莫比乌斯反演定理形式一： 

F(n)=∑d|nf(d)=>f(n)=∑d|nμ(d)F(nd)


证明: 

恒等变形得： 

f(n)=∑d|nμ(d)F(nd)=∑d|nμ(d)∑k|ndf(k)=∑k|nf(k)∑d|nkμ(d)
因为之前证明的这个定理： 

∑d|nμ(d)={10n==1n>1
所以当且仅当nk=1，即n=k时，∑d|nkμ(d)=1,其余时候等于0。


故
∑k|nf(k)∑d|nkμ(d)=f(n)
莫比乌斯反演定理形式二： 

F(n)=∑n|df(d)=>f(n)=∑n|dμ(dn)F(d)


证明： 

令k=dn,那么，就得到
f(n)=∑k=1+∞μ(k)F(nk)=∑k=1+∞μ(k)∑nk|tf(t)=∑n|tf(t)∑k|tnμ(k)


所以当且仅当tn=1，即t=n时，∑k|tnμ(k)=1,其余时候等于0。


故得到
∑n|tf(t)∑k|tnμ(k)=f(n)


证明完毕。

        
PoPoQQQ没有给出形式二的证明，我恨PoPoQQQ，证了好久。 

证明之前，请先看看PoPoQQQ的ppt，当你看完发现没有证明想哭的时候，看看这篇博客。 

莫比乌斯反演定理形式一： 
F(n)=∑d|nf(d)=>f(n)=∑d|nμ(d)F(nd)
 

证明: 

恒等变形得： 
f(n)=∑d|nμ(d)F(nd)=∑d|nμ(d)∑k|ndf(k)=∑k|nf(k)∑d|nkμ(d)

因为之前证明的这个定理： 
∑d|nμ(d)={10n==1n>1

所以当且仅当nk=1，即n=k时，∑d|nkμ(d)=1,其余时候等于0。 

故
∑k|nf(k)∑d|nkμ(d)=f(n)

莫比乌斯反演定理形式二： 
F(n)=∑n|df(d)=>f(n)=∑n|dμ(dn)F(d)
 

证明： 

令k=dn,那么，就得到
f(n)=∑k=1+∞μ(k)F(nk)=∑k=1+∞μ(k)∑nk|tf(t)=∑n|tf(t)∑k|tnμ(k)
 

所以当且仅当tn=1，即t=n时，∑k|tnμ(k)=1,其余时候等于0。 

故得到
∑n|tf(t)∑k|tnμ(k)=f(n)
 

证明完毕。
        
   

转载于:https://www.cnblogs.com/outerform/p/5921887.html

莫比乌斯反演定理的证明。
$ps:$初学给自己做个笔记，怕以后忘了。
前置知识：莫比乌斯函数$\mu$的两个性质：
$1.\sum\limits_{d|n}\mu(d)=[n==1]$
证明：


$2.\sum\limits_{d|n}\dfrac{\mu(d)}{d}=\dfrac{\varphi(n)}{n}$ （这里证明用不到)
定理：若有定义在$N^+$上的函数$F(n),f(n)$满足关系：
$F(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)$，则有：$f(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(d)F(\dfrac{n}{d})$
证明：我们只需证上述等式右边等于左边即可。
​    $\sum\limits_{d|n}\mu(d)F(\dfrac{n}{d})$
=$\sum\limits_{d|n}\mu(d)\sum\limits_{e|\frac{n}{d}}f(e)$  （定义) (1)
=$\sum\limits_{d|n}\sum\limits_{e|\frac{n}{d}}\mu(d)f(e)$    (分配律) (2)
=$\sum\limits_{e|n}\sum\limits_{d|\frac{n}{e}}\mu(d)f(e)$   ($e,d$的地位是可交换的) (3)
=$\sum\limits_{e|n}f(e)\sum\limits_{{d|\frac{n}{e}}}\mu(d)$   (结合律) (4)
=$f(n)$  ($\mu$性质1) (5)
证毕。
如果这里还是看不懂请看下面。
对于$(2)\rightarrow(3)$的解释：
因为$e|\dfrac{n}{d}\Leftrightarrow ed|n$
可以理解为对每个$n$的因子$d$求出所有满足$ed|n$的$e$,即二元组$(d,e)$的个数。
举个例子：$n=6$.
$d=1,e=\{1,2,3,6\}$
$d=2,e=\{1,3\}$
$d=3,e=\{1,2\}$
$d=6,e=\{1\}$
因为$e,d$都是$n$的因子，所以地位等价。
即条件可以改为$d|\dfrac{n}{e}\Leftrightarrow de|n$
每个$n$的因子$e$求出所有满足$de|n$的$e$,即二元组$(e,d)$的个数。
$e=1,d=\{1,2,3,6\}$
$e=2,d=\{1,3\}$
$e=3,d=\{1,2\}$
$e=6,d=\{1\}$
$(4)\rightarrow(5)$的解释：
显然当$\dfrac{n}{e}\neq1$时，$\sum\limits_{{d|\frac{n}{e}}}\mu(d)=0$。
只有当$\dfrac{n}{e}=1\rightarrow e=n$时，$\sum\limits_{{d|\frac{n}{e}}}\mu(d)=1$
即$\sum\limits_{e|n}f(e)\sum\limits_{{d|\frac{n}{e}}}\mu(d)$=$f(n)\times 1=f(n)$。
卷积证明见置顶回答

https://www.zhihu.com/question/23764267/answer/26007647

直接去上面这个网址看吧，看一位叫做Syu Gau的大神的证明，写得非常清晰，本人不太会传图片（╯#-_-)╯，所以就不在此处再写一遍了。。。