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  • 莫比乌斯反演定理形式一: F(n)=∑d|nf(d)=>f(n)=∑d|nμ(d)F(nd) 证明: 恒等变形得: f(n)=∑d|nμ(d)F(nd)=∑d|nμ(d)∑k|ndf(k)=∑k|nf(k)∑d|nkμ(d) 因为之前证明的这个定理: ∑d|nμ(d)={...
    莫比乌斯反演定理形式一: 
    F(n)=d|nf(d)=>f(n)=d|nμ(d)F(nd)

    证明:
    恒等变形得:
    f(n)=d|nμ(d)F(nd)=d|nμ(d)k|ndf(k)=k|nf(k)d|nkμ(d)

    因为之前证明的这个定理:

    d|nμ(d)={10n==1n>1

    所以当且仅当nk=1,即n=k时,d|nkμ(d)=1,其余时候等于0。

    k|nf(k)d|nkμ(d)=f(n)

    莫比乌斯反演定理形式二:

    F(n)=n|df(d)=>f(n)=n|dμ(dn)F(d)

    证明:
    k=dn,那么,就得到
    f(n)=k=1+μ(k)F(nk)=k=1+μ(k)nk|tf(t)=n|tf(t)k|tnμ(k)

    所以当且仅当tn=1,即t=n时,k|tnμ(k)=1,其余时候等于0。
    故得到
    n|tf(t)k|tnμ(k)=f(n)

    证明完毕。
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  • PoPoQQQ没有给出形式二的证明,我恨PoPoQQQ,证了好久。...莫比乌斯反演定理形式一: F(n)=∑d|nf(d)=>f(n)=∑d|nμ(d)F(nd) 证明: 恒等变形得: f(n)=∑d|nμ(d)F(nd)=∑d|nμ(d)∑k|ndf(k)=∑k|nf(k...

    PoPoQQQ没有给出形式二的证明,我恨PoPoQQQ,证了好久。
    证明之前,请先看看PoPoQQQ的ppt,当你看完发现没有证明想哭的时候,看看这篇博客。
    莫比乌斯反演定理形式一:

    F(n)=d|nf(d)=>f(n)=d|nμ(d)F(nd)

    证明:
    恒等变形得:
    f(n)=d|nμ(d)F(nd)=d|nμ(d)k|ndf(k)=k|nf(k)d|nkμ(d)

    因为之前证明的这个定理:

    d|nμ(d)={10n==1n>1

    所以当且仅当nk=1,即n=k时,d|nkμ(d)=1,其余时候等于0。

    k|nf(k)d|nkμ(d)=f(n)

    莫比乌斯反演定理形式二:

    F(n)=n|df(d)=>f(n)=n|dμ(dn)F(d)

    证明:
    k=dn,那么,就得到
    f(n)=k=1+μ(k)F(nk)=k=1+μ(k)nk|tf(t)=n|tf(t)k|tnμ(k)

    所以当且仅当tn=1,即t=n时,k|tnμ(k)=1,其余时候等于0。
    故得到
    n|tf(t)k|tnμ(k)=f(n)

    证明完毕。

    转载于:https://www.cnblogs.com/outerform/p/5921887.html

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  • 莫比乌斯反演定理证明。 ps:ps:ps:初学给自己做个笔记,怕以后忘了。 前置知识:莫比乌斯函数μ\muμ的两个性质: 1.∑d∣nμ(d)=[n==1]1.\sum\limits_{d|n}\mu(d)=[n==1]1.d∣n∑​μ(d)=[n==1] 2.∑d∣nμ(d)d=...

    莫比乌斯反演定理的证明。

    ps:ps:初学给自己做个笔记,怕以后忘了。

    前置知识:莫比乌斯函数μ\mu的两个性质:

    1.dnμ(d)=[n==1]1.\sum\limits_{d|n}\mu(d)=[n==1]

    证明:
    在这里插入图片描述

    2.dnμ(d)d=φ(n)n2.\sum\limits_{d|n}\dfrac{\mu(d)}{d}=\dfrac{\varphi(n)}{n} (这里证明用不到)

    定理:若有定义在N+N^+上的函数F(n),f(n)F(n),f(n)满足关系:

    F(n)=dnf(d)F(n)=\sum\limits_{d|n}f(d),则有:f(n)=dnμ(d)F(nd)f(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(d)F(\dfrac{n}{d})

    证明:我们只需证上述等式右边等于左边即可。

    dnμ(d)F(nd)\sum\limits_{d|n}\mu(d)F(\dfrac{n}{d})

    =dnμ(d)endf(e)\sum\limits_{d|n}\mu(d)\sum\limits_{e|\frac{n}{d}}f(e) (定义) (1)

    =dnendμ(d)f(e)\sum\limits_{d|n}\sum\limits_{e|\frac{n}{d}}\mu(d)f(e) (分配律) (2)

    =endneμ(d)f(e)\sum\limits_{e|n}\sum\limits_{d|\frac{n}{e}}\mu(d)f(e) (e,de,d的地位是可交换的) (3)

    =enf(e)dneμ(d)\sum\limits_{e|n}f(e)\sum\limits_{{d|\frac{n}{e}}}\mu(d) (结合律) (4)

    =f(n)f(n) (μ\mu性质1) (5)

    证毕。

    如果这里还是看不懂请看下面。

    对于(2)(3)(2)\rightarrow(3)的解释:

    因为endedne|\dfrac{n}{d}\Leftrightarrow ed|n

    可以理解为对每个nn的因子dd求出所有满足edned|nee,即二元组(d,e)(d,e)的个数。

    举个例子:n=6n=6.

    d=1,e={1,2,3,6}d=1,e=\{1,2,3,6\}

    d=2,e={1,3}d=2,e=\{1,3\}

    d=3,e={1,2}d=3,e=\{1,2\}

    d=6,e={1}d=6,e=\{1\}

    因为e,de,d都是nn的因子,所以地位等价。

    即条件可以改为dnedend|\dfrac{n}{e}\Leftrightarrow de|n

    每个nn的因子ee求出所有满足dende|nee,即二元组(e,d)(e,d)的个数。

    e=1,d={1,2,3,6}e=1,d=\{1,2,3,6\}

    e=2,d={1,3}e=2,d=\{1,3\}

    e=3,d={1,2}e=3,d=\{1,2\}

    e=6,d={1}e=6,d=\{1\}

    (4)(5)(4)\rightarrow(5)的解释:

    显然当ne1\dfrac{n}{e}\neq1时,dneμ(d)=0\sum\limits_{{d|\frac{n}{e}}}\mu(d)=0

    只有当ne=1e=n\dfrac{n}{e}=1\rightarrow e=n时,dneμ(d)=1\sum\limits_{{d|\frac{n}{e}}}\mu(d)=1

    enf(e)dneμ(d)\sum\limits_{e|n}f(e)\sum\limits_{{d|\frac{n}{e}}}\mu(d)=f(n)×1=f(n)f(n)\times 1=f(n)

    卷积证明见置顶回答

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  • 莫比乌斯反演定理证明

    千次阅读 2017-07-29 19:15:19
    https://www.zhihu.com/question/23764267/answer/26007647 直接去上面这个网址看吧,看一位叫做Syu Gau的大神的证明,写得非常清晰,本人不太会传图片(╯#-_-)╯,所以就不在此处再写一遍了。。。

    https://www.zhihu.com/question/23764267/answer/26007647
    直接去上面这个网址看吧,看一位叫做Syu Gau的大神的证明,写得非常清晰,本人不太会传图片(╯#-_-)╯,所以就不在此处再写一遍了。。。

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  • 终于讲到反演定理了,反演定理这种东西记一下公式就好了,反正我是证明不出来的~(~o ̄▽ ̄)~o 首先,著名的反演公式 我先简单的写一下o( ̄ヘ ̄*o) 比如下面这个公式 f(n) = g(1) + g(2) + g(3) ...
  • 反演定理及其应用

    千次阅读 2018-08-04 13:09:07
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  • Mobius反演定理-BZOJ2154

    2017-03-14 20:13:00
    This article is made by Jason-Cow.Welcome to reprint.But please post the article's address....莫比乌斯定理(未完待续......): 形式1: 形式2: 引理: 证明1: 右边=带入左边等式,得  ...
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  • 莫比乌斯反演

    2018-07-16 20:59:00
    莫比乌斯反演定理 设 和 ...莫比乌斯反演定理证明 充分性证明: 考虑到: 因此 必要性证明: 考虑到: ...
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  • 莫比乌斯反演略解

    2019-10-03 10:24:50
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空空如也

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反演定理证明