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  • matlab怎么拟合双曲线

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  • 函数模型

    2021-06-23 11:04:24
    函数模型分为一元函数模型和多元函数模型,其中一元函数模型最为常见。函数模型的计算机拟合方法包括两种:“Origin软件法”和“C语言程序法”。Origin软件法适用于一元函数模型的拟合,C语言程序法适用于一元函数...

    函数模型分为一元函数模型和多元函数模型,其中一元函数模型最为常见。函数模型的计算机拟合方法包括两种:“Origin软件法”和“C语言程序法”。Origin软件法适用于一元函数模型的拟合,C语言程序法适用于一元函数模型和多元函数模型的拟合,这两种方法各有利弊。

    中文名

    函数模型外文名

    Function Model

    所属学科

    函数模型1 概念介绍

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    语音

    函数模型的数学表达式是471e92edfe02b58364e2b040e915e822.svg,其中:7da30fced107d9aca328fa9197ff8ab8.svg,代表函数模型中所含有的p个自变量;5378f494309becce92b1d2bcbc3f4880.svg,代表函数模型中所含有的q个待定参数;y为因变量。当p=1时,函数模型被称为“一元函数模型”;当p≥2时,函数模型被称为“多元函数模型”。一元函数模型是函数方程式中只含有一个自变量的函数模型,其数学表达式可以写成929f869edfd1cf30e7c87762e3e9101c.svg——其中x为自变量,其函数图像通常是一条二维曲线。一元函数模型是最常见的函数模型。

    函数模型2 拟合方法

    编辑

    语音

    函数模型的拟合步骤可以分为两步:(1)建立模型;(2)确定参数。按照拟合工具的不同,本文将函数模型的计算机拟合方法分为“Origin软件法”和“C语言程序法”两种。实施这两种拟合方法的共同前提条件是:函数模型471e92edfe02b58364e2b040e915e822.svg的实际测量值xji、yi(i=1~n,j=1~p)已知,其中n为样本容量,p为自变量个数。

    函数模型2.1 Origin软件法

    2.1.1 操作步骤

    Origin软件法适用于一元函数模型的拟合,它适用于“函数模型尚未建立”的情形。Origin软件可以根据已知的xi、yi值(i=1~n),直接拟合出x与y之间存在的函数关系——建立函数模型、确定模型参数、画出函数曲线。其操作步骤如下所示:

    (1)打开Origin软件,新建Workbook文件,在操作界面中输入xi、yi两列数据;

    (2)选中上述两列数据,按下快捷键“Ctrl+Y”,从而打开了“曲线拟合”对话框。

    (3)在Settings选项卡中,在Category下拉菜单中选择函数模型的类别,在Function下拉菜单中选择函数模型。此时,在Fit Curve选项卡窗口中可以看到所选函数模型的拟合曲线,在Formula选项卡中可以看到所选函数模型的表达式。

    (4)根据拟合曲线的形态,选择曲线拟合度看上去比较高的函数模型,点击“Fit键”左边的“Fit till converged键”。点击Messages选项卡,观察此窗口中显示的COD(R^2)值,记录下此时所选择的函数模型。

    (5)重复第(3)(4)步——选择不同的函数模型。

    (6)根据第(3)(4)(5)步的结果,选择COD(R^2)值最接近1时所对应的函数模型,点击“Fit键”(如果刚刚点击过“Fit till converged键”,此时则会变为“OK键”)。

    此时,Origin软件的输出结果就是所求的函数模型。其中:Notes表格中的Equation就是所求函数模型的表达式;Parameters表格中显示了函数模型各个参数的数值;Statistics表格中显示了函数模型的“残差平方和”与“调整后的决定系数”的数值;Fitted Curves Plot表格中显示了函数模型的拟合曲线。

    2.1.2 应用实例

    下面以一个一元函数模型e3164357ab36bbf4cd7253e45d73c497.svg为例,对Origin软件法予以说明。已知xi、yi值(i=1~21)如下表所示:表1:实际测量值xi、yi

    i12345678910

    xi0.1750.2750.3750.4750.5750.6750.7750.8750.9751.075

    yi2911208573913748263023598255748580165328445604

    i1112131415161718192021

    xi1.1751.2751.3751.4751.5751.6751.7751.8751.9752.0752.175

    yi353292535219016135268976601342872691186312991116

    按照上节所述,接下来的操作步骤就是:

    (1)打开Origin软件,新建Workbook文件,在操作界面中输入表1中xi、yi(i=1~21)这两列数据;

    (2)选中上述两列数据,按下快捷键“Ctrl+Y”,从而打开了“曲线拟合”对话框。

    (3)在Settings选项卡中,在Category下拉菜单中选择“Origin Basic Functions”,在Function下拉菜单中选择“Sine”。此时,在Fit Curve选项卡窗口中可以看到Sine函数模型的拟合曲线,在Formula选项卡中可以看到Sine函数模型的表达式。观察后发现Sine函数模型拟合曲线的拟合度看上去不高,遂重新选择函数模型。

    重复上述操作,在Settings选项卡中,在Category下拉菜单中仍然选择“Origin Basic Functions”,在Function下拉菜单中选择“Gauss”。此时,在Fit Curve选项卡窗口中观察Gauss函数模型的拟合曲线,发现曲线的拟合度看上去较高。

    (4)点击“Fit键”左边的“Fit till converged键”。点击Messages选项卡,观察此窗口中显示的COD(R^2)值为0.978,记录下此时所选择的函数模型——Gauss。

    (5)重复第(3)(4)步——选择不同的函数模型。本例中则是继续在Category下拉菜单中选择“Statistics”,在Function下拉菜单中选择“Extreme”。此时,在Fit Curve选项卡窗口中观察Extreme函数模型的拟合曲线,发现曲线的拟合度看上去较高,点击“Fit键”左边的“Fit till converged键”。点击Messages选项卡,观察此窗口中显示的COD(R^2)值为0.990,记录下此时所选择的函数模型——Extreme。

    (6)根据第(3)(4)(5)步的结果,选择COD(R^2)值最接近1时所对应的函数模型——Extreme,点击“OK键”得到最终输出结果。

    此时,Origin软件的输出结果就是所求的函数模型。其中:Notes表格中的Equation就是所求函数模型的表达式,为7146898adfa41f12fd7c0d3bc3209aa2.svg——其中y0、xc、w、A为模型参数;Parameters表格中显示了函数模型4个参数的数值,它们分别为y0=254.65、xc=0.86、w=0.27、A=56703.22;Statistics表格中显示了函数模型的“残差平方和”与“调整后的决定系数”的数值,它们分别为8.16×107和0.99;Fitted Curves Plot表格中显示了函数模型的拟合曲线如下所示:

    7852af514adef27d101983619b0420e2.png

    函数模型2.2 C语言程序法

    2.2.1 操作步骤

    C语言程序法适用于一元函数模型和多元函数模型的拟合,它适用于“函数模型已经建立,但其参数尚未确定”的情形。例如:已经运用数学方法建立了双参数函数模型eb5030570305ad77c0936d854036ef5c.svg,接下来的函数模型拟合步骤就是:

    (1)确定参数a1、a2的取值范围:例如ec35825ff9595f3861eb8c1e555f2dbd.svge5389ba39e068d69a8a60b226c857a68.svg,且a1、a2为整数。

    (2)借助C语言程序,利用穷举法,将a1、a2所有可能的取值都分组一一代入到函数模型eb5030570305ad77c0936d854036ef5c.svg中去,求出每组a1、a2值所对应的函数模型的“残差平方和”。

    (3)根据“最小二乘法”,记录下使函数模型的残差平方和取得最小值时的a1、a2值——a1'、a2'。

    (4)将a1'、a2'代入到函数模型eb5030570305ad77c0936d854036ef5c.svg中,得到b22cafc3c60c07de0291d794dc6e837e.svg,函数模型拟合完毕。

    另外,除了“残差平方和”之外,“决定系数”和“调整后的决定系数”也可以作为函数模型拟合的指标来使用。[1]

    2.2.2 应用实例

    下面以一个一元函数模型e3164357ab36bbf4cd7253e45d73c497.svg为例,对C语言程序法予以说明。已知xi、yi值(i=1~21)如第2.1.2节中表1所示。首先,已经运用数学方法建立了三参数一元函数模型0940fa0c0887a634e380b81266ac92b5.svg,其中m、n1、n2为待定参数。接下来的函数模型拟合步骤就是:

    (1)确定参数m、n1、n2的取值范围。本例中:67199f465ef4bfa44b7738c3f2dce977.svg32a2666c261724e86b4cbb7796335515.svg,且n1、n2为整数;7e291c2c514f26a3e65eba23df89ae55.svg,且m为100的倍数——为了便于计算。

    (2)借助C语言程序,利用穷举法,将m、n1、n2所有可能的取值都分组一一代入到函数模型0940fa0c0887a634e380b81266ac92b5.svg中去,求出每组m、n1、n2值所对应的函数模型的“残差平方和”。

    (3)根据“最小二乘法”[2]

    ,记录下使函数模型的残差平方和取得最小值时的m、n1、n2值——m'=41800、n1'=21、n2'=322。

    (4)将m'、n1'、n2'值代入到函数模型0940fa0c0887a634e380b81266ac92b5.svg中,得到49d4738bea2419d869439205b49829d9.svg,函数模型拟合完毕。此函数模型的拟合曲线如图1所示:

    a4a8d5fe4577f1a38404e638cccea61c.png

    图1

    函数模型2.3 两种方法的对比

    函数模型的计算机拟合方法分为“Origin软件法”和“C语言程序法”两种:Origin软件法是利用Origin软件的“曲线拟合”命令,直接选择Origin软件所提供的函数模型,将含参数的函数模型拟合出来,它适用于一元函数模型的拟合;C语言程序法是用数学方法首先建立含参数的函数模型,然后再利用C语言程序确定函数模型中的参数,它适用于一元函数模型和多元函数模型的拟合。上述两种方法各有利弊:利弊

    Origin软件法建模方便,从软件所提供的函数模型中直接选择即可。模型拟合的效率高,软件的计算速度快,模型建立、参数确定一气呵成。不能随意修改软件已经提供的函数模型,所建立的函数模型的通用性有限。适用范围窄:只适用于一元函数模型的拟合。

    C语言程序法建立模型和确定参数分两步走,精细化程度高,函数模型的针对性强。由于函数模型是事先建立的,所以修改起来比较方便。费时费力:事先建立函数模型需要时间,编写程序拟合参数也需要时间。适用范围宽:适用于一元或多元函数模型的拟合。

    词条图册

    更多图册

    参考资料

    1.

    张文彤, 董伟.SPSS统计分析高级教程(第3版).北京:高等教育出版社,2018年1月:107

    2.

    张文彤,董伟.SPSS统计分析高级教程(第3版).北京:高等教育出版社,2018年1月:101

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  • 但是,在社会的很多领域里,需要我们理清楚不同事物的关系,这些关系可以分成两种:非确定性的相关关系(相关性分析)和确定性的函数关系(回归)。 变量相关性分析的结果还不足够,还需要进一步做变量间的回归分析...

    一、简介

     我们常用的回归分析包括线性回归,曲线回归和非线性回归。

    1、线性回归

     回归分析根据自变量和因变量之间的关系类型,可分为线性回归分析和非线性回归分析;按照自变量的数量,可分为一元回归分析和多元回归分析。如果只包括一个自变量和一个因变量,且二者的关系可用一条直线近似表示,这种回归分析就称为一元线性回归分析;如果包括两个或两个以上自变量,且因变量和自变量之间是线性关系,则称为多元线性回归分析。

     例如: y = a + b 1 x + b 2 x + ε y=a+b_{1}x+b_{2}x+{\varepsilon } y=a+b1x+b2x+ε,其中a表示截距,b表示直线斜率, ε {\varepsilon } ε表示误差项。

    应用方向举例:在中学时期学习的在匀速运动中,时间与路程之间的关系;超市里,销量与销售额的关系,这些关系都是简单的线性关系。

    2、曲线回归

     现实生活中,许多事物之间的关系并非简单的线性关系,而是呈现某种非线性关系。非线性关系又可分为本质线性关系和本质非线性关系。本质线性关系是指变量关系在形式上虽然非线性关系,但可以通过变量转换转化为线性关系,并最终进行线性回归分析。而本质非线性关系则无法通过变量转换从而进行线性回归分析。曲线回归能够解决本质线性关系的问题。

     本质是线性相关关系的变量,可以选择恰当的曲线方程将变量进行转换,实现曲线直线化,从而将曲线方程转化为直线回归方程进行分析。曲线估计模块能够自动拟合线性模型、对数曲线模型、二次曲线模型、指数曲线模型等多种曲线模型,而输出的统计量包括模型的回归系数、复相关系数、调整的拟合指数及方差分析结果等。

    应用方向举例:在常人理解,某种商品的价格越低,销售量越大,价格越高,销售量越小,是呈直线关系的,其实,销售结果却不是常人理解的那样,可能销售价格低到某个值时,销量就不再上升,价格涨到某个值时,销量也不在下降,在二维坐标中,可能是一条曲线。

    3、非线性回归

     前面提到,非线性关系可以分为本质线性关系和本质非线性关系。可以通过变量装换转化为线性关系,并最终进行线性回归分析的叫本质线性关系;而无法通过变量装换转化为线性关系,最终也无法进行线性回归分析的叫本质非线性关系。这里说的非线性回归就是本质非线性关系。

     曲线估计只能用于一个自变量和因变量相关关系的模型的分析,而非线性回归分析可以用来探讨因变量和一组自变量之间的非线性相关模型。线性回归模型要求变量之间必须是线性关系,曲线回归只能处理能够通过变量转换转化为线性关系的非线性问题,因此,这些方法都有一定的局限性。
     非线性回归可以估计因变量和自变量之间任意关系的模型,可以根据自身需要随意设定估计方程的具体形式(神经网络的基础)。因此,非线性回归在实际应用中价值更大,应用范围更广。

    应用方向举例:在现代的农业生产中,化肥的使用量与农作物的产量之间,在大多数情况下是非线性关系的。

    4、分类

    二、曲线回归

    1、曲线直线化

     如果面对某些变量的关系是非线性关系(曲线关系)时,最直接的方法就是曲线直线化,==曲线直线化的基本原理是将变量进行变换,从而将曲线方程化为直线回归方程进行分析。==例如通过散点图观察数据点的分布情况,或者根据前人的文献参考,某个现象的两个变量服从变换模型:
    在这里插入图片描述
    基本变化如下:
    在这里插入图片描述

    2、曲线估计

    对直线化处理后的数据进行估算,这点可以由spss软件来进行制作,具体步骤如下:

    • 绘制散点图,并观察散点图的分布特征以判断类似于何种函数;
    • 根据所选定的函数进行变量转换;
    • 对转换后的数据建立直线回归模型;
    • 拟合多个模型,并通过比较各模型之间的拟合优度选择最合适的模型;

    具体模型公式有:

    在这里插入图片描述

    3、基本曲线的类型和特点

    (1)指数函数

     指数函数(x 作为指数出现)方程形式: y ^ = a b x \hat{y}=ab^{x} y^=abx 参数b一般用来描述增长或衰减的速度;
     当 a>0、b>0时,y随x的增大而增大(增长),曲线凹向上;
     当 a>0、b<0时,y随x的增大而减小(衰减),曲线也是凹向上。

    在这里插入图片描述

    (2)对数函数

     对数函数(x 作为自然对数出现)方程形式: y ^ = a + b I n x ( x > 0 ) \hat{y}=a+bInx (x>0) y^=a+bInxx>0 对数函数表示:x变数的较大变化可引起y变数的较小变化。
     b>0时,y随x的增大而增大,曲线凸向上;
     b<0时,y随x的增大而减小,曲线凹向上。

    在这里插入图片描述

    (3)幂函数

    对数函数(y是x某次幂的函数)方程形式: y ^ = a x b \hat{y}=ax^{b} y^=axb

     当 a > 0 、 b > 1 a>0、b>1 a>0b>1时,y随x的增大而增大(增长),曲线凹向上;

     当 a > 0 、 0 < b < 1 a>0、0<b<1 a>00<b<1时,y随x的增大而增大(增长),但变化缓慢,曲线凸向上;

     当 a > 0 、 b < 0 a>0、b<0 a>0b<0时,y随x的增大而减小,曲线凹向上,且以x,y轴为渐近线。

    在这里插入图片描述

    (4)双曲函数曲线:变形双曲线

    方程形式:
    I . y ^ = x a + b x I.\hat{y}=\frac{x}{a+bx} I.y^=a+bxx I I . y ^ = a + b x x II.\hat{y}=\frac{a+bx}{x} II.y^=xa+bx I I I . y ^ = 1 a + b x III.\hat{y}=\frac{1}{a+bx} III.y^=a+bx1

    其中: y ^ = x a + b x \hat{y}=\frac{x}{a+bx} y^=a+bxx , 该曲线通过原点(0,0)

    在这里插入图片描述
     当 a>0、b>0时,y随x的增大而增大,但速率趋小,曲线凸向上,并向 y = 1 / b y=1/b y=1/b渐进;

     当 a>0、b<0时,y随x的增大而增大,速率趋大,曲线凹向上,并向 x = − a / b x=-a/b x=a/b渐进。

    (5)S型曲线

     主要描述动、植物的自然生长过程,又称生长曲线。

     生长过程的基本特点是开始增长较慢,而在以后的某一范围内迅速增长,达到一定的限度后增长又缓慢下来,曲线呈拉长的‘S’型曲线。‘著名的S’型曲线是Logistic生长曲线。

    Logistic曲线方程: y ^ = k 1 + a e − b x \hat{y}=\frac{k}{1+ae^{-bx}} y^=1+aebxk (a、b、k均大于0)
    当x=0时: y ^ = k 1 + a \hat{y}=\frac{k}{1+a} y^=1+ak x → ∞ x\rightarrow\infty x, y ^ = k \hat{y}=k y^=k  所以时间为0的起始量为 k 1 + a \frac{k}{1+a} 1+ak,时间为无限延长的终极量为 k k k
     曲线 x = l n a b x=\frac{lna}{b} x=blna时有一个拐点,这时 y ^ = k 2 \hat{y}=\frac{k}{2} y^=2k,恰好是终极量 k k k的一半。

     拐点左侧,曲线凹向上,速率由小趋大;拐点右侧,曲线凸向上,速率由大趋小。

    在这里插入图片描述

    4、步骤

    1.利用散点图,初步判断曲线类型
     这要求大家熟悉曲线的形状。由于在具体的回归分析中,可能的曲线类型种类繁多,为了减少曲线估计的盲目性,通常先用散点图观测自变量与因变量之间的关系,判定因变量与自变量是否存在清晰的逻辑关系。如果散点图中的散点向曲线附近几种,比较接近于一条曲线,则初步判断可以做曲线回归分析,否则无法做曲线估计。对于可作曲线估计的数据,先认真观察曲线的形状,判定大概属于哪类曲线,是抛物线,还是对数曲线、指数曲线。

    2.执行曲线回归分析
     启动曲线估计功能,在“曲线估计”的配置界面下,正确地设置因变量和自变量,并可同时选择若干种曲线类型。在完成了曲线回归的计算机处理后,根据计算机的输出结果,参考判定系数R方值和检验概率Sig值,选择最恰当的曲线类型。

    3.最后根据曲线类型的各个系数值,写出最终的函数式。

    三、基于spss的操作

    1、判断分布趋势

    作散点图,观察变量是否存在线性关系:
    【图形】-【旧对话框】-【散点/点状】-【简单分布】
     结果解释:
    在这里插入图片描述
     从散点图可知,自变量和因变量之间不存在线性关系,因此线性回归分析来构建售价和销量之间的函数关系,尝试使用选择曲线函数来找出汽车销售量与汽车销售价格之间的关系模型。

    2、曲线估计

    选择菜单【分析】-【回归】-【曲线估计】,勾选【模型】(想要进行估计的模型全部勾上,尽可能多试几个),勾选【绘图】和【等式中包含常量】,【保存】-勾选【预测值】、【残差】
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    结果分析:
     从分析结果来看,在所有曲线模型中复合曲线的R^2最大,为0.305,卡方检验的概率P值为0.000,说明拟合得到的回归系数有效,由此可知复合曲线较好地拟合了汽车价格和销售量之间的关系。同时,散点图也显示复合曲线更符合变量点的分布情况,拟合效果更好。

    3、对拟合程度优秀模型进行检验

    用复合曲线再次拟合数据;重复步骤2的过程,在模型中只选择复合曲线,同时选中显示ANOVA表格,点击确定。数据结果如下:
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    结果分析:
     复合曲线的拟合度的R方为0.305,调整后的R方为0.301,说明该模型可以解释因变量的30.1%的差异,与1相比,效果不是非常的理想。复合曲线模型的方差分析F检验的显著性和回归系数t检验的显著性均为0.000,达到显著水平。综合以上结果,说明复合曲线对这份数据的拟合情况不是非常的理想,但是可以作为今后销售的参考。从拟合曲线与散点的分布情况可知,当售价大于30000美金时,拟合效果更好,所以用该模型预测售价大于30000美金的型号更为准确。该模型的回归方程为: 销 售 额 = 109.123 ∗ 0.95 0 售 价 销售额=109.123*0.950^{售价} =109.1230.950

    4、总结

    用回归方程进行预测忌讳迷信拟合指标结果,应该将拟合的指标结果与拟合图形结合,观察那个区间的自变脸拟合的因变量比较好,机动灵活的使用回归分析。

    参考文献:

    [1]csdn作者mengjizhiyou:曲线回归------(一)曲线的类型与特点及方程的配置
    [2]简书作者spssau:曲线回归分析
    [3]微信公众号生活统计学:SPSS分析技术:曲线回归

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  • Python应用实现指数函数及拟合代码实例,指数函数,函数,参数,误差,协方差Python应用实现指数...指数函数待拟合曲线为 y(x) = bepx + ceqximport matplotlib.pyplot as pltx = ([0.05, 0.1, 0.15, 0.2, 0.25, ...

    Python应用实现双指数函数及拟合代码实例,指数函数,函数,参数,误差,协方差

    Python应用实现双指数函数及拟合代码实例

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    双指数函数

    待拟合曲线为 y(x) = bepx + ceqximport matplotlib.pyplot as pltx = ([0.05, 0.1, 0.15, 0.2, 0.25, 0.3, 0.35, 0.4, 0.45, 0.5, 0.55, 0.6, 0.65, 0.7, 0.75, 0.8, 0.85, 0.9, 0.95, 1.0])y = ([0.33, 0.26, 0.18, 0.16, 0.12, 0.09, 0.08, 0.07, 0.06, 0.06, 0.06, 0.07, 0.09, 0.1, 0.15, 0.19, 0.25, 0.36, 0.47, 0.68])plt.scatter(x, y)plt.show()

    拟合import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom scipy.optimize import curve_fitdef double_exp(x, b, c, p, q): x = np.array(x) return b*np.exp(p*x) + c*np.exp(q*x)x = ([0.05, 0.1, 0.15, 0.2, 0.25, 0.3, 0.35, 0.4, 0.45, 0.5, 0.55, 0.6, 0.65, 0.7, 0.75, 0.8, 0.85, 0.9, 0.95, 1.0])y = ([0.33, 0.26, 0.18, 0.16, 0.12, 0.09, 0.08, 0.07, 0.06, 0.06, 0.06, 0.07, 0.09, 0.1, 0.15, 0.19, 0.25, 0.36, 0.47, 0.68])popt, pcov = curve_fit(double_exp, x, y, [1, 1, 1, 1])print(popt)b = popt[0]c = popt[1]p = popt[2]q = popt[3]y_fit = double_exp(x, b, c, p, q)plt.scatter(x, y)plt.plot(x, y_fit, color='red', linewidth=1.0)plt.show()

    numpy 库,实现列表转矩阵,得以进行数学运算。matplotlib.pyplot 库,绘制图像。scipy.optimize 库,curve_fit() 函数,使用非线性最小二乘法拟合曲线。curve_fit()popt,拟合结果,在这里指b, c, p, q 的值。povc,该拟合结果对应的协方差。

    拟合结果参数原函数拟合结果误差b0.00110.00110c0.42000.42420.42%p6.39986.49881.55%q-5.1551-5.21641.19%

    误差可以满意。

    经过测试,如果将初始参数设置为原函数参数(保留 4 位小数),拟合得到的结果并未发生变化。

    经过测试,拟合使用的三种方法,"trf","lm" 和 "dogbox" 对该函数拟合结果影响微乎其微。

    以上就是本文的全部内容,希望对大家的学习有所帮助,也希望大家多多支持我们。以上就是关于对Python应用实现双指数函数及拟合代码实例的详细介绍。欢迎大家对Python应用实现双指数函数及拟合代码实例内容提出宝贵意见

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