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  • 1.马尔可夫链概念 Markov Chain,马尔科夫链是满足马尔科夫性质的随机过程。2.ninig(end)

    在证明PageRank算法时(n取+∞时Pn是否存在以及Pn值是否与初始值P0是否相关),需要用到马尔可夫链,随机矩阵、不可约矩阵,周期性矩阵等概念,下面加以mark。

    1.马尔可夫链概念

    1.1马尔科夫性质概念

    如果x[n+1]对于过去状态的条件概率分布仅仅是x[n]的一个函数,这里x是过程中的某个状态,这个恒等式被看做马尔可夫性质:

                                P(X_{n+1}=x|X_0,X_1,X_2,\cdots,X_n)=P(X_{n+1}=x|X_n)

    1.2马尔可夫链概念

    时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链,记作{X_n=X(n),n=0,1,2,\cdots}。马尔可夫链是随机变量的一个数列X_1,X_2,X_3\cdots。变量所有可能取值的集合,称为“状态空间”,而x[n]的值是在时间n的状态。

    Markov Chain,马尔可夫链是满足马尔科夫性质的随机过程。数学中,Markov Chain是具有Markov性质的离散时间随机过程。此过程中,已知当前信息时,在当前之前的信息对预测当前以后的信息是无关的。即如果有Markov Chain={y1, y2, y3},先后时间信息为:y1--->y2--->y3,已知y2时,无法由y1预测出来y3。

    马尔可夫链,是满足下面两个假设的一种随机过程:

    1.P(X_{n+1}=x|X_0,X_1,X_2,\cdots,X_n)=P(X_{n+1}=x|X_n),即t+1时刻的状态只和t时刻的状态有关

    2.从时刻t到时刻t+1的状态转移,与t的值无关。一个马尔可夫链模型可表示为=(S, P, Q):

      1)S是系统所有可能的状态所组成的非空的状态集

            有时也称之为系统的状态空间,它可以是有限的、可列的集合或任意非空集。Si,Sj)等来表示状态。

      2)P=[P_{ij}]_{n\times n}是系统的状态转移概率矩阵

            其中Pij表示系统在时刻t处于状态i,在时刻t+l处于状态i的概率,N是系统所有可能的状态的个数。

            对于任意i∈s,有\sum_{j=1}^NP_{ij}=l

      3)Q=[q_1,q_2\cdots q_n]是系统的初始概率分布,qi是系统在初始时刻处于状态i的概率,满足\sum_{i=1}^Nq_i=1

    2.[右/左/双]随机矩阵

    又名:随机矩阵(Stochastic Matrix)、概率矩阵、转移矩阵、替代矩阵、马尔科夫矩阵

    功能:随机矩阵用来描述一个马尔可夫链的转变的矩阵

    元素:随机矩阵中的每一元素表示一个概率,值为非负实数。

    使用范围:随机矩阵适用于概率论、统计学和线性代数等


    如果在一个时间不长内从状态i转移到状态j的转移概率为 ,下面一个随机矩阵:


    由于从状态 i 到下一状态的概率总和必须是 1,这个矩阵是一个右随机矩阵,于是

    右随机矩阵是实方阵,其中每一行求和为1。

    左随机矩阵是实方阵,其中每一列求和为1。

    双随机矩阵是非负实数方阵,每个行和列求和均为1。

    3.不可约矩阵

    如果A是不可约矩阵,则A必须是方阵。与方阵A对应的有向图B是强联通的:有向图B中任意一对节点(u,v),存在从u到v的路径。

    4.非周期矩阵

    对于矩阵A,所谓周期性,体现在Markov链的周期性上。即若A是周期性的,那么这个Markov链的状态就是周期性变化的。

    如果A是素矩阵(素矩阵指自身的某个次幂为正矩阵的矩阵),所以A是非周期的。

    参考文献

    [1]机器学习知识点(十)马尔可夫链

    [2]百度百科:随机矩阵

    (end)

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  • 对于每一个节点,如果输入权重和输出权重都等于1,那么就是双随机的有向图。简而言之,如果允许双重随机邻接矩阵的有向图,称为具有双重随机性质。 双重随机性是图中非常良好的性质,并以此展开大量的研究。事实上...

    When does a digraph admit a doubly stochastic adjacency matrix

    Doubly Stochastic:

    对于每一个节点,如果输入权重和输出权重都等于1,那么就是双随机的有向图。简而言之,如果允许双重随机邻接矩阵的有向图,称为具有双重随机性质。

    双重随机性是图中非常良好的性质,并以此展开大量的研究。事实上,这种要求还是比较苛刻的,因此很多算法都在进一步的寻求避免对双重随机性的需要。

    Notations:

    一个有向图的表示 \(G=(V,E)\),\(V\)是有限的集称为顶点集,\(E\subseteq V \times V\)是边集。

    如果每个顶点都有相同数量的邻居,我们称这个无向图是正则的。

    令\(E^-\subseteq V\times V\)表示改变\(E\)的元素的顺序后的结果,如果\((u,v)\in E\),那么\((v,u)\in E^-\). 图\(\bar{G}=(V,E\cup E^-)\)称为图\(G\)的镜像。

    加权有向图(digraph)用\(G=(V,E,A)\)表示,其中\((V,E)\)表示有向图,\(A\in R^{n\times n}\)是邻接矩阵。
    那么一个加权有向图是如何合并的?
    设\(G_1=(V_1,E_1,A_1)\),\(G_2=(V_2,E_2,A_2)\),那么\(G_1\cup G_2=(V_1\cup V_2, E_1 \cup E_2, A)\),其中
    $$A|_{V_1\cap V_2} =A_1|_{V_1\cap V_2}+A_2|_{V_1\cap V_2} $$

    $$A|_{V_1 / V_2}=A_1,A|_{V_1 / V_2}=A_2$$

    对于有向带权图,带权的出度和入度可以表示为
    $$d^w_{out}(v_i)=\sum^n_{j=1}a_{ij},\qquad d^w_{in}(v_i)=\sum^n_{j=1}a_{ij}$$

    平衡图:
    一个矩阵 如果\(\sum^n_{i=1}a_{ij}=\sum^n_{j=1}a_{ji}\),那么这是一个权重平衡图。

    置换矩阵(permutation matrix):每一行和每一列仅有一个\(1\).

    值得注意的是,当且仅当每一个节点\(d^w_{in}(v)=d^w_{out}(v)\),才是权重平衡图,也就是双随机邻接图。

    权重平衡图的结论:

    结论1
    如果一个图是权重平衡图,当且仅当它可以分解成多个权重平衡图的。
    > 如果\(E=E_1\cup E_2 \cup \cdots \cup E_k\),那么每一个子图\(G=(V,E_i)\)也是权重平衡图。

    结论2

    对于一个有向图,以下表述是等价的。

    --边集中每一个元素处在一个循环中。
    --\(G\)是权重平衡的。
    --\(G\)是强半连通的(strongly semiconnected).

    注意强连通和强半连通:

    - 如果任何不同的顶点之间都存在路径,那么就是强连通的;
    - 如果存在从\(w\)到\(v\)的路径,就一定有从\(v\)到\(w\)的路径,那么这个图就是强半连通的。

    显而易见,强连通包含强半连通。

    问题陈述:
    所有的双随机性的图都是权重平衡矩阵,因此双随机的必要条件就是强半连通性(strong semiconnectedness)。

    其次,可以双重随机化的 权重平衡图 不能有孤点。

    定理:

    一个强半连通有向图是双随机的当且仅当它所有的强连通部分是双随机的。

    权重平衡矩阵和双随机邻接矩阵的关系
    \(Irr(R^{n\times n}_{\ge 0})\)表示不可约矩阵。其中,一个权重有向图是强连通的当且仅当其邻接矩阵是不可约的。
    不可约矩阵,如果存在一个矩阵$P$使得$P^{'}AP$为一个分块上三角阵,就称\(A\)可约。也有定理:与矩阵A对应的有向图是强连通的,则不可约。

    定理

    如果\(A\)是一个有向平衡图,且是不可约的,那么当且仅当\(\sum^n_{l=1}=C\),对每一个$i$都成立,则其对应的图是双随机的。

    推论

    任何强连通的有向图都可以在加上一定数量的自循环后变成双随机的。

    推论

    所有的无向正则图都是双随机的。
    --所有顶点都有相同数量的邻居的图称为正则图。

    定理

    关于 \(G_{cyc}\)的扩展邻接矩阵是一个置换矩阵,当且仅当\(G_{cyc}\)包含了\(G\)所有的顶点。

    转载于:https://www.cnblogs.com/sybear/p/10850216.html

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  • 几类特殊矩阵与特殊积7.1 非负矩阵7.1.1 非负矩阵与正矩阵7.1.2 不可约非负矩阵7.1.3 素矩阵与循环矩阵7.2 随机矩阵与双随机矩阵7.3 单调矩阵7.4 MMM 矩阵与 HHH 矩阵7.4.1 MMM 矩阵7.4.2 HHH 矩阵7.5 TTT 矩阵与...
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    7.1 非负矩阵

    注意:非负矩阵和正矩阵的概念与非负定矩阵和正定矩阵的概念是不同的。

    正定矩阵相关解释可参考:【数理知识】标量函数、二次型函数、矩阵、正定负定半正定半负定

    7.1.1 非负矩阵与正矩阵

    对于任意的 A=(aij)Cm×nA=(a_{ij}) \in \mathbb{C}^{m\times n},引进记号
    A=(aij)(7.1.2)|A| = (|a_{ij}|) \tag{7.1.2}

    即表示以 aija_{ij} 之模 aij|a_{ij}| 为元素所得的非负矩阵;特别地,当 x=(x1,,xn)TCnx=(x_1, \cdots,x_n)^T \in \mathbb{C}^n 时,x=(x1,,xn)T|x|=(|x_1|,\cdots,|x_n|)^T 表示一个非负向量。

    注意,这里使用的记号 A|A|x|x|,不要与前面讲的“方阵的行列式”和“向量的长度”概念混淆。

    定理 7.1.3 (谱半径的单调性)

    A,BCn×nA,B\in \mathbb{C}^{n\times n},若 AB|A|\le B,则
    ρ(A)ρ(A)ρ(B)(7.1.3)\rho(A)\le\rho(|A|)\le\rho(B)\tag{7.1.3}

    定理 7.1.4 (佩龙 (Perron) 定理)

    ARn×nA\in \mathbb{R}^{n\times n},且 ρ(A)\rho(A) 为其谱半径,若 A>0A>0(正矩阵),则
    (1)ρ(A)\rho(A)AA 的正特征值,其对应的一个特征向量 yRny\in\mathbb{R}^n 必为正向量;
    (2)对 AA 的任何其他特征值 λ\lambda,都有 λ<ρ(A)|\lambda|<\rho(A)
    (3)ρ(A)\rho(A)AA 的单特征值。

    7.1.2 不可约非负矩阵

    定义 7.1.2 (可约与不可约矩阵)

    ARn×n(n2)A\in \mathbb{R}^{n\times n}(n\ge2),若存在 nn 阶置换矩阵 PP,使
    PAPT=[A11A120A22](7.1.20)PAP^T = \left[\begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{matrix}\right]\tag{7.1.20}

    其中, A11A_{11}rr 阶方阵,A22A_{22}nrn-r 阶方阵(1r<n1\le r<n),则称 AA 为可约(可分)矩阵,否则称 AA 为不可约矩阵。

    定理 7.1.9 (佩龙-弗罗贝尼乌斯 (Perron-Frobenius) 定理)

    ARn×nA\in \mathbb{R}^{n\times n} 是不可约非负矩阵,则
    (1)AA 有一正实特征值恰等于它的谱半径 ρ(A)\rho(A),并且存在正向量 xRnx\in \mathbb{R}^n,使得 Ax=ρ(A)xAx = \rho(A)x
    (2)ρ(A)\rho(A)AA 的单特征值;
    (3)当 AA 的任意元素(一个或多个)增加时,ρ(A)\rho(A) 增加。

    英文版的 Perron-Frobenius Theorem 参考 On constructing Lyapunov functions for multi-agent systems

    7.1.3 素矩阵与循环矩阵

    7.2 随机矩阵与双随机矩阵

    7.3 单调矩阵

    7.4 MM 矩阵与 HH 矩阵

    1937年,奥斯乔斯基(Ostrowski)发现一类具有特殊构造的矩阵,其非对角元素(iji\ne jaij0a_{ij}\le 0,即这种矩阵 AA 都可以表示为 A=sIBA=sI-B,且 s>0,B0s>0,B\ge0,故称这种矩阵与非负矩阵有一定的联系,称为闵可夫斯基(Minkovski)矩阵,简称 MM 矩阵。

    7.4.1 MM 矩阵

    定义 7.4.1

    ARn×nA\in \mathbb{R}^{n\times n} ,且可表示为
    A=sIB,s>0,B0(7.4.1)A=sI-B,\quad s>0,B\ge0 \tag{7.4.1}

    sρ(B)s\ge\rho(B),则称 AAMM 矩阵;若 s>ρ(B)s>\rho(B),则称 AA 为非奇异 MM 矩阵。

    7.4.2 HH 矩阵

    7.5 TT 矩阵与汉克尔矩阵

    7.6 克罗内克积

    定义 7.6.1

    A=(aij)Cm×nA=(a_{ij}) \in \mathbb{C}^{m\times n}B=(bij)Cp×qB=(b_{ij}) \in \mathbb{C}^{p\times q},则称如下的分块矩阵
    AB=[a11Ba12Ba1nBa21Ba22Ba2nBam1Bam2BamnB]Cmp×nqA\otimes B = \left[\begin{matrix} a_{11}B & a_{12}B & \cdots & a_{1n}B \\ a_{21}B & a_{22}B & \cdots & a_{2n}B \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1}B & a_{m2}B & \cdots & a_{mn}B \\ \end{matrix}\right] \in\mathbb{C}^{mp\times nq}

    AA 的克罗内克(Kronecker)积,或称 AABB 的直积,或张量积,简记为 AB=(aijB)mp×nqA\otimes B=(a_{ij}B)_{mp\times nq}。即 ABA\otimes B 是一个 m×nm\times n 块的分块矩阵,最后是一个 mp×nqmp\times nq 矩阵。

    扩展:Matlab 计算克罗内克积函数 Kron(A,B)

    【数理知识】kronecker 克罗内克积

    7.6.1 克罗内克积的概念

    7.6.2 克罗内克积的性质

    7.7 阿达马积

    7.8 反积及非负矩阵的阿达马积

    7.9 克罗内克积应用举例

    7.9.1 矩阵的拉直

    7.9.2 线性矩阵方程的解

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    2014-01-15 02:05:59
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    千次下载 热门讨论 2008-04-05 21:01:56
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    2013-05-01 10:20:49
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空空如也

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双随机矩阵的性质