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  • 一个多世纪以前,政治经济学教授维弗雷多·帕累托发表了他对于社会财富分配的研究结果。他所观察到的严重的不平等,例如20%的人拥有80%的财富,令经济学家、社会学家和政治科学家感到惊讶。在过去的一个世纪中,...

    一个多世纪以前,政治经济学教授维弗雷多·帕累托发表了他对于社会财富分配的研究结果。他所观察到的严重的不平等,例如20%的人拥有80%的财富,令经济学家、社会学家和政治科学家感到惊讶。在过去的一个世纪中,不同领域的几位先驱者在包括商业在内的几种层面上观察到这种不成比例的分布。关键性的那部分少数的投入/原因(如20%的投入)直接影响了绝大多数的产出/效应(如80%的产出),此理论被称为帕累托法则——也称为80-20规则。

    帕累托法则是一个非常简单但功能非常强大的管理工具。企业高管长期以来一直将其用于战略规划和决策。诸如20%的商店产生80%的收入,20%的软件错误导致80%的系统崩溃,20%的产品功能驱动80%的销售等,受到广泛欢迎,善于分析的企业尝试在他们自己的商业世界中找到这样的帕累托法则。通过这种方式,他们可以计划并确定其行动的优先顺序。事实上,今天,数据科学在筛选大量复杂数据,以助识别未来帕累托场景方面发挥着重要作用。

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    来源: William Lipovsky

    不仅数据科学有助于为企业预测新的帕累托场景,但站在数据科学本身的角度看,这一技术也可以从帕累托法则中受益。利用该法则可以使数据科学显著提高效率。在本文中,笔者将分享一些方法,作为数据科学家,我们可以利用帕累托法则的力量来指导我们的日常工作。

    项目优先级排序

    如果您是数据科学部门领导/经理,您不可避免地需要帮助为您的组织制定分析策略。虽然不同的业务领导者会提出各自不同的需求,但您必须阐明所有这些组织(或业务单位)需求,并为之制定路线图,确定优先级。一种简单的方法是量化解决每个分析需求所能获得的价值,并按值的递减顺序对它们进行排序。您经常会注意到,少部分的问题/用例拥有不成比例的价值(帕累托法则),应优先于其他问题/优先级。实际上,更好的方法是量化解决/实现每个问题/用例的复杂性,并基于价值和复杂性之间的权衡来优先考虑它们(例如,将它们放在x轴为复杂性,y轴为价值的坐标图上)。

    问题范围

    业务问题往往是模糊和非结构化的,数据科学家的工作需要确定正确的范围。范围界定通常需要将注意力集中在问题最重要的方面,并忽略那些价值较低的方面。首先,查看输出/效果在输入/原因上的分布将有助于我们了解问题空间中是否存在高级帕累托。随后,我们可以选择仅查看某些输入/输出或原因/结果。例如,如果20%的商店产生80%的销售额,我们可以将其余商店分组到一个集群中并进行分析而不是单独评估它们。

    范围界定还涉及到对风险的评估——更深层次的评估通常会告诉我们,最重要的项目会带来更高的风险,而最底层的项目发生的可能性很小(帕累托法则)。我们可以将时间和精力放在一些主要风险上,而不是解决所有风险。

    数据规划

    复杂的业务问题需要的数据超出分析数据集中可用的数据。我们需要请求访问、购买、获取、抓取、解析、处理和集成来自内部/外部源的数据。它们具有不同的形状、大小、健康状态、复杂性、成本等。等待整个数据计划落实到位,可能会导致项目的延迟不受我们控制。有一种简单的方法是,根据这些数据对最终解决方案的价值,对这些数据需求进行分类,例如绝对必须拥有、有好处和可选的(帕累托法则)。这将帮助我们专注于绝对必须拥有的东西,而不是被可选的东西分心或拖延。除了价值之外,考虑数据获取的成本、时间和精力方面的因素将帮助我们更好地对数据规划工作进行优先级排序。

    分析

    有种说法是,一名工匠只用20%的工具就能完成80%的工作。这也适用于我们的数据科学家。我们倾向于使用很少的分析和模型来完成我们工作的重要部分(帕累托法则),而其他技术的使用频率则要低得多。探索性分析中的典型示例包括变量分布、异常检测、缺失值插补、相关矩阵等。类似地,建模阶段的示例包括k折交叉验证,实际VS预测图,错误分类表,超参数调整分析等构建使用/访问/实施这些分析的微型自动化(例如库,代码片段,可执行文件,UI)可以在分析过程中带来显著的效率。

    建模

    在建模阶段,我们不需要很长时间就可以在过程的早期找到一个合理的工作模型。而且到目前为止,大部分提高精度的工作就已经完成了(帕累托法则)。剩下的过程是对模型进行微调,并增加精度。有时,为了使解决方案对业务可行,需要进一步增加精确度。在其他情况下,模型微调对最终的洞察/主张没有多大价值。作为数据科学家,我们需要认识到这些情况,这样我们就知道该在哪里相应地划定界限。

    业务沟通

    今天的数据科学生态系统是多学科的。项目团队可能包括业务分析师、机器学习科学家、大数据工程师、软件开发人员和多个业务相关人员。这样的团队成功的一个关键驱动力是沟通。作为一个努力工作的人,你可能会需要沟通所有的工作——挑战、分析、模型、见解等等。然而,在当今信息过载的世界里,采取这样的方法将无济于事。我们需要认识到“有用的多但重要的少”(帕累托法则),并利用这一认识来简化我们交流的信息量。同样,我们呈现和突出的信息需要根据目标受众(业务涉众vs数据科学家)进行定制。

    帕累托法则与我们而言是一个强大的工具,以正确的方式使用,可以帮助我们整理和优化我们的工作。

    原文作者:Pradeep Gulipalli

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  • A Pareto-Eficient Algorithm for Multiple Objective Optimization in E-Commerce RecommendationpdftagsAlibabarecsys 2019learning to rankoptimization algorithmsHighlightsProblem多目标优化中的帕累托最优:...

    014c1454f3f807e0e1ad839b3afffeed.png

    A Pareto-Eficient Algorithm for Multiple Objective Optimization in E-Commerce Recommendation

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    tags

    • Alibaba
    • recsys 2019
    • learning to rank
    • optimization algorithms

    Highlights

    Problem

    1. 多目标优化中的帕累托最优:不损害其他指标的情况下,使得至少一个指标变好;
    2. 现有的解法包括启发式搜索,可以得到局部最优;或者是将多个目标打平到一个标量上,但需要仔细的人工选择权重;都无法保障理论最优性;
    3. 以电商为例,需要同时优化CTR和GMV,但是显然二者不是严格相关的,存在大量但目标的局部最优点非帕累托最优;

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    Related work

    1. 启发式搜索;
    2. 打平标量化,近期KKT被用来指导这个标量化的过程;
    3. learning to rank技术;

    Approach

    1. 参考标量化的方法,将多个目标的loss合成为一个:$$ L(theta) = sum_{i=1}^K (w_i L_i(theta)) $$,后续的工作围绕着权重w的而展开;
    2. 参考KKT条件,解Problem1:最小化每个子问题的梯度的加权平方和,有引用文献表明,这个问题的解要么是满足KKT从而帕累托最优,要么是走向一个梯度最小化的方向上;
    3. 但是这里包含了一个二次规划问题,不是那么好解,于是进一步松弛了限制条件,附录中的定理表明松弛后的问题是可解的;
    4. 所以就有了下面这个两个算法组成的解,简单说就是,初始化w为平均分配,每个batch内先用梯度下降更新参数,然后求解新的w;

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    Experiments

    1. 数据集:从线上采样了一周约700w曝光;
    2. 基线:ItemCF,LambdaMark,还有一堆帕累托相关的基线,比较重要的PO-EA是用进化算法来bagging了其他几个基线的算法;
    3. 基线:用PE-EA生成了专门关注一个指标的PE-EA-CTR和PE-EA-GMV,同理还有PE-LTR-CTR和PE-LTR-GMV;
    4. 从离线实验看,PE-LTR会比PO-EA的方法更平衡一些,在GMV和CTR效果上都显著超越;
    5. LR、DNN、WDL模型都适用;
    6. 在线实验如下标,显著超越;

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    读后记

    1. 所谓的帕累托最优,可能本身就是一个伪命题,生产环境中一定是会出现一些非帕累托最优但是兑换合理的优化点的;典型的例子就是GMV模型上线之初,因为CTR已经优化到极致,要想获得GMV收益,大概率是要折损一点点CTR的;
    2. 离线实验的数据集只有700w曝光,不管是训练还是评估的角度都是不够的吧?阿里这个实验给的是不是有点太抠门了。。。
    3. 生产环境的实验非常浮夸,这样一个模型无关的优化方法,可以拿到双位数的指标收益,不确定是否存在计算陷阱的问题;
    4. 本来以为是一篇讲排序机制的文章,没想到也算是剑走偏锋了,居然通过动态调权重来搞;
    5. 真的复现起来,主要的改造应该在离线训练的部分,给每个batch加一个调整不同loss权重的组件?

    References

    • 知乎:关于推荐系统,RecSys 2019大会都讨论了什么?
    • 知乎:推荐系统里的多目标调参-pareto efficient
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  • 连续帕累托解参考文献:Ma, Pingchuan, Tao Du, and Wojciech Matusik. "Efficient Continuous Pareto Exploration in Multi-Task Learning." arXiv preprint arXiv:2006.16434 (2020).1. 主要思想前面我们介绍了...

    八. 连续帕累托解

    参考文献:Ma, Pingchuan, Tao Du, and Wojciech Matusik. "Efficient Continuous Pareto Exploration in Multi-Task Learning." arXiv preprint arXiv:2006.16434 (2020).

    1. 主要思想

    前面我们介绍了单个帕累托解和多个帕累托的求解方法,接下来我们介绍一种能够输出局部连续帕累托解,进一步构建帕累托前沿(Pareto Front)的方法[11]。分如下的两步:

    • 离散帕累托求解(本文第4部分): 给定初始点,在求出一个帕累托平稳点后,从过点的平滑曲线切线出发,进行次搜索:计算搜索方向,扩展出平稳点
    • 连续帕累托解(前沿)构建(本文第5部分):由初始点及 扩展出的平稳点集,构建出连续帕累托前沿。

    为表述方便,这里引用论文中关于多任务学习的定义:

    光滑,

    2. 预备知识:Krylov子空间[12]

    这一节内容参考潘建瑜老师《线性方程组迭代方法》课程,第四讲 《Krylov 子空间方法 》[12]

    大规模稀疏线性方程组 求解的首选方法是Krylov 子空间方法,其基本思想是在一个维数较小的子空间  中寻找近似解.

    Krylov 子空间定义:设 ,  ,我们称

    是由 和  生成的 Krylov 子空间, 通常简记为 。Krylov 子空间有如下的3个性质:

    • Krylov 子空间嵌套性:
    • 的维数不超过m;
    • 为次数小于m的多项式

    简单来说,通过求解Krylov 子空间的解来近似原始线性方程组的解。

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    3. 基本概念

    定义1:帕累托平稳点(Pareto Stationary) : 设连续可微,点称为帕累托平稳点,如果存在 使得下式成立:

    引理2 :帕累托点都是帕累托平稳点。

    引理3 :设是光滑且是帕累托点,是过点的曲线:

    则存在 使得:

    其中,为切线

    上式表明,算子将点处的切向量变换为由扩张成的子空间(Krylov子空间)的向量。 

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    4. 离散帕累托求解

    给定初始点,光滑,可以从如下三步来获取连续帕累托解:

    • 求解帕累托平稳点: 从初始点出发,通过梯度下降的方法求解帕累托平稳点
    • 扩展帕累托平稳点:在点处光滑,如果帕累托前沿存在,则在点处的某个邻域内存在着帕累托平稳点。由此出发,可以求得一系列的帕累托平稳点
    • 将上述的平稳点所在的局部帕累托前沿进行连接合并,扩充成更大的连续帕累托前沿。
    • f1f4ac799c59f83a958df6d02ff1c6b9.png

    我们先来看下如何获取一系列的帕累托平稳点。

    4.1 梯度求解方法

    这里可以通过前面介绍的梯度求解算法,参考笔者往期文章:

    多目标优化(四): 梯度下降算法

    多目标优化(七): 多任务之多个帕累托解

    4.2 一阶方法扩张

    通过梯度求解方法求解出帕累托平稳点后,可以基于该点扩展出局部帕累托集(目标函数光滑)。这一过程可以分解为两步:

    • 1).计算:计算式中的;
    • 2).求解搜索方向: 估计梯度迭代的搜索方向

    有了搜索方向,可以通过如下更新公式求解:

    我们先来看第一步。

    1).计算

    计算可以归结为求解如下的约束问题:

    上述问题规模为,量级较小,可以很方便的求解出来。

    2).求解搜索方向

    求解得到后,由引理3,我们可以给出待求解的线性方程组:

    其中为待求解的变量。上述问题求解有两个难点:

    • 不一定是帕累托平稳点
    • 问题的复杂度是 ,当n非常大时,求解起来非常困难。

    为此引入校正向量(correction vector),将改写为:

    式引入了校正向量(correction vector) ,用近似将会是帕累托平稳点。

    引理4:设是问题的解,则问题的解是:

    在计算出、帕累托平稳点、校正向量,可以计算出。现在考虑如下的稀疏线性方程组:

    为随机生成的向量,为待求解的变量。式可以通过krylov子空间,MINERS方法进行求解。详细MINERS算法可以参考潘建瑜老师《线性方程组迭代方法》课程,第四讲 《Krylov 子空间方法 》[12]

    我们来看下寻找离散帕累托解集合的求解算法,如下图所示:

    abc56e52fe1ddd4c847938a7b17431f3.png

    随机初始化网络,输出N个帕累托平稳网络。

    • 输入:随机初始化网络
      • 生成点个搜索方向;由个搜索方向扩展出个子网络;
      • 更新子网络节点:
      • 输出帕累托平稳点
    • 输出:N个帕累托平稳网络

    5. 连续帕累托解(前沿)构建

    通过前面的Algorithm 1求解出来N个帕累托平稳网络(父节点及K个子网络);接下来介绍如何由离散的帕累托点合并成更大的连续帕累托前沿(Front)。

    给定及其对应的K个子节点,定义连续变量 以及搜索方向:

    处的局部帕累托集可以通过下式进行构建:

    是由点及对应的K个子节点构成的凸包;切平面中切向量的线性组合仍然在切平面。

    对于N个局部帕累托集:

    可以将两两接壤处合并成一个更大的局部帕累托集合,全部合并完后,就可以生成多个的连续帕累托前沿(Front)。

    8f092bbd5e2fb66197681ad91efc54a6.png

    参考文献

    • [1] [贺莉,刘庆怀 著。《多目标优化理论与连续化方法》。2015-06。科学出版社 ]
    • [2] [陈宝林 著。《最优化理论与算法》(第2版)。2005-10。清华大学出版社 ]
    • [3] [KKT条件,Karush–Kuhn–Tucker conditions,https://en.wikipedia.org/wiki/Karush%E2%80%93Kuhn%E2%80%93Tucker_conditions ]
    • [4] [约束规格,constraint qualifications ,https://en.wikipedia.org/wiki/Karush%E2%80%93Kuhn%E2%80%93Tucker_conditions#Regularity_conditions_(or_constraint_qualifications) ]
    • [5] [S.D. Sudhoff.  Lecture 9:Multi-Objective Optimization,https://engineering.purdue.edu/~sudhoff/ee630/Lecture09.pdf ]
    • [6] [Fliege, J., Svaiter, B. Steepest descent methods for multicriteria optimization. Mathematical Methods of OR 51, 479–494 (2000). https://doi.org/10.1007/s001860000043 ]
    • [7] [Désidéri, Jean-Antoine. "Multiple-gradient descent algorithm (MGDA) for multiobjective optimization." Comptes Rendus Mathematique 350.5-6 (2012): 313-318. ]
    • [8] [ Gebken, Bennet, Sebastian Peitz, and Michael Dellnitz. A descent method for equality and inequality constrained multiobjective optimization problems. Numerical and Evolutionary Optimization. Springer, Cham, 2017.]
    • [9]  Sener, O. and Koltun, V. Multi-task learning as multi- objective optimization. In Advances in Neural Informa- tion Processing Systems, pp. 527–538, 2018.
    • [10] Lin, X., Zhen, H.-L., Li, Z., Zhang, Q.-F., and Kwong, S. Pareto multi-task learning. In Advances in Neural Information Processing Systems, pp. 12037–12047, 2019.

    • [11] Ma, Pingchuan, Tao Du, and Wojciech Matusik. "Efficient Continuous Pareto Exploration in Multi-Task Learning." arXiv preprint arXiv:2006.16434 (2020).

    • [12] 潘建瑜《线性方程组迭代方法》课程,第四讲 《Krylov 子空间方法 》http://math.ecnu.edu.cn/~jypan/Teaching/MatrixIter/lect04_Krylov_ssm.pdf

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  • 六、 多任务求解6.1 单个帕累托解参考论文:Sener, O. and Koltun, V. Multi-task learning as multi- objective optimization. In Advances in Neural Informa- tion Processing Systems, pp. 527–538, 2018.6.1.1...

    六、 多任务求解

    6.1  单个帕累托解

    参考论文:Sener, O. and Koltun, V. Multi-task learning as multi- objective optimization. In Advances in Neural Informa- tion Processing Systems, pp. 527–538, 2018.

    6.1.1 问题转化

    单个帕累托解,主要参考了论文[9]。这里使用了多重梯度下降算法,基本原理参考笔者《多目标优化(四):梯度求解算法》。由多目标优化的KKT条件,我们可以得到:

    • 存在  使得:

    • 对应所有的任务 :

    满足、(的解称为帕累托平稳点(Pareto stationary point) 。帕累托最优点都是帕累托平稳点,反之不一定成立。考虑如下的优化问题:

    上述优化问题的解存在两种情况:

    • 最优值   ,则对应的解满足KKT条件
    • 最优值 ,则对应的解给出了下降方向,使得多任务目标函数提升(函数值下降) 上述优化问题等价于在输入点集凸包中找到最小模点。

    6.1.2 考虑两个任务的情形

    考虑两个任务的情形,则可以表示为:

    其中定义为:

    其解的情况枚举如下:

    • 当 
    • 当 
    • 其他情况

    几何解释如下图所示:

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    基于Frank-wolfe算法,可以得到求解式的算法:

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    参考文献

    • [1] [贺莉,刘庆怀 著。《多目标优化理论与连续化方法》。2015-06。科学出版社 ]
    • [2] [陈宝林 著。《最优化理论与算法》(第2版)。2005-10。清华大学出版社 ]
    • [3] [KKT条件,Karush–Kuhn–Tucker conditions,https://en.wikipedia.org/wiki/Karush%E2%80%93Kuhn%E2%80%93Tucker_conditions ]
    • [4] [约束规格,constraint qualifications ,https://en.wikipedia.org/wiki/Karush%E2%80%93Kuhn%E2%80%93Tucker_conditions#Regularity_conditions_(or_constraint_qualifications) ]
    • [5] [S.D. Sudhoff.  Lecture 9:Multi-Objective Optimization,https://engineering.purdue.edu/~sudhoff/ee630/Lecture09.pdf ]
    • [6] [Fliege, J., Svaiter, B. Steepest descent methods for multicriteria optimization. Mathematical Methods of OR 51, 479–494 (2000). https://doi.org/10.1007/s001860000043 ]
    • [7] [Désidéri, Jean-Antoine. "Multiple-gradient descent algorithm (MGDA) for multiobjective optimization." Comptes Rendus Mathematique 350.5-6 (2012): 313-318. ]
    • [8] [ Gebken, Bennet, Sebastian Peitz, and Michael Dellnitz. A descent method for equality and inequality constrained multiobjective optimization problems. Numerical and Evolutionary Optimization. Springer, Cham, 2017.]
    • [9]  Sener, O. and Koltun, V. Multi-task learning as multi- objective optimization. In Advances in Neural Informa- tion Processing Systems, pp. 527–538, 2018.
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  • 数据来源:https://www.cs.cinvestav.mx/~emoobook/展示部分数据如下:(ZDT系列)地址:https://www.cs.cinvestav.mx/~emoobook/apendix-d/apendix-d.htmlZD1数据链接:https://www.cs.cinvestav.mx/~emoobook/...
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  • 帕累托合奏修剪

    2021-02-26 06:55:01
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  • R语言—帕累托

    千次阅读 2018-02-24 00:00:00
    本文的主要目的有两个一个是学习如何在R中绘制帕累托图,另一个是如何绘制坐标图,其中前三个例子是用绘制坐标的方式绘制帕累托图的,其余为直接生成的帕累托图@ 不用包par(mar=c(5,5,4,5)+0.1)bar mtext...
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空空如也

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双帕累托