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  • 有什么用? 假设有一 int 类型的数,值为5,那么,我们知道它在计算机中表示为: 00000000 00000000 00000000 00000101 5转换成二制是101,不过int类型的数占用4字节(32位),所以前面填了一堆0。 现在想知道 .....
    原码、反码、补码什么意思?有什么用?

      假设有一 int 类型的数,值为5,那么,我们知道它在计算机中表示为:  00000000 00000000 00000000 00000101  5转换成二制是101,不过int类型的数占用4字节(32位),所以前面填了一堆0。  现在想知道 ...
      假设有一 int 类型的数,值为5,那么,我们知道它在计算机中表示为:
      00000000 00000000 00000000 00000101
      5转换成二制是101,不过int类型的数占用4字节(32位),所以前面填了一堆0。
      现在想知道,-5在计算机中如何表示?
      在计算机中,负数以其正值的补码形式表达。
      什么叫补码呢?这得从原码,反码说起。
      
      原码:一个整数,按照绝对值大小转换成的二进制数,称为原码。
      比如 00000000 00000000 00000000 00000101 是 5的 原码。
      反码:将二进制数按位取反,所得的新二进制数称为原二进制数的反码。
      取反操作指:原为1,得0;原为0,得 1。(1变0; 0变1)
      比如:将00000000 00000000 00000000 00000101每一位取反,得11111111 11111111 11111111 11111010。
      称:11111111 11111111 11111111 11111010 是 00000000 00000000 00000000 00000101 的反码。
      反码是相互的,所以也可称:
       11111111 11111111 11111111 11111010 和 00000000 00000000 00000000 00000101 互为反码。
      补码:反码加1称为补码。
      也就是说,要得到一个数的补码,先得到反码,然后将反码加上1,所得数称为补码。
      比如:00000000 00000000 00000000 00000101 的反码是:11111111 11111111 11111111 11111010。
      那么,补码为:
      11111111 11111111 11111111 11111010 1 = 11111111 11111111 11111111 11111011
      所以,-5 在计算机中表达为:11111111 11111111 11111111 11111011。转换为十六进制:0xFFFFFFFB。
      
      再举一例,我们来看整数-1在计算机中如何表示。
      假设这也是一个int类型,那么:
      1、先取1的原码:00000000 00000000 00000000 00000001
      2、得反码: 11111111 11111111 11111111 11111110
      3、得补码: 11111111 11111111 11111111 11111111
      
      正数的原码,补码,反码都相同,都等于它本身
      负数的补码是:符号位为1,其余各位求反,末位加1
      反码是:符号位为1,其余各位求反,但末位不加1
      也就是说,反码末位加上1 就是补码
      
      1100110011 原
      1011001100 反 除符号位,按位取反
      1011001101 补 除符号位,按位取反再加1
      
      正数的原反补是一样的
      在计算机中,数据是以补码的形式存储的:
      在n位的机器数中,最高位为符号位,该位为零表示为正,为1表示为负;
      其余n-1位为数值位,各位的值可为0或1。
      
      当真值为正时:原码、反码、补码数值位完全相同;
      当真值为负时: 原码的数值位保持原样,
      反码的数值位是原码数值位的各位取反,
      补码则是反码的最低位加一。
      注意符号位不变。
      如:若机器数是16位:
      十进制数 17 的原码、反码与补码均为: 0000000000010001
      十进制数-17 的原码、反码与补码分别为:1000000000010001、1111111111101110、1111111111101111

    转载于:https://www.cnblogs.com/mikechang/archive/2010/04/08/1707785.html

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  • 计算机为什么用反码存储整型这得从二进制的原码说起: 如果以最高位为符号位,二进制原码最大为0111111111111111=2的15次方减1=32767 最小为1111111111111111=-2的15次方减1=-32767 此时0两种表示方法,即正0...

    计算机为什么要用反码存储整型

    这得从二进制的原码说起:
    如果以最高位为符号位,二进制原码最大为0111111111111111=2的15次方减1=32767
    最小为1111111111111111=-2的15次方减1=-32767
    此时0有两种表示方法,即正0和负0:0000000000000000=1000000000000000=0
    所以,二进制原码表示时,范围是-32767~-0和0~32767,因为有两个零的存在,所以不同的数值个数一共只有2的16次方减1个,比16位二进制能够提供的2的16次方个编码少1个。
    但是计算机中采用二进制补码存储数据,即正数编码不变,从0000000000000000到0111111111111111依旧表示0到32767,而负数需要把除符号位以后的部分取反加1,即-32767的补码为1000000000000001。
    到此,再来看原码的正0和负0:0000000000000000和1000000000000000,补码表示中,前者的补码还是0000000000000000,后者经过非符号位取反加1后,同样变成了0000000000000000,也就是正0和负0在补码系统中的编码是一样的。但是,我们知道,16位二进制数可以表示2的16次方个编码,而在补码中零的编码只有一个,也就是补码中会比原码多一个编码出来,这个编码就是1000000000000000,因为任何一个原码都不可能在转成补码时变成1000000000000000。所以,人为规定1000000000000000这个补码编码为-32768。
    所以,补码系统中,范围是-23768~32767。
    因此,实际上,二进制的最小数确实是1111111111111111,只是二进制补码的最小值才是1000000000000000,而补码的1111111111111111是二进制值的-1。

    补码

    原码、反码、补码

     数值在计算机中表示形式为机器数,计算机只能识别0和1,使用的是二进制,而在日常生活中人们使用的是十进制,"正如亚里士多德早就指出的那样,今天十进制的广泛采用,只不过我们绝大多数人生来具有10个手指头这个解剖学事实的结果.尽管在历史上手指计数(5,10进制)的实践要比二或三进制计数出现的晚."(摘自<<数学发展史>>有空大家可以看看哦~,很有意思的).为了能方便的与二进制转换,就使用了十六进制(2 4)和八进制(23).下面进入正题.
    

    数值有正负之分,计算机就用一个数的最高位存放符号(0为正,1为负).这就是机器数的原码了.假设机器能处理的位数为8.即字长为1byte,原码能表示数值的范围为

    (-127~-0 +0~127)共256个.

    有了数值的表示方法就可以对数进行算术运算.但是很快就发现用带符号位的原码进行乘除运算时结果正确,而在加减运算的时候就出现了问题,如下: 假设字长为8bits

    ( 1 ) 10- ( 1 )10 = ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )10

    (00000001)原 + (10000001)原 = (10000010)原 = ( -2 ) 显然不正确.

    因为在两个整数的加法运算中是没有问题的,于是就发现问题出现在带符号位的负数身上,对除符号位外的其余各位逐位取反就产生了反码.反码的取值空间和原码相同且一一对应. 下面是反码的减法运算:

    ( 1 )10 - ( 1 ) 10= ( 1 ) 10+ ( -1 ) 10= ( 0 )10

    (00000001) 反+ (11111110)反 = (11111111)反 = ( -0 ) 有问题.

    ( 1 )10 - ( 2)10 = ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10

    (00000001) 反+ (11111101)反 = (11111110)反 = ( -1 ) 正确

    问题出现在(+0)和(-0)上,在人们的计算概念中零是没有正负之分的.(印度人首先将零作为标记并放入运算之中,包含有零号的印度数学和十进制计数对人类文明的贡献极大).

    于是就引入了补码概念. 负数的补码就是对反码加一,而正数不变,正数的原码反码补码是一样的.在补码中用(-128)代替了(-0),所以补码的表示范围为:

    (-128~0~127)共256个.

    注意:(-128)没有相对应的原码和反码, (-128) = (10000000) 补码的加减运算如下:

    ( 1 ) 10- ( 1 ) 10= ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )10

    (00000001)补 + (11111111)补 = (00000000)补 = ( 0 ) 正确

    ( 1 ) 10- ( 2) 10= ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10

    (00000001) 补+ (11111110) 补= (11111111)补 = ( -1 ) 正确

    所以补码的设计目的是:

     ⑴使符号位能与有效值部分一起参加运算,从而简化运算规则.
    

    ⑵使减法运算转换为加法运算,进一步简化计算机中运算器的线路设计

    所有这些转换都是在计算机的最底层进行的,而在我们使用的汇编、C等其他高级语言中使用的都是原码。看了上面这些大家应该对原码、反码、补码有了新的认识了吧!

    有网友对此做了进一步的总结:

    本人大致总结一下:

    1、在计算机系统中,数值一律用补码来表示(存储)。

    主要原因:使用补码,可以将符号位和其它位统一处理;同时,减法也可按加法来处理。另外,两个用补码表示的数相加时,如果最高位(符号位)有进位,则进位被舍弃。

    2、补码与原码的转换过程几乎是相同的。

    数值的补码表示也分两种情况:
    (1)正数的补码:与原码相同。
    例如,+9的补码是00001001。
    (2)负数的补码:符号位为1,其余位为该数绝对值的原码按位取反;然后整个数加1。
    例如,-7的补码:因为是负数,则符号位为“1”,整个为10000111;其余7位为-7的绝对值+7的原码0000111按位取反为1111000;再加1,所以-7的补码是11111001。

    已知一个数的补码,求原码的操作分两种情况:
    (1)如果补码的符号位为“0”,表示是一个正数,所以补码就是该数的原码。
    (2)如果补码的符号位为“1”,表示是一个负数,求原码的操作可以是:符号位为1,其余各位取反,然后再整个数加1。
    例如,已知一个补码为11111001,则原码是10000111(-7):因为符号位为“1”,表示是一个负数,所以该位不变,仍为“1”;其余7位1111001取反后为0000110;再加1,所以是10000111。

    在“闲扯原码、反码、补码”文件中,没有提到一个很重要的概念“模”。我在这里稍微介绍一下“模”的概念:

    “模”是指一个计量系统的计数范围。如时钟等。计算机也可以看成一个计量机器,它也有一个计量范围,即都存在一个“模”。例如:

      时钟的计量范围是0~11,模=12。
      表示n位的计算机计量范围是0~2(n)-1,模=2(n)。【注:n表示指数】

      “模”实质上是计量器产生“溢出”的量,它的值在计量器上表示不出来,计量器上只能表示出模的余数。任何有模的计量器,均可化减法为加法运算。

    例如:假设当前时针指向10点,而准确时间是6点,调整时间可有以下两种拨法:

       一种是倒拨4小时,即:10-4=6

       另一种是顺拨8小时:10+8=12+6=6

    在以12模的系统中,加8和减4效果是一样的,因此凡是减4运算,都可以用加8来代替。

    对“模”而言,8和4互为补数。实际上以12模的系统中,11和1,10和2,9和3,7和5,6和6都有这个特性。共同的特点是两者相加等于模。

    对于计算机,其概念和方法完全一样。n位计算机,设n=8,所能表示的最大数是11111111,若再加1称为100000000(9位),但因只有8位,最高位1自然丢失。又回了00000000,所以8位二进制系统的模为2(8)。在这样的系统中减法问题也可以化成加法问题,只需把减数用相应的补数表示就可以了。

    把补数用到计算机对数的处理上,就是补码。

    ///

    关于算术运算的溢出问题,曾经我也迷茫过,而且不知道为什么整型变量溢出后会是模运算的结果呢,以前还以为是不可以预测的,不过弄懂了原码、补码的概念后,就发现其实都是有规律可循的,如果你还不太清楚补码什么东西,建议先看看随笔『计算机中的原码、反码和补码』,弄清楚整型数据在计算机中是如何储存的。
      在那篇文中,我们讲述了为什么我们把-1强制成无符号短整型输出后会得到65535,在这里我们不对它进行类型转换,我们只是超出它的范围看看。
      还是定义一个2字节大小的短整型short int n;,学了前面的知识,我们知道这里n的范围是-32768~32767,而且通过前面知识我们也知道:

      这里的-32768在计算机中特殊表示为10000000 00000000
      0~32767是00000000 00000000~01111111 11111111
      -1~-32767是11111111 11111111~10000000 00000001

      当我们赋值n=32767,我们先n+1,超出它的范围,再输出n看看,结果是-32768,为什么?我们来分析一下,32767在内存中是以01111111 11111111储存的,我们对这个二进制码加1运算看看,结果是10000000 00000000,它表示的数是多少,哈哈,这不就是-32768吗?不甘心,也许是巧合呢,那我们再加1看看,结果是10000000 00000001,表示的是-32767,再多试几个也一样的。哦,原来不是巧合呀,正因为如此,所以我们就不用这么繁琐了,直接进行模运算就可以了!啊?什么是模运算?昏……模运算就是除整取余的运算。

      下面我把书上的例子再拿出来给你讲你就明白了。

    在16位机器上进行下面的操作://为什么强调16位机器?因为16位机器上的int型的存储空间是2个字节

    int weight=42896;

      如果你把输出,在16位机器中将不能得到42896,而是-22640。因为有符号整数的表示范围是-32768~32767(共65536个数),所以它只能得到42896的补码-22640(42896-65536=-22640)。
      一个整型类型的变量,用任何一个超过表示范围的整数初始化,得到的值为用该整数范围作模运算后的值。例如:

    int weight=142896;

      则当weight是2字节整型数时,得到值为11824。因为142896

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  • 原码、反码、补码知识详解及计算机存储、计算为什么用反码而不是原码反码等(此作者是我找到的讲的最细最明白的一个) 本篇文章讲解了计算机的原码, 反码和补码. 并且进行了深入探求了为何要使用反码和补码, 以及...

    原码、反码、补码知识详解及计算机存储、计算为什么要用反码而不是原码反码等(此作者是我找到的讲的最细最明白的一个)

    本篇文章讲解了计算机的原码, 反码和补码. 并且进行了深入探求了为何要使用反码和补码, 以及更进一步的论证了为何可以用反码, 补码的加法计算原码的减法. 论证部分如有不对的地方请各位牛人帮忙指正! 希望本文对大家学习计算机基础有所帮助!

    一. 机器数和真值

    在学习原码, 反码和补码之前, 需要先了解机器数和真值的概念.

    1、机器数(又叫机器码,是二进制表示的数)
    一个数在计算机中的二进制表示形式, 叫做这个数的机器数。机器数是带符号的,在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1.

    比如,十进制中的数 +3 ,计算机字长为8位,转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ,就是 10000011 。

    那么,这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。

    2、真值符号位+数值位表示的真正的数值: 机器数符号位与数值位表示的真正的数值)
    因为第一位是符号位,所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011,其最高位1代表负,其真正数值是 -3 而不是形式值131(10000011转换成十进制等于131)。所以,为区别起见,将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。

    例:0000 0001的真值 = +000 0001 = +1,1000 0001的真值 = –000 0001 = –1

    二. 原码, 反码, 补码的基础概念和计算方法.

    在探求为何机器要使用补码之前, 让我们先了解原码, 反码和补码的概念.对于一个数, 计算机要使用一定的编码方式进行存储. 原码, 反码, 补码是机器存储一个具体数字的编码方式.

    1. 原码

    原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值. 比如如果是8位二进制:

    [+1]原 = 0000 0001

    [-1]原 = 1000 0001

    第一位是符号位. 因为第一位是符号位, 所以8位二进制数的取值范围就是:

    [1111 1111 , 0111 1111] ,即 [-127 , 127]

    原码是人脑最容易理解和计算的表示方式.

    2. 反码

    反码的表示方法是:

    正数的反码是其本身

    负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变,数值位取反

    [+1] = [00000001]原 = [00000001]反

    [-1] = [10000001]原 = [11111110]反

    可见如果一个反码表示的是负数, 人脑无法直观的看出来它的数值. 通常要将其转换成原码再计算.

    3. 补码

    补码的表示方法是:

    正数的补码就是其本身

    负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1. (即在反码的基础上+1)

    [+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补

    [-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

    对于负数的补码表示方式,也是人脑无法直观看出其数值的. 通常也需要转换成原码在计算其数值.

    三. 为何要使用原码, 反码和补码(都只是一种编码方式而已)

    在开始深入学习前, 我的学习建议是先"死记硬背"上面的原码, 反码和补码的表示方式以及计算方法.

    现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数. 对于正数因为三种编码方式的结果都相同:

    [+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补

    所以不需要过多解释. 但是对于负数:

    [-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

    可见原码, 反码和补码是完全不同的. 既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式, 为何还会有反码和补码呢?

    首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位, 在计算的时候我们会根据符号位, 选择对真值区域的加减. (真值的概念在本文最开头). 但是对于计算机, 加减乘数已经是最基础的运算, 要设计的尽量简单. 计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法. 我们知道, 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器可以只有加法而没有减法, 这样计算机运算的设计就更简单了.

    1. 于是人们开始探索将符号位参与运算, 并且只保留加法的方法. 首先来看原码:

    计算十进制的表达式: 1-1=0

    1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2

    结果表名原码无法作减法运算

    如果用原码表示, 让符号位也参与计算, 显然对于减法来说, 结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数.

    2. 为了解决做减法的问题, 出现了反码:

    计算十进制的表达式: 1-1=0

    1 - 1 = 1 + (-1) => [0000 0001]原 + [1000 0001]原=> [0000 0001]反 + [1111 1110]反 => [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0
    结果为-0
    发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的. 而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上. 虽然人们理解上+0和-0是一样的, 但是0带符号是没有任何意义的. 而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0.

    3. 于是补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题:

    1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]补 + [1111 1111]补 = [0000 0000]补=[0000 0000]原

    这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:

    (-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]补 + [1000 0001]补 = [1000 0000]补

    -1-127的结果应该是-128, 在用补码运算的结果中, [1000 0000]补 就是-128. 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以-128并没有原码和反码表示(-128直接对应补码 [1000 0000]补).
    (对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原, 这是不正确的)

    使用补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为[-127, +127], 而使用补码表示的范围为[-128, 127].

    因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是: [-231, 231-1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值.

    总结:
    不希望机器总要去识别符号,而将符号位也参与加减运算: 其中 -1 = +(-1)
    原码(无法正确表示减法)–>反码(反码解决了减法问题,但存在+0、-0的问题)–>补码(完美解决)

    四 原码, 反码, 补码 再深入
    计算机巧妙地把符号位参与运算, 并且将减法变成了加法, 背后蕴含了怎样的数学原理呢?

    将钟表想象成是一个1位的12进制数. 如果当前时间是6点, 我希望将时间设置成4点, 需要怎么做呢?我们可以:

    1. 往回拨2个小时: 6 - 2 = 4

    2. 往前拨10个小时: (6 + 10) mod 12 = 4

    3. 往前拨10+12=22个小时: (6+22) mod 12 =4

    2,3方法中的mod是指取模操作, 16 mod 12 =4 即用16除以12后的余数是4.

    所以钟表往回拨(减法)的结果可以用往前拨(加法)替代!

    现在的焦点就落在了如何用一个正数, 来替代一个负数. 上面的例子我们能感觉出来一些端倪, 发现一些规律. 但是数学是严谨的. 不能靠感觉.

    首先介绍一个数学中相关的概念: 同余

    同余的概念
    两个整数a,b,若它们除以整数m所得的余数相等,则称a,b对于模m同余

    记作 a ≡ b (mod m)

    读作 a 与 b 关于模 m 同余。

    举例说明:

    4 mod 12 = 4

    16 mod 12 = 4

    28 mod 12 = 4

    所以4, 16, 28关于模 12 同余.

    负数取模
    正数进行mod运算是很简单的. 但是负数呢?

    下面是关于mod运算的数学定义:

    clip_image001

    上面是截图, "取下界"符号找不到如何输入(word中粘贴过来后乱码). 下面是使用"L"和"J"替换上图的"取下界"符号:

    x mod y = x - y L x / y J

    上面公式的意思是:

    x mod y等于 x 减去 y 乘上 x与y的商的下界.

    以 -3 mod 2 举例:

    -3 mod 2

    = -3 - 2xL -3/2 J

    = -3 - 2xL-1.5J

    = -3 - 2x(-2)

    = -3 + 4 = 1

    所以:

    (-2) mod 12 = 12-2=10

    (-4) mod 12 = 12-4 = 8

    (-5) mod 12 = 12 - 5 = 7

    开始证明
    再回到时钟的问题上:

    回拨2小时 = 前拨10小时

    回拨4小时 = 前拨8小时

    回拨5小时= 前拨7小时

    注意, 这里发现的规律!

    结合上面学到的同余的概念.实际上:

    (-2) mod 12 = 10

    10 mod 12 = 10

    -2与10是同余的.

    (-4) mod 12 = 8

    8 mod 12 = 8

    -4与8是同余的.

    距离成功越来越近了. 要实现用正数替代负数, 只需要运用同余数的两个定理:

    反身性:

    a ≡ a (mod m)

    这个定理是很显而易见的.

    线性运算定理:

    如果a ≡ b (mod m),c ≡ d (mod m) 那么:

    (1)a ± c ≡ b ± d (mod m)

    (2)a * c ≡ b * d (mod m)

    如果想看这个定理的证明, 请看:http://baike.baidu.com/view/79282.htm

    所以:

    7 ≡ 7 (mod 12)

    (-2) ≡ 10 (mod 12)

    7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12)

    现在我们为一个负数, 找到了它的正数同余数. 但是并不是7-2 = 7+10, 而是 7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12) , 即计算结果的余数相等.

    接下来回到二进制的问题上, 看一下: 2-1=1的问题.

    2-1=2+(-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原= [0000 0010]反 + [1111 1110]反

    先到这一步, -1的反码表示是1111 1110. 如果这里将[1111 1110]认为是原码, 则[1111 1110]原 = -126, 这里将符号位除去, 即认为是126.

    发现有如下规律:

    (-1) mod 127 = 126

    126 mod 127 = 126

    即:

    (-1) ≡ 126 (mod 127)

    2-1 ≡ 2+126 (mod 127)

    2-1 与 2+126的余数结果是相同的! 而这个余数, 正式我们的期望的计算结果: 2-1=1

    所以说一个数的反码, 实际上是这个数对于一个膜的同余数. 而这个膜并不是我们的二进制, 而是所能表示的最大值! 这就和钟表一样, 转了一圈后总能找到在可表示范围内的一个正确的数值!

    而2+126很显然相当于钟表转过了一轮, 而因为符号位是参与计算的, 正好和溢出的最高位形成正确的运算结果.

    既然反码可以将减法变成加法, 那么现在计算机使用的补码呢? 为什么在反码的基础上加1, 还能得到正确的结果?

    2-1=2+(-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原 = [0000 0010]补 + [1111 1111]补

    如果把[1111 1111]当成原码, 去除符号位, 则:

    [0111 1111]原 = 127

    其实, 在反码的基础上+1, 只是相当于增加了膜的值:

    (-1) mod 128 = 127

    127 mod 128 = 127

    2-1 ≡ 2+127 (mod 128)

    此时, 表盘相当于每128个刻度转一轮. 所以用补码表示的运算结果最小值和最大值应该是[-128, 128].

    但是由于0的特殊情况, 没有办法表示128, 所以补码的取值范围是[-128, 127]

    本人一直不善于数学, 所以如果文中有不对的地方请大家多多包含, 多多指点!

    参考2:

    正数:原码反码补码不变,就是其本身;
    负数:原码用其正数的形式表示,然后按无符号为的负数求反码补码。
    12[原码] = 12[反码]= 12[补] = 0000 1100

    -12原码用其正值的形式表示,即用12表示-12的原码,如下:
    -12[原码] = 0000 1100
    -12[反码] = 1111 0011
    -12[补码] = 1111 0100
    在这里插入图片描述


    作者:张子秋
    出处:http://www.cnblogs.com/zhangziqiu/
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  • 机器数 一个数在计算机中的二进制表示形式,叫做这个数的机器数,机器数是带符号的,在计算机中用一个数的最高位存放符号,正数为0...因为第一位为符号位,所以机器数的形式值就不等于真正的数值,例如上面的符号...

    机器数

    一个数在计算机中的二进制表示形式,叫做这个数的机器数,机器数是带符号的,在计算机中用一个数的最高位存放符号,正数为0,负数为1,比如,十进制中的+3,假设计算机字长为8位,转换成二进制就是0000 0011,如果是-3,就是1000 0011.那么,这里0000 0011和1000 0011就是机器数,

    真值

    因为第一位为符号位,所以机器数的形式值就不等于真正的数值,例如上面的有符号数1000 0011,其最高位1代表负,其真正数值是-3,而不是形式值131(1000 0011转换成10进制等于131),所以为了区别起见,将带符号的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。例如:0000 0001的真值=+000 0001=+1,1000 0001的真值=-000 0001=-1

    原码:

    原码就是符号位加上真值的绝对值,即用第一位表示符号,其余位表示值,比如如果是8位二进制,[+1]原=0000 0001.[-1]原=1000 0001.因为第一位是符号位,所以8位二进制的取值范围就是:[1111 1111,0111 1111]即[-127,127],原码是人脑最容易理解和计算的表示方式。

    反码:

    反码的表示方法是:正数的反码是其本身,负数的反码是在其原码的基础上,符号位不变,其余各个位取反,[+1]=[0000 0001]原= [0000 0001]反,[-1]=[1000 0001]原=[1111 1110]反。可见如果一个反码表示的是负数,人脑无法直观的看出来它的数值,通常要将其转换成原码再计算。

    补码:

    补码的表示方法是:正整数的二进制补码与其二进制原码相同,负整数的二进制补码,先求与该负数相对应的正整数的二进制代码,然后所有位取反加1,不够位数时左边补1,例如,[+1]=[0000 0001]原=[0000 0001]反=[0000 0001]补,[-1]=[1000 0001]原=[1111 1110]反=[1111 1111]补,对于负数,补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的,通常也需要转换成原码再计算其数值。

    为什么要使用原码反码补码,

    现在我们知道了计算机可以用原码 反码 补码这三种编码方式表示一个数,对于正数因为三种编码方式都相同,没有什么好解释的,但是对于负数,负数的原码反码补码是完全不同的,既然原码才是被人脑直接识别并用于计算方式,那么为什么还要用反码和补码呢,首先,因为人脑可以知道原码的第一位是符号位,在计算的时候,我们会根据符号位,选择对真值区域的加减,但是对于计算机,加减乘除已经是最基础的运算,要设计的尽量简单,计算机辨别符号位显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂,于是人们想出了将符号位也参与运算的方法,我们知道,根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数,即:1-1=1+(-1)=0;所以机器可以只有加法而没有减法,这样计算机运算的设计就更简单了,那么如果用原码计算,1-1=1+(-1)=[0000 0001]原+[1000 0001]原=[1000 0010]原=-2.如果用原码计算,让符号位也参与运算,显然对于减法来说,结果是不正确的,这也就是为什么计算机内部不用原码表示一个数,为了解决原码做减法的问题出现了反码,如果用反码计算减法,1-1=1+(-1)= [0000 0001]原+ [1000 0001]原=[0000 0001]反+[1111 1110反]=[1111 1111]反=[1000 0000]原=-0,发现用反码计算减法,结果的真值部分是正确的,而唯一的问题其实出现在0这个特殊的数值上,虽然人们理解上+0和-0是一样的,但是0带符号是没有任何意义的,而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0;于是补码的出现,解决了0的符号以及两个编码的问题:1-1=1+(-1)=[0000 0001]原+[1000 0001]原=[0000 0001]补+[1111 1111]补=[0000 0000]补=[0000 0000]原,这样0用[0000 0000]表示,而以前出现的问题-0则不存在了,而且可以用[1000 0000]表示-128;(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]补 + [1000 0001]补 = [1000 0000]补。-1-127的结果应该是-128, 在用补码运算的结果中, [1000 0000]补 就是-128. 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以-128并没有原码和反码表示.(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原, 这是不正确的)。使用补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为[-127, +127], 而使用补码表示的范围为[-128, 127].因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是: [-231, 231-1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值。

     

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