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  • 对数函数

    2021-01-20 11:19:31
    指数函数对数函数恰似青梅竹马,形影不离,讲完了指数函数,不讲对数函数,似乎有点不厚道,同时,对数函数指数函数互为反函数,简单说其中一个是用x来表示y,那么反过来便是用y表示x,请看下面的数学表达式 ...
  • 常数函数、幂函数、指数函数对数函数、三角函数和三角函数统称为基本初等函数 常数函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 三角函数 复合函数

    常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数

    常数函数

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    幂函数

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    指数函数

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    对数函数

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    三角函数

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    反三角函数

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    复合函数

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  • 那个教授说,对数函数与其反函数的交点可以有三个。 当时特别难以置信,直到他用工具画出图来。 后来我回去也证明了一下,但是图像一直很难构造。 今天回顾一下证明过程,并利用几何画板和python作出图像。 多年...

    高二的时候,听过一次讲座。那个教授说,对数函数与其反函数的交点可以有三个。

    当时特别难以置信,直到他用工具画出图来。

    后来我回去也证明了一下,但是图像一直很难构造。

    今天回顾一下证明过程,并利用几何画板和python作出图像。

    多年夙愿,在此纪念。

    简单证明

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    相关图像

    • 图①
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    • 图②
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    • 图③

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    • 图④
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    • 图⑤
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    • 图⑥
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    作图代码

    import matplotlib.pyplot as plt
    import numpy as np
    import math
    a=math.pow(math.e,-math.e)
    x=np.linspace(0.02,1.5,1000)
    y=x
    y1=[math.log(i,a) for i in x]
    y2=[math.pow(a,i) for i in x]
    y3=-x+2/math.e
    plt.plot(x,y3)
    plt.plot(x,y)
    plt.plot(x,y1,linestyle='--')
    plt.plot(x,y2,color='red',linewidth=1.0,linestyle='--')
    
    plt.xlabel('x')
    plt.ylabel('y')
    ax=plt.gca()
    ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')
    ax.yaxis.set_ticks_position('left')
    # 定义x轴和y轴的位置
    ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0))
    ax.spines['left'].set_position(('data', 0))
    plt.axis('equal')
    
    p1=plt.scatter(1/math.e,1/math.e,marker='.',color='k',s=50)
    
    plt.show()
    
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  • 指数函数,幂函数,对数函数

    千次阅读 2019-09-14 15:19:25
    指数函数,幂函数,对数函数为高等数学中的初等函数 指数函数 指数函数公式为,其函数增长性如下: 指数函数的单调性是递增的,当x=0时,不管a为任何值,其值为1。当a大于1时,随着a越大,其函数值增长越快 在...

    指数函数,幂函数,对数函数为高等数学中的初等函数

    指数函数

    指数函数公式为y=a^{x},其函数增长性如下:

     指数函数的单调性是递增的,当x=0时,不管a为任何值,其值为1。当a大于1时,随着a越大,其函数值增长越快 

    在x>0部分,a>b其y值也是随着f_{a}(x)>f_{b}(x)

    在x<0部分 当a>b是,其f_{a}(x)<f_{b}(x)<1

    对数函数

    对数函数表达式为:y=log_{a}x,其函数图像为如下:

    当x等于1时 y为0,

    当x<1时,其y值小于0

    当x >1时,其值大于0

    对数函数为单调递增的,当a>1时,随着地鼠a越小,其函数增长值越快

    当x> 1时, a<b,f_{a}(x)>f_{b}(x)

    当x<1时, a<b ,f_{a}(x)<f_{b}(x)

     幂函数

    幂函数表达式为y=x^{n},其图像如图:

    对数函数为单调递增的,当n大于1时且x大于1时, n越大其函数值越大

    比较三个函数y=2^{x},y=x^{2},y=log_{2}x增长快慢

     

     y=log_{2}x增长最慢,幂函数y=x^{2}和指数函数y=2^{x}快慢交替进行

    在x(0.2)区间,幂函数比指函数增长较快

    在(4,+\propto)指数函数比幂函数增长较快

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  • 对数指数函数的求导

    千次阅读 2017-11-27 08:53:48
    Derivative of Logarithm and Exponential Function ...本文的根源来自对指数函数求导的困难.指数求导遇到的困难(ax)′=limdx→0ax+dx−axdx=limdx→0ax(adx−1dx) (a^x)' = \lim_{dx\to 0}\frac{a^{x+dx}-a^x}{dx} =

    Derivative of Logarithm and Exponential Function

    背景

    在了解自然常数e与对数的历史背景之后,对其相关的问题有了兴趣。本文的根源来自对指数函数求导的困难.

    指数求导遇到的困难

    (ax)=limdx0ax+dxaxdx=limdx0ax(adx1dx)

    对于 limdx0adx1dx
    无法转化成e的形式,通过表达式的可见,这也是指数函数在x=0处的导数.

    指数函数的直接求导不成功,从它的反函数对数入手,让对数函数的变量为指数函数,于是有了对复合函数的求导。
    所以顺带推导复合函数求导公式

    后经过查阅,发现有网友已经化解了这个表达式。见 化解x=0导数

    在对对数函数求导之前,先明确几个对数规律。

    规律1

    logBA=lnAlnB

    规律1证明

    A=eaB=eb

    A=BlogBA

    ea=eblogBA

    a=blogBA

    logBA=ab=lnAlnB

    规律2

    logAB=1logBA

    规律2证明

    logBA=lnAlnB=1lnBlnA=1logAB

    规律3(复合函数求导)

    (f(g(x)))=f(g(x))g(x)

    (f(g(x))) 表示对复合函数求导, f(g(x)) 表示f在 g(x) 处的导数

    规律3证明

    (f(g(x)))=limdx0f(g(x+dx))f(g(x))dx

    =limdx0f(g(x+dx))f(g(x))dxg(x+dx)g(x)g(x+dx)g(x)

    =limdx0f(g(x+dx))f(g(x))g(x+dx)g(x)g(x+dx)g(x)dx

    =f(g(x))g(x)

    复合函数求导应用

    (f(f1(x)))=f(f1(x))f1(x)=(x)=1

    f1(x)=1f(f1(x))

    对数函数求导

    (lnx)=limdx0ln(x+dx)ln(x)dx=limdx0lnx+dxxdx

    =limdx0ln(x+dxx)1dx

    =limdx0ln(1+dxx)1dx

    =limdx0xxln(1+dxx)1dx

    =limdx01xln(1+dxx)xdx

    t=xdx 则上述表达式写成:

    1xlimtln(1+1t)t

    =1xlne=1x

    (logax)=(lnxlna)=1xlna

    指数函数求导

    因为有了对数函数导数与复合函数求导规律,所以容易推导指数函数导数:

    (ax)=11axlna=axlna

    化解x=0导数

    下面方法参考于网络:

    http://blog.sina.com.cn/s/blog_49fa93c101000doh.html

    得到的启示是,对于趋于0或趋于无穷的表示式,是可以变换的,变换的运算过程可以得到很难直观发现的结果.

    limt0(at1t)

    u=at1 t=loga(u+1)

    因为t趋于0,所以u趋于0.

    上式可以写成:

    limu0uloga(u+1)=limu011uloga(u+1)=limu01loga(u+1)1u=1logae=lna

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空空如也

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