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  • 三角函数-反三角函数查询软件,系C++开发产品。
  • 为了方便理解和查询,本文总结了以下内容:常见的六种三角函数对应的反三角函数的定义、定义域、值域,并给出对应三角形图示汇总、对应图象汇总利用反函数求导法则完成了上述所有反三角函数的导数公式的推导,并详细...

    de618552eb4b5c393e2034925be8e76f.png

    反三角函数是基本初等函数的重要组成部分,但似乎又是许多人常问的主体之一。为了方便理解和查询,本文总结了以下内容:

    • 常见的六种三角函数对应的反三角函数的定义、定义域、值域,并给出对应三角形图示汇总、对应图象汇总
    • 利用反函数求导法则完成了上述所有反三角函数的导数公式的推导,并详细总结了其值域、定义域等内容

    本文内容也可作为备忘资料以便查阅使用。

    一、常用三角函数与反三角函数

    • 常见的六种三角函数可以分别由以下六种三角形表示

    739d0f264ea91122ad88c051c0955f53.png

    图1.三角函数及其对应三角形

    • 反三角函数是三角函数的反函数。若将上图中所有x,y​ 调换位置则得到反三角函数的图示:

    14ef766533267fa6ae8061a5b221c5d7.png

    图2.反三角函数及其对应三角形

    上述反三角函数的图象如下图所示:

    c428332192104f4971669bd7389ec875.png

    图3.反三角函数的图象

    在使用反三角函数时一定要注意其定义值和值域。

    表1. 反三角函数的定义值及值域

    二、反三角函数的导数的推导过程

    反函数求导公式在另一篇笔记里已经回顾过:关于反函数的高阶导数

    反函数的导

    数等于直接函数的导数的倒
    数。

    先给结论:

    表2. 反三角函数的导数及其定义域

    接下来依次证明:

    1、反正弦函数

    的导数

    2、反余弦函数

    的导数

    证法I: 类似推导

    证法II:由

    ,于是

    3、反正切函数

    的导数

    4、反余切函数

    的导数

    证法I:类似3,略。

    证法II: 类似2,由

    ,于是

    5、反正割函数

    的导数

    部分主要是要把上一步完全由
    表示,由于有以下恒等关系
    i)
    因此:
    ii) 这时必须注意到
    的取值范围
    (见表1.)。而在这一步中不能取任何一个端点。同时注意到:
    时:
    都大等于
    时:
    都小等于
    因此:
    综上:标
    步的写法可以保证这一不等关系始终成立。

    6、反余割函数

    的导数

    证法I:类似5,略。

    证法II: 类似2,由

    ,于是

    小结

    本文简单总结了反三角函数的定义、其对应的三角函数、其定义域、值域,其后利用反函数求导法则完成了所有反函数求导公式的推导证明。不难看出上述推导过程其实都并不复杂(除反正割、反余割函数外),若能熟练使用各种三角函数变换技巧则能轻松完成所有证明。在实际使用三角函数时,图1,图2给出的图示十分有用,尤其在考虑积分换元时。另外,在使用反三角函数时,一定要明确各个三角函数的定义域及值域,这一点在第5个证明中体现得较为明显。若忽视这些细节,则十分容易出错。

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  • 原因: 关于这个一开始只记得sinx cons tanx 了,...目的: 记录基本概念方便查询,还有一些梗概,要求根据梗概,想到所有涉及的该考试内容 sin 函数 直角三角形中 角 对边与斜边之比 称呼,正弦函数 csc 函数 斜边与对边 ...

    原因:
    关于这个一开始只记得sinx cons tanx 了,cotx之类的我高中老师提过,但是我根本就没记忆过,现在吃亏了,一报还一报啊.丢人了,丢人了
    目的: 记录基本概念方便查询,还有一些梗概,要求根据梗概,想到所有涉及的该考试内容

    sin 函数 直角三角形中 角 对边与斜边之比 称呼,正弦函数
    csc 函数 斜边与对边 余割函数

    cos 函数 直角三角形中 角 临边与斜边之比 称呼 余弦函数
    sec 函数 斜边 临边 正割函数

    tan 函数 直角三角形中 角 对边与临边的之比 称呼 正切函数

    cot 函数 直角三角形中 角 临边与对边的之比 称呼 余切函数

    考研学习中,必须进一步理解记忆的有:二倍角公式,和差公式,诱导公式,好像每一种函数都有,是否都要记忆,以后再查查

    已经可以确认的是, 除了正割余割,其余四个和他们的反函数,相关的公式都需要理解和记忆,并应用 (2020 复习全书上有,提到,但是不全,题目应用到了他的更多性质)

    上面的两个,是三角函数,由角度,计算三角函数值,反过来的函数,叫反三角函数,表示为在对应名字前加上arc

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  • 三角函数系列 三角函数系列,没有看错,正是学生时代支配了我们很久的那一部分。 关于这一部分函数,白茶觉得不需要去描述太多,因为除了一些原生用途和特定需求的计算需要,基本上日常使用率不算是特别高。 当然,...

    三角函数系列

    三角函数系列,没有看错,正是学生时代支配了我们很久的那一部分。

    关于这一部分函数,白茶觉得不需要去描述太多,因为除了一些原生用途和特定需求的计算需要,基本上日常使用率不算是特别高。

    当然,偏向于工程设计方面除外。

    本期其实更适合作为查询使用。

    用途:三角函数计算以及一些特殊的需求。

    ACOS

    返回给定数值的反余弦。

    即根据余弦值返回对应的角度(用弧度表示)。

    语法:

    DAX=ACOS(<值>)
    

    ACOSH

    返回给定数字的反双曲余弦。

    语法:

    DAX=ACOSH(<实数>)
    

    ACOT

    返回给定数字的反余切。

    语法:

    DAX=ACOT(<值>)
    

    ACOTH

    返回给定数字的反双曲余切。

    语法:

    DAX=ACOTH(<值>)
    

    ASIN

    返回给定数字的反正弦。

    语法:

    DAX=ASIN(<值>)
    

    ASINH

    返回给定数字的反双曲正弦。

    语法:

    DAX=ASINH(<值>)
    

    ATAN

    返回给定数字的反正切。

    语法:

    DAX=ATAN(<值>)
    

    ATANH

    返回给定数字的反双曲正切。

    语法:

    DAX=ATANH(<值>)
    

    COS

    返回给定角度的余弦。

    语法:

    DAX=COS(<值>)
    

    COSH

    返回给定数值的双曲余弦。

    语法:

    DAX=COSH(<值>)
    

    COT

    返回给定角度的余切。

    语法:

    DAX=COT(<值>)
    

    COTH

    返回给定数值的双曲余切。

    语法:

    DAX=COTH(<值>)
    

    SIN

    返回给定角度的正弦。

    语法:

    DAX=SIN(<值>)
    

    SINH

    返回给定数值的双曲正弦。

    语法:

    DAX=SINH(<值>)
    

    TAN

    返回给定角度的正切。

    语法:

    DAX=TAN(<值>)
    

    TANH

    返回给定数值的双曲正切。

    语法:

    DAX=TANH(<值>)
    

    DEGREES

    将弧度转换成角度。

    语法:

    DAX=DEGREES(<弧度>)
    

    RADIANS

    将角度转换成弧度。

    语法:

    DAX=RADIANS(<角度>)
    

    PI

    返回PI值,精确到15位。

    语法:

    DAX=PI()
    

    SQRTPI

    返回(数值*PI)的平方根。

    语法:

    DAX=SQRTPI(<值>)
    

    小伙伴们❤GET了么?
    白茶会不定期的分享一些函数卡片
    (文件在知识星球[PowerBI丨需求圈])

    这里是白茶,一个PowerBI的初学者。

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  • 本书侧重于函数的实战应用,共分12章,前10章分别介绍了数学函数、统计函数、日期和时间函数、文本函数、逻辑函数、查找和引用函数、财务函数、信息函数以及数据库和三角函数在实战中的应用;第11 章介绍了函数与...
  • 基本数学运算

    2019-10-21 23:00:48
    基本数学运算3.1 矩阵的代数运算矩阵的转置、翻转与旋转矩阵的加减乘除运算复数矩阵及其变换矩阵的乘方与开方矩阵的点运算3.2 矩阵逻辑运算和比较运算矩阵的逻辑运算矩阵的比较运算矩阵元素的查询命令属性判定语句...

    3.1 矩阵的代数运算

    概述:加减乘除、转置与乘方、开方等基本运算,并介绍复数矩阵的处理方法与符号型矩阵的计算方法。

    矩阵的转置、翻转与旋转

    1)直接转置AT与共轭 (Hermite) 转置A*

    B = A.'		%求矩阵A的直接转置
    C = A'		%求矩阵A的共轭转置
    

    2)矩阵翻转

    B = fliplr(A)		%实现矩阵的左右翻转
    B = A(:,end:-1:1)	%效果同上
    C = flipud(A)		%实现矩阵的上下翻转
    C = A(end:-1:1,:)	%效果同上
    

    3)矩阵旋转

    D = rot90(A)	%将A矩阵逆时针旋转90°后赋给D
    E = rot90(A,k)	%将A矩阵逆时针旋转(90k)°后赋给E,k为整数
    

    矩阵的加减乘除运算

    1)加减运算
    一般而言,参与加减运算的两个矩阵维数相同,则对应元素相加减即可。但是,MATLAB中考虑两种特殊情况,允许不同维数的矩阵作加减运算:
    ① 若二者之一为标量,则应将其遍加(减)于另外一个矩阵;
    ② 若A为n×m矩阵,B为n×1列向量或者1×m行向量,早期版本的MATLAB会给出错误信息,而新版本的MATLAB下将允许将列向量或行向量遍加或遍减到另外一个矩阵的各列或各行上去,得到新的和矩阵或者差矩阵。

    2)乘法运算

    C = A*B	%表示两个矩阵相乘
    

    若A和B两个矩阵维数相容,则可以准确无误地获得乘积矩阵C;如果二者的维数不相容,则将给出错误信息。

    3)矩阵左除
    A \ B为方程AX=B的解X;若A为非奇异方阵,则X=A-1B;若A矩阵不是方阵,也可以求出X=A\B,这时将使用最小二乘解法来求取AX=B中的X矩阵。

    4)矩阵右除
    B/A为方程XA=B的解X;若A为非奇异方阵,则X=B/A为BA-1,B/A=(A’\B’)’。

    复数矩阵及其变换

    假设Z为复数矩阵,则存在MATLAB中存在如下变换:

    Z1 = conj(Z)				%共轭复数矩阵
    R = real(Z), I = imag(Z)	%实部、虚部提取
    A = abs(Z), P = angle(Z)	%幅值、相位表示,其中相位的单位是弧度
    

    注:Z并不局限于矩阵,同样的操作对于多维数组和符号表达式仍然成立。

    矩阵的乘方与开方

    只有方阵才能进行乘方与开方运算
    ① 矩阵乘法运算。数学上表示为Ax;x为正整数,Ax结果可将A矩阵自乘x次;x为负整数,可将A矩阵自乘 -x次,然后对结果进行求逆运算即可得乘方结果;x=n/m为分数,其中n和m均为整数,相当于将A矩阵自乘n次,然后再对结果再开m次方。

    F = A^x	%MATLAB中统一表示形式
    

    ② 矩阵开方运算。数学上,A矩阵自乘n次是可以得出唯一解,而其结果再做m次开方则应该有m个不同的根。考虑 31^3\sqrt{-1},其一个根是-1,对该根在复数平面内旋转120°得到第二个根,再旋转120°可以得到的三个根。复数平面旋转实际上就是结果乘以复数标量 δ=e2πj/3\delta = e^{{2{\pi}j}/3}实现。如果想开m次方,则可以将结果A^(n/m)乘以 δk=e2kπj/m\delta _k= e^{{2k{\pi}j}/m},其中k = 1,2,…,m-1。

    矩阵的点运算

    定义:A和B两个相同维数的矩阵,如果对其相应元素单独进行乘法运算,则可以得出一个新的矩阵C,其中cij=aijbijc_{ij}=a_{ij}b_{ij},矩阵C称为A、B矩阵的Hadamard乘积,又称为点乘积。

    C = .*B		%矩阵的点乘积
    

    除此之外,还可定义两个矩阵之间或者矩阵与标量之间其他的点运算,MATLAB的处理方法就是在实际运算符号前面加一个圆点(.)。其中,要求参与运算的矩阵维数相同,或者其一为标量,否则会出现错误。

    A = [1 2 3;4 5 6;7 8 0]
    B = A.^A		%点乘方,矩阵B的元素bij=aij^(aij)
    B =
               1           4          27
             256        3125       46656
          823543    16777216           1
    

    3.2 矩阵逻辑运算和比较运算

    概述:逻辑运算和比较运算,矩阵元素的查找与设置方法,以及变量数据结构与属性的判断方法。

    矩阵的逻辑运算

    A和B均为n×m矩阵,MATLAB下定义了如下的逻辑运算:

    ① 与运算:A&B表示矩阵A和B相应元素的与运算结果所构成的数组。

    A =
         1     2
         4     5
    B =
         0     0
         0     1
    C =
      2×2 logical 数组
       0   0
       0   1
    

    ② 或运算:A|B,矩阵中对应元素存在非零值则为1,否则为0
    ③ 非运算:~A,矩阵中对应元素为0,则结果为1,否则为0
    ④ 异或运算:xor(A,B),若相应的两个数一个为0,另一个非零,则结果为1,否则为0

    矩阵的比较运算

    大于(>)、等于(==)、不等于(~=)

    A = [1 2 3;4 5 5;7 8 9]
    C = A>=5
    A =
         1     2     3
         4     5     5
         7     8     9
    C =
      3×3 logical 数组
       0   0   0
       0   1   1
       1   1   1
       %%所得结果为逻辑型矩阵,逻辑条件A>=5满足的位置上的元素为逻辑1,不满足的位置上的元素为逻辑0。
    

    矩阵元素的查询命令

    find()函数			%可以查询出满足某关系的数组下标
    any()与all()函数		%判定矩阵整列的行为
    

    属性判定语句

    MATLAB中提供了一批以 is 开头的函数,如isinf()、isfinite()、isdouble()、iscell() , 即满足要求的元素返回逻辑1,否则返回逻辑0。

    find(isnan(A))	%函数将查出A变量中为NaN的各元素的下标
    

    3.3 超越函数的计算

    概述:超越函数的定义,指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数的计算方法,矩阵超越函数的求解方法

    定义:超越函数通常指变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示的函数,比如指数函数、对数函数、三角函数。

    指数、对数、三角、反三角函数的计算

    1)axa^x可由 y = a.^x点运算命令直接计算得到,而指数函数exe^x可由y = exp(x)直接计算。

    2)自然对数lnxlnx可由 log()计算;常用对数lgxlgx可由log10() 函数计算;log2(x)log_2(x)可由log2()计算;一般的对数函数logaxlog_ax可以由对数的换底公式log(x)/log(a)log(x)/log(a)直接计算。

    3)secx=1/cosx;cscx=1/sinx;sinhx=(exex)/2;coshx=(ex+ex)/2secx=1/cosx; cscx=1/sinx; sinhx=(e^x-e^{-x})/2; coshx=(e^x+e^{-x})/2 。三角函数默认使用弧度为单位,可以用y=pix/180y=pi*x/180转换弧度为角度。

    4)asin()acos()asec()asinh()asin()、acos()、asec()、asinh()等均表示对应的反三角函数

    矩阵的超越函数

    上述介绍的各个超越函数都相当于点运算函数,是对输入变量每个元素单独计算得出函数值。实际应用中需要对整个矩阵求矩阵函数。

    3.4 符号表达式的化简与变换

    多项式的运算

    collect()	%合并同类项
    expand()	%展开多项式
    factor()	%进行因式分解
    taylor()	%函数的Taylor幂级数展开
    

    三角函数的变换与化简

    F1 = simplify()		%实现三角函数表达式的自动化简
    expand()			%可以实现三角函数表达式的展开
    

    符号表达式的化简

    符号运算工具箱可以用于推导数学公式,但其结果往往不是最简形式,或不是用户期望格式,所以需要对结果进行化简处理。

    s1 = simplify(s)
    

    上述函数自动对表达式s尝试各种化简函数,最终得出计算机认为最简的结果s。

    numden()				%提取多项式的分子分母
    F1 = rewrite(F,fun)		%自定义化简与变换函数
    

    其中,fun为用户自选的变换函数,例如‘sincos’表示只含正弦和余弦函数,当然还可以选择‘exp’等超越函数,还可以是‘heaviside’(Heaviside函数)等选项

    符号表达式的变量替换与结果转换

    f1 = subs(f,x1,y1)						%变量简单替换,相当于点运算
    f2 = subs(f,{x1,...,xn},{y1,...,yn})	%同时替换多个变量
    

    其中,f是原表达式,函数将其中的x1替换为y1,并生成新的表达式f1。
    符号运算工具箱的结果可以通过latex()函数转换成科学排版语言Latex能支持的字符串,该字符串可以直接嵌入Latex文档。

    3.5 基本数据运算

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  • ∷相关函数:Parent函数 LeftChild函数 RightChild函数 LeftSibling函数 RightSibling函数 1.4.7 双亲、孩子和兄弟节点的查询(链式结构) 162 范例1-61 双亲、孩子和兄弟节点的查询 162 ∷相关函数:Parent函数 ...
  • C语言通用范例开发金典.part2.rar

    热门讨论 2012-08-31 14:18:18
    ∷相关函数:Parent函数 LeftChild函数 RightChild函数 LeftSibling函数 RightSibling函数 1.4.7 双亲、孩子和兄弟节点的查询(链式结构) 162 范例1-61 双亲、孩子和兄弟节点的查询 162 ∷相关函数:Parent函数 ...
  • C 开发金典

    2013-06-20 16:20:03
    ∷相关函数:Parent函数 LeftChild函数 RightChild函数 LeftSibling函数 RightSibling函数 1.4.7 双亲、孩子和兄弟节点的查询(链式结构) 162 范例1-61 双亲、孩子和兄弟节点的查询 162 ∷相关函数:Parent函数 ...
  • ∷相关函数:Parent函数 LeftChild函数 RightChild函数 LeftSibling函数 RightSibling函数 1.4.8 中序遍历二叉树(顺序结构) 169 范例1-62 中序遍历二叉树 169 ∷相关函数:InOrderTraverse函数 1.4.9 中序遍历...
  • 如意工具箱 V1.91.rar

    2019-07-14 06:24:06
     --计算器:写公式计算,比如1 5*3,并能保存计算值,带有平方、立方、阶乘、三角函数等,同时可以算10个结果。  --笔记:单机文本记录工具,能自定义分类,有排序和查询功能。  --工作管理:即日程管理,针对...
  • 如意工具箱

    2011-11-27 19:02:57
    --计算器:写公式计算,比如1+5*3,并能保存计算值,带有平方、立方、阶乘、三角函数等,同时可以算10个结果。 --笔记:单机文本记录工具,能自定义分类,有排序和查询功能 --工作管理:即日程管理,针对个人的工作...
  • php4编程与实例(三)

    2006-08-16 10:44:54
    ││ └7.2.3 反三角函数 │├─7.3 进制转换 ││ ├7.3.1 万能进制转换 ││ └7.3.2 常规进制转换 │├─7.4 BC 高精度运算 ││ ├7.4.1 高精度运算 ││ └7.4.2 精度设置 │└─7.5 随机数的操作 │ ...
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  • 你必须知道的495个C语言问题

    千次下载 热门讨论 2015-05-08 11:09:25
    可我找不到任何方法来声明这样的函数——感觉我需要一个返回指针的函数,返回的指针指向的又是返回指针的函数……,如此往复,以至无穷。 数组大小 1.23 能否声明和传入数组大小一致的局部数组,或者由其他参数...
  • 可我找不到任何方法来声明这样的函数——感觉我需要一个返回指针的函数,返回的指针指向的又是返回指针的函数……,如此往复,以至无穷。 12  数组大小 13 1.23 能否声明和传入数组大小一致的局部数组,或者由...
  • 《你必须知道的495个C语言问题》

    热门讨论 2010-03-20 16:41:18
    可我找不到任何方法来声明这样的函数——感觉我需要一个返回指针的函数,返回的指针指向的又是返回指针的函数……,如此往复,以至无穷。 12  数组大小 13 1.23 能否声明和传入数组大小一致的局部数组,或者由...

空空如也

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反三角函数查询