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  • 考研数学-三角函数与反三角函数图像

    万次阅读 多人点赞 2018-08-12 17:42:57
    三角函数的前面加上arc,表示它们的函数f–1(x)。即由一个三角函数值得出当时的角度。 1. 正弦函数 sin x, 正弦函数 arcsin x y = sin x, x∈R, y∈[–1,1],周期为2π,函数图像以 x = (π/2) + k...

    转载自:http://math001.com/inverse_trigonometric_functions/

    三角函数的前面加上 arc ,表示它们的反函数 f–1 (x)。即由一个三角函数值得出当时的角度。

     

    1.  正弦函数 sin x, 反正弦函数 arcsin x

    sinx arcsinx

    • y = sin x, x∈R, y∈[–1,1],周期为2π,函数图像以 x = (π/2) + kπ 为对称轴
    • y = arcsin x, x∈[–1,1], y∈[–π/2,π/2]
    1. sin x = 0    ←→     arcsin x = 0
    2. sin x = 1/2     ←→     arcsin x = π/6
    3. sin x = √2/2    ←→     arcsin x = π/4
    4. sin x = 1    ←→     arcsin x = π/2

     

     

    2.  余弦函数 cos x, 反余弦函数 arccos x

    cosx arecosx

    • y = cos x, x∈R, y∈[–1,1],周期为2π,函数图像以 x = kπ 为对称轴
    • y = arccos x, x∈[–1,1], y∈[0,π]
    1. cos x = 0    ←→     arccos x = π/2
    2. cos x = 1/2     ←→     arccos x = π/3
    3. cos x = √2/2    ←→     arccos x = π/4
    4. cos x = 1    ←→     arccos x = 0 

     

     

    3.  反正弦函数 arcsin x, 反余弦函数 arccos x

    arcsinx arccosx

    • y = arcsin x 与 y = arccos x 自变量的取值范围都是 x∈[–1,1]
    • y = arcsin x 与 y = arccos x 的图像关于直线 y = π/4 对称,相交与点 (√2/2 ,π/4)

     

     

    4.   正切函数 tan x, 余切函数 cot x

    tanx cotx

    • y = tan x, x∈( (–π/2) + kπ, (π/2) + kπ ), y∈R,周期为π,当 x → ± (π/2) + kπ 时,函数的极限是无穷大 ∞
    • y = cot x = 1 / tan x, x∈( 0,kπ ), y∈R,周期为π,当 x →  kπ 时,函数的极限是无穷大 ∞
    • y = tan x 与 y = cot x 的图像关于 x =  (π/4) + kπ/2 对称
    • 在单个周期内(第一个),y = tan x 与 y = cot x 的图像相交与点 (π/4 ,1)。当 x =  (π/4) + kπ/2 时,y = tan x 与 y = cot x 函数的值都相等,等于 ±1

     

     

    5.   反正切函数 arctan x, 反余切函数 arccot x

    arctanx arccotx

    • y = arctan x 与 y = arccot x 自变量的取值范围都是 x∈R
    • y = arctan x 与 y = arccot x 的图像关于直线 y = π/4 对称,相交与点 (1 ,π/4)
    1. tan x = 0    ←→     arctan x = 0
    2. tan x = 1    ←→     arctan x = π/4
    3. tan x = √3    ←→     arctan x = π/3

     

    6.  余割函数 csc x

    cscx

    • y = csc x = 1 / sin x,x∈(0,kπ ), y∈(–∞,–1]∪[1,∞),周期为π,当 x → kπ 时,函数的极限是无穷大 ∞

     

     

    7.  正割函数 sec x

    secx

    • y = sec x = 1 / cos x,x∈( (–π/2) + kπ, (π/2) + kπ ), y∈(–∞,–1]∪[1,∞),周期为π,当 x → (π/2) + kπ 时,函数的极限是无穷大 ∞
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  • 三角函数与反三角函数

    千次阅读 2018-05-22 20:02:12
    说一下反三角函数atan等的角度计算值,弧度制和角度制我们平时在进行数学计算是,往往会用到三角函数和反三角函数,最常用的反三角函数大概就是atan了,因为这个相当于给定两点之间直线的夹角了。1, 正切函数图像 ...

    说一下反三角函数的角度计算值,弧度制和角度制

    我们平时在进行数学计算是,往往会用到三角函数和反三角函数,  反三角函数并不能简单地理解为三角函数的反函数,因为三角函数不是单值函数。为了构造三角函数的反函数,必须通过人为的限制。

    c++中cos,sin,asin等等这些三角函数操作的是弧度,而非是角度,你需要报角度转换为弧度。

    弧度=角度*pi/180;

    角度=弧度*180/pi;

     例子1:
    比如对边和邻边分别为a,b 
    设角度为x,则 
    x=atan(a/b); 
    其中x为弧度制 
    如需转换为角度值,则x*180/3.1415



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  • 三角函数与反三角函数的拓展三角函数$\csc x$,余割$\sec x$,正割$\cot x$,余切反三角函数 三角函数 三角函数分为: :sin⁡x,cos⁡x,tan⁡xcsc⁡x,sec⁡x,cot⁡x\sin x,\cos x,\tan x\\\csc x,\sec x,\cot xsinx,cosx,...

    三角函数

    三角函数分为:
    :sinx,cosx,tanxcscx,secx,cotx\sin x,\cos x,\tan x\\\csc x,\sec x,\cot x
    它们分别叫做正弦、余弦、正切,余割、正割、余切。
    三角函数的定义出自三角形某两边之比(单位圆也可给出定义),如图1-1:
    在这里插入图片描述

    csc x,余割

    • cscx=1sinx\csc x=\frac{1}{\sin x}

    图像:在这里插入图片描述

    • 定义域:,{xxkπkZ}\{x|x≠kπ,k∈Z\}

    • 值域:{yy1y1}\{y|y≤-1或y≥1\}

    • 渐近线:x=kπ ,k∈Z

    • 有界性: |cscx|≥1,显然无界

    • 奇偶性:奇函数

    • 周期性:2π

    • 单调性:
      :[2kπ+π2,2kπ+3π2]:[2kππ2,2kπ+π2],kZ增区间:[2k\pi+\frac{\pi}{2},2k\pi+\frac{3\pi}{2}] \\ 减区间:[2k\pi-\frac{\pi}{2},2k\pi+\frac{\pi}{2}]\\其中,k\in Z

    • 对称性:关于x=kπ2,kZx=\frac{k\pi}{2}对称,k\in Z

    • 特殊点:(π2+2kπ,1),(π2+2kπ1),kZ(\frac{\pi}{2}+2k\pi,1) ,(-\frac{\pi}{2}+2k\pi,-1),k\in Z

    sec x,正割

    • secx=1cosx\sec x=\frac{1}{\cos x}

    图像:在这里插入图片描述

    • 定义域:{xxπ2+kπkZ}\{x|x≠\frac{π}{2}+k\pi,k∈Z\}
    • 值域:(,1)(1,+)(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)
    • 渐近线:x=π2++kπx=\frac{\pi}{2}++k\pi
    • 有界性:显然无解,不过secx1|sec x|≥1
    • 奇偶性:偶函数
    • 周期性:2π2\pi
    • 单调性::[2kπ,π+2kπ]:[π+2kπ,2π+2kπ],kZ\\增区间:[2k\pi,\pi+2k\pi]\\减区间:[\pi+2k\pi,2\pi+2k\pi],k\in Z
    • 对称性:关于x=kπ,kZx=k\pi,k\in Z对称
    • 特殊点:(2kπ,1),(π+2kπ,1),kZ(2k\pi,1),(\pi+2k\pi,-1),k\in Z

    cot x,余切

    • cotx=1tanx\cot x=\frac{1}{\tan x}

    图像:在这里插入图片描述

    • 定义域:{xxkπ,kZ}\{x|x≠k\pi,k\in Z\}
    • 值域:RR
    • 渐近线:x=kπ,kZx=k\pi,k\in Z
    • 有界性:无
    • 奇偶性:奇函数
    • 周期性:π\pi
    • 单调性:x(kπ,π+kπ),x\in (k\pi,\pi+k\pi),递减
    • 对称性: 关于点(kπ2,0),kZ(\frac{k\pi}{2},0),k\in Z对称

    反三角函数

    反三角函数与三角函数互为反函数.
    只需注意反三角函数的值域只为一个周期即可.

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  • 一文了解三角函数与反三角函数的故事~ 01三角学三角形是几何中最简单的封闭图形,也是几何的入门知识,三角形中的边角关系是我们研究的重点,比如关于边有三边关系定理(三角形任意两边之和大于第三边),关于角也...

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    关于4点:因为arctan1=π/4,所以原式=4。一文了解三角函数与反三角函数的故事~

    01三角学

    三角形是几何中最简单的封闭图形,也是几何的入门知识,三角形中的边角关系是我们研究的重点,比如关于边有三边关系定理(三角形任意两边之和大于第三边),关于角也有内角和定理(三角形内角和为180°)等等。

    了解完边与边、角与角的关系后,不禁要多问一句:那边与角之间呢?是否存在着某种联系?

    答案是显然的,早在公元前600年左右,古希腊“科学鼻祖”泰勒斯就已经发现,在直角三角形中,相同的锐角其对边与斜边的比值是相等的,应用这样的原理,泰勒斯表示测量金字塔的高度只需要一根木棍就能搞定。

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    所以由于生产生活的需要,很早之久就有了专门研究平面三角形和球面三角形边角关系的学科——三角学,最早的目的是用于测量,后来在天文、航海中都发挥着巨大的作用。怎么又是天文、航海,可能夜观星象这种事情欧洲人也喜欢,至于航海嘛,没有航海哪来的新大陆。

    “三角学”一词最早来自拉丁文“trigonometria”,德国牧师皮蒂斯楚斯在1595年出版的《三角学:解三角形的简明处理》中第一次使用英文“trigonomettry”(三角学)。希腊天文学家托勒密(约公元100-170年)著有《天文学大成》13卷,被认为是西方第一本系统论述三角学理论的著作,同时他本人也被称为三角学创始人。

    在三角学的生命里,它先是投到天文学的怀抱,后来脱离天文称为数学的一个分支,最终时至今日划归到几何学门下。中世纪以来,三角学研究的重心逐渐与测量转向解三角形和对三角函数的研究。

    德国数学家、天文学家雷蒂库斯率先用直角三角形的边与边的比定义如今我们所熟知的正弦、余弦等6种三角函数,此种方法也是我们初中学习三角函数定义的方式。

    并且他还专门雇了一批就算人员编写了间隔为10′的6种三角函数表,对数有对数表,三角函数有三角函数表,事实上,除了雷蒂库斯,托勒密、韦达也干过这样的事,欧洲人对于列表的执念看来不浅呐。

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    18世纪,瑞士大数学家欧拉出版《无穷分析引论》,在这本划时代的著作中,欧拉第一次使用单位圆内以线段与半径之比来定义三角函数。

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    这个定义也是高中课本对三角函数的定义,也是我们了解三角函数最直接的形式,三角函数,与指数函数、对数函数、幂函数、反三角函数,并称为五大基本初等函数。

    02重新定义角度

    我们可能比认识三角形更早认识角,但或许我们未必对角有过全面的认识,什么叫角?两条共顶点的射线组成的图形叫做角,并且每个角都会有个度数,我们还知道一周是360°,那361°是个什么玩意,毕竟人家的口号叫多一度热爱,多的这一度搁哪呢?所以不同的定义方式会局限我们的认知。

    把射线其绕端点旋转后所形成的图形叫做角,旋转的量叫做角度。并且还规定了逆时针为正方向,也就是说,逆时针旋转一周是360°,两周便是720°,反之,顺时针旋转90°得到的是-90°角,所以随便给一个度数,我们都会有对应的角,虽然有些角看起来并没有什么区别。

    有了对角度的重新定义,三角函数也就焕发出了新的活力,对于任意的角度,都会有对应的角,同时也会存在其三角函数值,而欧拉通过单位圆的定义,则让函数图像活灵活现地展现在我们眼前:

    0a1c5e479627141557edb5b4f9bfcbb7.gif

    同时观察正弦与余弦:

    c2e6f97b41920e7c781d765bca45bf12.gif

    静态的图像:

    6b6ed6d12a12ff405d741ed7fed116d7.png

    而正切则有点鬼畜:

    4de53056b577aa9afd1d9d9710243123.gif

    静态中的正切函数:

    8454b73bff5b8a9fcf00681dcb7422a4.png

    但其实这个图像还有个小小的问题,自变量是个度数,而因变量是个实数,也就是说横轴是个度数而对应的纵轴是个实数,固然可以从角度集合映射到实数集,但如果能够将自变量也转变为一个实数,岂不美哉?

    03弧度制

    于是关于角度迎来了一种新的制度:弧度制。

    度量角的大小有两种制度,一种即我们通常说的角度制,比如说这个角是90°或者60°此类,其单位有度、分、秒。

    而另外一种,叫弧度制,在单位圆中,用这个角所对的弧的长度来表示角的大小,比如90°角在单位圆中对应的弧长为π/2,即我们用π/2(rad)来表示直角,这里的rad是弧度单位,通常可以省略,类似,可以直接用π表示平角,2π表示周角等。

    75392689cb621fe1b60a77ab1ca0b76c.gif

    从角度制到弧度制的转换,其实就是在角度与全体实数之间建立起一一对应的关系,从而达到用实数表示角度的目的。应用到三角函数中,横纵轴都可以是实数!

    说到这里,我们可以得到一个结论:tan(π/4)=1,已经很接近问题了!

    04反函数

    当在集合A和集合B之间存在一个一一映射的时候,反之在集合B和集合A之间也存在一个一一映射,这就是所谓的反函数。

    简单说函数是两个变量之间的一种对应关系,当存在y=f(x)时,我们称y是x的函数。恰当的条件下(一一映射),对因变量和自变量作互换,将y作为自变量,对应的x作为因变量,可得x=g(y),这便是y=f(x)的反函数。

    最典型的例子即对数函数与指数函数,欧拉根据指数函数y=a^x来定义对数函数80aaae6476acf36dcee25aa9a32fb8eb.png,变换后的函数将y看作自变量,对应的x是因变量。或许这么说还是不够明白,不如直接上图像吧:

    65f7c0a9318f45f955bb1ac7f5bf25c7.png

    两个函数的图像是关于直线y=x对称的,原因就是调换自变量因变量的身份,即将原函数(x,y)对应关系变为(y,x)的对应关系,因此函数图像作了一个关于直线y=x的对称,再看一点例子:

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    所以是时候讨论一下三角函数的反函数了,以正弦为例,对于函数y=sinx,若y为自变量,x为因变量,通常记为x=arctan y,即反三角函数。

    看看图像:

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    咦,为何画风不太一样,其实在y=x²和y=x^(1/2)已经体现了一点,我们要的是一一映射,一个x对应一个y,不同的x对应不同的y,所以对于正弦函数,我们只能取四分之一个周期来作反函数。

    三角函数妙趣远不止于此,诸如三角函数变换、三角函数泰勒展开式等等,还有更多的奥秘等我们去探索。

    谢谢阅读。

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