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  • 1.2 反函数的图形

    2020-05-20 23:13:05
    函数 y=f(x) 的反函数x=f(y)的图形: 函数 y=f(x) 的反函数x=f(y)的作图的基本格式:plot([f(x), x, x=a…b]) 注意:以下命令作出的是f(x)的图形:plot([x, f(x), x=a…b]) 例1.2.1 作出以下函数的反函数的图形 解...

    设有函数
    在这里插入图片描述
    用Maple作函数y=f(x)的反函数x=f(y)的图形的基本格式:

    plot([f(x), x, x=a…b])

    注意:以下命令作出的是直接函数y=f(x)的图形:
    plot([x, f(x), x=a…b])

    例1.2.1 作出以下函数的反函数的图形
    在这里插入图片描述
    输入以下命令,并以分号结束:

    plot([exp(x), x, x=-2…2]);

    输出图形:在这里插入图片描述
    注 这是y=lnx的图形。

    例1.2.2 作出以下函数及其反函数的图形
    在这里插入图片描述
    输入以下命令,并以分号结束:

    plot([ [x,exp(x),x=-2…2], [exp(x),x,x=-2…2] ],
    color=[red,blue], thickness=3);

    输出图形:在这里插入图片描述

    例1.2.3 作出以下函数及其反函数的图形
    在这里插入图片描述
    输入以下命令,并以分号结束:

    plot([ [x,sin(x),x=-10…10], [sin(x),x,x=-10…10] ], color=[red,blue], thickness=3);

    输出图形:在这里插入图片描述
    例1.2.4 作出以下函数及其反函数的图形在这里插入图片描述
    作出两个曲线的对称直线 y=x
    指定图形显示范围:view=[-1…2, -1…2]
    输入以下命令:

    f:=x->x^3*exp(x):
    A:=plot([ [x,f(x),x=-1…1], [f(x),x,x=-1…1] ],
    color=[red, blue], thickness=3):
    B:=plot(x,x=-2…2,color=grey):
    display(A, B, scaling=constrained, view=[-1…2,-1…2]);

    输出图形:在这里插入图片描述
    返回《Maple图形与动画》目录

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  • 主要介绍了PHP 序列化和序列化函数,需要的朋友可以参考下
  • 注意Jf(x)≠0Jf(x)\neq0意味着Df(x):Rn→RnDf(x):R^n\to R^n是线性同构(即它的矩阵是可逆的),从而根据事实:最佳线性近似是可逆的,我们想得出函数本身是可逆的。然而,需要一些限制条件。为此考虑f:R→Rf:R\to R,...

    注意 Jf(x)0 意味着 Df(x):RnRn 是线性同构(即它的矩阵是可逆的),从而根据事实:最佳线性近似是可逆的,我们想得出函数本身是可逆的。

    然而,需要一些限制条件。为此考虑 f:RR ,如果 f C1 f(x0)0 ,那么 f x0的邻域内是可逆的。几何上来看这非常明显,因为 f(x0)0 意味着 f x0附近斜率不为零。(如图1)


    这里写图片描述
    图1

    因此我们主要关注的是局部可逆性,即 x 靠近x0 y 靠近y0=f(x0) f(x) 的可逆性。

    根据链式法则很容易计算可逆函数 f1(y) 的导数: f1(f(x))=x ,我们得出 (df1/dy)f(x)=1 ,所以

    df1dy|y=f(x)=1df/dx

    为了验证 f1 是可微的需要更小心点。

    如果 f(x0)=0 ,那么 f x0附近可能可逆,也可能不可逆;如图1所示, f x1附近是不可逆的,但是 f(x)=x3 x0=0 是可逆的。那么当 f(x0)=0 时我们的不出结论。通常来讲, f(x0)0 不能保证对所有的 y,f(x)=y 有解。例如,在图1中不存在 x3 使得 f(x3)=y1 。另外从图中也能看出 f(x0)=f(x2) 的解不唯一,但当我们只考虑 x0 很小的邻域时解是唯一的。

    因此我们考虑 f f(x0)附近的可逆性,即 y 靠近f(x0)时,使得 f(x)=y 的某些靠近 x0 x 值是唯一的,有多靠近这个问题需要更细节分析,不过目前而言这个不重要。

    定理1包含单变量的情况,它仅仅是一种特殊情况。

    1 ARn 是开集且 f:ARnRn C1 类(即, Df 存在且连续),令 x0A 并假设 Jf(x0)0 ,那么存在 x0 的邻域 U f(x0) 的开邻域 W 满足f(U)=W f 存在C1 f1:WU 。此外,对于 yW,x=f1(y) ,我们有

    Df1(y)=[Df(x)]1

    Df(x) 的逆意味着线性映射(对应于可逆矩阵)的逆,如果 f Cp类, p1 ,那么 f1 同样如此。

    我们讲 f 有可逆函数f1意味着给定 yW ,有唯一的 xU 满足 f(x)=y

    定理的证明依赖一个存在的论据,即当 y 靠近y0时我们需要证明存在 x 使得f(x)=y,最基本的工具是压缩映射原理;参看5.6节。在5.6节中我们看到这个结果如何用来证明简单积分方程解的存在性。在7.5节我们将利用同样的论据来求解微分方程。

    1 考虑方程 (x4+y4)/x=u(x,y),sinx+cosy=v(x,y) ,那么在哪些点附近我们可以用 u,v 的形式求解出 x,y

    这里的函数是 u(x,y)=f1(x,y)=(x4+y4)/x,v(x,y)=f2(x,y)=sinx+cosy ,我们想知道在哪些点附近我们可以求出 x,y ,根据逆函数定理,我们必须先计算出 (f1,f2)/(x,y) 。对于 f=(f1,f2) ,我们取其定义域为 A={(x,y)R2|x0} ,接下来

    (f1,f2)(x,y)=f1xf2xf1yf2y=3x4y4x2cosx4y3xsiny=(siny)x2(y43x4)4y3xcosx

    因此,对于没消失的点,我们可以用 u,v 来表示 x,y 。换句哈说,我们可以在靠近 x,y 的附近求出 x,y ,这种问题通常无法显式求出。例如如果 x0=π/2,y0=π/2 ,那么我们可以在 x0,y0 附近求出 x,y ,因为 (f1,f2)/(x,y)0

    根据定理1,通过求雅克比矩阵的逆就能得到导数 x/u 等,对于 2×2 的情况就是

    xu=1Jf(x,y)vy,xv=1Jf(x,y)uy;

    yu=1Jf(x,y)vy,yv=1Jf(x,y)uy

    在本例中

    xu=(x2siny){(siny)(y43x4)4y3xcosx}

    注意这个答案使用 x,y 而不是 u,v 来表示,所以 x/u 是在点 u(x,y),v(x,y) 处计算出来的。

    逆函数定理是非常有用的,因为它告诉我们方程有解并说明如何求出解的微分,虽然可能无法显式求解出方程。

    2 u(x,y)=excosy,u(x,y)=exsiny ,说明 (x,y)(u(x,y),v(x,y)) 是局部可逆的,但是本身不可逆。


    (u,v)(x,y)=uxvxuyvy=excosyexsinyexsinyexcosy=e2x(cos2y+sin2y)=e2x0

    因此根据可逆函数定理,映射是局部可逆的。然而因为

    u(x,y+2π)=u(x,y),v(x,y+2π)=v(x,y)

    所以它不是(全局)一对一的。

    注意对于 f:RR ,如果 f 是可微的且对于所有的x,f0,那么 f(x) 要么 >0 要么 <0 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-114"><0</script>,因为 f 满足中值定理。从而 f 肯定是(全局)一对一的,f要么一直递增要么一直递减,上面的例子表明 R2 中不一定如此。

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  •  存在反函数的函数,定义域到值域是1-1对应或者叫双射。定义域和值域分别为D,B,若对于x1,x2∈D,x1≠x2,推出f(x1)≠f(x2),f(x1),f(x2)∈B。那么就叫做1-1对应或双射【注意,这里的集合已经压缩到定义域和值域了,...
    从映射分析:

          存在反函数的函数,定义域到值域是1-1对应或者叫双射。定义域和值域分别为D,B,若对于

    x1,x2∈D,x1≠x2,推出f(x1)≠f(x2),f(x1),f(x2)∈B。那么就叫做1-1对应或双射

    【注意,这里的集合已经压缩到定义域和值域了,满射就能保证了】。

    这样的映射关系,存在一个逆映射,即存在反函数。

    (1)单调性到反函数

    若函数是单调的,无论是增还是减,都能保证x1,x2∈D,x1≠x2,推出f(x1)≠f(x2),f(x1),f(x2)∈B,因此单调函数存在反函数。
    (2)反函数到单调性

           但是反过来:x1,x2∈D,x1≠x2,推出f(x1)≠f(x2),f(x1),f(x2)∈B,能不能推出对于所有的x∈D,存在x1>x2,f(x1)>f(x2),

    或f(x1)<f(x2)其中一个呢?不能了。已知x1≠x2,只能确定地得到f(x1)≠f(x2),至于大小关系是无法确定的。

    一个基本的例子就是:它有可能是分段函数,且分段函数中有可能存在无定义的点或者无穷的点,那么它就不是单调函数了。


    因此,函数单调性是存在反函数的充分非必要条件。
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空空如也

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