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  • 常用反三角函数公式

    2012-11-18 08:53:29
    常用反三角函数公式常用反三角函数公式常用反三角函数公式常用反三角函数公式常用反三角函数公式常用反三角函数公式常用反三角函数公式常用反三角函数公式常用反三角函数公式常用反三角函数公式常用反三角函数公式...
  • 利用MathType可以编辑出各种各样的数学符号与公式,很多常用函数也是可以编辑出来,除了对数函数、三角函数之外,编辑反三角函数也是毫无压力,下面就一起来学习反三角函数的编辑方法。 具体操作过程如下: MathType...

    MathType中包含有许多数学符号与公式,能够满足我们的日常需要。利用MathType可以编辑出各种各样的数学符号与公式,很多常用函数也是可以编辑出来,除了对数函数、三角函数之外,编辑反三角函数也是毫无压力,下面就一起来学习反三角函数的编辑方法。 具体操作过程如下:

    MathType软件获取地址:http://wm.makeding.com/iclk/?zoneid=17790

    1.双击打开Word后,在Word中使用“插入”——“对象”——“MathType Equation 6.0”,或者在Word中的MathType菜单中直接使用插入公式。也可以双击桌面上的MathType图标来打开MathType公式编辑器

    2.打开MathType后,进入到编辑公式的工作界面。将光标放到下面的工作区域中,直接利用键盘输入你所需要的反三角函数,例如“arcsin”。

    MathType编辑函数
    图1:在工作区域中用键盘输入

    3.在用键盘输入完成后,对于变量如果是常用的希腊字母,比如theta、phi等,可以在MathType栏模板中直接找到所需的符号进行点击输入。

    MathType希腊符号
    图2:利用模板输入函数中的变量

    提示:对于其它的反三角函数,输入方法是一样的。MathType中没有现成的函数表达式,只有一些模板和数学符号,其它的字母之类的需要自己用键盘手动输入。但是你可以将自己常用的一些函数表达式选中后手动到标签栏中进行保存,以后就可以直接使用了。

    基本的函数类型用MathType编辑都没有问题,比如可以编辑分段函数,具体可以参考教程:大括号分段函数怎么打?

    看完以上教程,就可以学会在MathType中编辑反三角函数的方法,这个函数的编辑方法没有捷径,只能通过自己来输入,MathType中没有现成模板。

    以上教程参考自:http://www.mathtype.cn/jiqiao/fan-sanjiao.html

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  • 1.基本三角函数关系六边形规则。如图,每个顶点都是一个三角函数。1.1.对角乘积为1,如tanαcotα=1。1.2.任意一个顶点等于其相邻两个顶点的乘积,如sinα=tanαcosα。1.3.阴影处倒三角形上面两个顶点的平方和等于...

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    1.基本三角函数关系六边形规则。如图,每个顶点都是一个三角函数。
    1.1.对角乘积为1,如tanαcotα=1。
    1.2.任意一个顶点等于其相邻两个顶点的乘积,如sinα=tanαcosα。
    1.3.阴影处倒三角形上面两个顶点的平方和等于下顶点的平方,如tan²α+1=sec²α。

    2.一些特殊角的三角函数值


    3.周期性与奇偶性

    4.诱导公式


    5.两角和差公式

    6.和差化积、积化和差

    7.二倍角公式

    8.三倍角公式

    9.半角公式

    10.万能公式,设

    11.降幂公式

    12.辅助角公式

    13.正弦定理,对于边长为a、b、c对应角为A、B、C的三角形,
    (R是三角形外接圆半径)

    14.余弦定理,对于边长为a、b、c对应角为A、B、C的三角形,

    15.射影定理,对于边长为a、b、c对应角为A、B、C的三角形,

    16.正切定理,对于边长为a、b、c对应角为A、B、C的三角形,

    17.三角形恒等式

    18.特定角的等式

    19.角元塞瓦定理、塞瓦定理、梅涅劳斯定理

    72a4bacc22e6e35246bce0c8be18d9bd.png


    20.三角函数与反三角函数的幂级数展开式

    21.三角函数的导数与积分公式
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  • 为了方便理解和查询,本文总结了以下内容:常见的六种三角函数对应的反三角函数的定义、定义域、值域,并给出对应三角形图示汇总、对应图象汇总利用反函数求导法则完成了上述所有反三角函数的导数公式的推导,并详细...

    de618552eb4b5c393e2034925be8e76f.png

    反三角函数是基本初等函数的重要组成部分,但似乎又是许多人常问的主体之一。为了方便理解和查询,本文总结了以下内容:

    • 常见的六种三角函数对应的反三角函数的定义、定义域、值域,并给出对应三角形图示汇总、对应图象汇总
    • 利用反函数求导法则完成了上述所有反三角函数的导数公式的推导,并详细总结了其值域、定义域等内容

    本文内容也可作为备忘资料以便查阅使用。

    一、常用三角函数与反三角函数

    • 常见的六种三角函数可以分别由以下六种三角形表示

    739d0f264ea91122ad88c051c0955f53.png

    图1.三角函数及其对应三角形

    • 反三角函数是三角函数的反函数。若将上图中所有x,y​ 调换位置则得到反三角函数的图示:

    14ef766533267fa6ae8061a5b221c5d7.png

    图2.反三角函数及其对应三角形

    上述反三角函数的图象如下图所示:

    c428332192104f4971669bd7389ec875.png

    图3.反三角函数的图象

    在使用反三角函数时一定要注意其定义值和值域。

    表1. 反三角函数的定义值及值域

    二、反三角函数的导数的推导过程

    反函数求导公式在另一篇笔记里已经回顾过:关于反函数的高阶导数

    反函数的导

    数等于直接函数的导数的倒
    数。

    先给结论:

    表2. 反三角函数的导数及其定义域

    接下来依次证明:

    1、反正弦函数

    的导数

    2、反余弦函数

    的导数

    证法I: 类似推导

    证法II:由

    ,于是

    3、反正切函数

    的导数

    4、反余切函数

    的导数

    证法I:类似3,略。

    证法II: 类似2,由

    ,于是

    5、反正割函数

    的导数

    部分主要是要把上一步完全由
    表示,由于有以下恒等关系
    i)
    因此:
    ii) 这时必须注意到
    的取值范围
    (见表1.)。而在这一步中不能取任何一个端点。同时注意到:
    时:
    都大等于
    时:
    都小等于
    因此:
    综上:标
    步的写法可以保证这一不等关系始终成立。

    6、反余割函数

    的导数

    证法I:类似5,略。

    证法II: 类似2,由

    ,于是

    小结

    本文简单总结了反三角函数的定义、其对应的三角函数、其定义域、值域,其后利用反函数求导法则完成了所有反函数求导公式的推导证明。不难看出上述推导过程其实都并不复杂(除反正割、反余割函数外),若能熟练使用各种三角函数变换技巧则能轻松完成所有证明。在实际使用三角函数时,图1,图2给出的图示十分有用,尤其在考虑积分换元时。另外,在使用反三角函数时,一定要明确各个三角函数的定义域及值域,这一点在第5个证明中体现得较为明显。若忽视这些细节,则十分容易出错。

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  • 一、弧度制二、三角函数的基本定义三、同角三角函数基本关系四、三角函数的诱导公式五、三角函数的和差角公式六、倍角公式和半角公式七、积化和差与和差化积公式八、万能公式九、辅助角公式十、求导十一、反三角函数...
    目录:
    一、弧度制
    二、三角函数的基本定义
    三、同角三角函数基本关系
    四、三角函数的诱导公式
    五、三角函数的和差角公式
    六、倍角公式和半角公式
    七、积化和差与和差化积公式
    八、万能公式
    九、辅助角公式
    十、求导
    十一、反三角函数相关公式
    十二、其他常用结论

    一、弧度制

    我们在初中接触的角基本上是角度制的,例如

    。因此,在研究三角函数之前,我们需要把角度制推广,引入弧度制的概念。

    弧度是角的大小的另一个计量单位,用rad表示。弧度与角度之间的换算关系为:

    ,即弧度与角度之间的函数关系可以表示为

    引入弧度制后,我们便可得出圆弧长、扇形面积的弧度制计算公式。

    • 圆弧周长的计算公式:角度制:
      ;弧度制:
    • 扇形面积的计算公式:角度值::
      ;弧度制:
    扇形可以看做一个“曲边三角形”:弧长
    是“底”,半径是“高”弧度制下扇形的面积可以表示为,面积

    二、三角函数和反三角函数的基本定义

    (一)三角函数

    单位圆(及半径

    的圆)在三角函数的学习中具有举足轻重的地位。我们可以利用单位圆来定义三角函数、求解三角函数问题。在解决三角函数问题的过程中,单位圆是一个非常有用的工具。

    设角
    的终边与单位圆(此处是以原点为圆心)交于点
    ,则有

    正弦:

    ,余弦:

    正切:

    ,余切:

    正割:

    ,余割:

    (二)反三角函数

    反三角函数是一种基本初等函数,它包括反正弦

    、反余弦
    、反正切
    、反余切
    、反正割
    、反余割
    ,他们各自表示其正弦、余弦、正切、余切 、正割、余割为
    时的角。例如,当
    时,
    ;当
    时,
    ,具体如,

    反三角函地并不能狭义地理解为三角函数的反函数。三角函数的反函数不是单值函数,因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求,其图像与其原函数关于函数

    对称。

    三、同角三角函数基本关系

    1.倒数关系:

    2.商的关系:

    3.平方关系:

    四、三角函数的诱导公式

    诱导公式记忆口诀:“奇变偶不变,符号看象限”.此处仅列出了几个易混的诱导公式,过于常规的就没有列出。个人认为,只需记住

    的三角函数值关系,便可推出所有的诱导公式。

    1.任意角

    的三角函数值之间的关系:

    2.任意角α与-α的三角函数值之间的关系:

    3.任意角

    的三角函数值之间的关系:

    4.任意角

    的的三角函数值之间的关系:

    五、三角函数的和差角公式

    六、倍角公式和半角公式

    1.倍角公式

    变形:

    2.三倍角公式

    3.半角公式(也叫降幂公式)

    4.升幂公式

    七、积化和差与和差化积公式

    1.积化和差公式

    2.和化积公式

    八、万能公式

    万能公式是将

    均用
    表示。

    九、辅助角公式

    得到辅助角公式:

    其中

    从而得到三角函数辅角公式:

    用余弦表示则为:

    例如,

    ,在实数域上,最大值为
    ,最小值为

    十、三角函数和反三角函数的导数

    十一、反三角函数相关公式

    十二、其他常用结论

    1. ,

    d8205459c6fdbe723a5ea33b8f30faa5.png

    4.

    5.


    以上便是我总结的有关三角函数方面的公式。如果有错,敬请指摘!

    需要pdf,私聊!

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