受控电源(非独立源)
 
定义
 
电压或电流的大小和方向不是给定的时间函数，而是受电路中某处的电压(或电流)控制的电源，称为受控电源。
 
 
受控电源又称“非独立电源”。一种具有两个支路的四端元件。其中一条支路是电压源或电流源，另一支路则开路或短路，而电压源或电流源的数值受控于开路电压或短路电流。故可分为以下四类。
 
分类
 
根据控制量和被控制量是电压u或电流i，受控源可分四种类型：电流控制电流源( CCCS )、电压控制的电流源 ( VCCS )、电压控制的电压源 ( VCVS )、电流控制的电压源 ( CCVS )。
 
1.电流控制的电流源 ( CCCS )
 
 
2.电压控制的电流源 ( VCCS )
 
 
3.电压控制的电压源 ( VCVS )
 
 
4.电流控制的电压源 ( CCVS )
 
 
分析方法
 
1.受控电压源的端电压或受控电流源的输出电流只随其控制量的变化而变化，若控制量不变，受控电压源的端电压或受控电流源的输出电流将不会随外电路变化而变化。即受控源在控制量不变的情况下，其特性与独立源相同。
 
2.对于独立源推导得出的结论，基本也适用于受控源。
 
3.在对含受控源电路的分析过程中，受控源的控制量所在支路必须保留，不允许有任何改变。
 
受控源与独立源的比较
 
1.独立源电压(或电流)由电源本身决定，与电路中其他电压、电流无关，而受控源电压(或电流)由控制量决定。
 
2.独立源在电路中起“激励”作用，在电路中产生电压、电流，而受控源是反映电路中某处的电压或电流对另一处的电压或电流的控制关系，在电路中不能作为“激励”。
 
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为什么梯度反方向是函数值局部下降最快的方向？

参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/24913912



定义: 

方向导数实际上是函数f在x_0处沿l方向关于距离t的变化率 

方向导数的几何意义,f(x,y)在x_0处有唯一的切线,该点关于l方向的斜率就是方向导数. 

在方向导数中,一种特别重要的情形是沿着坐标轴正向的方向导数,这就是偏导数

偏导数

定义: 



梯度

定义: 

 

梯度就是个向量

可微的必要条件



沿梯度方向函数值增大最快

在x0处沿某一方向的方向导数反映了:在x0的邻域内沿着这个方向,函数值能增大多少或者能减小多少 

将上述f在(x0,y0)处沿任意方向l的方向导数结果写成向量的内积形式 

所以在x0处沿着梯度方向能使f在该点处的方向导数最大,也就是在x0的邻域内沿着这个方向,函数值增长最快;同理沿着负梯度方向,函数值减小最快


转载原文：https://blog.csdn.net/littlehaes/article/details/79767107 

 

最近在上网课。和大家一起学习Barfoot 的《机器人学的状态估计》。其中 第六节运动学中用的符号系统很奇怪，难以理解（但是，我用熟了以后发现还蛮好用的，又直观，又好算，by the way）。很多小伙伴都在问这个相关的问题，所以我把自己的理解分享一下。如果有什么疏漏或者错误，请务必指正。谢谢。
一、对于vector， vectrix 和 non-vector 的理解

Vector 可以理解为 客观存在，它是没有具体数值的（因为没有参考系描述）。但是它有方向，有大小，也可以运动。vectrix 理解为参考系，或者正交基底。 non-vector 是 坐标系上的具体数值，或者向量在该正交基下的系数。 不同参考系是可以有相对运动的（事实上 以body 系和imu系而言，有运动才是常态）。当然，参考系相对自己一定是静止的。



其中，r 是 vecor, F（花体） 是参考系（书中定义是矢阵vctrix），r1 是quantity（non-vector）。 所以，vecotor 就是 一个vctrix 的转置乘上 其对应的quantity（本式子中，显然，vectrix1 对应的是r1）（non-vector)。

对2 坐标系依然成立。



当然反过来写也成立，但是，书中 后面大部分都是 用的第一种写法。

二、矩阵相对运动角速度

然后通过 参考系之间的角速度来加深理解。


这个 角速度也是一个向量（vector），虽然它描述的 是 坐标系1 相对坐标系2 的角速度，或者坐标系2相对坐标系1 的角速度。但是这个相对运动发生在空间中而不是某一个坐标系下，所以我依然把它理解为vector。
所以有了后面公式6.40.



坐标系间的角速度， 在某一个坐标系下依然有定义。 他们之间的关系就是（如前面所示） 该坐标系的vctrix 的转置 乘以相对应的non-vector。
三、时间导数

下面讨论关于导数的定义。书中用了两个坐标系，（因为实际应用的时候，我们一般只考虑 body 系和imu系，也是两个。）分别用和黑点和白点表示。
首先 vector 没有坐标，它的 导数可以对于不同坐标系分别定义。 

其次，坐标系本身 也是在空间中的，没有在坐标系中。所以也可以分别定义时间导数。但是，对自己的导数永远是0，因为，它相对自己不运动。



对于non-vector 来说，它本身出于一个坐标系下，所以只有一个导数。


对于non-vector 而言，non-vector 的导数还处于自己坐标系下，所以结果依然是non-vector。但是，只要 根据 最开始 的公式，乘上 对应的vectrix 的转置 （或者 转置右乘vectrix 本身） 就可以得到 non-vector的导数对应的 vector 的导数。注意frame1 对应的是实心圈圈导数，frame2 对应的是空心圈圈。

注意vector 的导数还是vector 无论实心空心的导数都是。



导数的导数依然成立


四 总结
以上其实都是我的个人理解和一些直觉上的思考。如果不严谨，或者错误欢迎指出。

其实关于这个符号系统只需要记住如下几点就可以了

vector 等于 vectrix转置乘 对应non-vector
3. non-vector 导数还是该坐标系下的non-vector
non-vector只有一个导数，就是该坐标系下的导数
frame 有两个导数，但是相对自己的那个导数永远等于零

作者 | 大小吴
来源 | 大小吴的数学课堂
今天大小吴来和大家探讨一个问题：为什么1既不是素数也不是合数？
1 因数的个数
对于这个问题，我们可以参考六年级课本上对于素数的定义：
“
一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数(prime number)，也叫做质数；如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数(composite number).
也就是说，如果我们以因数个数为标准对正整数进行分类，可以得到如下表格：
正整数
因数情况
因数个数
1个
素数
1、本身
2个
合数
1、本身、其他因数
大于等于3个
可以看出，1的因数只有1本身，所以它既不属于素数的范畴也不属于合数的范畴。这样就把正整数分为了1、素数、合数三类，用这样的方式解释“1既不是素数也不是合数”似乎也说得过去。
2 素因数分解的唯一性
实际上，1既不是素数也不是合数这件事需要用到“素因数分解的唯一性”来说明，也即算术基本定理：
“
任何一个大于1的自然数 ，如果不为质数，都可以唯一分解成有限个质数的乘积，即
这里均为质数，其诸指数是正整数.
这个定理从本质上讲指的是在对合数进行素因数分解时体现出的以下两种性质：“存在性和唯一性”。存在性指的是一个合数的素因数分解是必然存在的；唯一性指的是这种分解表示是唯一的。举个简单的例子，18是个合数，如果我们对它进行素因数分解，可以得到：
存在性和唯一性都是显然易见的，因为我们不可能把18分解成或是等其他的形式。
3 算术基本定理的证明
然而在数学上，对于一个定理我们不能以“显然成立”这样的话就把对定理的证明搪塞过去了，对于这件事我们一定要严格证明一遍。首先，在证明算术基本定理之前，我们需要用到两个引理：
“
引理1：当和互素时，如果能被整除，那么也能被整除.
证明如下：因为和互素，所以，又因为能被整除，所以为与某个整数的乘积：
由可知，
将代入，可得：
即
因为必然为整数，所以能被整除。
“
引理2：如果和无法被素数整除，那么其乘积也无法被整除.
对于此定理的证明用反证法，且需用到引理1：假设能被整除，因为无法被素数整除，所以，则根据引理1可知，必然能被整除。然而，这与无法被整除的已知条件矛盾。所以，不能被整除。
因此，当都不能被整除时，其乘积也无法被整除。
换句话说，当能被整除时，那么或或或能被整除。(逆否命题)
这样，我们就为证明“分解素因数的方法只有一种”做好了准备工作。
接着，仍然用反证法，假设合数有两种分解方法：
消去相同的部分，可得
假设左边的素数和右边的素数各不相同(倘若有相同的素因数，则在上一步时已经消去了)，那么根据引理2，因为能被整除，所以中的某个素数必然能被整除。也就是说必然存在，使得
这与假设是矛盾的，故上述等式不成立。我们逐一约去等式两边相同的素数，最终可以得到：
也就是说，等式两边的素数从一开始就是完全相同的。
这样，我们就证明了算术基本定理。
4 为什么1既不是素数也不是合数
我们来考虑如果把1也纳入到素数中会出现什么情况，以6为例：
这样就使得合数分解素因数的唯一性不成立了，违背了算术基本定理。
因此，1不属于素数，1也显然不是合数，所以1是唯一一个既不是素数也不是合数的正整数。
参考文献[1]上海师范大学.初级中学课本(试用本)-数学(六年级第一学期)[Z].上海教育出版社，2019.[2](日)远山启.数学女王的邀请——初等数论入门[M].逸宁译.人民邮电出版社，2020.