精华内容
下载资源
问答
  • 初中数学老师告诉我们,反比例函数的解析式为 反比例函数的图像其中k为常数,其图像叫做双曲线。而到了高中后,数学中有个专题叫做圆锥曲线,里面也有一种曲线叫做双曲线双曲线(焦点在x轴上)的标准方程为 和 ...

    在初中的数学课上,我们都学过一个东西:反比例函数。初中数学老师告诉我们,反比例函数的解析式为

    cfba6e7dbbbec05960a4a6de3ec8929f.png
    反比例函数的图像

    其中k为常数,其图像叫做双曲线

    而到了高中后,数学中有个专题叫做圆锥曲线,里面也有一种曲线叫做双曲线。双曲线(焦点在x轴上)的标准方程为

    称为双曲线的两个焦点,其中

    双曲线满足如下性质:双曲线上任一点P到两个焦点的距离之差为定值,即

    (在此处不给出双曲线标准方程的推导,具体可参考高中数学选修2-1课本)

    事实上,反比例函数的图像就是一种特殊的双曲线,两条坐标轴就是它的渐进线,先来看下面几个题目。

    例1 在平面直角坐标系中,两定点坐标分别为

    ,平面内一点
    满足
    ,当
    运动时,求点
    的轨迹方程。

    由条件与两点间距离公式可得

    上式两边平方得

    移项后得到

    上式两边平方得

    移项后得到

    两边同时除以

    可以得到

    这便是刚刚所提到的反比例函数,在这里

    例2 在平面直角坐标系中,已知双曲线

    ,将其绕原点
    逆时针旋转
    ,求所得到的曲线的方程

    在做这题前,我们先来证明这样一个结论:

    引理 在平面直角坐标系中,已知点

    ,将其绕原点逆时针旋转
    度,所得到的点的坐标为

    证明

    98a3d7b8eee3e0de40aa19723ca5e521.png

    其中

    由于

    代入可得

    在本题中,设

    ,可将
    视为
    旋转
    得到,即

    代入双曲线方程

    化简得

    ,两边同时除以
    可以得到

    也是反比例函数,在这里

    我们可以得到结论:反比例函数的图像就是特殊的双曲线,其中渐进线为两条相互垂直的坐标轴。由于坐标轴相互垂直,可以推出

    ,离心率
    ,或者说,
    该双曲线为等轴双曲线。

    f80a7835144e47de6b98157d2deec388.png
    打勾函数的图像

    在这里,可能会有人想到一个东西:打勾函数。

    打勾函数在一些题目中经常出现。在这里考虑函数

    它有两条渐近线,分别为

    ,因此我们猜测,它的图像也是双曲线。

    例3 在平面直角坐标系中,已知函数

    ,将其绕原点顺时针旋转
    ,求所得到的曲线
    的方程。

    取函数图像上一点

    上的一点
    ,可将
    视为
    旋转
    得到,即

    代入

    ,即

    可得

    ,C为焦点在x轴上的双曲线。

    后记:

    本文是一位什么都不会的高中生心血来潮的创作,记录偶然的小发现。难免会出现错误或是步骤上的问题,如果有误欢迎私信指出~

    个人感觉在知乎上打公式比Word和OneNote舒服很多,排版也比较舒服,以后可能将一些平时的笔记等等移到知乎上保存~

    补充:

    评论区超级热情~

    感谢大家指出错误,现在已经修改,也谢谢大家认真阅读这篇文章。

    一般形式的打勾函数在这里就不推导了,计算量会比较大~

    展开全文
  • 定义: 椭圆/双曲线上两条相互垂直切线...当切线斜率存在时设 ,过点 切线方程为 与椭圆联立得 约掉 得 化简提取公因得 约掉 整理得 是方程两个根,且 则 ,整理得 即 轨迹方程为 双曲线同理推导几何证法设...

    ff0229c45e70ce61e1279d148fa1ea0a.png

    定义: 椭圆/双曲线上两条相互垂直的切线的交点

    的轨迹方程为圆称为外准圆,也叫蒙日圆

    方程:椭圆

    ,外准圆方程

    双曲线

    ,外准圆方程

    81e2a8294266c12eb2f1204dc101fcc4.png

    d88d2f2af93924390705ae4e6d9f62b3.png

    以椭圆为例,推导有很多种方法,这里写几种常见的.

    当切线斜率存在时设

    ,过点
    的切线方程为

    与椭圆联立得

    约掉

    化简提取公因式得

    约掉

    整理得

    是方程的两个根,且

    ,整理得

    的轨迹方程为

    双曲线同理推导

    几何证法

    746dd328d67854cc2c6e22202d7fd7d8.png

    关于直线
    的对称点为
    ,
    关于直线
    的对称点为

    分别交
    于点

    为等腰三角形,

    由椭圆光学性质得

    三点共线

    由椭圆定义可知

    ,
    的中位线

    同理

    为直角三角形,则

    连接矩形

    的对角线交于点

    中由极化恒等式得

    同理得

    即P的轨迹为

    抛物线的外准圆是准线,准线可看作半径为无穷大的圆

    558cc548072c9ca610e06d1d58e89815.png

    下面介绍一些常见的性质(关于蒙日圆的题目比较少,这里就讲两个常见的)

    1:椭圆

    上两条相互垂直的切线交于点
    ,点
    到切点弦的距离为
    ,原点
    到切点弦
    的距离为
    ,则
    为定值

    设点

    ,则

    ,
    ,

    又因为

    点轨迹为
    ,则

    这里化简要一点技巧

    ,

    2:椭圆

    的任意切线与外准圆
    交于
    两点,有

    901109cb5e51aa8a130e71fdaf7c9b34.png

    证明:这里用齐次化解决

    当斜率为零或斜率不存在时,易证得

    当斜率存在设切点为

    则切线方程为

    联立直线与圆得

    =1

    同除

    整理得

    又点
    在椭圆上则

    对应系数成比例则

    上面的过程看起来会有点复杂但实际题目碰到了是有具体数值的没有那么多字母

    结束撒花✿✿✿3连走一波~

    展开全文
  • 我们还根据猜想光谱行列计算了前几个铁电离子光谱轨迹,并将它们与光谱理论中的解析和数值结果进行了比较。 在所有这些比较中,我们发现该猜想已以较高的数值精度得到了充分验证。 对于局部F 2 $$ {\ mathbb {F}}...
  • 应用耦合模理论, 给出均匀布拉格光纤光栅在考虑光栅致折射时的透射与反射系数的解析式, 按照测量偏振相关损耗(PDL)的确定性与非确定性两种方法, 推导出了均匀布拉格光纤光栅中偏振相关损耗的解析公式。理论分析...
  • 定义法:运用解析几何中一些常用定义(例如圆,椭圆,双曲线和抛物线),可从曲线定义出发直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系,从而求出轨迹方程。常见一些基本曲线的定义如下:①圆:到定点的距离等于定长...

    27b46b417fae19c8fe89401424bd5489.png
    • 定义法:

    运用解析几何中一些常用定义(例如圆,椭圆,双曲线和抛物线),可从曲线定义出发直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出轨迹方程。

    常见一些基本曲线的定义如下:

    ①圆:到定点的距离等于定长

    ②椭圆:到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)

    ③双曲线:到两定点距离之差的绝对值为常数(小于两定点的距离)

    ④抛物线:到定点与定直线距离相等。

    例题:已知圆(x+4)^2+y^2=25的圆心为M1,圆(x-4)^2+y^2=1的圆心为M2,一动圆与这两个圆外切,求动圆圆心P的轨迹方程。

    04f57ffbeb439cd82dfb0ef82f78d31b.png

    a9837702c6885789323bd2a071e74211.png

    备注:算出轨迹方程之后,要结合题意,注明变量x,y的范围

    变式1:一动圆M与圆O1:x^2+y^2=1外切,而与圆O2:x^2+y^2-6x+8=0内切,那么动圆圆心M的轨迹方程。

    变式2:若B(-8,0),C(8,0)为△ABC的两顶点,AC和AB两边上的中线长之和为30,求△ABC的重心轨迹方程。

    • 直接法:

    如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系(几何、三角或者向量表达式等),这些条件简单明确,易于表述成含x,y的等式,就得到轨迹方程,这种方法称之为直接法。

    直接法解题步骤如下:

    ① 设点:设动点的坐标为(x,y)

    ② 列式:根据题目已知条件得到等量关系式

    ③ 化简:整合关系式④ 范围:确认变量x,y的取值情况

    例题:动点P到两个定点A(-3,0)和B(3,0)的距离之比等于2,即│PA│: │PB│=2:1,求动点P的轨迹方程。

    f59b34511178c41dd74319b8dc933afb.png

    变式1:点M(x,y)到直线x=8的距离和它到定点F(1,0)的距离的比为2,则求动点M的轨迹方程。

    变式2:分别过A1(-1,0),A2(1,0)作两条互相垂直的直线,则求它们的交点M的轨迹方程。

    • 几何法:

    若所求的轨迹满足某些几何性质(如直线垂直,线段垂直平分线,角平分线,直角三角形斜边中线等于斜边一半等),可以列出几何等式,再带入点坐标求出轨迹方程,这种方法被称为几何法。

    例题:过点P(2,4)做两条互相垂直的直线L1,L2,若L1交x轴于A点,L2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程。

    af9468747259226914ec870bc6ef301d.png

    505c628c9e4e7cf34a9d51303899c560.png

    变式:过圆O:x^2+y^2=4外一点A(4,0),作圆的割线,求割线被圆截的的弦BC中点M的轨迹方程。

    • 相关点法:

    动点所满足的条件不易表述或求出,但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x0,y0)的运动而有规律的运动,且动点Q的轨迹为给定或容易求得,则可先将x0,y0表示为x,y的式子,再代入Q的轨迹方程,然而整理得P的轨迹方程,称为相关点法。

    相关点法解题步骤:

    ① 设形成轨迹的动点P坐标为(x,y);

    ② 设点Q的坐标为(x0,y0),且有F(x0,y0)=0;

    ③ 动点P随着点Q有规律的运用可得:x0=f(x,y),y0=g(x,y);

    ④ 把x0=f(x,y),y0=g(x,y)带入F(x0,y0)=0,即可求出点P的轨迹方程

    例题:抛物线y^2=4x的通径与抛物线交于A、B两点,动点C在抛物线上,求△ABC重心P的轨迹方程。

    b28db91f82bde03e03853cceacf3a701.png

    181253b865fbc9c8ce78e449ae8f3ef8.png

    变式1:从双曲线x^2-y^2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线,垂足为N,求线段QN的中点P的轨迹方程。

    变式2:设点M(-3,4),动点N在圆x^2+y^2=4上运动,以OM,ON为两边作平行四边形MONP,求点P的轨迹方程。

    参数法:

    有时很难直接找出动点的横、纵坐标之间关系。如果借助中间量(参数),使x,y之间的关系建立起联系,然后再从所求式子中消去参数,便可得动点的轨迹方程,这种方法被称作参数法。

    例题:过点A(0,1)做直线L与抛物线:x^2=4y交于D,E两点,O为坐标原点,求△ODE的重心G的轨迹方程。

    4b70440350ab8859285bf71798cc07f9.png

    03a8b912876d4be3e676994fe9664721.png

    变式:设抛物线y^2=4x的准线为L,焦点为F,顶点为O,P为抛物线上任意一点,又PQ⊥L,Q为垂足,求QF与OP的交点M的轨迹方程。

    • 点差法:

    若设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2),将这两点带入圆锥曲线的方程并对所得两式做差,得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量。我们称这种带点做差的方法为“点差法”。点差法对于解决弦中点轨迹问题非常有效。

    例题:求抛物线y^2=4x的过焦点F的弦的中点M的轨迹方程。

    e87f64a43f7b612b205a0639860c999c.png

    ce0264c4602cd3087f97f8a5293ce3f2.png

    da200bedfe6c0610481dece0fc3dace8.png

    变式:过原点的直线L和抛物线y=x^2-4x+6交于A、B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程。

    • 交轨法:

    在求动点轨迹时,有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题,这种问题通常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标,再消去参数求得所求的轨迹方程,该法通常与参数法同时使用。

    交轨法解题步骤:

    ①根据题意已知动曲线F(x,y)=0和动曲线G(x,y)=0相交于点P,设动点P的坐标为(x,y)

    ②将F(x,y)=0与G(x,y)=0联立,求得交点坐标即可。

    备注:得到的交点坐标通常含有参数,还会有一个消参的过程。

    例题:如图,已知抛物线C:y=x^2,动点P在直线L:x-y-2=0上运动,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点,求△APB的中心G的轨迹方程。

    9130cc9490d9a1d74a02324976a2daa6.png

    658802cfffa28911ea45238e2da04e75.png

    变式:已知椭圆:x^2/3+y^2/2=1的左,右焦点分别为F1和F2,直线L1过F2且与x轴垂直,动直线L2与y轴垂直,L2交L1于点P。求线段PF1的垂直平分线与直线L的交点M的轨迹方程.

    展开全文
  • 2阶偏微分方程3中基本类型有:椭圆型,双曲线型,抛物线型。 首先,关于2阶偏微分方程一般形式为, 这里是与相关函数。 根据与2阶偏微分项相关系数,通过使用判別,可以把2阶偏微分方程分成...

    2阶偏微分方程的3种基本类型

    2阶偏微分方程的3中基本类型有:椭圆型,双曲线型,抛物线型。 首先,关于pde3.eq1.gif的2阶偏微分方程的一般形式为,

    pde3.eq2.gif

    这里的pde3.eq3.gif是与pde3.eq4.gif相关的函数。

    根据与2阶偏微分项相关的系数pde3.eq5.gif,通过使用判別式pde3.eq6.gif,可以把2阶偏微分方程分成下面几类。

    • 椭圆型(elliptic) : pde3.eq7.gif 
      例)
      • Laplace方程(a=1,b=0,c=1)
        pde3.eq8.gif
      • Poisson方程(a=1,b=0,c=1)
        pde3.eq9.gif
    • 双曲线型(hyperbolic) : pde3.eq10.gif 
      例)
      • 波动方程(a=1,b=0,c=-1)
        pde3.eq11.gif
    • 抛物线型(parabolic) : pde3.eq12.gif 
      例)
      • 扩散方程(a=1,b=0,c=0)
        pde3.eq13.gif
    展开全文
  • C语言实例解析精粹

    2014-03-14 21:57:05
    075 绘制余弦曲线和直线迭加 076 计算高次方数尾数 077 打鱼还是晒网 078 怎样存钱以获取最大利息 079 阿姆斯特朗数 080 亲密数 081 自守数 082 具有abcd=(ab+cd)2性质数 083 验证歌德巴赫猜想 084 ...
  • C语言实例解析精粹 PDF

    热门讨论 2010-08-17 00:20:25
    实例75 绘制余弦曲线和直线迭加 实例76 计算高次方数尾数 实例77 打鱼还是晒网 实例78 怎样存钱以获取最大利息 实例79 阿姆斯特朗数 实例80 亲密数 实例81 自守数 实例82 具有abcd=(ab+cd)2性质数 实例83 验证...
  • 从原则上说,应该把椭圆切线,双曲线切线,和抛物线切线放在一起讲,但是,高考解析几何大题中多年不曾出过双曲线的切线问题,而抛物线的切线问题不论是求导还是利用判别来算都比较轻松,因此单独把椭圆切线方程拿...
  • 运用解析几何中一些常用定义(例如圆,椭圆,双曲线和抛物线),可从曲线定义出发直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系,从而求出轨迹方程。常见一些基本曲线的定义如下:①圆:到定点的距离等于定长②椭圆:...
  • C语言实例解析精粹源代码

    热门讨论 2009-09-20 03:39:01
    075 绘制余弦曲线和直线迭加 076 计算高次方数尾数 077 打鱼还是晒网 078 怎样存钱以获取最大利息 079 阿姆斯特朗数 080 亲密数 081 自守数 082 具有abcd=(ab+cd)2性质数 083 验证歌德巴赫猜想 084 ...
  • 精华博览8年新课标I、5年新课标II、4年新课标III高考数学真题详细解析16年新课标I、9年新课标II、4年新课标III高考数学真题分类详解2020年高考数学重要专题讲座2020届全国各地高考数学模拟试题选椭圆与双曲线性质...
  • C语言实例解析精粹(第二版) 光盘代码 本文件包括以下内容: ※ 1、文件说明 ※ 2、源码操作说明 ※ 3、光盘目录清单 ◎ 源码操作说明 源代码使用方法是(以实例1为例): 将该实例源码,比如实例11.c文件(可以...
  • 精华博览8年新课标I、5年新课标II、4年新课标III高考数学真题详细解析16年新课标I、9年新课标II、4年新课标III高考数学真题分类详解2020年高考数学重要专题讲座2020届全国各地高考数学模拟试题选椭圆与双曲线性质...
  • C语言实例解析精粹(第二版) 电子书及源代码 附清晰版电子书及源代码 第一部分 基础篇 实例1 第一个C程序 实例2 运行多个源文件 实例3 求整数之积 实例4 比较实数大小 实例5 字符输出 实例6 显示变量所占...
  • C语言实例解析精粹 第一版 电子书及源代码 200 C 程序 第一部分 基础篇 001 第一个C程序 002 运行多个源文件 003 求整数之积 004 比较实数大小 005 字符输出 006 显示变量所占字节数 007 自增/自减运算 ...
  • 《C语言实例解析精粹》作者:曹衍龙、林瑞仲、徐慧,出版社:人民邮电出版社,ISBN:9787115163073,高清影印版,本资源带有 PDF 书签,方便读者朋友阅读。 本资源附带全书源代码。 内容简介:  本书主要讲解...
  • 075 绘制余弦曲线和直线迭加 076 计算高次方数尾数 077 打鱼还是晒网 078 怎样存钱以获取最大利息 079 阿姆斯特朗数 080 亲密数 081 自守数 082 具有abcd=(ab+cd)2性质数 083 验证歌德巴赫猜想 084 ...
  • 075 绘制余弦曲线和直线迭加 076 计算高次方数尾数 077 打鱼还是晒网 078 怎样存钱以获取最大利息 079 阿姆斯特朗数 080 亲密数 081 自守数 082 具有abcd=(ab+cd)2性质数 083 验证歌德巴赫猜想 084 ...
  • 原标题:怎样在几何画板中画可变反比例函数反比例函数是中学时代必学一种函数,其图像是是双曲线,是用平滑曲线把一些特殊点连接起来,掌握反比例函数图像是中学数学重点和难点。作为好用绘图工具,...
  • 定义法运用解析几何中一些常用定义(例如圆,椭圆,双曲线和抛物线),可从曲线定义出发直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系,从而求出轨迹方程。常见一些基本曲线的定义如下:①圆:到定点的距离等于定长②...
  • 定义法运用解析几何中一些常用定义(例如圆,椭圆,双曲线和抛物线),可从曲线定义出发直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系,从而求出轨迹方程。常见一些基本曲线的定义如下:①圆:到定点的距离等于定长②...
  • 7.曲线及曲线的行列 初步知识 黎曼定理 黎曼奇异定理 特殊线性系统IV Torelli定理 第3章 深入技巧 1.分布与流 定义;幂公式 平滑与整齐 流的上同调 2.流在复分析上的应用 解析簇相关的流 解析簇的相交数 莱维扩展...
  • 形如 y=k/x(k≠0的常数,x≠0,y≠0) 的函数,叫做反比例函数.y=k/x=k·1/x=kx-1反比例函数的特点:y=k/x→xy...另外,从反比例函数的解析式可以得出,在反比例函数的图像上任取一点,向两个坐标轴作垂线,这点、两个垂足...
  • matlab时频分析工具箱+安装方法+函数说明.

    千次下载 热门讨论 2014-02-27 15:30:23
    fmhyp 双曲线频率调制信号 fmlin 线性频率调制信号 fmodany 任意频率调制信号 fmpar 抛物线频率调制信号 fmpower 幂指数频率调制信号 fmsin 正弦频率调制信号 gdpower 能量律群延迟信号 altes 时域Altes信号 anaask ...
  • fmhyp 双曲线频率调制信号 fmlin 线性频率调制信号 fmodany 任意频率调制信号 fmpar 抛物线频率调制信号 fmpower 幂指数频率调制信号 fmsin 正弦频率调制信号 gdpower 能量律群延迟信号 altes 时域Altes信号 anaask ...
  • 以LabVIEW为开发平台电子互感器校验仪设计.pdf 以VC++为平台电传训练系统研究与实现.pdf 使用MFC和ADO实现不规则窗口通讯录.pdf 分布式软件动态配置环境可视化研究与实现.pdf 利用Debug探索VisualC_编程原理....
  • 以LabVIEW为开发平台电子互感器校验仪设计.pdf 以VC++为平台电传训练系统研究与实现.pdf 使用MFC和ADO实现不规则窗口通讯录.pdf 分布式软件动态配置环境可视化研究与实现.pdf 利用Debug探索VisualC_编程原理....
  • 以LabVIEW为开发平台电子互感器校验仪设计.pdf 以VC++为平台电传训练系统研究与实现.pdf 使用MFC和ADO实现不规则窗口通讯录.pdf 分布式软件动态配置环境可视化研究与实现.pdf 利用Debug探索VisualC_编程原理....
  • 以LabVIEW为开发平台电子互感器校验仪设计.pdf 以VC++为平台电传训练系统研究与实现.pdf 使用MFC和ADO实现不规则窗口通讯录.pdf 分布式软件动态配置环境可视化研究与实现.pdf 利用Debug探索VisualC_编程原理....

空空如也

空空如也

1 2 3
收藏数 46
精华内容 18
关键字:

双曲线的解析式