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  • 数据集中趋势

    2019-07-21 22:52:42
    数据集中趋势 众数 一组数据中出现频次最高的数 中位数 一组数中间的数 分位数 极差 算数平均数 加权平均数 几何平均数 数据的离散趋势 方差 标准差 极差 平均差 四分位数 第一四分位数 (Q1),又称“较小四分位数...

    数据的集中趋势

    众数

    一组数据中出现频次最高的数

    中位数

    一组数中间的数

    分位数

    极差

    算数平均数

    加权平均数

    几何平均数

    数据的离散趋势

    方差

    标准差

    极差

    平均差

    四分位数

    第一四分位数 (Q1),又称“较小四分位数”,等于该样本中所有数值由小到大排列后第25%的数字。
    第二四分位数 (Q2),又称中位数,等于该样本中所有数值由小到大排列后第50%的数字。
    第三四分位数 (Q3),又称“较大四分位数”,等于该样本中所有数值由小到大排列后第75%的数字。
    第三四分位数与第一四分位数的差距又称四分位距。

    众异比率

    异众比率指的是总体中非众数次数与总体全部次数之比。异众比率越大,说明非众数组的频数占总频数的比重越大,众数的代表性就越差;异众比率越小,说明非众数组的频数占总频数的比重越小,众数的代表性越好。

    相对离散程度

    离散系数

    离散系数又称变异系数。离散系数是测度数据离散程度的相对统计 量,主要是用于比较不同样本数据的离散程度。离散系数大,说明数据的离散程度也大;离散系数小,说明数据的离散程度也小。
    当进行两个或多个资料离散程度的比较时,如果度量单位与平均数相同,可以直接利用标准差来比较。如果单位和(或)平均数不同时,比较其离散程度就不能采用标准差,而需采用标准差与平均数的比值(相对值)来比较。

    分布的形状

    偏态系数

    偏态系数以平均值与中位数之差对标准差之比率来衡量偏斜的程度,用SK表示偏斜系数:偏态系数小于0,因为平均数在众数之左,是一种左偏的分布,又称为负偏。偏态系数大于0,因为均值在众数之右,是一种右偏的分布,又称为正偏。
    偏态系数是根据众数、中位数与均值各自的性质,通过比较众数或中位数与均值来衡量偏斜度的,即偏态系数是对分布偏斜方向和程度的刻画。一般认为,没有百年以上的资料,偏态系数的计算结果很难得到一个合理的数值。

    峰态系数

    峰度系数是用来反映频数分布曲线顶端尖峭或扁平程度的指标,用于衡量离群数据离群度,峰度系数越大,说明该数据集中的极端值越多。在正态分布情况下,峰度系数值是3。>3的峰度系数说明观察量更集中,有比正态分布更短的尾部;<3的峰度系数说明观测量不那么集中,有比正态分布更长的尾部,类似于矩形的均匀分布。峰度系数的标准误用来判断分布的正态性。峰度系数与其标准误的比值用来检验正态性。如果该比值绝对值大于2,将拒绝正态性。

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  • 数据描述的第一个维度是数据的集中趋势描述。数据的集中趋势描述是寻找反应事物特征的数据集合的代表值或中心值,这个代表值...算术平均值是最常用的数据集中趋势指标,可以分为简单算术平均值和加权算术平均值。算...

            数据描述的第一个维度是数据的集中趋势描述。数据的集中趋势描述是寻找反应事物特征的数据集合的代表值或中心值,这个代表值或中心值可以很好反映事物目前所处的位置和发展水平,通过对事物集中趋势指标的多次测量和比较,还能够说明事物的发展和变化趋势。数据的集中趋势描述的形式主要有如下几种:

    1.算数平均值

    算术平均值是最常用的数据集中趋势指标,可以分为简单算术平均值和加权算术平均值。算术平均值主要用于定距数据,表示数据集合的集中趋势。也能用于定类数据和定序数据,决定算术平均值是否使用的前提条件是,求得的算术平均值是否具有现实意义。

    1.1 简单算术平均值

    简单算术平均值是最典型,最常用,最具有代表性的集中趋势指标。将数据集合的所有数据值相加的和除以数值个数就得到简单算术平均值。

    1.2 加权算术平均值

    因为简单算术平均值认为所有的数据都具有同等的重要性,所以每个数据值都具有相同的权重。但有些时候,每个数据值的权重是不一样的,需要用加权算术平均值来表示数据集合的集中趋势。

    数学概念:

    (1)若n个数  的权分别是  ,那么 叫做这n个数的加权平均值。

    (2)此外,加权平均值也可用下图表示,其中  表示权数。理解方法:将原式看作  即可。

     

    1.3 使用算术平均值的注意事项

    算术平均值虽然是应用最广泛的集中趋势指标,受样本数据波动的影响最小,具有一定的稳定性,但是也有明显的缺陷。当数据集合中有极大值或极小值存在时,会对算术平均值产生很大的影响,其计算结果会掩盖数据集合的真实特征,这时算术平均值就失去了代表性。

    2.几何平均值

    有些数据之间的关系不是加减关系,而是乘除关系。此时,应该用几何平均值来表示由这样的数值组成的数据集合的集中趋势。

    定义:

    几何平均数是n个变量值连乘积的n次方根。

    分为简单几何平均数与加权几何平均数。

    1、简单几何平均数:

    几何平均数示意图

    2、加权几何平均数:

    特点:

    1、几何平均数受极端值的影响较算术平均数小;

    2、如果变量值有负值,计算出的几何平均数就会成为负数或虚数;

    3、它仅适用于具有等比或近似等比关系的数据;

    4、几何平均数的对数是各变量值对数的算术平均数

    3.众数

        数据集合中出现次数最多的数值被称为众数。如果在一个数据集合中,只有一个数值出现的次数最多,那么这个数值就是该数据集合的众数;如果有两个或多个数值出现的次数并列最多,那么这两个或多个数值都是该数据集合的众数;如果数据集合中所有数据值出现的次数相同,那么该数据集合没有众数。众数对定类数据,定序数据,定距数据和定比数据都是用,都能表示由它门组成的数据集合的数据集中趋势。

    4.中位数

    对于有限的数集,可以通过把所有观察值高低排序后找出正中间的一个作为中位数。如果观察值有偶数个,通常取最中间的两个数值的平均数作为中位数。

    定义:

    中位数,又称中点数,中值。中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数,即在这组数据中,有一半的数据比他大,有一半的数据比他小,这里用  来表示中位数。(注意:中位数和众数不同,众数指最多的数,众数有时不止一个,而中位数只能有一个。)

    有一组数据:

    将它按从小到大的顺序排序为:

    则当N为奇数时,  ;当N为偶数时,  。

    一个数集中最多有一半的数值小于中位数,也最多有一半的数值大于中位数。如果大于和小于中位数的数值个数均少于一半,那么数集中必有若干值等同于中位数。

    特点:

    1)中位数是以它在所有标志值中所处的位置确定的全体单位标志值的代表值,不受分布数列的极大或极小值影响,从而在一定程度上提高了中位数对分布数列的代表性。

    2)有些离散型变量的单项式数列,当次数分布偏态时,中位数的代表性会受到影响。

    3)趋于一组有序数据的中间位置

    总结来说,中位数与算术平均值相比,中位数的优势在于不受数据集合中个别极端值的影响,表现出稳定的特点,这个特点使其在数据集合的数据分布有较大偏斜时;能够保持对数据集合特征的代表性。因此,中位数常被用来度量具有偏斜性质的数据集合的集中趋势

     

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  • 即一组数据距离数据中心的靠近程度

    即一组数据距离数据中心的靠近程度,反应了一组数据中心的位置所在

    数据集中趋势度量的指标有:众数、平均数、中位数、几何平均数等。

    众数:即出现次数最多的,常用在不同类别的数量统计中,不受峰值的影响,一组数据中可能会存在多个众数,不具备唯一性,数据量较少时意义不大。

    平均数:可分为简单平均数和加权平均数,简单平均数即一组数据的平均值,加权平均数即根据分组数据计算的平均数。平均数是一组数据的重心,是经多次测量正负误差互相抵消后事物特征的真实反映。

    中位数:一组数据排序后,处于中间位置的那个数据,主要用于顺序数据的集中趋势度量,不适用于分类数据。

    几何平均数:即对n个数据相乘后,开n次方,G=\sqrt[n]{x_{0}*x_{1}*...**x_{n}},几何平均数主要用于计算平均比率。比如一直股票的年收益率数据,计算平均每年的收益率,用几何平均数才是合理的,要注意几何平均数的变量不能是负数和0。

    下面针对几何平均数与简单平均数的差异进行说明:

    from functools import reduce
    import math
    
    #假设一只股票持有了5年,每年的年收益率数据如下,原始投入成本10000元
    rate = [0.045,0.021,0.255,0.019]
    
    #简单平均收益率
    sig_G = sum(rate)/len(rate)
    print ('简单平均收益率',sig_G)
    简单平均收益率 0.085
    
    #几何平均收益率
    j_G = math.pow(reduce(lambda x,y:x*y,[1+i for i in rate]),1/len(rate))-1
    print ('几何平均收益率',j_G)
    几何平均收益率 0.08078668483359586
    
    #实际收入
    rel_cont = 10000*(1+0.045)*(1+0.021)*(1+0.255)*(1+0.019)
    
    print ('实际收入',rel_cont)
    实际收入 13644.572785249995
    
    #按照简单平均收益率计算
    
    sig_cont=10000*(1+sig_G)**4
    
    print('简单平均收益',sig_cont)
    简单平均收益 13858.587006249998
    
    #按照几何平均收益率计算
    j_cont=10000*(1+j_G)**4
    
    print('几何平均收益',j_cont)
    几何平均收益 13644.572785249995

    可以看到简单平均收益与实际收益不符

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  • 标题《深入浅出统计学》读书笔记 第2篇 本文内容: 第2章 集中趋势的量度:中庸之道 第3章 分散性与变异性的度量:强大的“距”

    《深入浅出统计学》读书笔记 第2篇

    本文内容:

    • 第2章 集中趋势的量度:中庸之道
    • 第3章 分散性与变异性的度量:强大的“距”

    在这里插入图片描述

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空空如也

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