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  • 自由度 集中趋势

    2013-12-30 23:14:40
    自由度,英文称degree of freedom,简称DF,是指当以样本统计量来估计总体的参数时,样本中独立或能自由变化数据个数,通常用在抽样分布中。假如df=n-k,则其中n为样本含量,k为被限制条件数或变量个数。 ...

    自由度,英文称degree of freedom,简称DF,是指当以样本的统计量来估计总体的参数时,样本中独立或能自由变化的数据的个数,通常用在抽样分布中。假如df=n-k,则其中n为样本含量,k为被限制的条件数或变量个数。

    集中趋势,英文称central tendency,是指一组数据向某一中心值靠拢的程度,它反映了一组数据中心点的位置所在。其在中心附近的观察值数目较多,远离中心的较少,常常可用平均数、众数、中位数等统计指标来表示。

    原文链接:http://www.itongji.cn/article/0R52C62013.html

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  • 抽样分布

    2019-12-05 21:23:36
    CONTENTS常用统计量样本均值样本方差样本偏度样本峰度次序统计量充分统计量常用抽样...它是反映数据集中趋势的一项指标。样本均值则是在总体中的样本数据的均值。 样本方差 先求出总体各单位变量值与其算术平均数...

    常用统计量

    样本均值

    样本均值又叫样本均数。即为样本的均值。均值是表示一组数据集中趋势的量数,是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数。它是反映数据集中趋势的一项指标。样本均值则是在总体中的样本数据的均值。

    样本方差

    先求出总体各单位变量值与其算术平均数的离差的平方,然后再对此变量取平均数,就叫做样本方差。样本方差用来表示一列数的变异程度。样本均值又叫样本均数。即为样本的均值。均值是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。

    样本偏度

    样本偏度一种基本统计量.样本三阶中心矩除以样本二阶中心矩的 32\frac{3}{2} 次幂的商,记为 SkSk
    即样本偏度常用作总体偏度的估计量和检验总体分布正态性的统计量.而总体偏度是一个描述总体分布不对称性的数字特征.正态分布是左右对称的,因而它的偏度为零。

    样本峰度

    样本峰度一种基本统计量,样本的峰度和偏度都是作为检验总体分布正态性的统计量。样本四阶中心矩除以样本二阶中心矩平方的商再减去 εε,记为 KuKu,样本峰度常用以作总体峰度的估计量。正态分布的峰度为零。非正态分布的峰度是以正态分布的峰度为标准来描述其分布密度形状为陡峭或平坦的一个数字特征。

    次序统计量

    X1,X2,,XnX1,X2, …, Xn 是取自总体 XX 的样本,X(i)X(i) 称为该样本的第 ii 个次序统计量,它的取值是将样本观测值由小到大排列后得到的第 ii 个观测值。从小到大排序为 x(1),x(2),,x(n)x(1),x(2), …,x(n),则称 X(1),X(2),,X(n)X(1),X(2), …,X(n) 为顺序统计量。

    充分统计量

    对于给定的统计推断问题,包含了原样本中关于该问题的全部有用信息的统计量。对于未知参数的估计问题,保留了原始样本中关于未知参数θ的全部信息的统计量,就是充分统计量。如样本均值X是总体数学期望的充分统计量。数学上,设 (XX)(X₁, …,Xₑ) 是来自总体 XX 的一个随机样本,T=T(XX)T=T(X₁, …,Xₑ) 是一统计量。若在 T=tT=t 的条件下,样本的条件分布与未知参数 θθ 无关,则称统计量 TTθθ 的充分统计量。

    常用抽样分布

    卡方分布

    nn 个相互独立的随机变量 ξξ...,ξnξ₁,ξ₂,...,ξn,均服从标准正态分布(也称独立同分布于标准正态分布),则这 nn 个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量,其分布规律称为卡方分布。

    T分布

    在概率论和统计学中,TT-分布用于根据小样本来估计呈正态分布且方差未知的总体的均值。如果总体方差已知(例如在样本数量足够多时),则应该用正态分布来估计总体均值。
    TT分布曲线形态与 nn(确切地说与自由度dfdf)大小有关。与标准正态分布曲线相比,自由度 dfdf 越小,tt 分布曲线愈平坦,曲线中间愈低,曲线双侧尾部翘得愈高;自由度 dfdf 愈大,tt 分布曲线愈接近正态分布曲线,当自由度 df=df=∞ 时,tt 分布曲线为标准正态分布曲线。

    中心极限定理(其他重要抽样分布)

    中心极限定理,是指概率论中讨论随机变量序列部分和分布渐近于正态分布的一类定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础,指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。它是概率论中最重要的一类定理,有广泛的实际应用背景。在自然界与生产中,一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响,如果每个因素所产生的影响都很微小时,总的影响可以看作是服从正态分布的。中心极限定理就是从数学上证明了这一现象。最早的中心极限定理是讨论重点,伯努利试验中,事件A出现的次数渐近于正态分布的问题。

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  • 集中趋势是一组平均指标,它反映总体的一般水平或分布,测定集中趋势的平均指标包括:平均数、中位数和众数。 平均数包括简单平均数(均值),加权平均数和几何平均数。 平均数的特点: 平均数是集中趋势最常用的...

    本节分享主要是关于描述数据分布的特征,学习笔记如下:

    1. 数据的分布
      描述数据分布包括数据的集中趋势,离中趋势,偏态和峰态。
      在这里插入图片描述

    2. 集中趋势
      集中趋势是一组平均指标,它反映了总体的一般水平或分布,测定集中趋势的平均指标包括:平均数、中位数和众数。
      平均数包括简单平均数(均值),加权平均数和几何平均数。
      平均数的特点:
      平均数是集中趋势最常用的测量值;
      它是一组数据的均衡点所在;
      平均数容易受极端值的影响;
      平均数用于数值型数据,不能用于分类数据和顺序数据。
      各类平均数的计算在此处就省略了哦,请自行百度吧。

    中位数的特点:
    排序后处于中间位置上的值;
    主要用于顺序数据,也可以用于数值型数据,但是不能用于分类数据;
    不受极端值的影响。

    众数:一组数据中出现次数最多的数据值
    众数的特点:
    一组数据可能没有众数或有几个众数;
    众数适用于数据量较多并且在数据分布偏斜程度较大且有明显峰值时应用;

    1. 离中趋势
      离中趋势是一组变异指标,它主要是用来刻画总体分布的变异状况或离散程度,测定离中趋势的指标有极差、平均差、四分位差、标准差、方差以及变异系数等

    极差:一组数据的最大值与最小值之差,极差越大,离散程度越大,反之,离散程度越小。
    极差的特点:
    离散程度最简单的测度值;
    容易受极端值的影响;
    未考虑数据的分布。

    平均差:各变量与均值的差的平均数,即平均差异,反映一组数据的离散程度。
    平均差的特点:
    各变量与均值的差的绝对值的平均数;
    反映一组数据的离散程度;
    数学性质较差,实际应用较少;
    未考虑数据的分布。

    方差与标准差:
    方差反映的是各变量与均值的差的平均差异,是数据离散程度最常用的测度值。标准差是方差的算术平方根,它也是数据离散程度常用的测度。
    方差分为总体方差和样本方差。

    变异系数:是标准差与其对应的均值之比,用于对比不同组别的数据,笔记其离散程度。变异系数消除了数据的水平高低和计量系数的差异。

    1. 偏态和峰态
      偏态和峰态是反映总体分布形态的指标,偏态反映数据分布不对称的方向和程度,峰态反映数据分布图形的尖峭程度或者扁平程度。
      在这里插入图片描述
      偏态系数的特征:
      它是数据分布偏斜程度的测度;
      偏态系数等于0时,对称分布;
      偏态系数大于0时,为右偏分布;小于0时,为左偏分布。

    峰态系数的特征:
    它是数据分布尖峭程度的测度;
    峰态系数等于0时,峰度适中;
    峰态系数大于0时,为尖峰分布;小于0时,为偏平分布。

    1. 数据标准化:能够去除数据的单位限制,将其转化为无单位的纯数值,便于不同单元或量级的指标能够进行比较和加权。
      数据标准化常用方法:
      (1)0-1标准化,也叫离差标准化,是对原始数据进行线性变换,使结果落到[0,1]区间。
      在这里插入图片描述
      (2)暴力的方法,直接将数据同时除以100倍,1000倍或者更多。
      (3)2-score标准化,也叫标准差标准化。经过处理的数据符合标准正态分布,即均值为0,标准差为1。
      在这里插入图片描述
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  • 一、统计量样本均值:即在总体样本数据均值,反映样本数据的集中趋势。样本方差:每个样本值与全体样本值平均数之差平方值平均数;方差是用来衡量随机变量和其数学期望(均值)之间偏离程度。样本变异...

    一、统计量

    样本均值:即在总体中的样本数据的均值,反映样本数据的集中趋势。

    样本方差:每个样本值与全体样本值平均数之差的平方值的平均数;方差是用来衡量随机变量和其数学期望(均值)之间的偏离程度。

    样本变异系数:变异系数又称为离散系数,定义为标准差与平均值之比,样本变异系数即样本数据的标准差与其均值之比。

    样本k阶中心矩:在概率论中,矩是用来描述随机变量的某些特征的数字,即求平均值;随机变量X的K阶中心矩定义:对于正整数k,如果E(X)存在,E[(X-E(X))^K] <无穷大,则E[(X-E(X))^K] 为x的k阶中心矩。

    样本偏度:常用作总体偏度的估计量和检验总体分布正态性的统计量,样本三阶中心距除以二阶中心距的3/2次幂的商记为SK;而总体偏度是一个描述总体分布不对称性的数字特征,正态分布的偏度为0。

    样本峰度:常用以作为总体峰度的估计量,样本的四阶中心距除以样本二阶中心距平方的商再减去3,记为ku;正态分布的峰度为0。

    二、抽样分布

    中心极限定理:即不论总体服从什么分布,只要从总体中抽取的样本容量足够大,这些样本组成的样本均值的抽样分布都近似于正态分布。

    样本方差的分布:作为随机变量的函数,样本方差本身就是一个随机变量,S^2服从卡方分布,

    卡方分布

    卡方统计量是一个随机变量,能够表明样本方差和总体方差之间对的比值关系,卡方统计量决定的抽样分布就是卡方分布;

    卡方统计量:

    定义:若样本量为n的所有可能样本均取自方差为

    的正态分布总体,计算每一个样本的卡方值(
    ),那么这些卡方值将构成关于样本方差和总体方差的卡方分布。卡方分布是一个连续型该流程分布。

    作用:卡方分布能够用于从样本方差到总体方差的推断性分析;还能用于非参数检验(卡方检验)。

    T分布

    若已知待分析的总体服从正态分布,从总体中抽取容量为n 的所有可能样本,计算出每个样本的T统计量,则所有的T统计量的值将组成一个连续型概率分布,此分布为T分布。T分布能在部分已知条件下,用于总体均值的推断分析。

    对于T分布来说,如果总体服从正态分布,总体标准差未知,当样本容量小于30时,那么样本均值的抽样分布服从T~t(n-1)的T分布;

    若总体服从正态分布,总体标准差未知,样本容量大于等于30时,那么样本均值的抽样分布不仅服从T~t(n-1)的T分布,而且还可以用Z分布来近似表达。

    F分布

    F分布能通过两个样本之间的关系推导出两个总体之间的关系,能用于推断两个总体方差之间的比值关系。

    F统计量:两个正态分布总体,总体方差为

    ,分别从总体中抽取样本容量为n1,n2的样本,样本方差为
    ,则F统计量为

    F分布有两个自由度,分子自由度为v1=(n1-1),分母自由度为v2=(n2-1),因此,由F统计量组成的F分布可以表示为:(F统计量可看成是由两个卡方统计量相除得到的,F分布也被称为方差比分布,假设两个正态分布总体的卡方统计量为

    )

    三、用pyhton分析数据集的抽样分布

    数据集:数据有四列 ID、年龄、价格、港口,

    操作环境:jupyter notebook

    分析一:按照港口分类,求出各类港口数据年龄和价格的统计量(包括均值、方差、标准差、变异系数等)

    1.导入数据

    import numpy as np
    import pandas as pd
    df=pd.read_excel("C:/../data.xlsx",index_col=0,header=0,encoding="utf-8-sig")
    print(df)

    2.求统计量

    df.groupby("Embarked").describe( )
    df.groupby("Embarked").mean( )  #求均值
    df.groupby("Embarked").var( )  #求方差
    df.groupby("Embarked").std( )  #求标准差
    #求变异系数
    df1=df.groupby("Embarked").std( )
    df2=df.groupby("Embarked").mean( )
    df3=df1/df2
    print(df3)

    分析二:画出价格的分布图像,验证数据服从何种分布?正态/卡方/T分布?

    1.价格数据的分布图像

    import matplotlib.pyplot as plt
    #让图表直接在jupyter notebook中展示出来
    %matplotlib inline
    #解决中文乱码问题
    plt.rcParams["font.sans-serif"]='SimHei'
    #解决负号无法正常显示的问题
    plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False
    
    #绘制价格数据的密度直方图
    df["Fare"].hist(bins=10,alpha=0.7)
    df["Fare"].plot(kind='kde',secondary_y=True)
    plt.xlabel("价格")
    plt.ylabel("密度")
    plt.title('密度直方图')
    plt.legend()
    plt.show()

    15f86670fb09d1d591709e62509a45f2.png

    2.检验价格数据是否服从正态分布

    先用kstest方法检验数据是否服从正态分布

    from scipy import stats
    u = df["Fare"].mean()
    std = df["Fare"].std()
    stats.kstest(df["Fare"].values,'norm',args=(u,std))
    
    结果: KstestResult(statistic=0.28363501066241253, pvalue=0.0)
    因为p<0.05,故价格不服从正态分布

    2.检验价格是否服从卡方分布

    可用ks_2samp检验两个样本是否服从同一分布来检验价格数据是否服从卡方分布或者T分布

    fare=df["Fare"].copy().values
    df,loc,scale=stats.chi2.fit(fare)
    x2=stats.chi2.rvs(df=df,loc=loc,scale=scale,size=len(fare))
    ks, p=stats.ks_2samp(fare,x2)
    print("ks=%.4f,p=%.4f" % (ks,p))
    
    结果:ks=0.1756,p=0.0000
    因为p<0.05,所以拒绝两个样本服从同一分布的假设,故价格不服从卡方分布

    3.检验价格是否服从T分布

    df,loc,scale=stats.t.fit(fare)
    x1=stats.t.rvs(df=df,loc=loc,scale=scale,size=len(fare))
    ks, p=stats.ks_2samp(fare,x1)
    print("ks=%.4f,p=%.4f" % (ks,p))
    
    结果:ks=0.2823,p=0.0000
    因为p<0.05,所以拒绝两个样本服从同一分布的假设,故价格不服从T分布

    分析三:按照港口分类,验证S和Q两个港口间的价格之差是否服从某种分布

    先看数据中的港口类别及个数

    df["Embarked"].value_counts()
    
    结果:S    554
          C    130
          Q     28

    获取各个类别港口的价格数据:

    s_fare=df[df["Embarked"]=="S"]["Fare"].copy().values
    q_fare=df[df["Embarked"]=="Q"]["Fare"].copy().values
    c_fare=df[df["Embarked"]=="C"]["Fare"].copy().values

    虽然价格总体数据不服从正态分布,但是当样本容量n比较大时(一般n>=30),两个样本均值之差的抽样分布近似为正态分布。

    但是从以上港口类别数据来看,Q港口的样本容量小于30,因此S和Q港口两个样本数据均值之差的抽样分布不能近似服从正态分布,而S和C港口两个样本数据均值之差的抽样分布近似服从正态分布。

    mu=np.mean(s_fare)-np.mean(c_fare)
    sigma=np.sqrt(np.var(s_fare,ddof=1)/len(s_fare) + np.var(c_fare,ddof=1)/len(c_fare))
    print(mu)
    print(sigma)
    
    #结果:-40.820482446542634
    8.0927962600833
    
    # 绘制密度曲线
    x=np.arange(-80,0)
    y=stats.norm.pdf(x,mu,sigma)
    plt.plot(x,y)
    plt.xlabel("s c港口价格之差")
    plt.ylabel("密度")
    plt.title("s和c港口价格之差的密度曲线")
    plt.show()

    d53a9484def391992c041cdde4792826.png

    可看出,S和C 港口之间的价格之差服从正态分布。

    部分参考: https://github.com/Emerald-Stejneger/data_tea_break/blob/master/com/study_team/6th_week/Titanic_analysis.py

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