,ε0=1*10-9/36π,单位为F/m;μ0=4π*10-7,单位为H/m;k是自由空间相位常数,k=2π/λ=ω,λ是自然空间波长。

    1. 近区场

    Kr<<1的区域为近区

    近区电场与磁场存在的相位差,于是玻印廷矢量(电磁场中的能流密度矢量)的平均值为:

    由于能量在电场和磁场以及场和源之间交换而没有能量辐射,因此近区场也称为感应场。

    2. 远区场

    Kr>>1的区域为近区

    在远区内,电场只有Eθ分量,磁场只有Hφ分量,且电场和磁场的相位相同。此时,坡印廷矢量的平均值为:

    由于磁场波沿着球坐标系的r方向向外辐射,因此远区场也称为辐射场。

    对于电基本振子的辐射场而言,电场、磁场和传播方向三者相互垂直,在传播方向上电场和磁场的分量为零,故称为横电磁波,即TEM波。而且,电场分量E和磁场分量H的比值为常数,我们将其称为媒质的波阻抗。对于自由空间而言,煤质的波阻抗为:

     

    1.2 天线的性能参数

    1. 方向图

    天线的辐射场在固定距离上随球坐标系的角坐标(ϑ,φ)分布的图形被称为天线的辐射方向图或辐射波瓣图,简称方向图。

    按半功率电平点夹角定义的波束宽度称为半功率波束宽度(HPBW)或者-3dB波束宽度;按主瓣两侧第一个零点夹角定义的波束宽度称为第一零点波束宽度(FNBW),这两个波束宽度都是重要的方向图参数。

     

    2. 辐射强度

    每单位立体角内由天线辐射出的功率称为辐射强度U,单位W/Sr(瓦/立方弧度)。辐射强度可以由下式定义:

    可见,与波印廷幅值S反比于距离的平方不同,辐射强度U与距离无关。

     

     

    3.方向性系数

    天线的方向性系数D是在指远区场的某一球面上天线的辐射强度与平均辐射强度之比,即:

    式中,平均辐射强度U0实际上是辐射功率除以球面积,即:

     

    通常所说的方向性系数指的都是在最大辐射方向上的方向性系数,即:

     

     

    4. 效率

    由于天线系统中存在导体损耗、介质损耗等,因此实际辐射到空间内的电磁波功率要比发射机输送到天线的功率要小。天线效率就是表征天线将输入高频能量转换成无线电波能量的有效程度,定义为天线辐射功率和输入功率的比值。假设分别用Pin和Prad表示天线的输入功率和辐射功率,则天线功率为:

     

     

    5. 增益

    方向性系数是以辐射功率为基点的,没有考虑天线将输入功率转换为辐射功率的效率,为了更完整地描述天线的特性,特以天线的输入功率为基点定义了一个增益。天线增益是表征将输入给它的功率按特定方向辐射的能力,定义为在相同输入功率、相同距离的条件下,天线在最大辐射方向上的功率密度与无方向性天线在该方向上的辐射功率密度的比值。天线增益G可以由下式计算:

    且考虑Pin=Pin0,可以得到:

    G=ηAD

     

     

    6. 输入阻抗

    天线一般都是通过馈线和发射机相连的,天线和馈线的连接处称为天线的输入端,天线的输入端呈现的阻抗值定义为天线的输入阻抗。

     天线作为发射机的负载,它把从发射机得到的功率辐射到空间。这就有一个天线与馈线阻抗匹配的问题,阻抗匹配的程度将直接影响功率传输的效率。在射频微波频段,馈线通常是使用50Ω标准阻抗。所以在设计天线时,需要尽可能地把天线的输入阻抗设计在50Ω,在工作频带内保证尽可能小的驻波比。

    驻波比为馈线上波腹/谷电压。驻波比=1,完全匹配;驻波比=∞,全反射。

     

     

    7. 天线的极化

    天线的极化通常是指天线辐射电磁波的电场的方向,即时变电场矢量端点运动轨迹的形状、取向和旋转方向。根据电场矢量端点轨迹的形状的不同,包括直线、椭圆和圆形,天线极化可分为线极化、椭圆极化和圆极化。

    E1为沿x轴方向的线极化波幅度,E2为沿y轴方向的线极化波幅度,δ为Ey滞后于Ex的相位角。

    若E1=0,则波是沿y轴方向极化的;若E2=0,则波是沿x轴方向极化的。若δ=0且E1=E2,则如图的OA轴方向上线极化的。

    若E1= E2且δ=±90°,则波是圆极化的。当δ=±90°时,波是左旋圆极化的;当δ=-90°时,波是右旋圆极化的。

    轴比(Axial Ratio)是一个表征天线极化的参数,其定义为极化椭圆的长轴和短轴的比值。对于线极化波,轴比为无穷大;对于圆极化波,轴比等于1。

    HFSS天线设计流程

    作为一款功能强大的三维电磁设计软件,HFSS可以位天线设计提供全面的解决方案。使用HFSS可以仿真分析和优化各类天线,精确计算天线的各种性能,包括二维、三维远场和近场辐射方向图、天线的方向性系数、增益、轴比、半功率波瓣宽度、输入阻抗、电压驻波比、S参数以及电流分布特性等

    2.1 HFSS天线设计流程概述

    1.设置求解类型

    共有三种求解类型,分别是模式驱动求解(Driven Modal)、终端驱动求解(Driven Terminal)和本征求解(Eigenmode)。使用HFSS进行天线设计时,可以选择模式驱动求解类型(Driven Modal)或者终端驱动求解类型(Driven Terminal)。模式驱动求解类型是根据导波模式的入射和反射功率来计算S参数矩阵的解,终端驱动求解类型是根据传输线终端的电压和电流来计算S参数矩阵的解。

    2.创建天线的结构模型

    根据天线的初始尺寸和结构,在HFSS模型窗口中创建出天线的HFSS参数化设计模型。另外HFSS也可以直接导入AutoCAD、Pro/E等第三方软件创建的结构模型。

    3.设置边界条件【Assign Boundary

    在HFSS中,导体结构一般设定为理想导体边界条件(PrefectE)或者有限导体边界条件。使用HFSS设计天线时,还必须在辐射体的外侧正确设置辐射便捷条件或则理想匹配层(PMI)边界条件,这样HFSS才可以计算天线的远场区。

    HFSS中定义了许多种边界条件类型,分别是理想导体边界条件(Perfect E)、理想磁边界条件(Perfect H)、有限导体边界条件(Finite Conductivity)、辐射边界条件(Radiation)、对称边界条件(Symmetry)、阻抗边界条件(Impedance)、集总RLC边界条件(Lumped RLC)、无限地平面(Infinite Ground Plane)、主从边界条件(Master and Slave)、理想匹配层(PML)和分层阻抗边界条件(Layered Impedance)。天线设计中,最常用的边界条件是理想导体边界条件(Perfect E)、有限导体边界条件Finite Conductivity)、辐射边界条件(Radiation)和理想匹配层(PML)。

    a. 理想导体边界条件

    在HFSS中,任何与背景相关联的物体表面以及材质为理想电导体(Pec)的物体表面都会被自动设置为理想导体边界。这种边界条件的电场矢量(E-Field)垂直于物体表面。

    b. 有限导体边界条件

    实际天线结构的导体部分通常都是使用良导体,如金属铜。使用有限导体边界,可以实现把一个平面的边界条件设置为金属铜、金属铝等良导体。

    c. 辐射边界条件

    辐射边界条件也称为吸收边界条件(Absorbing Boundary Condition, ABC),用于模拟开放的有限空间。系统在辐射边界处吸收了电磁波,本质上可以把边界看成是延伸到空间无限远。

    在使用HFSS进行天线设计时,必须定义辐射边界条件或者理想匹配层,用以模拟开放的自由空间。在设计中只有定义了辐射边界条件或者辐射匹配层,软件才会自动分析计算天线的远区场。

    使用辐射边界条件作为自由空间的近似,这种近似的准确程度取决于波的传播方向和辐射边界表面之间的态度,以及辐射体与边界表面之间的距离。若用θ表示波的传播方向和辐射边界表面的之间的角度,当波的传播方向与辐射边界表面正交,即θ=0°时,电磁能量几乎全部被边界吸收,反射系数最小,此时,仿真计算结果最准确;当波的传播方向与辐射边界表面平行,即θ=90°时,电磁能量几乎全部被辐射边界反射回去,此时仿真计算结果的准确度最差。当辐射边界和偶极子天线之间的距离大于λ/4时,回波损耗S11分析结果基本一致,不再有大的波动。

    d. 理想匹配层(PML

    在天线设计中,除了可以使用辐射边界条件来模拟开放的自由空间之外,也可以选择使用理想匹配层来模拟开放的自由空间。

    理想匹配层(Perfectly Matched Layers, PMI)是能够完全吸收入射电磁波的假想的各项异性材料边界,其有两种典型的应用,一是用于外场问题中的自由空间截断,二是用于导波问题中的吸收负载。对于自由空间截断的情况,PML表面能够完全吸收入射来的电磁波,其作用类似于辐射边界条件。和辐射边界条件相比,理想匹配层由于能够完全吸收入射的电磁波,零反射,因此计算结果更精确。另外,理想匹配层表面可以距离辐射体更近,差不多1/10个波长即可,而辐射边界条件和辐射体之间的距离一般需要大于1/4个工作波长。

    4. 设置激励条件

    在HFSS中,激励是一种定义在三维物体表面或者二维平面物体上的激励源,这种激励源可以是电磁场、电压源、电流源或者电荷源。HFSS中定义了多种激励方式,主要有波端口激励(Wave Port)、集总端口激励(Lumped Port)、Floquet端口激励(Floquet Port)、入射波激励(Incident Wave)、电压源激励(Voltage Source)、电流源激励(Current Source)和磁偏置激励(Magnetic Bias)。

    天线必须通过传输线或者波导传输信号,天线与传输线或者波导的连接处即为馈电面或者称为激励端口。天线设计中馈电面的激励方式主要有两种,分别是波端口激励(Wave Port)和集总端口激励(Lumped Port)。其中,如果端口平面与背景相接触,激励方式需要设置为波端口激励;如果端口平面在模型内部,激励方式则需要设置为集总端口激励。

    a.波端口激励

    与背景接触到的端口平面需要设置为波端口激励。在设置波端口激励是,需要设置积分校准线(模式驱动求解类型)或终端线(终端驱动求解模式)、S参数归一化阻抗值和端口平移距离等信息。

    对于模式驱动求解类型,在设置波端口激励方式时,需要设定端口的积分线(Integration Line)。设定积分线的目的有两个,一是确定电场的方向,积分线的箭头指向即为电场的正方向;二是设定端口电压的积分路径,用于计算端口电压等参数。

    对于终端驱动求解类型而言,在设置波端口激励方式时需要设定端口的终端线(Terminal Line),通过终端线上的节点电流和电压来计算端口的阻抗和S参数矩阵。

    b.集总端口激励

    集总端口激励(Lumped Port)类似于传统的波端口激励,与波端口激励不同的是集总端口激励需要设置在物体模型内部,且用户必须设定端口阻抗。集总端口直接在端口处计算S参数,设定的端口阻抗为集总端口上S参数的参考阻抗。集总端口不能进行端口平移操作。

    集总端口的设置和波端口类似,需要设置积分线(模式驱动求解类型)或终端线(终端驱动求解类型)以及端口阻抗。与波端口激励不同的是,集总端口边缘没有与导体或其他端口相触的部分,默认边界条件是理想磁边界(Perfect H),因此不存在电场耦合到波端口边缘影响传输线特性的问题。对于 微带线、带状线等半开放类的结构,集总端口平面的大小只需与微带线或带状线的宽度相同即可。

    5. 设置求解参数

    HFSS软件采用自适应网络剖分技术,根据用户设置的误差标准,自动生成精准、有效的网络来分析物体模型的电磁特性。HFSS基本的求解参数包括求解频率、自适应网络剖分的最大迭代次数和收敛误差。如果需要进行扫频分析,还需要设置扫频类型和扫频范围。

    a.求解设置

    求解频率通常设定为天线的中心工作频率。

    b.扫频设置

    在天线设计中通常还需要查看天线的频率特性,比如天线的驻波比随频率的变化。此时就需要添加扫频分析项,设置扫频类型和扫频范围。HFSS中总共有三种扫频类型,分别是快速扫频(Fast)、离散扫频(Discrete)、和插值扫频(Interpolating)。其中。天线设计多选择快速扫频或者插值扫频。

    6. 运行求解分析

    上述操作完成后,即创建好天线模型,正确设置了边界条件、激励方式和求解参数,即可执行求解分析操作命令来运行仿真计算。整个仿真计算由HFSS软件自动完成,不需要用户干预。分析完成后,如果结构不收敛,则需要重新设置求解参数;如果结果收敛,则说明计算结果达到了设定的精度要求。

    7. 查看求解结果

    求解分析完成后,在数据后处理部分可以查看HFSS分析出的天线的各项性能参数,如回波损耗S11、电压驻波比VSWR、输入阻抗、天线方向图、轴比和电流分布等。如果仿真计算的天线性能满足设计要求,那么已经完成了天线的仿真设计,此时可以着手制作、调试实际的天线了。如果仿真计算的天线性能未能达到设计要求,那么还需要使用HFSS的参数扫描分析功能或者优化设计功能,进行参数扫描分析和优化分析。

    8. Optimetrics优化设计

    Optimetries是集成在HFSS中的设计优化模块,该模块通过自动分析设计参数的变化对求解结果的影响,实现参数扫描分析(Parametric)、优化设计(Optimization)、调谐分析(Tuning)、灵敏度分析(Sensitivity)和统计分析(Statistical)等功能。

    如果前面的分析结果未达到设计要求,那么还需要使用Optimetrics模块的参数扫描分析功能和优化设计功能来优化天线的结构尺寸,以找到满足设计要求的天线尺寸。

    a.参数扫描分析

    参数扫描分析功能用来分析天线的性能随着指定变量的变化而变化的关系,在优化设计前一般使用参数扫描分析功能来确定被优化变量的合理变化区间。使用参数扫描分析功能,首先需要添加一个或则多个扫描变量。

    b.优化设计

         优化设计是指HFSS在一定的约束条件下根据待定的优化算法对设计的某些参数进行调整,从所有可能的设计变化中寻找一个满足设计要求的值。在进行优化设计时,首先需要明确设计要求或设计目标,然后用户根据设计要求定义设计变量、创建参数化的初设结构模型(Nominal Design)、构造目标含糊,最后指定优化算法进行优化。

    Optimizer下拉列表框用于优化算法,其下拉列表中共有5种优化算法可供选择,分别是非线性顺序编程算法(Sequential Nonlinear Programming,SNLP)、混合整数非线性顺序编程算法(Sequential Mixed-Integer Nonlinear Programming,SMINLP)、拟牛顿法(Quasi Newton)、模式搜索法(Pattern Search)和遗传算法(Genetic Algorithm)。在多数情况下,建议用户选择拟牛顿法或者SNLP优化算法。

    HFSS天线设计[李明洋][电子工业出版社][2011][342页]


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  • 四元数、欧拉角和方向余弦的定义及关系

    万次阅读 多人点赞 2016-08-03 19:26:35
    导航坐标系(参考坐标系)n,选取东北天右手直角坐标系作为导航坐标系n、载体坐标系(机体坐标系)b,选取右手直角坐标系定义:四轴向右为X正方向,向前为Y轴正方向,向上为Z轴正方向。  欧拉角:欧拉角是一种常用的...

      目前,描述两个坐标系之间关系的常用方法主要有欧拉角法、方向余弦矩阵法和四元数法。因此要弄懂这三种方法的定义及关系,我们必须先从坐标系转化开始了解。下面以四旋翼为例,定义两个坐标系。导航坐标系(参考坐标系)n,选取东北天右手直角坐标系作为导航坐标系n、载体坐标系(机体坐标系)b,选取右手直角坐标系定义:四轴向右为X正方向,向前为Y轴正方向,向上为Z轴正方向。

      欧拉角:欧拉角是一种常用的描述方位的方法,是由欧拉提出的。基本思想就是将两个坐标系的变换分解为绕三个不同的坐标轴的三次连续转动组成的序列。欧拉角的旋转规定为连续两次旋转,必须绕着不同的转动轴旋转,所以一共有12种旋转顺规。这里我们选用Z-Y-X的旋转顺规来描述b系与n系的关系。Z-Y-X顺规就是指。绕Z轴旋转偏航角(YAW),绕Y轴旋转横滚角(ROLL),绕X轴旋转俯仰角(PITCH)

      先由简单的2维XY坐标系计算,如下图,载体坐标系b和导航坐标系n初始重合,绕X轴逆时针旋转角。向量OA在导航坐标系中的坐标为(Y,Z),在载体坐标系中的坐标为(Y',Z')。则可以通过计算得出两个坐标的关系。


    如上图,做出辅助线1可得    写成矩阵运算为,

    推广至三维坐标系中则为

    同理得绕Y轴旋转的坐标关系,

    绕Z轴旋转的坐标关系为

    由此 得到经过三个欧拉角转动后,导航坐标系下的向量旋转后的与其对应的载体坐标系下的向量  之间的关系为,按Z-Y-X的顺规得到          


    即为,其中即为坐标系n到坐标系b的变换矩阵,我们平常定义的欧拉角形式的方向余弦矩阵为

    四元数:四元数是由四个元构成的数,,其中,是实数,既是互相正交的单位向量,又是虚单位。且满足以下四元数乘法关系:


    其中表示四元数乘法,具体展开为


    写成矩阵形式为

    或者


    其中的构成形式为第一列是四元数本身,第一行是的共轭四元数的转置,剩下的部分是一个3行3列的矩阵称为的核,是由四元数构成的反对称矩阵

    同理得到的核


    定义四元数用来表示导航坐标系n到在台坐标系的旋转变换,那么有


    即为


    其中

    简化为

    其中为通常定义的四元数旋转矩阵为载体坐标系b到导航坐标系n的旋转矩阵

    四元数欧拉角、方向余弦矩阵之间的关系之间的关系,已知方向余弦矩阵和四元数旋转矩阵后,可以通过方向余弦矩阵的第一列和第三行元素计算姿态欧拉角如下

    到此介绍完毕,欢迎大家互相交流指正。

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        之前尝试用单片机控制42步进电机正反转,电机连接导轨实现滑台前进后退,在这里分享一下测试程序及接线图,程序部分参考网上找到的,已经实际测试过,可以实现控制功能。

        所用硬件:步进电机及驱动器、STC89C52单片机、直流电源

    1、硬件连接图

                  

    • 注意:上图为共阳极接法,实际连接参考总体线路连接。
    • 驱动器信号端定义:

    PUL+:脉冲信号输入正。( CP+ )

    PUL-:脉冲信号输入负。( CP- )

    DIR+:电机正、反转控制正。

    DIR-:电机正、反转控制负。

    EN+:电机脱机控制正。

    EN-:电机脱机控制负。

    • 电机绕组连接

    A+:连接电机绕组A+相。

    A-:连接电机绕组A-相。

    B+:连接电机绕组B+相。

    B-:连接电机绕组B-相。

    • 电源连接

    VCC:电源正端“+”

    GND:电源负端“-”

    注意:DC直流范围:9-32V。不可以超过此范围,否则会无法正常工作甚至损坏驱动器.

    • 总体线路连接

    输入信号共有三路,它们是:①步进脉冲信号PUL+,PUL-;②方向电平信 号DIR+,DIR-③脱机信号EN+,EN-。输入信号接口有两种接法,可根据 需要采用共阳极接法或共阴极接法。

    在这里我采用的是共阴极接法:分别将 PUL-,DIR-,EN-连接到控制系统的地端(接入单片机地端); 脉冲输入信号通过PUL+接入单片机(代码中给的P2^6脚),方向信号通过DIR+接入单片机(代码中给的P2^4脚),使能信号通过EN+接 入(不接也可,代码中未接,置空)。按键连接见代码,分别用5个按键控制电机启动、反转、加速、减速、正反转。

    注意:接线时请断开电源,电机接线需注意不要错相,相内相间短路, 以免损坏驱动器。

    2、代码

    参见链接:https://download.csdn.net/download/weixin_42670445/11978165

    3、常见问题解答

    • 控制信号高于5v一定要串联电阻,否则可能会烧坏驱动器控制接口电路。
    • 接通电源后如果驱动器灯亮,但是无法控制电机旋转,考虑控制部分驱动能力不足或者驱动器所设置的驱动电流不够(我就遇到过这种情况,后来通过调高驱动器限制电流解决的此问题)。如果调高驱动电流步进电机仍无法转动,查看电路板上的按键有没有接对,程序中按键引脚可根据电路板设计的按键引脚连接自行改动。
    • 判断步进电机四条线的定义:将任意两条线接在一起,用手旋转电机,如果有阻力,则两条线是同一相。用相同方法测试另外两条线是否是同一相。确定同相的两条线任意接入两相接口,如果旋转方向相反只需换相即可。
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