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  • 先说对称矩阵吧. 可以从代数和几何两个方面上来讲.代数方面,首先每个对称矩阵A唯一对应于一个二次型x'Ax.因此对称矩阵对二次型的研究有着重要的作用.二次型是什么呢?从代数角度上讲,他是一个函数.是n唯向量x到"数"的...

          先说对称矩阵吧.
          可以从代数和几何两个方面上来讲.代数方面,首先每个对称矩阵A唯一对应于一个二次型x'Ax.因此对称矩阵对二次型的研究有着重要的作用.二次型是什么呢?从代数角度上讲,他是一个函数.是n唯向量x到"数"的映射.因此研究对称矩阵有助于研究二次型进而,在二次型的概念下.可以对矩阵进行合同分类(如同在线性变换的概念下对矩阵进行相似分类一样).我们以前学习过矩阵的相似,他把具有相同性质的矩阵划归到了一起,例如两个矩阵相似他们的行列式\迹和特征值都分别相等.合同也是为了将矩阵分类,比如正定,负定矩阵.我要说的是研究对称矩阵本身是为了在合同的代数概念下对矩阵进行一个分类,合同这种概念由于是从二次型那里来的所以只对对称矩阵产生作用.
          从几何的角度上讲,一个对称矩阵对应的二次型,与距离空间(常叫做欧氏空间)联系在一起.我们高中知识知道如果选自然基底,那么向量x的长度就是他坐标的内积x'x.根据矩阵乘法的定义我们可以用二次型表示长度为x'Ex其中E是单位矩阵.由于实际应用的需要或是理论研究的推广,我们往往不能选到自然基底,甚至是标准正交的基底..那么对于一般的基底而言,这个向量x的坐标就不是x而是y了,他的长度就可以表示成y'Ay的形式,用线性代数坐标变换的知识可以证明A是一个对称矩阵.写了这么多,就是要说对称矩阵与欧式空间中长度的概念密不可分.
          继续深入欧式空间,我们知道"直角坐标系"下的欧式空间距离的概念是||x-y||,也就是(x-y)'(x-y)这又与上边的长度一样,与对称矩阵密不可分了.

          综上,对称矩阵是二次型和合同概念的基础,是欧式空间的需要.只有在对称矩阵的基础上欧式空间才有意义.这就直接涉及到他的应用了.理论上,实变函数和勒贝格积分都要与长度这个概念产生关系那里边叫测度,就是与欧式空间有关系.泛函分析要研究泛函的赋范空间也要与长度产生关系.因此由于欧式空间的应用广泛,导致了对称函数的研究的必要.实际应用方面,对数值分析或是最优化理论那种给方程寻找近似解或是对空间中的离散点进行曲线拟合.都会导致基底不是自然基底,所以要研究欧式空间在一般基底下的表示(就是二次型)所具有的性质,二次型建立在对称矩阵的基础之上的,所以对称矩阵的性质应用广泛.


          反对称矩阵,是对二次型的又一个推广,我们把x'Ay这样的形势对应于二次型x'Ax叫做对称双线性型,叫双线性是因为他左右都乘了向量,叫对称是因为A是对称矩阵.因此对这种情况进行推广当A反称的话,我们就知道x'Ax=0(注意A反称就不是二次型了,二次型要求A对称),那么x'Ay这种形式就叫做交错双线性型.反称矩阵最常用的性质就是x'Ax=0.

    转载于:https://www.cnblogs.com/stucp/archive/2012/05/07/2488729.html

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  • 2.若矩阵A的第一行不全为0)\(A = \begin{bmatrix}0 & a_{12} & \dots & a_{1n} \\-a_{12} & & & \\\vdots & & B & \\-a_{1n} & & & \\\end{bmatri...

    2.若矩阵A的第一行不全为0)

    \(A = \begin{bmatrix}

    0 & a_{12} & \dots & a_{1n} \\

    -a_{12} & & & \\

    \vdots & & B & \\

    -a_{1n} & & & \\

    \end{bmatrix}\)

    不妨设\(a_{12} \not= 0\),可对A实施初等变换如下:

    \(A_2=Q_2^TAQ_2 =

    \begin{bmatrix}

    a_{12}^{-1} & & & \\

    & 1 & & \\

    & & \ddots & \\

    & & & 1 \\

    \end{bmatrix}

    \begin{bmatrix}

    0 & a_{12} & \dots & a_{1n} \\

    -a_{12} & & & \\

    \vdots & & B & \\

    -a_{1n} & & & \\

    \end{bmatrix}

    \begin{bmatrix}

    a_{12}^{-1} & & & \\

    & 1 & & \\

    & & \ddots & \\

    & & & 1 \\

    \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}

    0 & 1 & \dots & a_{12}^{-1}a_{1n} \\

    -1 & & & \\

    \vdots & & B_2 & \\

    -a_{12}^{-1}a_{1n} & & & \\

    \end{bmatrix}\)

    再取\(Q_j = \begin{bmatrix}

    1 & & & & & \\

    & 1 & \dots & -a_{12}^{-1}a_{1j} & \dots & 0 \\

    & & \ddots & & & \\

    & & & 1 & & \\

    & & & & \ddots & \\

    & & & & & 1 \\

    \end{bmatrix} \qquad s.t. 3 \leq j \leq n\)

    可得\(A_n = Q_n^T \dots Q_3^TA_2Q_3 \dots Q_n = \begin{bmatrix}

    0 & 1 & \\

    -1 & 0 & \\

    & & B_n \\

    \end{bmatrix}\)

    由于所作为对称式的变换,所以B_n依旧为反对称矩阵,所以存在n-2阶可逆矩阵S使得\(S^TBS = \begin{bmatrix}

    0 & 1 & & & & & & \\

    -1 & 0 & & & & & & \\

    & & \ddots & & & & & \\

    & & & 0 & 1 & & & \\

    & & & -1 & 0 & & & \\

    & & & & & 0 & & \\

    & & & & & & \ddots & \\

    & & & & & & & 0 \\

    \end{bmatrix}\)

    令\(Q = Q_2 \dots Q_n\)且\(S' = \begin{bmatrix}

    I_2 & 0 \\

    0 & S \\

    \end{bmatrix}\),此处\(I_2\)为2阶单位矩阵

    则有\(Q^TS^TASQ = \begin{bmatrix}

    0 & 1 & & & & & & \\

    -1 & 0 & & & & & & \\

    & & \ddots & & & & & \\

    & & & 0 & 1 & & & \\

    & & & -1 & 0 & & & \\

    & & & & & 0 & & \\

    & & & & & & \ddots & \\

    & & & & & & & 0 \\

    \end{bmatrix}\)

    所以A是D的合同矩阵。

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  • 目录反对称矩阵反对称矩阵的特征值是0和纯虚数 反对称矩阵 反对称矩阵即A=−ATA=-A^TA=−AT,例如 A=[0−a3a2a30−a1a2a10]A=\begin{bmatrix} 0 & -a_3& a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ a_2 & a_1 &...

    写在前面

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    2、码字不易,转载本文请注明出处,本文链接:https://blog.csdn.net/qq_41102371/article/details/115734924

    结论

    1、反对称矩阵的特征值是0或纯虚数
    2、3x3的反对称矩阵可作为一个向量的叉乘矩阵
    3、3x3的反对称矩阵的秩为2

    反对称矩阵

    A=(aij)n×nA=(a_{ij})_{n{\times}n},若其中元素满足 aij=aji,i,jAT=Aa_{ij}=a_{ji},\forall i,j{\Leftrightarrow}A^T=A,则称AA是对称矩阵;若其元素满足aij=aji,i,jAT=Aa_{ij}=-a_{ji},\forall i,j{\Leftrightarrow}A^T=-A ,则称A为反对称矩阵[1]
    若A是反对称矩阵,则aij=ajia_{ij}=-a_{ji},当i=ji=j时,便有aii=0a_{ii}=0,即反对称矩阵主对角线上的元全为零,而位于主对角线两侧对称的元反号。
    于是对于n阶方阵AA,当A=ATA=-A^TAA是反对称矩阵,例如
    A=[0a3a2a30a1a2a10]A=\begin{bmatrix} 0 & -a_3& a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{bmatrix}
    很明显A是一个反对称矩阵,反对称矩阵及其性质有什么用呢,一个很实际的例子就是《计算机视觉中的多视图几何》(三维重建相关)P406中的叉乘矩阵是一个n=3的反对称矩阵[2]
    在这里插入图片描述
    并且n=3的反对称矩阵的性质影响着structure from motion(sfm)中的本质矩阵E的性质[3],比如n=3的反对称矩阵秩为2,因此E矩阵秩也为2
    在这里插入图片描述

    反对称矩阵的特征值是0或纯虚数

    由性质推导

    [1]设实反对称矩阵A的特征值为λ=a+bi(i=1)\lambda=a+bi(i=\sqrt{-1})(为什么设置为虚数呢,因为当虚部为0时包含了实数)
    ,相应的特征值向量x=u+vi0x=u+vi\neq0 ,其中uvu,v是非零实向量。那么由Ax=λxAx={\lambda}x得到
    A(u+vi)=()a+bi(u+vi)A(u+vi)=()a+bi(u+vi)

    Au+iAv=(aubv)+(bu+av)iAu+iAv=(au-bv)+(bu+av)i
    令实部虚部分别相等,则有
    Au=aubv,Av=bu+avAu=au-bv,Av=bu+av
    于是
    uTAu=auTubuTvu^TAu=au^Tu-bu^Tv
    vTAv=bvTu+avTvv^TAv=bv^Tu+av^Tv
    因为uTv=vTu=(u,v)u^Tv=v^Tu=(u,v)(u,v的內积),则上述2个式子相加得到
    uTAu+vTAv=a(u2+v2)u^TAu+v^TAv=a\left( {\left\vert u\right\vert}^2 + {\left\vert v \right\vert}^2\right)
    又因为
    uTAu  C, A=ATu^TAu\ {\in}\ C,\ A=-A^T
    uTAuu^TAu是一个数,把它看成一个1x1的矩阵,它的转置就是本身,所以
    uTAu=(uTAu)T=uTATu=uTAuu^TAu=(u^TAu)^T=u^TA^Tu=-u^TAu
    uTAu=uTAu\Rightarrow u^TAu=-u^TAu
    只有0的相反数才是0,于是
    uTAu=0u^TAu=0
    同理
    vTAv=0v^TAv=0
    因此
    uTAu+vTAv=a(u2+v2)=0u^TAu+v^TAv=a\left( {\left\vert u\right\vert}^2 + {\left\vert v \right\vert}^2\right)=0

    u+vi0u2+v20a=0u+vi\neq0 \Rightarrow {\left\vert u\right\vert}^2 + {\left\vert v \right\vert}^2\neq0 \Rightarrow a=0
    从而λ=a+bi=bi\lambda=a+bi=bi,b为任意实数,当b=0b=0时,特征值λ=bi=0\lambda=bi=0,当b0b\neq0时,λ=bi\lambda=bi为纯虚数
    因此反对称矩阵的特征值是0或纯虚数
    并且由上b0b\neq0时,λ\lambda为纯虚数,有Au=bv,Av=buAu=-bv,Av=bu
    u=b1Av,v=b1Auu=b^{-1}Av,v=-b^{-1}Au
    于是
    u2=uTu=uTb1Av=b1uTAv{\left\vert u \right\vert}^2=u^Tu=u^Tb^{-1}Av=b^{-1}u^TAv
    v2=vTv=vTb1vTAu=b1vTAu=b1(uTAv)T{\left\vert v \right\vert}^2=v^Tv=-v^Tb^{-1}v^TAu=b^{-1}v^TAu=b^{-1}(u^TAv)^T
    因为uTAv=(uTAv)Tu^TAv=(u^TAv)^T,所以u2=v2{\left\vert u \right\vert}^2={\left\vert v \right\vert}^2
    此外,由uTAu=0u^TAu=0以及uTv=uT(b1Au)=b1uTAuu^Tv=u^T(b^{-1}Au)=-b^{-1}u^TAu可知uTv=0u^Tv=0,即u,vu,v正交
    这证明了反对称矩阵对应于纯虚数的特征向量的实部和虚部形成的实向量等长且互相正交。

    实例推导

    A=[0a3a2a30a1a2a10]令A=\begin{bmatrix} 0 & -a_3& a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{bmatrix}
    用特征值的计算方法[4]来直接计算
    [0a3a2a30a1a2a10][λ000λ000λ]=λa3a2a3λa1a2a1λ\left\vert{ \begin{bmatrix} 0 & -a_3& a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{bmatrix}- \\ \begin{bmatrix} \lambda &0& 0\\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{bmatrix} }\right\vert = \begin{vmatrix} -\lambda & -a_3& a_2 \\ a_3 & -\lambda & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & -\lambda \end{vmatrix}
    于是有
    λ(λ2+a12)+a3(λa3a1a2)+a2(a1a3λa22)=0-\lambda({\lambda}^2+{a_1}^2)+{a_3}({-\lambda}a_3-a_1a_2)+a_2(a_1a_3-{\lambda}{a_2}^2)=0
    λ3λa12λa32a1a2a3+a1a2a3λa22=0{\Rightarrow} - {\lambda}^3 - {\lambda}{a_1}^2-{\lambda}{a_3}^2-{a_1a_2a_3}+{a_1a_2a_3}-{\lambda}{a_2}^2=0
    λ(λ2+a12+a22+a32)=0{\Rightarrow}-{\lambda}({\lambda}^2+{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2)=0
    λ=0,λ2+a12+a22+a32=0{\Rightarrow} {\lambda}=0, 或{\lambda}^2+{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2=0
    λ2=(a12+a22+a32)=m{\lambda}^2=-({a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2)=-m
    因为m=a12+a22+a32>0m={a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2>0
    所以λ=m1{\lambda}=\sqrt{m} * \sqrt{-1},此时为纯虚数

    3x3的反对称矩阵秩为2

    同样,A=[0a3a2a30a1a2a10]令A=\begin{bmatrix} 0 & -a_3& a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{bmatrix}
    对矩阵AA做初等行变换,矩阵的秩不变
    交换行顺序

    [a30a1a2a100a3a2]\begin{bmatrix} a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0\\ 0 & -a_3 & a_2 \\ \end{bmatrix}
    第一行乘以a2a_2,第二行乘以a3a_3再加上第一行
    [a2a30a1a2a2a3a1a300a3a2][a2a30a1a20a1a3a1a20a3a2]\begin{bmatrix} a_2a_3 & 0 & -a_1a_2 \\ -a_2a_3 & a_1a_3 & 0\\ 0 & -a_3 & a_2 \\ \end{bmatrix}{\Rightarrow} \begin{bmatrix} a_2a_3 & 0 & -a_1a_2 \\ 0 & a_1a_3 & -a_1a_2\\ 0 & -a_3 & a_2 \\ \end{bmatrix}
    第三行乘以a1a_1再加上第二行
    [a2a30a1a20a1a3a1a20a1a3a1a2][a2a30a1a20a1a3a1a2000]\begin{bmatrix} a_2a_3 & 0 & -a_1a_2 \\ 0 & a_1a_3 & -a_1a_2\\ 0 & -a_1a_3 & a_1a_2 \\ \end{bmatrix}{\Rightarrow} \begin{bmatrix} a_2a_3 & 0 & -a_1a_2 \\ 0 & a_1a_3 & -a_1a_2\\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}
    所以3x3的反对称矩阵的秩为2

    参考

    [1]. 百度百科:反对称矩阵
    [2]. share_noel/books/韦穗(译).计算机视觉中的多视图几何,提取码:0ooc
    [3]. 北京邮电大学鲁鹏老师计算机视觉课程三维重建部分PPT
    [4]. 特征值 是 系数行列式等于0时的 解

    如有错漏,敬请指正
    --------------------------------------------------------------------------------------------诺有缸的高飞鸟202104

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  • 摘要:本节我们来介绍一下实反对称矩阵,我们平时常见的是实对称矩阵,那么对于反对称矩阵性质还是了解的比较少的,那么本节岩宝就给大家总结一些实反对称矩阵性质.如果A是一个反对称矩阵,则对任意的列向量X有,...

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    摘要:本节我们来介绍一下实反对称矩阵,我们平时常见的是实对称矩阵,那么对于反对称矩阵的性质还是了解的比较少的,那么本节岩宝就给大家总结一些实反对称矩阵的性质.

    如果A是一个反对称矩阵,则对任意的列向量X有,当A是实反对称矩阵时,A的特征值为零或者纯虚数,且虚特征值成对存在;所以奇数级实反对称矩阵一定以0为特征值,即奇数级,实反对称矩阵行列式必然为0.

    例1.实反对称矩阵的特征值为零或纯虚数.

    证明:我们不妨设实对称矩阵A的特征值为,对应的特征向量为,使得

    我们给上式两端同时乘,使得

    因为,

    所以,

    因为A实反对称,所以有

    我们对于两边同时取共轭转置,可得

    从而有

    将上面两式相加可得

    从而,即实反对称矩阵A的特征值为零或纯虚数.

    例2.设为实反对称矩阵,证明属于的的非零特征值的任意特征向量的实部向量与虚部向量相互正交且模长相等.

    证明:设关于特征值的特征向量,即

    对比实部虚部系数可知

    于是结合

    从而结合,

    例3.设

    (1)求

    (2)设 证明线性方程组有非零解的充要条件是.

    证明:(1)

    (2)我们知道方程组有非零解的充要条件是

    是A的实特征值,而A是反对称矩阵,它的实特征值只能是0,所以有非零解的充要条件为的特征值,当然这也等价于,即,整体来说就是:方程组有非零解的充要条件为

    例4.阶实方阵,切为正定阵,为实反对称阵,证明:的秩为偶数.

    证明:由于正定,故存在可逆矩阵使得,故

    从而可得

    (岩宝小提示:这里利用了一个小结论:若A是实矩阵,则)

    故结论成立.(为什么结论成立呢?因为实反对称矩阵的秩为偶数)

    例5.设A为实反对称矩阵,则

    (1)存在正交矩阵Q,使得

    (2)可逆.

    证明:(1)由A的特征值为0或纯虚数,且非零特征值成对出现,设为

    为实对称矩阵,且其特征值为

    故结论成立,

    (2)由于

    故结论成立.

    例6.(2012南京理工大学)设阶正定矩阵,阶实反对称矩阵,求证:为正定矩阵.

    证明:首先有

    是实对称矩阵,

    接下我们任取,有

    即结论成立.

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  • 1. 矩阵转置的定义(矩阵的行和列互换位置) ...反对称矩阵的充要条件是矩阵转置一次后等于原矩阵的负矩阵(A^T = -A) 4. 矩阵与其转置之和形成的矩阵是对称矩阵 矩阵左乘其转置形成的矩...
  • 矩阵分析与多元统计II 二次型与二次曲面2 双线性函数双线性函数双线性函数的表示双线性函数的简单性质矩阵的合同关系满秩双线性函数对称与反对称对称双线性函数反对称双线性函数应用伪正交变换辛变换对称双线性函数...
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  • 离散数学实验:关系性质判断

    千次阅读 2020-05-08 19:23:35
    本实验要求从键盘输入一个关系的关系矩阵,判断该关系是否是自反的、对称的、传递的、反自反的、反对称的。用C语言或MATLAB实现。 三、实验源程序 #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS//避免scanf编译不通过 #include ...
  • 集合上二元关系性质的判定

    千次阅读 2013-10-15 22:42:03
    要求能正确判断二元关系的自反性、传递性、对称性、反自反性、反对称性。 显然,我们首先要做到的就是怎么样判断这些二元关系的性质。我想到的方法有两种: 使用性质的定义来判断。使用性质矩阵上具有的特点来...
  • 自反性对称性和反自反反对称比较简单,关于传递性的判断,我们使用Warshall算法计算传递闭包,当传递闭包对应的关系矩阵与原关系矩阵一致时,我们认为它是满足传递性的。 关于编码思路,做个提纲:  一共6个函数,...

空空如也

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反对称矩阵性质