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  • 矩阵的运算与逆矩阵

    千次阅读 2019-07-06 12:23:35
      同型矩阵、零矩阵、对角矩阵、单位矩阵、上(下)三角矩阵、系数矩阵、增广矩阵、线性变换、矩阵加法、数乘矩阵、矩阵相乘、方阵幂、转置矩阵、()对称矩阵、方阵行列式、伴随矩阵、行列式余子式、代数...

    概念回顾

      同型矩阵、零矩阵、对角矩阵、单位矩阵、上(下)三角矩阵、系数矩阵、增广矩阵、线性变换、矩阵加法、数乘矩阵、矩阵相乘、方阵的幂、转置矩阵、(反)对称矩阵、方阵的行列式、伴随矩阵、行列式的余子式、代数余子式、逆矩阵。

    笔记

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  • //将采用邻接矩阵存储有向无环图邻接矩阵转换为下三角矩阵,并输出新旧编号对照表 int topologic_order[G.vexnum];//拓扑序列,过来就是拓扑序列 //topologic_order[G.vexnum - 1 - 新序号] = 旧序号

    对有向无环图顶点重新编号使其邻接矩阵变为下三角矩阵

    Status Change_into_LTM(MGraph &G){
        //将采用邻接矩阵存储的有向无环图的邻接矩阵转换为下三角矩阵,并输出新旧编号对照表
        int topologic_order[G.vexnum];//拓扑序列,反过来就是逆拓扑序列
        //topologic_order[G.vexnum - 1 - 新序号] = 旧序号
        int num = 0;//拓扑序列指针
        FindInDegree(G,indegree);//求入度序列
        InitStack(S);
        for(i = 0;i < G.vexnum;i++)
            if(!indegree[i]) Push(S,i);
        while(!StackEmpty(S)){
            Pop(S,i); topologic_order[num++] = G.vertices[i].data;
            for(j = 0;j < G.vexnum;j++)
                if(G.arcs[i][j] && !(--indegree[j])) Push(S,j);
        }//while
        int new_old[G.vexnum];//新旧参照表
        for(i = 0;i < G.vexnum;i++) new_old[topologic_order[G.vexnum - 1 - i]] = i;
        //new_old[旧序号] = 新序号
        int keep[G.vexnum][G.vexnum];//缓存数组
        for(i = 0;i < G.vexnum;i++)
            for(j = 0;j < G.vexnum;j++) 
                keep[i][j] = G.arcs[i][j];
        for(i = 0;i < G.vexnum;i++)
            G.vertices[i].data = new_old[G.vertices[i].data];
        for(i = 0;i < G.vexnum;i++){
            tmp = topologic_order[G.vexnum - 1 - i];
            for(j = 0;j < G.vexnum;j++){
                if(keep[tmp][j])
                    G.arcs[i][new_old[j]] = 1;
                else
                    G.arcs[i][new_old[j]] = 0;
            }//for
        }//for
        for(i = 0;i < G.vexnum;i++)
            cout << i << "--->" << new_old[i] << endl;
        return OK;
    }//Change_into_LTM          


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  • MIT线性代数:4.矩阵ALU分解

    千次阅读 2018-07-10 19:30:44
    1.回顾逆矩阵乘以逆矩阵得到单位阵需要着乘。第二行是第一行两边同时转置的结果,得到的结论是A转置的逆是A的逆的转置。2.A=LUL是LOWER也就是下三角矩阵,U是UPPER也就是上三角矩阵。2.1A=LU先是由E初等矩阵消元从...

    1.回顾逆矩阵

    乘以逆矩阵得到单位阵需要反着乘。


    第二行是第一行两边同时转置的结果,得到的结论是A转置的逆是A的逆的转置。

    2.A=LU

    L是LOWER也就是下三角矩阵,U是UPPER也就是上三角矩阵。

    2.1A=LU

    先是由E初等矩阵消元从A变化到U。


    L与E是什么关系呢?答案是互为逆矩阵。

    2.2A=LDU

    有时候我们也可以把主元单独分离出来,得到D。


    2.3L的求解

    求逆的顺序要反过来,则L是这些逆的积。

    为什么要用下面LU的形式而不用上面的呢?


    上面可以看出,两个消元矩阵 E21(行 2 减去 2 倍行 1)和 E32(行 3 减去 5 倍的新行 2)相乘得新的右侧消元矩阵,那么,从右侧结果显示,元素 10 是我们不喜欢的(但它确实是运算结果),E21(行 2 减去 2 倍行 1)和E32(行 3 减去 5 倍的新行 2)这种顺序,行 1(元素 10)怎么就影响到了行 3 呢?这是因为,第一步中有 2 倍行 1 从行 2 中减去了,然后在第二步中又乘 5 倍从行 3 中减去,因此总共在行 3中加上了 10 倍行 1。因此,这种形式不是我们喜欢的,但逆的乘积则不是这样的。


    然而L形式的矩阵则就是消元矩阵的所以乘数,2与5并不会发生冲突。只要把消元矩阵的所有乘数写出来就能得到L。


    结论:A=LU,如果不存在行互换,消元乘数可以直接写入L中。即只要步骤正确,可以在得到LU 过程中把A 抛开。例如,当你完成A 第二行的消元时,为了得到LU,你只需要记住U 中新的第二行是什么,同时消元所用的乘数也需要记住,至于A 是什么不需要管。

    3.置换矩阵

    当矩阵主元为0时,就要进行行互换使得主元不为0,下面是3*3的置换矩阵群:


    共有6个,4*4矩阵的置换矩阵群共有24个。计算公式:n*(n-1)*....*1。

    共有特点:

    1)置换矩阵两两相乘结果仍然在该群中

    2)取其逆,也在该群中

    3)个别置换矩阵的逆矩阵就是其置换矩阵本身(比如上面的前 4 个,其转置等于本身)

    结论:置换矩阵的逆等于其转置

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  • pinv/inv/LU/SVD分解

    2020-06-07 11:24:59
    1. LU分解 LU分解(LU Factorization)可以将一个矩阵分解为一个单位下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。LU分解非常简单,下图可以直观的看出LU分解的...这一系列单位下三角矩阵的乘积的逆就是L矩阵,它也是一个单位下

    1. LU分解

    LU分解(LU Factorization)可以将一个矩阵分解为一个单位下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。LU分解非常简单,下图可以直观的看出LU分解的求解方法。
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    LU分解主要应用在数值分析中,用来解线性方程、求反矩阵或计算行列式,起源于高斯消元法,也即所谓的杜尔里特算法(Doolittle algorithm):从下至上地对矩阵A做初等行变换,将对角线左下方的元素变成零,然后再证明这些行变换的效果等同于左乘一系列单位下三角矩阵,这一系列单位下三角矩阵的乘积的逆就是L矩阵,它也是一个单位下三角矩阵。

    def LU(A):
        U = np.copy(A)
        m, n = A.shape
        L = np.eye(n)
        for k in range(n-1):
            for j in range(k+1,n):
                L[j,k] = U[j,k]/U[k,k]
                U[j,k:n] -= L[j,k] * U[k,k:n]
        return L, U
    

    2. 特征分解与SVD分解

    直观理解,当A正定时,特征分解是求A\sqrt{A},而SVD分解是求B|B|

    奇异值分解起源于方阵的特征分解:A=QΣQ1A = Q\Sigma Q^{-1},通过Q变换,所有维度之间变为相互独立,A矩阵的旋转和投影效应被消除。
    对于非方阵,可以用奇异值分解:B=UΣVTB=U\Sigma V^T,其中U和V都是正交阵。SVD的意义类似奇异值分解,但又有些不一样。SVD的右奇异向量(V的列向量)是BTBB^TB的特征向量,它的左奇异向量(U的列向量)是BBTBB^T的特征向量,而奇异值是这两个对称矩阵相同的非零特征值的平方根(实际上它们两个非零特征值一模一样)。
    总结来说,特征值分解是针对AA来的,而奇异值分解是针对BBTBB^T来的(强制把非方阵变为了方阵)。奇异值计算量非常大,需要先计算BBTBB^TBTBB^TB,然后用LU分解计算特征向量和特征值,N^3复杂度,规模大时计算量很大。
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    3. 逆矩阵

    对于任何矩阵 A 来说,伪逆 B 都存在,是唯一的,并且具有与 A’ 相同的维度。如果 A 是方阵且非奇异,则 pinv(A) 只是一种成本比较高的计算 inv(A) 的方式。但是,如果 A 不是方阵,或者是方阵且奇异,则 inv(A) 不存在。在这些情况下,pinv(A) 拥有 inv(A) 的部分(但非全部)属性。

    1、pinv 通过奇异值分解来形成 A 的伪逆。
    2、inv 执行输入矩阵的 LU 分解(如果输入矩阵是 Hermitian 矩阵,则执行 LDL 分解)。然后它使用结果来形成线性方程组,其解为矩阵求逆 inv(X)。
    3、如果是奇异矩阵,此时不存在逆矩阵,可用pinv(A)求其伪逆。
    4、如果是非奇异矩阵,存在逆矩阵,可用inv(A),也可用pinv(A),只不过pinv(A)的计算成本较高。

    A=QΣQ1A = Q\Sigma Q^{-1},则A1=Q(1/Σ)Q1A^{-1} = Q(1/\Sigma) Q^{-1}
    B=UΣVTB=U\Sigma V^T,则B1=V(1/Σ)TUTB^{-1}=V(1/\Sigma)^T U^T

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反三角矩阵的逆矩阵