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  • 为了改善传统离散Gabor变换的时频...对多高斯窗下离散Gabor变换双正交关系式进行了简化, 给出了分析窗组的代数方程表达式。该算法相对于多高斯Gabor展开的计算复杂度明显降低, 仿真实验的结果也证明了该算法的有效性。
  • 1.信号分解及完备性 设是X由一组向量所张成,即: 如果线性独立,我们则称它们为...设向量和向量满足如下双正交关系: 那么,我们对原始信号就行投影变换(內积): 看看,我们把最关心的分解系数给弄出来了

    1.信号分解及完备性

    设是X由一组向量所张成,即:

    如果线性独立,我们则称它们为空间中的一组基”。
    那么信号x可以离散表示如下:


    是一组两两互相正交的向量,展式称为x的正交展开。分解系数是在各个基向量上的投影。
    设向量和向量满足如下双正交关系

    那么,我们对原始信号就行投影变换(內积):

    看看,我们把最关心的分解系数给弄出来了!现在的问题是与原始基双正交的向量怎么求?

    1.1 信号分解、对偶基(倒数基)、正交基

    关于信号的分解表示,我们可以从连续时间和离散时间分开分析:
    对于连续时间信号:

    对于离散时间信号:

    以上两式称为信号的变换。“变换”的结果即是求出一组系数。 
    称为“对偶基”,或“倒数基”。
    双正交关系指的是两组基之间各对应向量之间具有正交性,但每一组向量之间并不一定具有正交关系
    N 维空间中的正交基
    如果一组基向量对偶向量即是其自身,也那么这一组基向量构成了N 维空间中的正交基。

    1.2 完备性/标架

    若X空间中的任一元素x都可由一组向量作式 :

    的分解,那么我们称这一组向量是“完备(complete)”的。
    如果是完备的,且是线性相关的,那么,由表示x必然会存在信息的冗余,并且其对偶向量将 不会是唯一的。这时,我们称构成空间的一个“标架(frame)”。

    是完备的,且是线性无关的,则是X中的一组基向量,这时,存在且唯一,即存在

    双正交关系。则对偶及存在,且是唯一的。
    对于正交关系,那么他的对偶基就是自己本身

    1.3 详细证明

    将对偶基向量,用基向量表示:

    将基向量与对偶基进行內积计算:


    令:
        
    这样,我们可以得到如下公式:


    这样我们就可以通过基向量,求得他的对偶基向量。

    2.思考

    2.1为什么信号分解系数线性相关情况下,对偶基不唯一?

    基向量现象相关,导致B矩阵是奇异矩阵,那么得到的“对偶基向量”必定不唯一。

    2.2为什么信号分解系数双正交情况下,对偶基唯一?

    单位阵I,那么此时的B是固定的唯一的,就是基向量的逆。

    2.3为什么信号分解系数正交情况下,对偶基就是本身?

    正交情况下,矩阵的逆就是矩阵的转置,那么就是自己本身,如此简单的运算,也正是正交变换在硬件领域很受欢迎的原因。因为对矩阵求转置的复杂度要远远低于逆运算。

    2.4分解系数可以通过对偶基向量和原始信号的內积求得,这有什么物理意义?


    通过上面公式,我们可以通过物理角度进行思考。所谓的投影运算也可以看成是相似性衡量问题。如果对偶基向量与原始信号越相似,分解系数应该越大!
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  • 双正交、完备性、对偶向量

    千次阅读 2017-12-27 10:58:12
    1.信号分解及完备性 设是X由一组向量所张成,即: ...设向量和向量满足如下双正交关系: 那么,我们对原始信号就行投影变换(內积): 看看,我们把最关心的分解系数给弄出来了



    1.信号分解及完备性

    设是X由一组向量所张成,即:

    如果线性独立,我们则称它们为空间中的一组基”。
    那么信号x可以离散表示如下:


    是一组两两互相正交的向量,展式称为x的正交展开。分解系数是在各个基向量上的投影。
    设向量和向量满足如下双正交关系

    那么,我们对原始信号就行投影变换(內积):

    看看,我们把最关心的分解系数给弄出来了!现在的问题是与原始基双正交的向量怎么求?

    1.1 信号分解、对偶基(倒数基)、正交基

    关于信号的分解表示,我们可以从连续时间和离散时间分开分析:
    对于连续时间信号:

    对于离散时间信号:

    以上两式称为信号的变换。“变换”的结果即是求出一组系数。 
    称为“对偶基”,或“倒数基”。
    双正交关系指的是两组基之间各对应向量之间具有正交性,但每一组向量之间并不一定具有正交关系
    N 维空间中的正交基
    如果一组基向量对偶向量即是其自身,也那么这一组基向量构成了N 维空间中的正交基。

    1.2 完备性/标架

    若X空间中的任一元素x都可由一组向量作式 :

    的分解,那么我们称这一组向量是“完备(complete)”的。
    如果是完备的,且是线性相关的,那么,由表示x必然会存在信息的冗余,并且其对偶向量将 不会是唯一的。这时,我们称构成空间的一个“标架(frame)”。

    是完备的,且是线性无关的,则是X中的一组基向量,这时,存在且唯一,即存在

    双正交关系。则对偶及存在,且是唯一的。
    对于正交关系,那么他的对偶基就是自己本身

    1.3 详细证明

    将对偶基向量,用基向量表示:

    将基向量与对偶基进行內积计算:


    令:
        
    这样,我们可以得到如下公式:


    这样我们就可以通过基向量,求得他的对偶基向量。

    2.思考

    2.1为什么信号分解系数线性相关情况下,对偶基不唯一?

    基向量现象相关,导致B矩阵是奇异矩阵,那么得到的“对偶基向量”必定不唯一。

    2.2为什么信号分解系数双正交情况下,对偶基唯一?

    单位阵I,那么此时的B是固定的唯一的,就是基向量的逆。

    2.3为什么信号分解系数正交情况下,对偶基就是本身?

    正交情况下,矩阵的逆就是矩阵的转置,那么就是自己本身,如此简单的运算,也正是正交变换在硬件领域很受欢迎的原因。因为对矩阵求转置的复杂度要远远低于逆运算。

    2.4分解系数可以通过对偶基向量和原始信号的內积求得,这有什么物理意义?


    通过上面公式,我们可以通过物理角度进行思考。所谓的投影运算也可以看成是相似性衡量问题。如果对偶基向量与原始信号越相似,分解系数应该越大!

    原文见:http://m.blog.csdn.net/shenziheng1/article/details/60610724
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  • 为了改善传统离散Gabor变换的时频...对多高斯窗下离散Gabor变换双正交关系式进行了简化, 给出了分析窗组的代数方程表达式。该算法相对于多高斯Gabor展开的计算复杂度明显降低, 仿真实验的结果也证明了该算法的有效性。
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  • 正交变换相关

    2021-05-17 21:27:07
    文章目录双正交关系、对偶基、正交基、正交变换正交变换的性质 《数字信号处理——理论、算法与实现》第二版 双正交关系、对偶基、正交基、正交变换 正交变换的性质

    《数字信号处理——理论、算法与实现》第二版

    双正交关系、对偶基、正交基、正交变换

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    正交变换的性质

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    什么叫正交变换?为什么要正交变换
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  • 假设一种语言有四种基本数据类型(整型,浮点型,精度型和字符型)以及两个类型运算符(数组和指针)。如果两个 类型运算符可以应用于自己和四种基本数据类型 可以定义大量的数据结构。 正交语言特征的含义独立于其在...

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    A Reg1, memory_cell

    AR Reg1, Reg2

    其中REG1和Reg2中表示寄存器。这些语义是

    Reg1 ← contents(Reg1) + contents(memory_cell)

    Reg1 ← contents(Reg1) + contents(Reg2)

    为32位整数值的VAX加法指令是

    ADDL operand_1, operand_2

    其语义是

    operand_2 ← contents(operand_1) + contents(operand_2)

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    千次阅读 2013-12-06 21:13:10
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空空如也

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双正交关系