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  • 摘自知乎两个比较能够理解的回答 一、 作者:Hua Xiao ...“对偶空间”是“线性空间”,它里面的元素是“线性映射”。 仅仅是这句话就足以让许多人一头雾水了。为了理解它,我们先说说“集合...

    摘自知乎两个比较能够理解的回答

    一、

    作者:Hua Xiao
    链接:https://www.zhihu.com/question/38464481/answer/132756971
    来源:知乎
    著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权,非商业转载请注明出处。
     

    “对偶空间”是“线性空间”,它里面的元素是“线性映射”。

    仅仅是这句话就足以让许多人一头雾水了。为了理解它,我们先说说“集合”:所有的“线性空间”都是“集合”,然而“集合”未必都是“线性空间”。比如{帽子,足球,鱼香肉丝}这样的集合就很可能不是线性空间。那么问题来了——

    什么样的集合,才可以被称作是线性空间呢?

    答:如果某集合对加法和数乘封闭,也就是说
    (1) 任意一个元素 加上 任意一个元素 结果仍然在集合里;
    (2) 任意一个数 乘以 任意一个元素 结果仍然在集合里。
    那这个集合就是一个线性空间。

    比如,{0}这个集合只有一个元素,而且——
    (1) 0 加上0,结果是0,在集合内;
    (2) 任何数 乘以 0,结果是0,也在集合内。
    所以{0}是一个线性空间。

    而{0,1,2}这个集合,就很可能不是一个线性空间。因为1加上2,结果是3, 而3却不在集合内。

    如果你能够在{0,1,2}这个集合上,自己定义一种特殊的“加法”和“数乘”,在——满足交换律、结合律、乘法分配律,具备加法恒等元、加法逆、乘法恒等元——的前提下,还能使得{0,1,2}中所有的元素满足对加法和数乘封闭的条件,那么{0,1,2}就可以被看做是线性空间。当然,你也看出来了,这并不容易想到怎么做。事实上,我们习以为常的线性空间是很特殊的集合。

    我们已经搭好了“线性空间”的概念,它就像游戏的场景,有了它我们才可以尽情的玩耍。下面来看一个更有意思的东西——线性映射。

    我们继续用{0}这个最简单的线性空间,
    然后给出一个线性映射——把{0}中的所有元素(也就是0啦)乘以1
    0\rightarrow 0
    然后又给出一个线性映射——把{0}中的所有元素乘以2
    0\rightarrow 0
    然后又双叒叕给出一个线性映射——把{0}中的所有元素乘以3
    0\rightarrow 0
    ……

    我们很快就发现,{0}这个线性空间上的线性映射竟然有无穷多个!如果我们这无穷多个映射放在一个集合里:{线性映射一,线性映射二,线性映射三…… },那么,这个由“线性映射”构成的集合,是否也是一个线性空间?

    答案竟然是yes!而且它就是{0}的对偶空间

    等一下——
    如果这个集合是个线性空间,那么根据上文,它必须对加法和数乘封闭。可是数字之间相加,比如1+2,很好理解,线性映射也能相加吗?怎么加,结果是什么?

    注意,上文中提到:

    ……你能自己定义一种特别的“加法”和“数乘”,在——满足交换律、结合律、乘法分配律,具备加法恒等元、加法逆、乘法恒等元——的前提下……

    也就是说,我们可以在线性映射的集合上定义“线性映射的加法”!只要能满足那些要求就可以了!
    下面用个例子来描述一下“线性映射之间的加法”:

    线性映射二:x \rightarrow2x , 线性映射三:x \rightarrow 3x,那么:
    线性映射二 加上 线性映射三等于 一个新的线性映射:x \rightarrow2x+3x

    不难发现,这个定义是满足加法的那一票要求的。有了加法的定义,我们乘胜追击,再用个例子来描述一个数和线性映射相乘,

    线性映射一:x \rightarrowx , 那么:
    3 乘以 线性映射一等于 一个新的线性映射:x \rightarrow3x

    然后就可以发现,{0}上的所有线性映射的集合:{线性映射一,线性映射二,线性映射三…… }
    对加法和数乘封闭,也就是说,它也是一个线性空间,于是我们把它叫做{0}的对偶空间。

    再回头看看本回答的第一句话:“对偶空间”是“线性空间”,它里面的元素是“线性映射”,这句话里其实还隐含了一个信息:我们在对偶空间里,定义了线性映射的加法以及数乘。

    最后,更准确的说,对偶空间里的元素是“线性泛函”(linear functional),这是一种特殊的线性映射。

     

    二、

    怎么形象地理解对偶空间(Dual Vector Space)? - 马同学的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/38464481/answer/235672121

     

    展开全文
    jianuolala 2019-04-03 09:59:51
  • 对偶空间的定义 对偶空间的向量与对偶空间的基;

    1. 定义

    V 为定义在数域 F 上的向量空间,定义 V 上的线性函数是从 V F 的映射:f:VF,且满足 x,yV,kF 有: f(x+y)=f(x)+f(y),f(ka)=kf(a)

    现考虑 V 上所有线性函数(f:VF)的集合 V 。对 f,gV,xV,kF ,可以在 V 定义如下的标量乘法和加法(向量加法):

    • 标量乘法: g(kx)=kg(x)
    • 加法: (f+g)(x)=f(x)+g(x) (向量加法,是由定义出来的)

    在上述意义下,可以证明 V 是域 F 上的向量空间,称为 V 的对偶空间。

    最后,更准确的说,对偶空间里的元素是“线性泛函”(linear functional),这是一种特殊的线性映射。

    2. 简单性质

    • covector:vectors in the dual space,对偶空间中的向量称为 covector(协向量)
      αV,vVα(v)R ,covector 以 vector 为输入,以 scalar 为输出;

    • 从基的角度继续考察对偶空间,如果 V 表示一个有限维空间,则 dimV=dimV

      • 假定 V:{ei}i=1,,n (由基向量长成的线性空间), V={ei}i=1,,n ,则有如下的定义:

      ei(ej)=δij={1,0,i=jotherwise

      对偶空间中的向量称为 covector,如性质一所说,covector 接受线性空间中的向量,输出一个标量;

    展开全文
    lanchunhui 2017-01-03 22:07:10
  • 310KB weixin_38519619 2020-03-25 15:04:24
  • 作者:Hua Xiao ... 来源:知乎 ...“对偶空间”是“线性空间”,它里面的元素是“线性映射”。 仅仅是这句话就足以让许多人一头雾水了。为了理解它,我们先说说“集合”:所有的“线性空间”都是“集合
    作者:Hua Xiao
    链接:https://www.zhihu.com/question/38464481/answer/132756971
    来源:知乎
    著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权,非商业转载请注明出处。

    “对偶空间”是“线性空间”,它里面的元素是“线性映射”。

    仅仅是这句话就足以让许多人一头雾水了。为了理解它,我们先说说“集合”:所有的“线性空间”都是“集合”,然而“集合”未必都是“线性空间”。比如{帽子,足球,鱼香肉丝}这样的集合就很可能不是线性空间。那么问题来了——

    什么样的集合,才可以被称作是线性空间呢?

    答:如果某集合对加法和数乘封闭,也就是说
    (1) 任意一个元素 加上 任意一个元素 结果仍然在集合里;
    (2) 任意一个数 乘以 任意一个元素 结果仍然在集合里。
    那这个集合就是一个线性空间。

    比如,{0}这个集合只有一个元素,而且——
    (1) 0 加上0,结果是0,在集合内;
    (2) 任何数 乘以 0,结果是0,也在集合内。
    所以{0}是一个线性空间。

    而{0,1,2}这个集合,就不是一个线性空间。因为1加上2,结果是3, 而3却不在集合内。
    如果你能够在{0,1,2}这个集合上,自己定义一种特殊的“加法”和“数乘”,在——满足交换律、结合律、乘法分配律,具备加法恒等元、加法逆、乘法恒等元——的前提下,还能使得{0,1,2}中所有的元素满足对加法和数乘封闭的条件,那么{0,1,2}就可以被看做是线性空间。当然,你也看出来了,这非常的困难。事实上,线性空间是极其特殊的集合。

    我们已经搭好了“线性空间”的概念,它就像游戏的场景,有了它我们才可以尽情的玩耍。下面来看一个更有意思的东西——线性映射。

    我们继续用{0}这个最简单的线性空间,
    然后给出一个线性映射——把{0}中的所有元素(也就是0啦)乘以1
    0\rightarrow 0
    然后又给出一个线性映射——把{0}中的所有元素乘以2
    0\rightarrow 0
    然后又双叒叕给出一个线性映射——把{0}中的所有元素乘以3
    0\rightarrow 0
    ……

    我们很快就发现,{0}这个线性空间上的线性映射竟然有无穷多个!如果我们这无穷多个映射放在一个集合里:{线性映射一,线性映射二,线性映射三…… },那么,这个由“线性映射”构成的集合,是否也是一个线性空间?

    答案竟然是yes!而且它就是{0}的对偶空间

    等一下——
    如果这个集合是个线性空间,那么根据上文,它必须对加法和数乘封闭。可是数字之间相加,比如1+2,很好理解,线性映射也能相加吗?怎么加,结果是什么?

    注意,上文中提到:
    ……你能自己定义一种特别的“加法”和“数乘”,在——满足交换律、结合律、乘法分配律,具备加法恒等元、加法逆、乘法恒等元——的前提下……
    也就是说,我们可以在线性映射的集合上定义 “线性映射的加法”!只要能满足那些要求就可以了!
    下面用个例子来描述一下“线性映射之间的加法”:
    线性映射二:x \rightarrow 2x , 线性映射三:x \rightarrow 3x,那么:
    线性映射二 加上 线性映射三等于 一个新的线性映射:x \rightarrow 2x+3x
    不难发现,这个定义是满足加法的那一票要求的。有了加法的定义,我们乘胜追击,再用个例子来描述一个数和线性映射相乘,
    线性映射一:x \rightarrow x , 那么:
    3 乘以 线性映射一等于 一个新的线性映射:x \rightarrow 3x

    然后就可以发现,{0}上的所有线性映射的集合:{线性映射一,线性映射二,线性映射三…… }
    对加法和数乘封闭,也就是说,它也是一个线性空间,于是我们把它叫做{0}的对偶空间。

    再回头看看本回答的第一句话:“对偶空间”是“线性空间”,它里面的元素是“线性映射”,这句话里其实还隐含了一个信息:我们在对偶空间里,定义了线性映射的加法以及数乘。

    最后,更准确的说,对偶空间里的元素是“线性泛函”(linear functional),这是一种特殊的线性映射。


    对偶空间 V^*的想法本身是很自然的,就是 \dim V=n的线性空间 V上全体线性函数组成的(在通常的函数加和乘下)线性空间。这个空间其实就是全体  1\times n 的矩阵而已。那么自然的,对偶空间就是一个 n维的线性空间。注意在 V的一组基 e_i下,我们给出的任意一个赋值 f(e_i)=\beta_i都唯一地确定了一个线性函数 f(x=\sum \alpha_i e_i)=\sum \alpha_i \beta_i。那么自然地诱导出 V^*的一组基 e^i(e_j)=\delta_{i,j},这就称作 e_j的对偶基(互相对偶)。


    作者:陆葳蕤
    链接:https://www.zhihu.com/question/38464481/answer/137481200
    来源:知乎
    著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权,非商业转载请注明出处。


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    sumx2015 2017-12-27 10:44:03
  • 301KB weixin_38734361 2020-03-30 07:16:32
  • 1. 线性函数与对偶空间 2. 线性映射与线性函数 3. 线性函数在一组基下的表达式 4. 对偶空间 5. 对偶基 6. V与V∗中元素坐标的性质 7. 对偶基与过渡矩阵 双重对偶空间

    笔记总结自:高等代数-丘维声-线性映射部分的最后一小节

    线性映射与线性函数

    V V V V ′ V' V是域 F F F上的两个线性空间, A A A V V V V ′ V' V的一个映射,若 A A A满足:

       A ( α + β ) = A ( α ) + A ( β ) , ∀ α , β ∈ V A(\alpha+\beta)=A(\alpha)+A(\beta), \forall\alpha,\beta\in V A(α+β)=A(α)+A(β),α,βV(保持加法运算)

       A ( k α ) = k A ( α ) , ∀ α ∈ V , k ∈ F A(k\alpha)=kA(\alpha), \forall\alpha\in V,k\in F A(kα)=kA(α),αV,kF(保持纯量乘法运算)

    则称 A A A V V V V ′ V' V的一个线性映射

    F F F上的线性空间 V V V F F F的线性映射称为 V V V上的线性函数

    线性空间的定义:

    F F F是一个域, V V V是一个非空集合。对于任意的 α , β , γ ∈ V \alpha,\beta,\gamma\in V α,β,γV,任意的 k , l ∈ F k,l\in F k,lF,有:

    1. α + β = β + α \alpha+\beta=\beta+\alpha α+β=β+α(加法交换律)
    2. ( α + β ) + γ = α + ( β + γ ) (\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma) (α+β)+γ=α+(β+γ)(加法结合律)
    3. V V V中有一个零元 0 0 0 ∀ α ∈ V , α + 0 = α \forall\alpha\in V, \alpha+0=\alpha αV,α+0=α
    4. 任意 α ∈ V \alpha\in V αV,存在 α ′ ∈ V \alpha'\in V αV,使得 α + α ′ = 0 \alpha+\alpha'=0 α+α=0。具有这个性质的元素 α ′ \alpha' α称为 α \alpha α负元
    5. 1 α = α 1\alpha=\alpha 1α=α 1 1 1是域 F F F中的乘法单位元
    6. ( k l ) α = k ( l α ) (kl)\alpha=k(l\alpha) (kl)α=k(lα)
    7. ( k + l ) α = k α + l α (k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha (k+l)α=kα+lα
    8. k ( α + β ) = k α + k β k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta k(α+β)=kα+kβ

    则称 V V V是域 F F F上的一个线性空间



    线性函数在一组基下的表达式

    V V V是域 F F F上的线性空间,记 V V V的维度 d i m   V = n dim\space V=n dim V=n

    V V V中取一个基 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,,αn,则 V V V中任一向量 α \alpha α可用这组基线性表述,记为:

       α = x 1 α 1 + ⋯ + x n α n \alpha=x_1\alpha_1+\cdots+x_n\alpha_n α=x1α1++xnαn

    其中 ( x 1 , ⋯   , x n ) (x_1,\cdots,x_n) (x1,,xn)是向量 α \alpha α在这组基下的坐标


    f f f V V V上的一个线性函数,由定义知 f f f保持加法和纯量乘法,因此:

       f ( α ) = f ( x 1 α 1 + ⋯ + x n α n ) = f ( x 1 α 1 ) + ⋯ + f ( x n α n ) = x 1 f ( α 1 ) + ⋯ + x n f ( α n ) \begin{aligned} f(\alpha) &= f(x_1\alpha_1+\cdots+x_n\alpha_n) \\ &= f(x_1\alpha_1)+\cdots+f(x_n\alpha_n) \\ &=x_1f(\alpha_1)+\cdots+x_nf(\alpha_n) \end{aligned} f(α)=f(x1α1++xnαn)=f(x1α1)++f(xnαn)=x1f(α1)++xnf(αn)

    我们把式子 f ( α ) = x 1 f ( α 1 ) + ⋯ + x n f ( α n ) f(\alpha)=x_{1}f(\alpha_1)+\cdots+x_n{f}(\alpha_n) f(α)=x1f(α1)++xnf(αn)称为 f f f在基 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,,αn下的表达式


    任给域 F F F n n n个元素 a 1 , ⋯   , a n a_1,\cdots,a_n a1,,an,存在唯一的线性函数 f f f使得 f ( α i ) = a i f(\alpha_i)=a_i f(αi)=ai,其中 i = 1 , 2 , ⋯   , n i = 1,2,\cdots,n i=1,2,,n

    唯一性的证明见下述定理:

    定理:

    V V V V ′ V' V都是域 F F F上的线性空间, V V V的维数是 n n n

    V V V中取一个基 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,,αn V ′ V' V中任意取定 n n n个向量 γ 1 , γ 2 , ⋯   , γ n \gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_n γ1,γ2,,γn γ 1 , γ 2 , ⋯   , γ n \gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_n γ1,γ2,,γn中可以有相同的向量)

    A A A V V V V ′ V' V的一个对应法则,它把 V V V中的向量 α = ∑ i = 1 n x i α i \alpha=\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\alpha_i α=i=1nxiαi对应到 V ′ V' V中的向量 ∑ i = 1 n x i γ i \sum\limits_{i=1}^{n}x_i\gamma_i i=1nxiγi

    则有结论: A A A V V V V ′ V' V的一个线性映射,且 A ( α i ) = γ i A(\alpha_i)=\gamma_i A(αi)=γi,其中 i = 1 , 2 , ⋯   , n i = 1,2,\cdots,n i=1,2,,n


    证明:

    由于 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,,αn V V V的一个基,所以 α \alpha α表示成 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,,αn的线性组合的方式唯一

    从而对于 V V V中的每一个元素 α \alpha α V ′ V' V中总有唯一的一个元素与它对应

    因此 A A A V V V V ′ V' V的一个映射


    V V V中任取两个向量 α = ∑ i = 1 n x i α i \alpha=\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\alpha_i α=i=1nxiαi β = ∑ i = 1 n y i α i \beta=\sum\limits_{i=1}^{n}y_i\alpha_i β=i=1nyiαi,任取 k ∈ F k\in F kF,有:

       A ( α + β ) = A ( ∑ i = 1 n ( x i + y i ) α i ) = ∑ i = 1 n ( x i + y i ) γ i = ∑ i = 1 n x i γ i + ∑ i = 1 n y i γ i = A ( α ) + A ( β ) A(\alpha+\beta)=A(\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i+y_i)\alpha_i)=\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i+y_i)\gamma_i=\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\gamma_i+\sum\limits_{i=1}^{n}y_i\gamma_i=A(\alpha)+A(\beta) A(α+β)=A(i=1n(xi+yi)αi)=i=1n(xi+yi)γi=i=1nxiγi+i=1nyiγi=A(α)+A(β)

    ​   A ( k α ) = A ( ∑ i = 1 n ( k x i ) α i ) = ∑ i = 1 n ( k x i ) γ i = k ∑ i = 1 n x i γ i = k A ( α ) A(k\alpha)=A(\sum\limits_{i=1}^{n}(kx_i)\alpha_i)=\sum\limits_{i=1}^{n}(kx_i)\gamma_i=k\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\gamma_i=kA(\alpha) A(kα)=A(i=1n(kxi)αi)=i=1n(kxi)γi=ki=1nxiγi=kA(α)

    因此 A A A V V V V ′ V' V的一个线性映射


    显然有结论: A ( α i ) = A ( 0 α 1 + . . . + 0 α i − 1 + 1 α i + 0 α i + 1 + ⋯ + 0 α n ) = γ i A(\alpha_i)=A(0\alpha_1+...+0\alpha_{i-1}+1\alpha_i+0\alpha_{i+1}+\cdots+0\alpha_n)=\gamma_i A(αi)=A(0α1+...+0αi1+1αi+0αi+1++0αn)=γi,其中 i = 1 , 2 , ⋯   , n i = 1,2,\cdots,n i=1,2,,n


    假设存在 V V V V ′ V' V的一个线性映射 B B B满足: B ( α i ) = γ i B(\alpha_i)=\gamma_i B(αi)=γi,其中 i = 1 , 2 , ⋯   , n i = 1,2,\cdots,n i=1,2,,n

    B ( α i ) = A ( α i ) B(\alpha_i)=A(\alpha_i) B(αi)=A(αi),所以 ∀ α ∈ V , B ( α ) = x 1 B ( α 1 ) + ⋯ + x n B ( α n ) = x 1 A ( α 1 ) + ⋯ + x n A ( α n ) = A ( α ) \forall\alpha\in V, B(\alpha)=x_{1}B(\alpha_1)+\cdots+x_{n}B(\alpha_n)=x_{1}A(\alpha_1)+\cdots+x_{n}A(\alpha_n)=A(\alpha) αV,B(α)=x1B(α1)++xnB(αn)=x1A(α1)++xnA(αn)=A(α)

    从而两个映射的对应法则相同,进而证得 B = A B=A B=A

    于是得到结论:满足且 A ( α i ) = γ i ( i = 1 , 2 , ⋯   , n ) A(\alpha_i)=\gamma_i(i = 1,2,\cdots,n) A(αi)=γi(i=1,2,,n)的线性映射是唯一的

    根据 f f f在基 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,,αn下的表达式 f ( α ) = x 1 f ( α 1 ) + ⋯ + x n f ( α n ) f(\alpha)=x_1f(\alpha_1)+\cdots+x_nf(\alpha_n) f(α)=x1f(α1)++xnf(αn)可以得到:

       f ( α ) = a 1 x 1 + ⋯ + a n x n f(\alpha)=a_{1}x_{1}+\cdots+a_{n}x_{n} f(α)=a1x1++anxn



    对偶空间

    容易验证,线性映射的加法和纯量乘法满足线性空间定义中的8条运算法则(见上文),因此域 F F F上线性空间 V V V V ′ V' V的所有线性映射组成的集合成为域 F F F的一个线性空间,记作 H o m ( V , V ′ ) Hom(V,V') Hom(V,V)

    H o m ( V , F ) Hom(V,F) Hom(V,F)称为 V V V上的线性函数空间

    F F F可以看作域 F F F上的一个一维线性空间,基为 F F F的单位元 1 1 1,该线性空间中的所有元素可以由基线性表出

    d i m   F = 1 dim\space F=1 dim F=1

    以下仅考虑 V V V是有限维空间的情况,设 V V V的维度 d i m   V = n dim\space V=n dim V=n

    H o m ( V , F ) Hom(V,F) Hom(V,F)记成 V ∗ V^* V,我们称 V ∗ V^* V V V V对偶空间

    V ∗ V^* V的维数 d i m   V ∗ = d i m   H o m ( V , F ) = ( d i m   V ) ( d i m   F ) = d i m   V = n dim\space V^*=dim\space Hom(V,F)=(dim\space V)(dim\space F)=dim\space V=n dim V=dim Hom(V,F)=(dim V)(dim F)=dim V=n

    可以证明:

    F F F n n n维线性空间 V V V s s s维线性空间 V ′ V' V的每一个线性映射都可以用一个 s × n s\times n s×n矩阵来表示

    记域 F F F上所有 s × n s\times n s×n矩阵组成的集合为 M s × n ( F ) M_{s\times n}(F) Ms×n(F) H o m ( V , V ′ ) Hom(V,V') Hom(V,V) M s × n ( F ) M_{s\times n}(F) Ms×n(F)都是域 F F F上的一个线性空间,且 H o m ( V , V ′ ) Hom(V,V') Hom(V,V)同构于 M s × n ( F ) M_{s\times n}(F) Ms×n(F)

    于是有:

    d i m   H o m ( V , V ′ ) = d i m   M s × n ( F ) = s n = ( d i m   V ) ( d i m   V ′ ) dim\space Hom(V,V')=dim\space M_{s\times n}(F)=sn=(dim\space V)(dim\space V') dim Hom(V,V)=dim Ms×n(F)=sn=(dim V)(dim V)

    因此 V ∗ V^* V V V V同构

    定理:同一域上的两个有限维线性空间同构   ⇔   {\Large\space\Lrarr\space}   它们的维数相同


    同构的定义:

    V V V V ′ V' V都是域 F F F上的线性空间,如果有 V V V V ′ V' V的一个双射 σ \sigma σ,使得对于任意 α , β ∈ V , k ∈ F \alpha,\beta\in V,k\in F α,βV,kF,有:

       σ ( α + β ) = σ ( α ) + σ ( β ) \sigma(\alpha+\beta)=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta) σ(α+β)=σ(α)+σ(β)

       σ ( k α ) = k σ ( α ) \sigma(k\alpha)=k\sigma(\alpha) σ(kα)=kσ(α)

    那么称 σ \sigma σ V V V V ′ V' V的一个同构映射(简称为同构

    如果 V V V V ′ V' V有一个同构映射,则称 V V V V ′ V' V同构的,记作 V ≅ V ′ V\cong V' VV


    定理的证明:

    必要性:

    V V V V ′ V' V都是域 F F F上的有限维线性空间, σ \sigma σ是它们之间的同构映射

    引理1(本引理中为线性空间里的元素添加小箭头,以便区分域 F F F中的元素): σ ( 0 ⃗ ) \sigma(\vec{0}) σ(0 ) V ′ V' V的零元 0 ⃗ ′ \vec{0}' 0

    引理1证明: 0 α ⃗ = 0 ⃗   ⇒   σ ( 0 ⃗ ) = σ ( 0 α ⃗ ) = 0 σ ( α ⃗ ) = 0 ⃗ ′ 0\vec{\alpha}=\vec{0} {\Large\space\Rarr\space} \sigma(\vec{0})=\sigma(0\vec{\alpha})=0\sigma(\vec{\alpha})=\vec{0}' 0α =0   σ(0 )=σ(0α )=0σ(α )=0


    引理2: V V V中的向量组 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,,αn线性无关当且仅当 σ ( α 1 ) , σ ( α 2 ) , ⋯   , σ ( α n ) \sigma(\alpha_1),\sigma(\alpha_2),\cdots,\sigma(\alpha_n) σ(α1),σ(α2),,σ(αn)线性无关

    引理2证明:因为 σ \sigma σ V V V V ′ V' V的一个单射,所以如果 σ ( α ) = σ ( β ) \sigma(\alpha)=\sigma(\beta) σ(α)=σ(β),则 α = β \alpha=\beta α=β,于是根据引理1有:

       k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k s α s = 0   ⇔   σ ( k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k s α s ) = σ ( 0 )   ⇔   k 1 σ ( α 1 ) + k 2 σ ( α 2 ) + ⋯ + k s σ ( α s ) = 0 ′ k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0 {\Large\space\Lrarr\space} \sigma(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s)=\sigma(0) {\Large\space\Lrarr\space} k_1\sigma(\alpha_1)+k_2\sigma(\alpha_2)+\cdots+k_s\sigma(\alpha_s)=0' k1α1+k2α2++ksαs=0  σ(k1α1+k2α2++ksαs)=σ(0)  k1σ(α1)+k2σ(α2)++ksσ(αs)=0


    引理3:如果 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,,αn V V V的一个基,则 σ ( α 1 ) , σ ( α 2 ) , ⋯   , σ ( α n ) \sigma(\alpha_1),\sigma(\alpha_2),\cdots,\sigma(\alpha_n) σ(α1),σ(α2),,σ(αn) V ′ V' V的一个基

    引理3证明:根据引理2, σ ( α 1 ) , σ ( α 2 ) , ⋯   , σ ( α n ) \sigma(\alpha_1),\sigma(\alpha_2),\cdots,\sigma(\alpha_n) σ(α1),σ(α2),,σ(αn) V ′ V' V的一个线性无关向量组。任取 β ∈ V ′ \beta\in V' βV,由于 σ \sigma σ V V V V ′ V' V的一个单射,因此存在 α ∈ V \alpha\in V αV,使得 σ ( α ) = β \sigma(\alpha)=\beta σ(α)=β。设 α = x 1 α 1 + x 2 α 2 + ⋯ + x n α n \alpha=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n α=x1α1+x2α2++xnαn,则 β = σ ( α ) = x 1 σ ( α 1 ) + x 2 σ ( α 2 ) + ⋯ + x n σ ( α n ) \beta=\sigma(\alpha)=x_1\sigma(\alpha_1)+x_2\sigma(\alpha_2)+\cdots+x_n\sigma(\alpha_n) β=σ(α)=x1σ(α1)+x2σ(α2)++xnσ(αn)。因此 σ ( α 1 ) , σ ( α 2 ) , ⋯   , σ ( α n ) \sigma(\alpha_1),\sigma(\alpha_2),\cdots,\sigma(\alpha_n) σ(α1),σ(α2),,σ(αn) V ′ V' V的一个基

    由引理3立即可证必要性

    充分性:

    V V V V ′ V' V都是域 F F F上的线性空间, d i m   V ∗ = d i m   V = n dim\space V^*=dim\space V=n dim V=dim V=n

    V V V中取一个基 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,,αn,在 V ′ V' V中取一个基 γ 1 , γ 2 , ⋯   , γ n \gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_n γ1,γ2,,γn

    σ \sigma σ V V V V ′ V' V的一个对应法则,它把 V V V中的向量 α = ∑ i = 1 n a i α i \alpha=\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\alpha_i α=i=1naiαi对应到 V ′ V' V中的向量 ∑ i = 1 n a i γ i \sum\limits_{i=1}^{n}a_i\gamma_i i=1naiγi

    V V V中每一个向量 α \alpha α都有 V ′ V' V中唯一的向量与 α \alpha α对应;由于 γ 1 , γ 2 , ⋯   , γ n \gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_n γ1,γ2,,γn V ′ V' V的一个基,因此 V V V中不同的向量对应于 V ′ V' V中不同的向量;并且 V ′ V' V中每一个向量 δ = ∑ i = 1 n b i γ i \delta=\sum\limits_{i=1}^{n}b_i\gamma_i δ=i=1nbiγi都有 V V V中向量 β = ∑ i = 1 n b i α i \beta=\sum\limits_{i=1}^{n}b_i\alpha_i β=i=1nbiαi对应于 δ \delta δ。因此 σ \sigma σ V V V V ′ V' V的一个双射

    α = ∑ i = 1 n a i α i \alpha=\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\alpha_i α=i=1naiαi β = ∑ i = 1 n b i γ i \beta=\sum\limits_{i=1}^{n}b_i\gamma_i β=i=1nbiγi k ∈ F k\in F kF,则:

       σ ( α + β ) = σ ( ∑ i = 1 n ( a i + b i ) α i ) = ∑ i = 1 n ( a i + b i ) γ i = ∑ i = 1 n a i γ i + ∑ i = 1 n b i γ i = σ ( α ) + σ ( β ) \sigma(\alpha+\beta)=\sigma(\sum\limits_{i=1}^{n}(a_i+b_i)\alpha_i)=\sum\limits_{i=1}^{n}(a_i+b_i)\gamma_i=\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\gamma_i+\sum\limits_{i=1}^{n}b_i\gamma_i=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta) σ(α+β)=σ(i=1n(ai+bi)αi)=i=1n(ai+bi)γi=i=1naiγi+i=1nbiγi=σ(α)+σ(β)

    ​   σ ( k α ) = σ ( ∑ i = 1 n ( k a i ) α i ) = ∑ i = 1 n ( k a i ) γ i = k ∑ i = 1 n a i γ i = k σ ( α ) \sigma(k\alpha)=\sigma(\sum\limits_{i=1}^{n}(ka_i)\alpha_i)=\sum\limits_{i=1}^{n}(ka_i)\gamma_i=k\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\gamma_i=k\sigma(\alpha) σ(kα)=σ(i=1n(kai)αi)=i=1n(kai)γi=ki=1naiγi=kσ(α)

    因此 σ \sigma σ V V V V ′ V' V的一个同构映射,从而 V ≅ V ′ V\cong V' VV



    对偶基

    V V V是域 F F F上的线性空间, V V V中取一个基 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,,αn,现要求 V ∗ V^* V的一个基

    上文中我们证明了:

    任给域 F F F n n n个元素 a 1 , ⋯   , a n a_1,\cdots,a_n a1,,an,存在唯一的线性函数 f f f使得 f ( α i ) = a i f(\alpha_i)=a_i f(αi)=ai,其中 i = 1 , 2 , ⋯   , n i = 1,2,\cdots,n i=1,2,,n

    因此:

    F F F中给定 n n n个元素 V V V上的线性函数
    1 , 0 , 0 , ⋯   , 0 1,0,0,\cdots,0 1,0,0,,0存在唯一的 f 1 f_1 f1,使得 f 1 ( α 1 ) = 1 f_1(\alpha_1)=1 f1(α1)=1,且 f 1 ( α j ) = 0 , j ≠ 1 f_1(\alpha_j)=0,j\neq 1 f1(αj)=0,j=1
    0 , 1 , 0 , ⋯   , 0 0,1,0,\cdots,0 0,1,0,,0存在唯一的 f 2 f_2 f2,使得 f 2 ( α 2 ) = 1 f_2(\alpha_2)=1 f2(α2)=1,且 f 2 ( α j ) = 0 , j ≠ 2 f_2(\alpha_j)=0,j\neq 2 f2(αj)=0,j=2
    ⋯ \cdots ⋯ \cdots
    0 , 0 , 0 , ⋯   , 1 0,0,0,\cdots,1 0,0,0,,1存在唯一的 f n f_n fn,使得 f n ( α n ) = 1 f_n(\alpha_n)=1 fn(αn)=1,且 f j ( α j ) = 0 , j ≠ n f_j(\alpha_j)=0,j\neq n fj(αj)=0,j=n

    我们希望 f 1 , f 2 , ⋯   , f n f_1,f_2,\cdots,f_n f1,f2,,fn线性无关,于是尝试证明它

    k 1 f 1 + k 2 f 2 + ⋯ + k n f n = 0 k_{1}f_{1}+k_{2}f_{2}+\cdots+k_{n}f_{n}=0 k1f1+k2f2++knfn=0,其中 k 1 , k 2 , ⋯   , k n ∈ F k_1,k_2,\cdots,k_n\in F k1,k2,,knF,等式右边的 0 0 0表示 0 0 0函数

    考虑等式左右两边在 α 1 \alpha_1 α1上的函数值: k 1 f 1 ( α 1 ) + k 2 f 2 ( α 1 ) + ⋯ + k n f n ( α 1 ) = 0 k_{1}f_{1}(\alpha_1)+k_{2}f_{2}(\alpha_1)+\cdots+k_{n}f_{n}(\alpha_1)=0 k1f1(α1)+k2f2(α1)++knfn(α1)=0,等式右边的 0 0 0表示域 F F F中的零元,即 0 0 0函数作用在 α 1 \alpha_1 α1上得到的结果。因为 f 1 ( α 1 ) = 1 f_1(\alpha_1)=1 f1(α1)=1,且 f j ( α 1 ) = 0 , j ≠ 1 f_j(\alpha_1)=0,j\neq 1 fj(α1)=0,j=1,所以 k 1 = 0 k_1=0 k1=0

    同理:

       k 1 f 1 ( α 2 ) + k 2 f 2 ( α 2 ) + ⋯ + k n f n ( α 2 ) = 0   ⇒   k 2 = 0 k_{1}f_{1}(\alpha_2)+k_{2}f_{2}(\alpha_2)+\cdots+k_{n}f_{n}(\alpha_2)=0 {\Large\space\Rarr\space} k_2=0 k1f1(α2)+k2f2(α2)++knfn(α2)=0  k2=0

       ⋮ \vdots

       k 1 f 1 ( α n ) + k 2 f 2 ( α n ) + ⋯ + k n f n ( α n ) = 0   ⇒   k n = 0 k_{1}f_{1}(\alpha_n)+k_{2}f_{2}(\alpha_n)+\cdots+k_{n}f_{n}(\alpha_n)=0 {\Large\space\Rarr\space} k_n=0 k1f1(αn)+k2f2(αn)++knfn(αn)=0  kn=0

    从而 k 1 = k 2 = ⋯ = k n = 0 k_1=k_2=\cdots=k_n=0 k1=k2==kn=0 f 1 , f 2 , ⋯   , f n f_1,f_2,\cdots,f_n f1,f2,,fn线性无关

    又由于 d i m   V ∗ = n dim\space V^*=n dim V=n,因此 f 1 , f 2 , ⋯   , f n f_1,f_2,\cdots,f_n f1,f2,,fn V ∗ V^* V的一个基

    线性空间 V V V具有这样的性质:如果 d i m   V = n dim\space V=n dim V=n,则 V V V中任意 n n n个线性无关的向量都是 V V V的一个基

    V V V中任取 n n n个线性无关的向量 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,,αn,可以证明:

    ∀ β ∈ V , α 1 , α 2 , ⋯   , α n , β \forall\beta\in V,\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n,\beta βV,α1,α2,,αn,β线性相关   ⇒   {\Large\space\Rarr\space}    β \beta β可以由 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,,αn线性表出   ⇒   {\Large\space\Rarr\space}    α 1 , α 2 , ⋯   , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,,αn V V V的一个基

    我们把 f 1 , f 2 , ⋯   , f n f_1,f_2,\cdots,f_n f1,f2,,fn称为 V V V的基 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,,αn对偶基

    从上述求对偶基的过程中,可以得到它的一个性质:

       f i ( α j ) = { 1 ( j = i ) 0 ( j ≠ i ) f_i(\alpha_j)=\left\{\begin{array}{rl} 1 & (j=i) \\ 0 & (j\neq i) \end{array}\right. fi(αj)={10(j=i)(j=i)

    也可以写成 f i ( α j ) = δ i j , i , j ∈ { 1 , 2 , ⋯   , n } f_i(\alpha_j)=\delta_{ij},\quad i,j\in\{1,2,\cdots,n\} fi(αj)=δij,i,j{1,2,,n},其中 δ \delta δ称为克罗内克尔符号(kronecker symbol)



    V V V V ∗ V^* V中元素坐标的性质

    V V V中任一向量 α = ∑ i = 1 n x i α i \alpha=\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\alpha_i α=i=1nxiαi,现要求 α \alpha α在基 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,,αn下的坐标 x 1 , x 2 , ⋯   , x n x_1,x_2,\cdots,x_n x1,x2,,xn

    考虑 f i f_i fi α \alpha α上的函数值,其中 i = 1 , 2 , ⋯   , n i=1,2,\cdots,n i=1,2,,n,有:

       f i ( α ) = ∑ j = 1 n x j f i ( α j ) = x i f_i(\alpha)=\sum\limits_{j=1}^{n}x_{j}f_{i}(\alpha_j)=x_i fi(α)=j=1nxjfi(αj)=xi(仅当 j = i j=i j=i f i ( α j ) = 1 f_i(\alpha_j)=1 fi(αj)=1,否则 f i ( α j ) = 0 f_i(\alpha_j)=0 fi(αj)=0

    因此:

       α = ∑ i = 1 n f i ( α ) α i \alpha=\sum\limits_{i=1}^{n}f_i(\alpha)\alpha_i α=i=1nfi(α)αi


    接着求 V ∗ V^* V中任一元素 f = ∑ i = 1 n k i f i f=\sum\limits_{i=1}^{n}k_{i}f_{i} f=i=1nkifi在基 f 1 , f 2 , ⋯   , f n f_1,f_2,\cdots,f_n f1,f2,,fn下的坐标 k 1 , k 2 , ⋯   , k n k_1,k_2,\cdots,k_n k1,k2,,kn

    考虑 f f f α i \alpha_i αi上的函数值,其中 i = 1 , 2 , ⋯   , n i=1,2,\cdots,n i=1,2,,n,有:

       f ( α i ) = ( ∑ j = 1 n k j f j ) ( α i ) = ∑ j = 1 n k j f j ( α i ) = k i f(\alpha_i)=(\sum\limits_{j=1}^{n}k_{j}f_{j})(\alpha_i)=\sum\limits_{j=1}^{n}k_{j}f_{j}(\alpha_i)=k_i f(αi)=(j=1nkjfj)(αi)=j=1nkjfj(αi)=ki

    因此:

       f = ∑ i = 1 n f ( α i ) f i f=\sum\limits_{i=1}^{n}f(\alpha_i)f_i f=i=1nf(αi)fi



    对偶基与过渡矩阵

    V V V是域 F F F上的 n n n维线性空间

    V V V中取两个基 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,,αn β 1 , β 2 , ⋯   , β n \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n β1,β2,,βn

    它们的对偶基分别是 f 1 , f 2 , ⋯   , f n f_1,f_2,\cdots,f_n f1,f2,,fn g 1 , g 2 , ⋯   , g n g_1,g_2,\cdots,g_n g1,g2,,gn

    如果:

       ( β 1 , β 2 , ⋯   , β n ) = ( α 1 , α 2 , ⋯   , α n ) A (\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)A (β1,β2,,βn)=(α1,α2,,αn)A

       ( g 1 , g 2 , ⋯   , g n ) = ( f 1 , f 2 , ⋯   , f n ) B (g_1,g_2,\cdots,g_n)=(f_1,f_2,\cdots,f_n)B (g1,g2,,gn)=(f1,f2,,fn)B

    其中 A A A称为 V V V中基 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,,αn到基 β 1 , β 2 , ⋯   , β n \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n β1,β2,,βn的过渡矩阵, B B B称为 V ∗ V^* V中基 f 1 , f 2 , ⋯   , f n f_1,f_2,\cdots,f_n f1,f2,,fn到基 g 1 , g 2 , ⋯   , g n g_1,g_2,\cdots,g_n g1,g2,,gn的过渡矩阵

    接下来探讨矩阵 A A A与矩阵 B B B的关系


    ( β 1 , β 2 , ⋯   , β n ) = ( α 1 , α 2 , ⋯   , α n ) A (\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)A (β1,β2,,βn)=(α1,α2,,αn)A可以得到:

       ( α 1 , α 2 , ⋯   , α n ) = ( β 1 , β 2 , ⋯   , β n ) A − 1 (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)=(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)A^{-1} (α1,α2,,αn)=(β1,β2,,βn)A1

    定理:过渡矩阵一定是可逆矩阵

    证明:

    α 1 , α 2 , ⋯   , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,,αn β 1 , β 2 , ⋯   , β n \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n β1,β2,,βn都是 V V V的基, ( β 1 , β 2 , ⋯   , β n ) = ( α 1 , α 2 , ⋯   , α n ) A (\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)A (β1,β2,,βn)=(α1,α2,,αn)A

    X = ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) T X=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T X=(x1,x2,,xn)T

    β 1 , β 2 , ⋯   , β n \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n β1,β2,,βn线性无关   ⇒   {\Large\space\Rarr\space}    ( β 1 , β 2 , ⋯   , β n ) X = 0 (\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)X=0 (β1,β2,,βn)X=0只有零解   ⇒   {\Large\space\Rarr\space}    ( α 1 , α 2 , ⋯   , α n ) A X = 0 (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)AX=0 (α1,α2,,αn)AX=0只有零解

    又由 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,,αn线性无关,得到 A X = 0 AX=0 AX=0只有零解

    于是 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|\neq 0 A=0,所以 A A A是可逆矩阵

    A − 1 = ( c 11 ⋯ c 1 j ⋯ c 1 n ⋮ ⋮ ⋮ c n 1 ⋯ c n j ⋯ c n n ) A^{-1}=\left(\begin{array}{c} c_{11} & \cdots & c_{1j} & \cdots & c_{1n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ c_{n1} & \cdots & c_{nj} & \cdots & c_{nn}\end{array}\right) A1=c11cn1c1jcnjc1ncnn

    ∀ j = 1 , 2 , ⋯   , n \forall j=1,2,\cdots,n j=1,2,,n,有:

       α j = ∑ i = 1 n c i j β i \alpha_j=\sum\limits_{i=1}^{n}c_{ij}\beta_i αj=i=1ncijβi

    由上一小节所证, β \beta β在基 β 1 , β 2 , ⋯   , β n \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n β1,β2,,βn下的坐标的第 i i i个分量 = = =对偶基的第 i i i个线性函数 g i g_i gi β \beta β的函数值 g i ( β ) g_i(\beta) gi(β)。用 α j \alpha_j αj替换 β \beta β得到式子:

       α j = ∑ i = 1 n g i ( α j ) β i \alpha_j=\sum\limits_{i=1}^{n}g_i(\alpha_j)\beta_i αj=i=1ngi(αj)βi

    从而得到:

       α j = ∑ i = 1 n c i j β i α j = ∑ i = 1 n g i ( α j ) β i }   ⇒   c i j = g i ( α j ) \left.\begin{array}{l} \alpha_j=\sum\limits_{i=1}^{n}c_{ij}\beta_i \\ \alpha_j=\sum\limits_{i=1}^{n}g_i(\alpha_j)\beta_i \end{array}\right\} {\Large\space\Rarr\space} c_{ij}=g_i(\alpha_j) αj=i=1ncijβiαj=i=1ngi(αj)βi  cij=gi(αj)


    B = ( b 11 ⋯ b 1 i ⋯ b 1 n ⋮ ⋮ ⋮ b n 1 ⋯ b n i ⋯ b n n ) B=\left(\begin{array}{c} b_{11} & \cdots & b_{1i} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ b_{n1} & \cdots & b_{ni} & \cdots & b_{nn}\end{array}\right) B=b11bn1b1ibnib1nbnn

    ∀ i = 1 , 2 , ⋯   , n \forall i=1,2,\cdots,n i=1,2,,n,由 ( g 1 , g 2 , ⋯   , g n ) = ( f 1 , f 2 , ⋯   , f n ) B (g_1,g_2,\cdots,g_n)=(f_1,f_2,\cdots,f_n)B (g1,g2,,gn)=(f1,f2,,fn)B可得:

       g i = ∑ j = 1 n b j i f i g_i=\sum\limits_{j=1}^{n}b_{ji}f_i gi=j=1nbjifi

    由上一小节所证,线性函数 f f f在对偶基 f 1 , f 2 , ⋯   , f n f_1,f_2,\cdots,f_n f1,f2,,fn下的坐标的第 j j j个分量 = = = f f f α j \alpha_j αj处的函数值 f ( α j ) f(\alpha_j) f(αj)。用 g i g_i gi替换 f f f得到式子:

       g i = ∑ j = 1 n g i ( α j ) f j g_i=\sum\limits_{j=1}^{n}g_i(\alpha_j)f_j gi=j=1ngi(αj)fj

    从而得到:

       g i = ∑ j = 1 n b j i f i g i = ∑ j = 1 n g i ( α j ) f j }   ⇒   b j i = g i ( α j ) \left.\begin{array}{l} g_i=\sum\limits_{j=1}^{n}b_{ji}f_i \\ g_i=\sum\limits_{j=1}^{n}g_i(\alpha_j)f_j \end{array}\right\} {\Large\space\Rarr\space} b_{ji}=g_i(\alpha_j) gi=j=1nbjifigi=j=1ngi(αj)fj  bji=gi(αj)


    于是:

       c i j = g i ( α j ) b j i = g i ( α j ) }   ⇒   b j i = c i j \left.\begin{array}{l} c_{ij}=g_i(\alpha_j) \\ b_{ji}=g_i(\alpha_j) \end{array}\right\} {\Large\space\Rarr\space} b_{ji}=c_{ij} cij=gi(αj)bji=gi(αj)}  bji=cij

    那么得出结论:

       B = ( A − 1 ) T B=(A^{-1})^T B=(A1)T



    双重对偶空间

    V V V是域 F F F上的 n n n维线性空间,那么 V V V的对偶空间 V ∗ V^* V也是域 F F F上的 n n n维线性空间,因此 V ∗ V^* V也有对偶空间 ( V ∗ ) ∗ (V^*)^* (V),简记为 V ∗ ∗ V^{**} V

    V ∗ ∗ V^{**} V称为 V V V双重对偶空间

    由对偶空间的性质知:

       d i m   V ∗ ∗ = d i m   V ∗ = d i m   V = n dim\space V^{**}=dim\space V^*=dim\space V=n dim V=dim V=dim V=n

       V ≅ V ∗ ≅ V ∗ ∗ V\cong V^* \cong V^{**} VVV(这三个线性空间同构)


    V V V中取一个基 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,,αn

    V ∗ V^* V中关于 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,,αn的对偶基为 f 1 , f 2 , ⋯   , f n f_1,f_2,\cdots,f_n f1,f2,,fn

    V ∗ ∗ V^{**} V中关于 f 1 , f 2 , ⋯   , f n f_1,f_2,\cdots,f_n f1,f2,,fn的对偶基记作 α 1 ∗ ∗ , α 2 ∗ ∗ , ⋯   , α n ∗ ∗ \alpha_1^{**},\alpha_2^{**},\cdots,\alpha_n^{**} α1,α2,,αn

    σ \sigma σ V V V V ∗ V^* V的一个同构映射,它把 V V V中的向量 α = ∑ i = 1 n x i α i \alpha=\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\alpha_i α=i=1nxiαi映射为 V ∗ V^* V中的向量 f = ∑ i = 1 n x i f i f=\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}f_{i} f=i=1nxifi

    τ \tau τ V ∗ V^* V V ∗ ∗ V^{**} V的一个同构映射,它把 V ∗ V^* V中的向量 f = ∑ i = 1 n x i f i f=\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}f_{i} f=i=1nxifi映射为 V ∗ V^* V中的向量 α ∗ ∗ = ∑ i = 1 n x i α i ∗ ∗ \alpha^{**}=\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\alpha_i^{**} α=i=1nxiαi

    于是有: τ σ \tau\sigma τσ V V V V ∗ ∗ V^{**} V的一个同构映射,它把 V V V中的向量 α = ∑ i = 1 n x i α i \alpha=\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\alpha_i α=i=1nxiαi映射为 V ∗ V^* V中的向量 α ∗ ∗ = ∑ i = 1 n x i α i ∗ ∗ \alpha^{**}=\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\alpha_i^{**} α=i=1nxiαi

    定理:两个同构映射的乘积仍然是同构映射

    证明:

    ∀ α , β ∈ V , k ∈ F \forall\alpha,\beta\in V,k\in F αβV,kF,有:

    ​   ( τ σ ) ( α + β ) = τ ( σ ( α + β ) ) = τ ( σ ( α ) + σ ( β ) ) = τ σ ( α ) + τ σ ( β ) (\tau\sigma)(\alpha+\beta)=\tau(\sigma(\alpha+\beta))=\tau(\sigma(\alpha)+\sigma(\beta))=\tau\sigma(\alpha)+\tau\sigma(\beta) (τσ)(α+β)=τ(σ(α+β))=τ(σ(α)+σ(β))=τσ(α)+τσ(β)

       ( τ σ ) ( k α ) = τ ( σ ( k α ) ) = τ ( k σ ( α ) ) = k τ σ ( α ) (\tau\sigma)(k\alpha)=\tau(\sigma(k\alpha))=\tau(k\sigma(\alpha))=k\tau\sigma(\alpha) (τσ)(kα)=τ(σ(kα))=τ(kσ(α))=kτσ(α)

    因此 τ σ \tau\sigma τσ是同构映射

    任给 f ∈ V ∗ f\in V^* fV,有:

       α ∗ ∗ ( f ) = ( ∑ i = 1 n x i α i ∗ ∗ ) ( f ) \alpha^{**}(f)=(\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\alpha_i^{**})(f) α(f)=(i=1nxiαi)(f)        ( α ∗ ∗ \alpha^{**} α由基 α 1 ∗ ∗ , α 2 ∗ ∗ , ⋯   , α n ∗ ∗ \alpha^{**}_1,\alpha^{**}_2,\cdots,\alpha^{**}_n α1,α2,,αn线性表出)

           = ∑ i = 1 n x i α i ∗ ∗ ( f ) =\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\alpha_i^{**}(f) =i=1nxiαi(f)        (线性映射的和与纯量乘积的定义)

           = ∑ i = 1 n x i α i ∗ ∗ ( ∑ j = 1 n f ( α j ) f j ) =\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\alpha_i^{**}(\sum\limits_{j=1}^{n}f(\alpha_j)f_j) =i=1nxiαi(j=1nf(αj)fj)   (线性函数在对偶基下的坐标)

           = ∑ i = 1