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    对偶空间的辛结构


    考虑辛形式的推广。实Banach空间

    上有非退化的反对称连续双线性形式:

    由这个形式可以诱导出连续线性的降(flat)映射:

    使得

    。这样的非退化反对称双线性形式称为
    辛形式(symplectic form)。定义了辛形式的向量空间称为辛空间。

    线性空间

    及其对偶空间
    的Cartesian积上可以定义
    正则辛结构(canonical symplectic form)

    具体到实线性空间

    ,若
    有基
    那么
    上有对偶基
    ,使得两边的基向量内积得到满足Kronecker符号(依据对偶基的定义)。
    的自然基就是由
    合成的
    维的基,显然
    。自然可以用坐标表示:
    。按照(3)构造正则辛结构:

    其中

    是辛矩阵。

    进一步考虑无穷维情形。将

    上的光滑实函数空间记为
    。为保证积分的有限性,取
    上有紧支集的光滑密度空间为
    ,这是对偶空间(证略)。密度
    写为体积元/微分
    ,那么可以借由微分形式的积分构造辛结构

    内积构造的辛结构

    (3)中正负号交替出现的项

    是双线性映射,对其最自然的描述就是内积,即:

    应用到(3),得到

    Hermite内积

    进一步考虑复空间的Hermite内积,自然联想到

    ,根据我们在 MP88:辛(symplectic)的起源(3):辛矩阵 中的讨论,Hermite内积的虚部就是一个辛结构:

    显然Hermite内积包含了(7)的结构。

    将Hermite内积推广到平方可积函数空间

    上对测度的积分:

    所构成的复Hilbert空间,这就是量子态所处的空间。在 MP39:量子力学中的内积结构 中曾经讨论过自伴算子和复共轭内积在量子力学中的联系,现在我们从辛的角度来继续这个问题。

    自伴算子

    Hermite内积的辛结构,使得复共轭的自伴算子可以用辛的方法研究。先看实的情形。有限维的实线性算子/同态可以用实矩阵表示:

    ,其转置则表示了
    。有限维线性空间及其对偶空间同构,于是转置矩阵
    也可以视为对偶空间的拉回(pull-back)映射
    ,在实向量的自然内积意义下:

    更直观的:

    把实转置矩阵的这些性质推广到泛函分析中的伴随算子,并且只考虑线性空间及其对偶空间的映射,那么Hilbert空间上的有界算子若满足

    则称为
    自伴(self-adjoint)算子。

    复方矩阵

    可以视为有限维复线性空间的线性算子/同态,若满足

    即矩阵等于其共轭转置(conjugate transpose),称为Hermite(厄米、厄尔米特、Hermitian)的。类似以上实矩阵的讨论,若Hermite矩阵是自伴的,则内积的结构对应于共轭的Hermite内积(8),于是产生了自然的辛结构。

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  • 高等代数–线性空间与辛空间 线性函数 对偶空间

    高等代数–双线性空间与辛空间

    声明: 本篇文章内容主要对《高等代数》第三版第十章内容的总结,复习

    线性函数

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    对偶空间

    双线性函数

    辛空间

    参考书籍:《高等代数》第三版 王萼芳 石生明 修订 高等教育出版社

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  • 如果线性独立,我们则称它们为空间中的一组基”。 那么信号x可以离散表示如下: 若是一组两两互相正交的向量,展式称为x的正交展开。分解系数是在各个基向量上的投影。 设向量和向量满足如下正交关系: ...

    1.信号分解及完备性

    设是X由一组向量所张成,即:

    如果线性独立,我们则称它们为空间中的一组基”。
    那么信号x可以离散表示如下:


    是一组两两互相正交的向量,展式称为x的正交展开。分解系数是在各个基向量上的投影。
    设向量和向量满足如下双正交关系

    那么,我们对原始信号就行投影变换(內积):

    看看,我们把最关心的分解系数给弄出来了!现在的问题是与原始基双正交的向量怎么求?

    1.1 信号分解、对偶基(倒数基)、正交基

    关于信号的分解表示,我们可以从连续时间和离散时间分开分析:
    对于连续时间信号:

    对于离散时间信号:

    以上两式称为信号的变换。“变换”的结果即是求出一组系数。 
    称为“对偶基”,或“倒数基”。
    双正交关系指的是两组基之间各对应向量之间具有正交性,但每一组向量之间并不一定具有正交关系
    N 维空间中的正交基
    如果一组基向量对偶向量即是其自身,也那么这一组基向量构成了N 维空间中的正交基。

    1.2 完备性/标架

    若X空间中的任一元素x都可由一组向量作式 :

    的分解,那么我们称这一组向量是“完备(complete)”的。
    如果是完备的,且是线性相关的,那么,由表示x必然会存在信息的冗余,并且其对偶向量将 不会是唯一的。这时,我们称构成空间的一个“标架(frame)”。

    是完备的,且是线性无关的,则是X中的一组基向量,这时,存在且唯一,即存在

    双正交关系。则对偶及存在,且是唯一的。
    对于正交关系,那么他的对偶基就是自己本身

    1.3 详细证明

    将对偶基向量,用基向量表示:

    将基向量与对偶基进行內积计算:


    令:
        
    这样,我们可以得到如下公式:


    这样我们就可以通过基向量,求得他的对偶基向量。

    2.思考

    2.1为什么信号分解系数线性相关情况下,对偶基不唯一?

    基向量现象相关,导致B矩阵是奇异矩阵,那么得到的“对偶基向量”必定不唯一。

    2.2为什么信号分解系数双正交情况下,对偶基唯一?

    单位阵I,那么此时的B是固定的唯一的,就是基向量的逆。

    2.3为什么信号分解系数正交情况下,对偶基就是本身?

    正交情况下,矩阵的逆就是矩阵的转置,那么就是自己本身,如此简单的运算,也正是正交变换在硬件领域很受欢迎的原因。因为对矩阵求转置的复杂度要远远低于逆运算。

    2.4分解系数可以通过对偶基向量和原始信号的內积求得,这有什么物理意义?


    通过上面公式,我们可以通过物理角度进行思考。所谓的投影运算也可以看成是相似性衡量问题。如果对偶基向量与原始信号越相似,分解系数应该越大!
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  • 正交、完备性、对偶向量

    千次阅读 2017-12-27 10:58:12
    如果线性独立,我们则称它们为空间中的一组基”。 那么信号x可以离散表示如下: 若是一组两两互相正交的向量,展式称为x的正交展开。分解系数是在各个基向量上的投影。 设向量和向量满足如下正交关系:...



    1.信号分解及完备性

    设是X由一组向量所张成,即:

    如果线性独立,我们则称它们为空间中的一组基”。
    那么信号x可以离散表示如下:


    是一组两两互相正交的向量,展式称为x的正交展开。分解系数是在各个基向量上的投影。
    设向量和向量满足如下双正交关系

    那么,我们对原始信号就行投影变换(內积):

    看看,我们把最关心的分解系数给弄出来了!现在的问题是与原始基双正交的向量怎么求?

    1.1 信号分解、对偶基(倒数基)、正交基

    关于信号的分解表示,我们可以从连续时间和离散时间分开分析:
    对于连续时间信号:

    对于离散时间信号:

    以上两式称为信号的变换。“变换”的结果即是求出一组系数。 
    称为“对偶基”,或“倒数基”。
    双正交关系指的是两组基之间各对应向量之间具有正交性,但每一组向量之间并不一定具有正交关系
    N 维空间中的正交基
    如果一组基向量对偶向量即是其自身,也那么这一组基向量构成了N 维空间中的正交基。

    1.2 完备性/标架

    若X空间中的任一元素x都可由一组向量作式 :

    的分解,那么我们称这一组向量是“完备(complete)”的。
    如果是完备的,且是线性相关的,那么,由表示x必然会存在信息的冗余,并且其对偶向量将 不会是唯一的。这时,我们称构成空间的一个“标架(frame)”。

    是完备的,且是线性无关的,则是X中的一组基向量,这时,存在且唯一,即存在

    双正交关系。则对偶及存在,且是唯一的。
    对于正交关系,那么他的对偶基就是自己本身

    1.3 详细证明

    将对偶基向量,用基向量表示:

    将基向量与对偶基进行內积计算:


    令:
        
    这样,我们可以得到如下公式:


    这样我们就可以通过基向量,求得他的对偶基向量。

    2.思考

    2.1为什么信号分解系数线性相关情况下,对偶基不唯一?

    基向量现象相关,导致B矩阵是奇异矩阵,那么得到的“对偶基向量”必定不唯一。

    2.2为什么信号分解系数双正交情况下,对偶基唯一?

    单位阵I,那么此时的B是固定的唯一的,就是基向量的逆。

    2.3为什么信号分解系数正交情况下,对偶基就是本身?

    正交情况下,矩阵的逆就是矩阵的转置,那么就是自己本身,如此简单的运算,也正是正交变换在硬件领域很受欢迎的原因。因为对矩阵求转置的复杂度要远远低于逆运算。

    2.4分解系数可以通过对偶基向量和原始信号的內积求得,这有什么物理意义?


    通过上面公式,我们可以通过物理角度进行思考。所谓的投影运算也可以看成是相似性衡量问题。如果对偶基向量与原始信号越相似,分解系数应该越大!

    原文见:http://m.blog.csdn.net/shenziheng1/article/details/60610724
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    2020-04-15 18:44:37
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空空如也

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双对偶空间