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1、前言，自己发明javb语言
 
2、模
 
3、先思考，为什么不能直接用源码计算
 
4、主角的由来
 
5、反应肯定是？？？
 

 
 
最近在学习一下专栏里面的数学问题，提到二进制的东西的时候，想到了大多数人在学习的时候，死记硬背上反码是怎样，补码是怎样。
 
现在回头问下自己，反码有何存在意义？补码有何存在意义？为什么要有反码？为什么要有补码？
 
1、前言，自己发明javb语言
 
先拿java的int 数据类型是32位，有符号的以二进制补码表示的整数；符号位为第一位，
 最小值 ，第一位为1，其余为0，-2,147,483,648（-2^31) 
 最大值 ，第一位为0 ，其余为1，2,147,483,647（2^31-1），是的，int型手机号码都放不下。
 
因为位数太长，所以以下说明的时候不太方便，假如我现在发明了了，jbvb语言，接下来整篇分析里面，
 
我们把int数据类型设置为4位。有符号的以二进制补码表示的整数；符号位为第一位，
 最小值 ，第一位为1，其余为0，1000，（-2^3）     = -8
 最大值 ，第一位为0 ，其余为1，0111,  （ 2^3 - 1）= 7
 
2、模
 
取模的除数就是数据类型的上限减去下限的值，再加上 1，也就是 (2^(n-1)-1)-(-2^(n-1))+1=2x2^(n-1)-1+1=2^n-1+1。
 这个除数为什么不直接写成 2^n 呢，这是因为 2^n 已经是 n+1 位了，已经超出了 n 位所能表示的范围。
 其实就是上限到下限的距离。
 
那这里的模是2^4 = 16 
 
7 + 1 = 0111 + 0001 = 1000 = -8 ，上溢出，超越上限，也就是最大值+1后 会变成最小值。
 
还剩15的差值，-8 + 8 能回到0位置， 0+7 能回到7的位置。也就是说 7 + 模后，重新回到原来的位置。
 
 
 
就是余数和取模的概念，这东西周而复始，其实跟时钟类似。
 
类似时钟机制，假如现在是6点，顺时针加12个小时，这样就回到了6点。
 
 
 
3、先思考，为什么不能直接用源码计算
 
计算机里没有减法，减一个数，相当于加一个数后得到想要的值，然后就在这条路上去探索了。
 1 + （-1） 直接用原码计算是有问题的，还有符号位，所以直接一加是个负数，那这就有问题了。
 所以科学家开始想解决办法了
 
 
 
 
4、主角的由来
 
由前面可知，数值加上模后会回到原来的位置。
 
由此将i-j + 模的值等同于 i - j ,   i-j=(i-j)+(2^n-1+1)=i+(2^n-1-j+1)
 
2^n-1-j ,结果如下图，
 
这个东西刚好是-1，除符号位外的取反。称为反码
 
 
 
 
2^n-1-j+1，补码，反码加1 
 
 
 
 
所以-1最终的补码与1相加 ，得到正确的值
 
 
 
 
 
 
5、反应肯定是？？？
 
这里的计算算的刚好，这里我看其他人也有相同的迷惑。
 
问题一：为什么i-j得加上取模的除数？
 其实这个换个思路理解就行了，i-j是一个值，这个值加上模，其实就还是会回到原来的位置。
 
问题二：
 最迷糊的地方来了，2^n-1就是32位1，这个地方就又没有符号位这个说吗吗？
 
作者的解答是：我们只考虑(n-1)位的1，不考虑第一位
 
一开始其实我也是没太明白这里的解释。
 其实就是回去最原始的地方，我们设定为4位，符号位为第四位，最大值也就2^3-1，现在是2^4，如果是真的符号位 也只是第5位作为符号位。
 
现在想必大家都理解了。如果强制加上符号位，那么和j的值是对应不上长度的。所以把第一位去除直接计算。
 
这个公式刚好就这么巧解释了整个补码的由来。
  
 
 
 
 
 
 

首先从计算机中数值数据的编码和表示说起
 
机器数和真值
 
 
 
实际运算中,数是有正负的,计算机中的数也有正负,通过用一个数的最高位表示符号,如果字长为8位,分别为D7-D0,那么D7就是符号位,0表示正数,1表示负数,D6-D0为数值位;
 
 
 
 
例如:
 
 
11010111 = -87
 
 
 
 
机器数:在计算机中,连同符号一起数码化的数,就被称为机器数;如上面的11010111;
 
 
真值:使用正负号加其绝对值的表示方法的数值;如-87
 
 
原码
 
 
 

  将最高位作为符号位（0表示正，1表示负），其它数字位代表数值本身的绝对值的数字;
 
 
 

   
 
 
 

  如:数字6在计算机中原码表示为:     00000110
 
 
 

       数字 -6 在计算机中原码表示为: 10000110
 
 
 
 
 
 
注意:
 
 
以上是在8位计算机中的原码表示，如果在32位或16位计算机中，表示方法是一样的，只是多了几个0而已.
 
 
但是原码也是有缺陷的
 
 
 
有了数值的表示方法就可以对数进行算数运算，但是很快就发现用带符号位的原码进行乘除运算时结果正确，而在加减运算的时候会出现问题，如下：
 
 
1 - 1 = 1 + (-1) = 0
 
 
00000001 + 10000001 = 10000010 (-2)
 
 
显然是错误的.
 
 
这时候有人提出了反码
 
 
反码:
 
 
 
反码表示规则为：如果是正数，则表示方法和原码一样，如果是负数，则保留符号位1，然后将这个数字的原码按照每位取反，则得到这个数的反码表示形式;
 
 
如:数字6在计算机中反码就是他的原码:0000 0110
 
 
    数字(-6)在计算机中反码为: 1111 1001
 
 
上文说到了原码的缺陷,在进行减法运算时所得结果与实际结果不相同;
 
 
那么反码就解决了减法运算计算的错误,不过还是存在缺陷,如下:
 
 
1 - 1 = 1 + (-1) = 0
 
 
0000 0001 + 1111 1110 = 1111 1111(-0);有问题
 
 
再看看其他减法是否出错:
 
 
1 - 2 = 1 + (-2) = (-1);
 
 
0000 0001 + 1111 1101 = 1111 1110(-1);正确
 
 
说明反码在进行减法运算时是正确的,只有在结果为0时可能带有负号;
 
 
为什么会出现这样的问题呢?因为反码的表示范围为(-127-(-0)-0-127),总共256个;
 
 
这个问题如何解决?这时候补码出来了!
 
 
 补码
 
 
 
补码是计算机表示数据的一般方式(这句话很重要,圈起来,要考)，其规则为：如果是正数，则表示方法和原码一样，如果是负数，则将数字的反码加上1（相当于将原码数值按位取反然后在对地位加1）;
 
 
负数的补码就是对反码加一，而正数不变，正数的原码反码补码都是一样的;
 
 
再来检验一下上面的问题:
 
 
1 - 1 = 1 + (-1) = 0;
 
 
0000 0001 + 1111 1111 = 0000 0000;(正确)
 
 
那为什么补码可以这样运算而其他的不行呢,
 
 
在补码中,用(-128)代替了(-0),所以补码的表示范围变成了(-128- 0-127),共256个;
 
 
补码的设计目的
 
 
 
-使符号位能与有效值部分一起参加运算,从而简化运算规则
 
 
-使减法运算转换为加法运算,进一步简化计算机中运算器的线路设计
 
 
这也就是为什么补码是计算机数据的一般表示方法的原因之一!
 
 
 
 

  

一、为什么需要反码？
 
反码的作用就相当于数学中的负数。
 
对于小学生来说，会做的算术题是：5-3，但是不会做3-5。于是，我们上初中的时候，数学里就引进了一个新的概念：负数。引入负数之后，本来是减法的运算就可以变成加法来实现：
 
3-5=3+[-5]=[-2]，中括号代表“负数”，“负数”就是我们人为给出的数学术语。
 
对于计算机来说，会做的算术题是：5+3，但是不会做3-5。于是，我们就在编码里引进了一个新的概念：反码。引入反码之后，本来是减法的运算就可以变成加法来实现：
 
3-5=3+[-5]=[-2]，中括号代表“反码”，“反码”就是我们人为给出的计算机术语。
 
这里，你一定有一个疑问：为什么计算机只会做5+3，不会做3-5。这是因为在计算机的数字电路中只有加法器，没有所谓的“减法器”。不是说计算机厂商不会设计减法器，因为聪明的人既然发明了方法能够用加法来实现减法操作，那为什么还需要画蛇添足的弄一个减法器？
 
接着说：那么反码要怎么定义才能实现减法变加法的功能呢？聪明的人想的办法如下：
 
1.正数的反码保持原码不变：3=[0_0000011]
 
2.负数除最高位（正负符号位）外，全部取反(0变1,1变0)：-5=1_0000101取反=[1_1111010]
 
于是3+[-5]=[-2]的计算过程为：
 
[0_0000011]+[1_1111010]=[1_11111101]
 
这样，这种反码方法就成功实现了目标！至于为什么，我想只有数学家能给出解释了。
 
二、为什么需要补码？
 
都是因为“0”这个特殊数字的存在。
 
先问你一个问题:0是正数还是负数？你肯定会说：0既不是正数也不是负数，这是我们初中学到的数学知识。这个回答没有问题，所以以后每次碰到0，人们都不会把它当正数或负数。
 
那么计算机呢？计算机不同于人脑，计算机在碰到任何数字之前只根据最高位的符号位来判断正负性，“0”表示正数,“1”表示负数。
 
前面我们推论了为何要用反码，那么用8位二进制反码表示的正数范围： +0 —— +127；负数范围： -127 —— -0。但是，其中有两个特殊的编码会出现：
 
[0_0000000]=+0 （反码）
 
[1_1111111]=-0 （反码）
 
其实，+0和-0代表的都是0。这样一来，“0”这个数字在计算机中的编码就不是唯一的了。对于计算机来说，这是绝对不行的，因为任何数字都只能有1个编码。
 
于是，聪明的人就做了这样一个决定：把0当成正数，也即+0，这样0的编码就变成：0_0000000。那8位二进制表示的正数范围仍然是： +0 —— +127。
 
但是，对于负数就必须要做调整，也即-0必须要让位---1_1111111这个编码不能表示-0。我们可以把负数整体向后“挪动1位”：只要将8位二进制表示的负数范围从：-127 —— -0变成：-128 —— -1，就能成功解决问题。
 
那么怎么整体挪动1位呢？方法就是反码+1。{1_1111111}编码就不再表示-0，而变成了-1。顺着推，最小的编码{1_0000000}就是-128。
 
我们给这个反码+1又人为的取了一个新的名字，叫补码。于是乎，补码的定义如下：
 
1.正数的补码保持原码不变：3={0_0000011}
 
2.负数先求反码，然后再加1：-5=[1_1111010]+1={1_1111011}
 
于是3+{-5}={-2}的计算过程为：
 
{0_0000011}+{1_1111011}={11111110}
 
至此，通过补码就成功解决了数字0在计算机中非唯一编码的问题，且也能实现减法变加法。
 
所以，在计算机的世界里，0是正数。这点和我们学的数学不一样。
 
{0_1111111}=+127 （补码）
 
{0_0000000}=+0 （补码）
 
{1_1111111}=-1 （补码）
 
{1_0000000}=-128 （补码）
 
转载https://zhuanlan.zhihu.com/p/105917577

1、原码，反码和补码概念
 
正数：原码、反码、补码相同；
 
以123为例：
 
原码：01111011
 
反码：01111011
 
补码：01111011
 

负数的原码：为取绝对值的数转二进制，然后符号位加一；
 
负数的反码：对该数的原码除符号位外，各位取反；
 
负数的补码：对该数的反码加1。--负数的补码即为负数的二进制数。
 
以-123为例：
 
原码：11111011，其中最高位1为符号位。
 
反码：10000100
 
补码：10000101
 

 2、负数二进制转十进制
 
先计算反码：负数二进制码减一，即为反码；
再计算原码：反码除符号位外，按位取反，即为原码；
最后计算十进制数：除符号位外的原码转相应的十进制数后，加上负号。
 
以-123为例：
 
二进制：10000101
 反    码：10000100
 十进制：11111011(原码)，去掉符号位原码：1111011，转十进制为：123，加上负号：-123。