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  • 摘 要:针对一类具有非理想网络状况,如时变网络时滞、分组丢失和乱序等问题的基于动态输出反馈控制器的网络控制系统,建立了多时滞Lurie网络控制系统模型,应用Lyapunov-Krasovskii泛函方法,保留Lyapunov-...
  • 建立连续情形广义系统新的正实引理. 通过对线性矩阵不等式(LM I) 的...实状态反馈控制的充分必要条件, 构造了保持系统稳定性的正实控制器设计方法. 数值实例表明, 该求解控制器的 方法简单方便, 具有实际意义.</p>
  • 然而, 在许多实际系统中往往存在干扰不匹配的情况, 例如存在采样抖动的离散时间控制系统. 针对这一问题, 基于一类存在不匹配干扰的离散时间系统, 提出广义扩张状态观测器和相应的稳定化状态反馈控制器设计方法. ...
  • 在数字电源的所有讨论中,必须区分两个关键的概念:功率控制和功率管理。...这包括电源系统配置、个别电源的控制和监视以及故障检测通信。电源管理功能并不是实时的,这些功能以一个比电源的开关频率慢的
  • 研究一类由任意有限多个线性子系统组成的切换系统的H∞ 状态反馈控制问题.利用Lyapunov函数方法,给出由线性矩阵不等式(LMI)表示的控制器存在的充分条件, 并设计了相应的子控制器和切换策略. 最后给出一个数值仿真...
  • 研究具有已知动态特性但未知初始条件的持续外界扰动的线性离散系统最优控制问题. 给出了前馈2反馈 最优控制律的存在唯一性条件, 并提出了最优控制律的设计算法. 通过降维扰动观测器解决了前馈2反馈最优控制律...
  • 这项研究的重点是具有随机数据包丢失和时间延迟的网络控制系统的输出反馈保证成本控制问题。 本研究中考虑的工厂的特征在于不确定的线性离散时间系统, 其中在建模为统一的多个马尔可夫链的前向控制器到执行器和反馈...
  • 点击箭头处蓝色字 “iFTrue未来已来”关注我哦~核心概览——《电力电子基础 Power Electrics》系列(之)控制器设计1 概述2 负反馈对网络传递函数的影响2.1 反馈环节的特点:减小“扰动-输出”传递函数2.2 反馈环节的...

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    点击箭头处蓝色字 iFTrue未来已来”关注我哦~


    核心概览

    ——《电力电子基础 Power Electrics》系列(之)控制器设计1  概述2  负反馈对网络传递函数的影响
    2.1  反馈环节的特点:减小“扰动-输出”传递函数
    2.2  反馈环节的特点:降低“给定-输出”传递函数对前向通道增益变化的敏感性
    3  重要参量1/(1+T)与T/(1+T)的释义4  稳定性4.1  相角裕度测试
    4.2  相位裕度与闭环阻尼系数的关系
    5  调节器设计
    5.1  超前校正器(PD)
    5.2  滞后校正器(PI)
    5.3  超前-滞后(PID)校正器
    5.4  设计举例
    6  开环增益的测量
    6.1  电压注入法
    6.2  电流注入法
    6.3  不稳定系统的测量
    7  关键点总结

    5  调节器设计(下)  设计举例


    为了说明PI和PD校正器的设计,我们考虑对图1所示的dc-dc buck转换器系统采用PID校正器进行设计。该系统的输入电压vg(t)的标称值为28V,期望的输出电压为15V,负载电流为5A,负载电阻为3Ω,5V参考电压是准确的

    6fb96ced0baf60fd5c1fbecc763e1990.png

    图1 设计示例:buck电路

    静态特征

    第一步是选择反馈增益H(s)。让我们假设我们将成功设计一个好的反馈系统,使输出电压精确地跟随参考电压。这是通过一个大的开环增益T来实现的,最终使得误差电压接近0。因此,采样电压Hv ≈ vref,我们应该选择

    e8997407ba76a36d15e99f5ab2f2e699.png

    静态占空比可以由变换器稳态解得到:

    34887fc04ab3eb79260b8419fc1d1925.png

    静态控制电压为

    55eb4a11269725245d23c85eb37dc803.png

    其中VM为载波幅值。

    至此,系统的静态条件全部已知,仅剩校正器的设计。

    小信号模型

    系统的小信号交流模型如图2所示。buck变换器交流模型以规范形表示,同时对输入电压和负载电流的扰动进行了建模。通常地,模型框图中包含参考电压小信号变化量

    39d92645e35aa19f594ff7e5fc62f751.png

    714d3bbb3ebe634db967c8bd589081f0.png

    图2 buck电路系统小信号模型

    > 开环“控制-输出”功率级传函Gvd(s)
    开环传递函数为

    e98ba46c5006d11c06d1c9f6e545afd9.png

    开环传递函数包含两个极点,写成标准形为

    65aab1363efb14b3bac1ae00e74e063b.png

    由以上两式可以得到直流增益(零频幅比)、转折频率和谐振峰值Q因数:

    78d135ef1e00b5cbf7d1456acdc58e12.png

    buck电路功率级传函对数幅频/相频特性曲线:

    d1d2fbf8684ef60df47bbec3815dbd4e.png

    图3 buck电路功率级传函对数幅频/相频特性曲线

    > 开环“线路-输出”传函与输出阻抗
    “线路-输出”传函:

    058707eab11f6f5076a516f84690df3d.png

    与“控制-输出”传函有相同的极点。

    输出阻抗:

    ca9e2522cd2f5a4b1c84c9a552155f22.png

    > 带有校正器的系统框图

    be2c75f26a9680db400379312fff71dc.png

    图4 加入校正器后的系统框图

    带有校正器的系统开环传递函数:

    0a30ac5b4ea4a0359d4aee16d953f2d0.png

    将Gvd(s)带入上式得:

    a3a88b06ced62bb71ae812a982ac7707.png

    > 未进行校正的系统开环增益(即Gc=1)
    当G
    c = 1时,开环增益为

    5affb6ef2bbda41fc8851154441f822e.png

    其中,

    ac204ba8851f713bc6296e9d5c8a7ca2.png

    截至频率与相角裕度为

    8a6a2577c15a6190fa5dfe393f7f513d.png

    6d08fc29541d4d91245f31d76e1928c4.png

    图5 未进行补偿的的开环增益曲线

    校正器设计

    > 超前校正器设计

    • 期望截至频率:5kHz(或开关频率的1/20)

    • 因为Tu(s)在5kHz时相角接近-180°,因而采用超前(PD)校正器增加相角裕度

    • 超前(PD)校正器在5kHz时的相角裕度应该设计为+52°

    • 由图5可知,未校正的环路增益在5kHz时约为Tu0 · ( f0 / fc )^2 = 0.0093 = -20.6dB

    • 所以,超前(PD)校正器在5kHz时的增益应为+20.6dB

    • 超前(PD)校正器的零极点频率应为

      9a51ea97745c624555ea6464cd981546.png

    • 为了使校正器的的在5kHz时的增益应为+20.6dB,直流(dc)增益应为

      00318d20cdcbc7646c08be787d911251.png

    801eea5e151b54a1fd38c39f17138c8a.png

    图6 设计示例的PD校正器传函Gc波特图

    > 带有超前校正的系统开环增益
    采用PD超前校正器时的系统开环增益为

    e8d3e26682ca997de12c5219bdc3c252.png

    对应的波特图如图7所示。可以看出开环增益的相角裕度在频率1.4kHz~17kHz范围内均接近52°,因而由于电路参数引起的截止频率在5kHz附件偏移的将不会对相角裕度产生明显的影响。另外,由图7可以看出,开环增益的直流频段增益T0 = Tu0Gc0 = 18.7dB。

    88c059d45e9185cf2026cf091d6ebf88.png

    图7 PD超前校正后的系统开环增益波特图

    参量1 / ( 1 + T )的渐近线如图8所示。这个参量的直流频段增益约为-18.7dB。因此,在频率小于1kHz时,反馈回路会将输出电压扰动量衰减18.7dB。

    553262130b65631c622a7790466f8f0e.png

    图8 PD校正后的示例系统的|| 1/(1 + T) ||参量释义

    > 进步一改进的系统(带有PID校正器)
    为了使得直流频段增益进一步提高,在PD校正器上增加一个反向零点,也就是所谓的PID校正器。其传函为

    b1f6ea6944fb81d54ef2b308b5f4cc72.png

    对应的波特图如图9所示,零点和极点频率没有改变,中频段增益Gcm与之前的Gc0相同。选择转折频率fL约为截至频率的1/10以不影响原来的相角裕度。反向零点的加入使得系统低频增益增加,提高了系统的低频调节能力。

    4cc771aa5b3436eb1cdff78abcddc254.png

    图9 PID校正器传函

    > “线路-输出”传递函数
    “线路-输出”传递函数如图10所示。开环与带有反馈环节的“线路-输出”传函波特图两者在频率大于截止频率时重合,在频率小于截止频率时,带有反馈环节的“线路-输出”传函减小了1/(1+T(s)),表明在低频段抑制干扰能力增强。

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    图10 开环与带有反馈环节的“线路-输出”传函对比

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  • 反馈线性化(Feedback linearization)可能是大部分人接触非线性控制之后学习的第一种控制方法,个人认为主要优点有两点:一,它的理解和实现都相对简单,二,它能让非线性系统的转换为线性系统,这样接下来,就可以...

    00de6a6fb31fd8ae9414f5a038c1833a.png

    反馈线性化(Feedback linearization)可能是大部分人接触非线性控制之后学习的第一种控制方法,个人认为主要优点有两点:一,它的理解和实现都相对简单,二,它能让非线性系统的转换为线性系统,这样接下来,就可以直接套用线性系统中已有的控制方法;但同时,它的缺点也是明显的:如对于relative degree低于状态维度的系统,线性化后可能有internal dynamics,需要单独分析,并且它时常是不稳定(unstable internal dynamics)的,这时候,就不能使用反馈线性化;此外,反馈线性化的有效性十分依赖非线性模型的准确程度。

    虽然如此,反馈线性化还是有价值的,并且,它的思想在其他的非线性控制中(如滑模控制、自适应控制)也有体现。本文将首先介绍输入输出反馈线性化(Input-output linearization)的基本原理,随后给出几个例子,简单地演示了如何将反馈线性化和传统的线性控制器(如LQG)结合使用,以及如何通过解耦MIMO系统,实现消除unstable internal dynamic,实现反馈线性化。

    给出了用到的Matlabsimulink仿真模型和代码。

    本文目录

    • 基本原理
    • 单输入-单输出系统(SISO)
      • 例子
      • 仿真
      • plant部分
      • controller部分
    • 问题
      • 解决办法
      • Simulink中的求导模块的一些反思
    • MIMO

    基本原理

    单输入-单输出系统(SISO)

    equation?tex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D+%5Cdot%7BX%7D%3Df%28X%29%2Bg%28X%29+u+%5C%5C+y%3Dh%28X%29+%5Cend%7Barray%7D

    其中

    equation?tex=X%5Cin+R%5E%7Bn%7D%2C+u%5Cin+R%2C+y+%5Cin+R ,这里
    equation?tex=X 大写是因为系统虽然是SISO,但可以有多个状态参数
    • 1、对
      equation?tex=y+ 求导
      equation?tex=m 次,直到
      equation?tex=y%5E%7B%28m%29%7D 的表达式出现
      equation?tex=u ,注意是
      equation?tex=u 的本体,不是
      equation?tex=%5Cdot%7Bu%7D 或者
      equation?tex=%5Cint%7Bu%7D 或者其他微分形式
    • 2、此时
      equation?tex=y%5E%7B%28m%29%7D 可以写成

    equation?tex=y%5E%7B%28m%29%7D%3Df%27%28X%29%2Bg%27%28X%29u

    其中的

    equation?tex=f%27%28X%29%E3%80%81g%27%28X%29 就是求导
    equation?tex=m+ 次累积出来的那些杂项。
    • 3、令
      equation?tex=u%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bg%27%28X%29%7D%28-f%27%28X%29%2Bv%29 ,此时系统被转换为
      equation?tex=y%5E%7B%28m%29%7D%3Dv ,系统也可以写成:

    equation?tex=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D+%5Cdot%7By%7D%5C%5C+%5Cddot%7By%7D%5C%5C+%5Cvdots%5C%5C+y%5E%7B%28m%29%7D+%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D+0%261%260%26%5Ccdots%260%5C%5C+0%260%261%260%260%5C%5C+%5Cvdots%26%5Cvdots%26%5Cvdots%26%5Cvdots%260%5C%5C+0%260%26%5Ccdots%260%260+%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D+y%5C%5C+%5Cdot%7By%7D%5C%5C+%5Cvdots%5C%5C+y%5E%7B%28m-1%29%7D+%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%2B%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D+0%5C%5C+0%5C%5C+%5Cvdots%5C%5C+1+%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5Dv+%5Ctag%7B1%7D
    • 4、针对这个线性系统设计控制率
      equation?tex=v ,如全状态反馈,使系统实现各种目标:如保证稳定、
      equation?tex=y%5Cto+r
      equation?tex=y%5Cto+0
    • 5、最后一步:如果
      equation?tex=m%3Cn ,则需要检查系统的内部动态,确认它并不发散,如果
      equation?tex=m%5Cgeq+n 则不需要。
      • 这一步存在的原因,感性的解释:根据(1)式我们只能得到
        equation?tex=Y%3D%5By%2C%5Cdot%7By%7D%2C%5Ccdots%2Cy%5E%7B%28m-1%29%7D%5D
        equation?tex=m 个量的稳定性,而系统的状态
        equation?tex=X%3D%5Bx_1%2C%5Ccdots%2Cx_n%5D
        equation?tex=n 个量,我们需要构建一个函数,用
        equation?tex=Y
        equation?tex=m 个量的稳定性,证明
        equation?tex=X 里的
        equation?tex=n 个量也都稳定,有时候能保证,有时候不能保证。不能保证的时候,我们就说系统有unstable internal dynamics,也就用不了反馈线性化了,这确实挺玄的。
      • 例子:倒立摆小车,想让倒立摆保持一个特定角度,实现方法使是让车一直向某个方向匀加速度运动,这个时候角度是稳定了,但是小车的坐标是发散的,这个例子只是用来解释unstable internal dynamics的,可能并不太准确。

    4ff9c522a14d73a4c9735b0e48c96b6d.png
      • 具体的验证方法:在
        equation?tex=Y+ 的基础上构造一个
        equation?tex=%5Cbar%7BY%7D%3D%5BY%2C%5Cbar%7By%7D_1%2C%5Ccdots%2C%5Cbar%7By%7D_%7Bm-n%7D%5D ,新加的
        equation?tex=m-n 个变量
        equation?tex=%5Cbar%7By%7D_i 全部是
        equation?tex=X 的函数,最终能让
        equation?tex=%5Cbar%7BY%7D
        equation?tex=X 间存在可逆的变换,即
        equation?tex=%5Cbar%7BY%7D%3D%5Cvarphi%28X%29%2CX%3D%5Cvarphi%5E%7B-1%7D%28%5Cbar%7BY%7D%29 ,注意这里的可逆是非常重要的性质,然后,对
        equation?tex=%5Cbar%7By%7D_i 求导,想法儿证明这些新加变量(也叫internal dynamic)的稳定性。

    例子

    equation?tex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D+%5Cdot%7Bx%7D_%7B1%7D%3Dx_%7B2%7D%2Bx_%7B3%7D+%5Csin+%5Cleft%28x_%7B1%7D%5Cright%29+%5C%5C+%5Cdot%7Bx%7D_%7B2%7D%3Dx_%7B3%7D%5E%7B2%7D%2B%5Ccos+%5Cleft%28x_%7B1%7D%5Cright%29+u+%5C%5C+%5Cdot%7Bx%7D_%7B3%7D%3D-%5Cleft%7C%5Ccos+%5Cleft%28x_%7B1%7D%5Cright%29%5Cright%7C+x_%7B3%7D+%5C%5C+y%3Dx_%7B1%7D+%5Cend%7Barray%7D
    • 1、对
      equation?tex=y+ 求导
      equation?tex=m 次,直到
      equation?tex=y%5E%7B%28m%29%7D 的表达式出现
      equation?tex=u

    equation?tex=%5Cbegin%7Baligned%7D+%5Cdot%7By%7D%3D%5Cdot%7Bx%7D_%7B1%7D%3D%26+x_%7B2%7D%2Bx_%7B3%7D+%5Csin+x_%7B1%7D+%5C%5C+%5Cddot%7By%7D%3D%5Cdot%7Bx%7D_%7B1%7D%3D%26+%5Cdot%7Bx%7D_%7B2%7D%2B%5Cdot%7Bx%7D_%7B3%7D+%5Csin+x_%7B1%7D%2B%5Cdot%7Bx%7D_%7B1%7D+x_%7B3%7D+%5Ccos+x_%7B1%7D+%5C%5C+%3D%26+x_%7B3%7D%5E%7B2%7D%2B%5Ccos+x_%7B1%7D+u-x_%7B3%7D%5Cleft%7C%5Ccos+x_%7B1%7D%5Cright%7C+%5Csin+x_%7B1%7D++%2B%5Cleft%28x_%7B2%7D+%2Bx_%7B3%7D+%5Csin+x_%7B1%7D%5Cright%29+x_%7B3%7D+%5Ccos+x_%7B1%7D+%5Cend%7Baligned%7D
    • 2、这里
      equation?tex=m%3D2
      equation?tex=+x_%7B3%7D%5E%7B2%7D-x_%7B3%7D%5Cleft%7C%5Ccos+x_%7B1%7D%5Cright%7C+%5Csin+x_%7B1%7D++%2B%5Cleft%28x_%7B2%7D+%2Bx_%7B3%7D+%5Csin+x_%7B1%7D%5Cright%29+x_%7B3%7D+%5Ccos+x_%7B1%7D+ 对应
      equation?tex=f%27%28X%29
      equation?tex=%5Ccos+x_1 对应
      equation?tex=g%27%28X%29
    • 3、令
      equation?tex=u%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bg%27%28X%29%7D%28-f%27%28X%29%2Bv%29,此时系统就被线性化了,等价为
      equation?tex=%5Cddot%7By%7D%3Dv
    • 4、我们先令
      equation?tex=v%3D-2%5Cdot%7By%7D-y
      equation?tex=y 满足的动态方程就是一个标准的二阶系统,可以保证收敛。
    • 5、因为
      equation?tex=m%3D2%3Cn%3D3 ,需要研究internal dynamics

    equation?tex=%5Cbar%7BY%7D%3D%5By%2C%5Cdot%7By%7D%2Cx_3%5D ,这个
    equation?tex=%5Cbar%7BY%7D
    equation?tex=X 之间存在可逆的变换

    equation?tex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D+%5Cbar%7BY%7D_1%3Dy_%7B%7D%3Dx_%7B1%7D+%5C%5C+%5Cbar%7BY%7D_2%3D%5Cdot%7By%7D%3Dx_%7B2%7D%2Bx_%7B3%7D+%5Csin+%5Cleft%28x_%7B1%7D%5Cright%29+%5C%5C+%5Cbar%7BY%7D_3%3Dx_%7B3%7D%3Dx_%7B3%7D+%5C%5C+%5CDownarrow%5C%5C+%7BX%7D_1%3Dx_%7B1%7D%3Dy_%7B%7D+%5C%5C+%7BX%7D_2%3Dx_%7B2%7D%3D%5Cdot%7By%7D-x_%7B3%7D+%5Csin+%5Cleft%28y%5Cright%29+%5C%5C+%7BX%7D_3%3Dx_%7B3%7D%3Dx_%7B3%7D+%5Cend%7Barray%7D

    接下来研究新引入的这个变量的稳定性

    equation?tex=%5Cbegin%7Baligned%7D++%5Cdot%7Bx%7D_%7B3%7D%3D-%5Cleft%7C%5Ccos+%5Cleft%28x_%7B1%7D%5Cright%29%5Cright%7C+x_%7B3%7D+%5Cend%7Baligned%7D

    因为

    equation?tex=y%3Dx_1 可以确认收敛到0,所以这里
    equation?tex=x_3 也可以保证收敛。因此我们可以使用反馈线性化来进行控制。

    仿真

    c1f5be76ae36a07ba341c55f0219ad84.png

    plant部分

    0eb77085d26efa6b38f236e87f2dbdbe.png
    • 在积分处设置初值,全部为1
    • 系统的仿真使用matlab function模块,这个模块很适合仿真非线性系统,效率很高。
    function [x1d,x2d,x3d] = fcn(x1,x2,x3,u)
    
    x1d = x2+x3*sin(x1);
    x2d = x3^2+cos(x1)*u;
    x3d = -abs(cos(x1))*x3;
    
    end 

    controller部分

    b258a7ea5e4807e7ccb8110050873631.png
    function u = fcn(x1,x1d,x2,x3)
    
    g = cos(x1);
    f = x3^2-x3*abs(cos(x1))*sin(x1)+(x2+x3*sin(x1))*x3*cos(x1);
    
    v = -2*x1d-2*x1;
    u = 1/g*(-f+v);
    
    end

    仿真效果

    54e5fac10a77f597807f6dde840818d4.png

    可见系统的三个状态都很好的收敛为0了。

    问题

    但是,有另外两个问题:

    • 这个系统不是SISO么,哪儿来的全状态可用?
    • 这个模型里控制器的求导模块会放大观测噪声,结果必然会导致系统性能变差,怎么办?

    思考:

    • 这里用了全状态输入到控制器中,这的确是不能直接实现的,因为我们假定只有
      equation?tex=y%3Dx_1 这一个输出。但是,我们可以设计一个非线性观测器,由系统输入和输出观测得到系统的全状态,这个观测器对系统的影响,可以等价地理解为,输入给控制器的状态量相当于真值+一个逐渐收敛到有界的扰动。非线性观测器的设计不是这一篇的内容,但我们可以仿真模拟一下。
    • 这里加了一个模块,作用是给信号加上一个收敛到有界的噪声信号

    90e4dc32edda5c59daa0099ff6fafa28.png
    加了噪声之后的系统

    b7bb6c5334776a723f61080d8bcc7237.png
    模块的功能是为输入信号加上两部分:一部分是常有的噪声,另一部分代表逐渐收敛为0的观测误差

    噪声的设置:power=1e-2 , sample time = 0.1

    这个模块的示例:输入黄色,输出蓝色

    33b20b203787bdf8ab0f60ddc63b93f8.png

    实际仿真结果

    2622b055e2d6f7a626ec05371ea546e7.png
    • 可见加了噪声之后的系统(模拟用观测器给出的状态估计计算控制量u的大小的系统),状态还是能够收敛到有界的。但是这并不意味着所有的系统都能有这种鲁棒性,只是这里研究的系统性质比较好,还需要结合具体系统进行分析。
    • 此外,可以看到蓝色的
      equation?tex=x_2+ 抖得比另外两个状态多,这是因为控制器中的求导模块有放大噪声的问题,也就是上面谈到的第二个问题。

    1e7ef71ca838fa37368d95429717c34e.png

    这个求导模块会把白噪声放大几百倍,并且这不能通过求导模块里的那个参数c的设置来得到改善。

    b7840d98c21637008382532eb6085ded.png
    黄色:噪声信号,蓝色:经过求导模块之后的输出

    解决办法

    在上面,通过反馈线性化之后的系统等价为

    equation?tex=%5Cddot%7By%7D%3Dv ,我们又令
    equation?tex=v%3D-2%5Cdot%7By%7D-y ,最终得到的等价系统是
    equation?tex=%5Cddot%7By%7D%3D-2%5Cdot%7By%7D-y ,这是一个标准的二阶系统,能保证收敛,但是由于
    equation?tex=%5Cdot%7By%7D+ 一项的存在,我们需要对
    equation?tex=y 进行求导,而求导又会放大噪声。因此,考虑设计另外一种
    equation?tex=v 的控制策略,
    此时
    equation?tex=v 不再只是
    equation?tex=y
    equation?tex=%5Cdot%7By%7D%2C%5Cddot%7By%7D%2C%5Ccdots 的线性组合了,而是存在传递函数
    equation?tex=H%28s%29 ,
    equation?tex=v%3DH%28s%29y ,该滤波的设计目标是使系统对于观测噪声具有一定的鲁棒性。

    这里使用LQG控制器来计算出

    equation?tex=H%28s%29

    关于LQG可以参考我写的另外一篇文章以及里面提到的参考资料

    LQG输出调节控制Matlab仿真实例 - 知乎 (zhihu.com)

    LQG控制器是一种面对观测噪声和过程噪声,满足最优标准的观测器线性重构状态反馈的控制器。

    被控系统:

    equation?tex=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D+%5Cdot%7By%7D%5C%5C+%5Cddot%7By%7D%5C%5C+%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D+0%261+%5C%5C+0%260++%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D+y%5C%5C+%5Cdot%7By%7D%5C%5C%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%2B%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D+0%5C%5C+1+%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5Dv+%5C%5C+%E8%BE%93%E5%87%BA%3Dy%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D+1%260+++%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D+y%5C%5C+%5Cdot%7By%7D%5C%5C%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D
    A = [ 0 1  ; 0 1 ];
    B = [ 0 1 ].';
    C = [ 1 0 ];
    D = 0;

    可控性和可观测性检查

    obsv(A,C)
    ctrb(A,B)

    可见系统可观也可控,因此LQG是可以设计出来的

    sys = ss(A,B,C,D);
    
    %这里的性能指标和噪声信息并没有仔细调,
    QXU = blkdiag(eye(2),0.1);
    QWV = blkdiag(eye(2),0.1);
    reg = lqg(sys,QXU,QWV);

    使用这个得到的regulator来控制反馈线性化之后的系统,搭建下面的模型

    5e8d61be64a969fb2e4c719965a30ec4.png

    其中plant模型没变,controller模型:

    a6c21822810aa6a87e846455be6e1e1f.png
    reg使用的是LTI System模块,参数设置为reg即可

    代码:

    function u = fcn(x1,x2,x3,v)
    
    g = cos(x1);
    f = x3^2-x3*abs(cos(x1))*sin(x1)+(x2+x3*sin(x1))*x3*cos(x1);
    
    
    u = 1/g*(-f+v);
    
    end

    即把原来在函数中计算的v改为了外源输入

    观测噪声Power设置为1e-3,控制效果:

    6999b0559ffc2e9499ad557e7fab655e.png
    上:原来的方案(使用求导),下:使用LQG的方案

    可以看到使用LQG的方案也抖,甚至蓝色在负的峰值还变差了,但是如果我们看控制输入

    89889ef2cab87ac3e0f7d646568662a0.png
    上:原来的方案(使用求导),下:使用LQG的方案

    可以看到使用求导的方案,因为信号中有噪声,所以控制输入有毛刺,而且波动大,而使用LQG的方案对噪声有一定抗性,控制更加平滑,波动较小。

    Simulink中的求导模块的一些反思

    c444e74c21f4b7bd8cd5433dede9164b.png

    最近学习非线性控制、滑模控制,经常需要用到这个模块,也有了一点关于它的思考。

    simulink里的求导模块本身是一个离散的形式[1]

    equation?tex=y%28t%29%3D%5Cfrac%7B%5CDelta+u%7D%7B%5CDelta+t%7D%3D%5Cfrac%7Bu%28t%29-u%5Cleft%28T_%7B%5Ctext+%7Bprevious+%7D%7D%5Cright%29%7D%7Bt-T_%7B%5Ctext+%7Bprevious+%7D%7D%7D+%5Cmid+t%3ET_%7B%5Ctext+%7Bprevious+%7D%7D

    这个模块对于没有噪声的信号,十分精准,但是对于有噪声的信号,会把噪声放大,输出的信号有毛刺,对于理论验证,它往往是准确的,但是对于现实工程的算法实现,应该肯定不会用这个。

    让问题的分析变复杂的是,求导模块这是一个离散的模型,而我要验证的控制律和模型是基于连续时间的,同时,simulink的仿真又是使用离散计算来对连续时间微分模型的逼近,所以,正如评论区里指出的,还是应当尽量避免在simulink中使用这个模块,比如采用后一种结合lqg的方式。

    连续与离散,控制理论研究和实际工程存在的这种脱节,实在经常让我困惑,或许是学的还不够多,但我觉得在未来的学校里的控制理论课程设计上,还是最好以连续时间引入,以离散时间分析为主。这样,对于绝大多数情况,理论、模拟、实践都是一致的,或许会少很多问题。

    MIMO的例子见

    MIMO反馈线性化(Feedback linearization)控制算法Matlab仿真实例 - 知乎 (zhihu.com)

    参考

    1. ^https://www.mathworks.com/help/simulink/slref/derivative.html
    展开全文
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  • 然后,基于DLF技术,提出了具有时变切换律的切换系统动态输出反馈控制器设计。 最后,提出了动态输出反馈控制器存在的充分条件,并以线性矩阵不等式(LMI)的形式提出。 通过三个仿真实例说明了该方法的有效性。
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    c68ec3857eef2bacc7d379aeb02514e4.png

    5bc6e0c45d188cdbe2da63b43a82eeee.png

    6d488069b281684ca874e33df3801e06.png

    54fed50a95e5be6755ff3da07f8ea1ff.png

    1f106dafaa9ac0e94fc9f7eb62064f0c.png

    dc49b76bdb2c9a81740b8ee9642b96cb.png
    1. 稳定性判据
    2. 理论方法:

    2a781fde8310c138ac3772ca66d77797.png

    当特征值的零点全部为负值时,系统位于坐标左半平面,系统稳定。实部为正值时,系统不稳定。

    1. 数值计算

    Zpk与roots

    Eg:

    9a6b7eaecefe27e23ef50eebf0ecbfd0.png

    程序:

    z=-1;

    p=[1 0.3 1.02 1];

    k=1;

    G0=zpk(z,p,k)%原系统

    G1=feedback(G0,1);

    sys1=tf(G1)%反馈系统

    sys2=zpk(sys1);

    %获取反馈系统的所有极点

    sys2.p{:}

    %获取系统所有特征值

    roots(sys1.den{:})

    仿真结果:

    ans =

    1.6900 + 0.9743i

    1.6900 - 0.9743i

    -0.0300 + 0.5851i

    -0.0300 - 0.5851i

    ans =

    1.6900 + 0.9743i

    1.6900 - 0.9743i

    -0.0300 + 0.5851i

    -0.0300 - 0.5851i

    结论:利用zpk所求极点与利用roots所求系统特征值一致,由于存在正实根,因此该系统不稳定。

    展开全文
  • 本博文通过实例控制系统校正进行介绍,展示使用MATLABMATLABMATLAB对控制系统进行校正以达到系统要求,目的是让同学们掌握使用MATLABMATLABMATLAB对控制系统进行系统校正的方法。 串联超前校正实例 题目:设单位...

    本博文通过实例对控制系统校正进行介绍,展示使用MATLABMATLAB对控制系统进行校正以达到系统要求,目的是让同学们掌握使用MATLABMATLAB对控制系统进行系统校正的方法。

    1. 串联超前校正实例
      题目:设单位反馈系统的开环传递函数为G0(s)=Ks(s+1)G_0(s)=\frac{K}{s(s+1)}
      试设计一个串联超前校正装置,使系统满足如下指标:
      ① 相角裕度γ45°\gamma\geq45°
      ② 在单位斜坡输入下的稳态误差ess<115rade_{ss}<\frac{1}{15}rad
      ③ 截止频率ωc7.5rad/s\omega_c\geq7.5rad/s

      a.确定开环增益KK
      G0(s)Kv=Kess<115rad分析题设,G_0(s)为Ⅰ型系统,K_v=K,技术指标要求在单位斜坡输入下的稳态误差e_{ss}<\frac{1}{15}rad,有ess()=1Kv<115e_{ss}(\infty)=\frac{1}{K_v}<\frac{1}{15}
      K=20取K=20,则待校正系统的传递函数为G(s)=20s(s+1)G(s)=\frac{20}{s(s+1)}
      b.绘制出待校正系统的对数幅频渐近特性曲线,如下图:
    %建立控制系统模型
    w=0.1:1:100;
    G=tf(20,[conv([1,0],[1,1])]);
    
    %绘制待校正系统的对数幅频渐近线
    figure(1)
    [x,y] = bd_asymp(G,w);
    semilogx(x,y,'r');
    grid;
    

    待校正系统
    c.计算待校正系统的截止频率ωc\omega_c^{'}和相角裕度γ\gamma
    由上图可知,待校正系统的截止频率ωc=4.47rad/s\omega_c^{'}=4.47rad/s,计算出待校正系统的相角裕度:γ=180°90°arctanωc=12.61°\gamma^{'}=180°-90°-\arctan{\omega_c^{'}}=12.61°
    注:可以使用MATLAB命令直接计算截止频率和相角裕度,命令为:[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(sys)[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(sys)直接使用margin命令,可绘制伯德图,并且将幅值裕度、相角裕度、截止频率、穿越频率标注在图形标题端,如下图所示:
    伯德图
    d.选择校正方法
    由于截止频率和相角裕度均低于指标要求,故采用超前校正。
    e.计算校正装置相关参数
    试选取ωm=ωc=8rad/s(ωc7.5rad/s)\omega_m=\omega_c^{''}=8rad/s(因为指标要求\omega_c\geq7.5rad/s)
    图标注
    由上图查得,L(ωc)=10.11dBL(\omega_c^{''})=-10.11dB,由关系式L(ωc)=10lgaT=1ωca-L(\omega_c^{''})=10\lg{a},T=\frac{1}{\omega_c^{''}\sqrt{a}}计算得到:a=10.26T=0.039a=10.26,T=0.039,因此,超前网络传递函数为10.26Gc(s)=1+0.4s1+0.039s10.26G_c(s)=\frac{1+0.4s}{1+0.039s}为了补偿无源超前网络产生的增益衰减,放大器增益应提高10.26倍,否则不能保证稳态误差要求。
    f.得到校正后的系统,校验指标是否符合要求
    已校正系统的开环传递函数为Gc(s)G(s)=20(1+0.4s)s(s+1)(1+0.039s)G_c(s)G(s)=\frac{20(1+0.4s)}{s(s+1)(1+0.039s)}其对数幅频渐近特性曲线L(ω)L(\omega)^{''}
    校正系统图
    校正系统ωc=8rad/s\omega_c^{''}=8rad/s,计算已校正系统的相角裕度:γ=180°+ϕ(ωc)=90°+arctan0.4ωcarctan0.039ωc=62.44°45°\gamma=180°+\phi(\omega''_c)=90°+\arctan0.4\omega''_c-\arctan0.039\omega''_c=62.44°\geq45°性能指标均符合要求,用MATLABMATLABmarginmargin命令绘制系统的开环对数频率特性,如下图:
    校正后伯德图
    由上图可得,ωc=7.95rad/sγ=62.5°\omega''_c=7.95rad/s,\gamma=62.5°
    g.附:MATLABMATLAB代码

    %建立控制系统模型
    w=0.1:1:100;
    G=tf(20,[conv([1,0],[1,1])]);   %待校正系统
    Gc=tf([0.4,1],[0.039,1]);       %校正系统
    G1=series(G,Gc);                %校正后系统
    
    %绘制系统的对数幅频渐近线
    figure(1);
    [x,y] = bd_asymp(G,w);
    [xc,yc]=bd_asymp(Gc,w);
    [x1,y1]=bd_asymp(G1,w);
    
    semilogx(x,y,'r');hold on
    semilogx(xc,yc,'b');
    semilogx(x1,y1,'k');
    grid;hold off
    
    %绘制校正后系统的开环对数幅频和相频曲线
    figure(2);
    margin(G1);
    grid;
    


    1. 系统校正准备知识

    a.校正的定义
    校正:在控制系统中加入一些其参数可以根据需要而改变的机构或装置,使系统整个特性发生变化,从而满足给定的各项性能指标。
    b.工程实践常用的三种校正方法:串联校正、前馈校正、复合校正。
    c.校正设计方法
    ① 如果性能指标以单位阶跃响应的峰值时间、调节时间、超调量、阻尼比、稳态误差等时域特征量给出,一般采用时域校正方法;
    ② 如果性能指标以系统的相角裕度、幅值裕度、谐振峰值、闭环带宽、静态误差系数等频域特征量给出,一般采用频率法校正。
    d.二阶系统频域指标与时域指标的关系

    名称 频域指标与时域指标的关系
    谐振峰值 Mr=12ζ1ζ2ζ0.707M_r=\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}},\zeta\leq0.707
    谐振频率 ωr=ωn12ζ2ζ0.707\omega_r=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2},\zeta\leq0.707
    带宽频率 ωb=ωn12ζ2+24ζ2+4ζ4\omega_b=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2+\sqrt{2-4\zeta^2+4\zeta^4}}
    截止频率 ωc=ωn1+4ζ42ζ2\omega_c=\omega_n\sqrt{\sqrt{1+4\zeta^4}-2\zeta^2}
    相角裕度 γ=arctan2ζ1+4ζ42ζ2\gamma=\arctan\frac{2\zeta}{\sqrt{\sqrt{1+4\zeta^4}-2\zeta^2}}
    超调量 σ%=eπζ1ζ2×100%\sigma\%=e^{\frac{-\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}\times100\%
    调节时间 ts=3.5ζωn(Δ=5%)ts=4.4ζωn(Δ=2%)t_s=\frac{3.5}{\zeta\omega_n}(\Delta=5\%)或t_s=\frac{4.4}{\zeta\omega_n}(\Delta=2\%)

    e.高阶系统频域指标与时域指标的关系

    名称 频域指标与时域指标的关系
    谐振峰值 Mr=1sinγM_r=\frac{1}{\lvert\sin\gamma\rvert}
    超调量 σ=0.16+0.4(Mr1),1Mr1.8\sigma=0.16+0.4(M_r-1),1\leq{M_r}\leq1.8
    调节时间 ts=K0πωc(Δ=5%)K0=2+1.5(Mr1)+2.5(Mr1)21Mr1.8t_s=\frac{K_0\pi}{\omega_c}(\Delta=5\%),K_0=2+1.5(M_r-1)+2.5(M_r-1)^2,1\leq{M_r}\leq1.8


    1. 校正方式
      控制系统校正方式分为:串联校正、反馈校正、前馈校正和复合校正。
      a.串联校正
      串联校正装置一般接在系统误差测量点之后和放大器之前,串接于系统前向通道之中。
      串联校正
      b.反馈校正
      反馈校正装置接在系统局部反馈通路之中。
      反馈校正
      c.前馈校正(顺馈校正)
      在系统主反馈回路之外采用的校正方式。
      第一种方式是前馈校正装置接在系统给定值之后及主反馈作用点之前的前向通道上,作用相当于对给定值信号进行整性或滤波后,再送入反馈系统,称为前置滤波器;
      前馈校正
      第二种方式是前馈校正装置接在系统可测扰动作用点与误差测量点之间,对扰动信号进行直接或者间接测量,并经变换后接入系统,形成一条附加的对扰动影响进行补偿的通道。
      前馈校正2
      d.复合校正
      复合校正是在反馈回路中,加入前馈控制校正通路,组成一个有机整体,分为:按扰动补偿的复合控制、按输入补偿的复合控制。
      复合校正1
      复合校正2


    1. 基本控制规律
      a.比例控制规律(P)(P)
      P控制器
      注:串联校正中,加大控制器增益KpK_p,可以提高系统的开环增益,减小系统稳态误差,从而提高系统的控制精度,但会降低系统的相对稳定性,甚至可能造成闭环系统不稳定。
      b.比例-微分控制规律(PD)
      PD控制器
      PD控制器的控制规律:m(t)=Kpe(t)+Kpτde(t)dtm(t)=K_pe(t)+K_p\tau\frac{de(t)}{dt}其中:KpτK_p为比例系数;\tau为微分时间常数
      PD控制器中的微分控制规律,能反应输入信号的变化趋势,产生有效的早期修正信号,以增加系统的阻尼程度,从而改善系统的稳定性,微分控制作用只对动态过程起作用,而对稳态过程没有影响,且对系统噪声非常敏感。
      c.积分控制规律(I)(I)
      I控制器
      Im(t)e(t)I控制器的输出信号m(t)与其输入信号e(t)的积分成正比m(t)=Ki0te(t)dtm(t)=K_i\int^t_0{e(t)}{\rm d}t其中:KiIe(t)m(t)I使使90°K_i为可调系数,由于I控制器的积分作用,当其输入e(t)消失后,输出信号m(t)有可能是一个不为零的常量。在串联校正中,采用I控制器可以提高系统的性别,有利于系统稳态性能的提高,但积分控制使系统增加了一个位于原点的开环极点,使信号产生90°的相角滞后,对系统的稳定性不利。
      d.比例-积分控制规律(PI)(PI)
      PI控制器
      注:PIPI控制器的控制规律如下m(t)=Kpe(t)+KpTi0te(t)dtm(t)=K_pe(t)+\frac{K_p}{T_i}\int^t_0{e(t)}{\rm d}t其中:KpTiK_p为可调比例系数;T_i为可调积分时间常数。
      PIs在串联校正中,PI控制器相当于在系统中增加了一个位于原点的开环极点,同时也增加了一个位于s左半平面的开环零点。位于原点的极点可以提高系统的型别,以消除或减小系统的稳态误差,改善系统的稳态性能;增加的负实零点用来减小系统的阻尼程度,缓和PIPI控制器极点对系统稳定性以及动态过程产生的不利影响。
      f.比例-积分-微分控制规律(PID)(PID)
      PID
      注:PIDPID控制器的控制规律如下m(t)=Kpe(t)+KpTi0te(t)dt+Kpτde(t)dtm(t)=K_pe(t)+\frac{K_p}{T_i}\int^t_0{e(t)}{\rm d}t+K_p\tau\frac{de(t)}{dt}使用PIDPID控制器时,应该使II部分发生在系统频率特性的低频段,以提高系统的稳定性;使DD部分发生在系统频率特性的中频段,以改善系统的动态性能。


    1. 常用校正装置以及特性
      a.无源超前校正网络
      超前校正网络
      无源超前网络的传递函数是aGc(s)=1+aTs1+Ts(a>1)aG_c(s)=\frac{1+aTs}{1+Ts}(a>1)注:超前网络最大超前角为ωm=1Ta\omega_m=\frac{1}{T\sqrt{a}}最大超前角为ϕm=arctana12a=arcsina1a+1\phi_m=\arctan\frac{a-1}{2\sqrt{a}}=\arcsin\frac{a-1}{a+1}无源超前网络实现的电路图如下:
      超前校正电路图
      b.无源滞后校正网络
      无源滞后校正
      无源滞后网络的传递函数是Gc(s)=1+bTs1+Ts(b<1)G_c(s)=\frac{1+bTs}{1+Ts}(b<1)注:滞后网络最大滞后角为ωm=1Tb\omega_m=\frac{1}{T\sqrt{b}}最大滞后角为ϕm=arcsin1b1+b\phi_m=\arcsin\frac{1-b}{1+b}无源滞后网络实现的电路图如下:
      滞后校正
      c.无源滞后-超前校正网络
      滞后超前网络
      无源滞后超前网络的传递函数是Gc(s)=(1+Tas)(1+Tbs)(1+αTa)(1+Tbαs)(α>1)G_c(s)=\frac{(1+T_as)(1+T_bs)}{(1+{\alpha}T_a)(1+\frac{T_b}{\alpha}s)}(\alpha>1)其中:1+Tas1+αTas1+Tbs1+Tbsαs\frac{1+T_as}{1+{\alpha}T_as}为网络的滞后部分;\frac{1+T_bs}{1+\frac{T_bs}{\alpha}s}为网络的超前部分。
      无源滞后网络实现的电路图如下:
      无源滞后超前网络


    1. 串联校正
      a.频率响应法校正设计
      开环频率特性的低频段表征闭环系统的稳态性能;
      开环频率特性的中频段表征闭环系统的动态性能;
      开环频率特性的高频段表征闭环系统的复杂性和噪声抑制性能。
      低频段增益充分大,以保证稳态误差要求;
      中频段对数幅频特性斜率一般为20dB/dec-20dB/dec,并占据充分宽的频带,以保证具备适当的相角裕度;
      高频段增益尽快减小,以削弱噪声影响。
      b.串联超前校正
      无源超前网络的传递函数是aGc(s)=1+aTs1+Ts(a>1)aG_c(s)=\frac{1+aTs}{1+Ts}(a>1)
      频域法设计无源超前网络的步骤如下:
      ① 根据稳态误差要求,确定开环增益KK
      ② 利用已确定的开环增益,计算待校正系统的相角裕度;
      ③ 根据截止频率ωc\omega''_c的要求,计算超前网络参数aTa和T
      注:选择最大超前角频率等于要求的系统截止频率,即ωm=ωc\omega_m=\omega''_c,以保证系统的响应速度,并充分利用网络的相角超前特性,ωm=ωc\omega_m=\omega''_c成立的条件:L(ωc)=Lc(ωm)=10lga-L'(\omega''_c)=L_c(\omega_m)=10lga由上式确定aa值,由T=1ωmaT=\frac{1}{\omega_m\sqrt{a}}确定TT值。
      ④ 验算已校正系统的相角裕度γ\gamma''。验算时aa值查看图或者由ϕm=arctana12a=arcsina1a+1\phi_m=\arctan\frac{a-1}{2\sqrt{a}}=\arcsin\frac{a-1}{a+1}求得ϕm\phi_m,由已知的ωc\omega''_c算出待校正系统在ωc\omega''_c时的相角裕度γ(ωc)\gamma(\omega''_c),最后,按下式算出γ=ϕm+γ(ωc)\gamma''=\phi_m+\gamma(\omega''_c)当验算结果γ\gamma''不满足指标要求时,需要重选ωm\omega_m值,一般使ωm\omega_m值增大,然后重复以上计算步骤。
      在下列情况采用串联超前校正是无效的:
      ① 闭环带宽要求。
      若待校正系统不稳定,为了得到规定的相角裕度,需要超前网络提供很大的相角超前量。这样超前网络的aa值必须选得很大,从而造成已校正系统带宽过大,使得通过系统的高频噪声电平很高,很可能使系统失控。
      ② 在截止频率附近相角迅速减小的待校正系统,一般不宜采用串联超前校正。
      因为随着截止频率的增大,待校正系统相角迅速减小,使已校正系统的相角裕度改善不大,很难得到足够的相角超前量。
      c.串联滞后校正
      无源滞后网络的传递函数是Gc(s)=1+bTs1+Ts(b<1)G_c(s)=\frac{1+bTs}{1+Ts}(b<1)
      频域法设计串联无源滞后网络的步骤如下:
      ① 根据稳态误差要求,确定开环增益KK
      ② 利用已确定的开环增益,画出待校正系统的开环对数频率特性,确定待校正系统的截止频率ωc\omega'_c、相角裕度γ\gamma和幅值裕度h(dB)h(dB)
      ③ 选择不同的ωc\omega''_c,计算或查出不同的γ\gamma值,在开环伯德图上绘制γ(ωc)\gamma(\omega''_c)曲线;
      ④ 根据相角裕度γ\gamma''要求,选择已校正系统的截止频率ωc\omega''_c
      ⑤ 根据下述关系式确定滞后网络参数bbTT20lgb+L(ωc)=020lgb+L'(\omega''_c)=0 1bT=0.1ωc\frac{1}{bT}=0.1\omega''_c
      ⑥ 验算已校正系统的相角裕度和幅值裕度。
      串联滞后校正和串联超前校正对比:
      ① 超前校正是利用超前网络的相角超前特性,而滞后校正则是利用滞后网络的高频幅值衰减特性;
      ② 为了满足严格的稳态性能要求,当采用无源校正网络时,超前校正要求一定的附加增益,而滞后校正一般不需要附加增益;
      ③ 对于同一系统,采用超前校正的系统带宽大于采用滞后校正的系统带宽。
      d.串联滞后-超前校正
      滞后超前校正传递函数:Gc(s)=(1+Tas)(1+Tbs)(1+αTa)(1+Tbαs)(α>1)G_c(s)=\frac{(1+T_as)(1+T_bs)}{(1+{\alpha}T_a)(1+\frac{T_b}{\alpha}s)}(\alpha>1)
      频域法设计串联滞后-超前网络的步骤如下:
      ① 根据稳态性能要求确定开环增益KK
      ② 绘制待校正系统的开环对数幅频渐近特性,求出待校正系统的截止频率ωc\omega'_c、相角裕度γ\gamma以及幅值裕度h(dB)h(dB)
      ③ 在待校正系统开环对数幅频渐近特性上,选择斜率从20dB/dec-20dB/dec变为40dB/dec-40dB/dec的交接频率作为校正网络超前部分的交接频率ωb\omega_b
      ④ 根据响应要求,选择系统的截止频率ωc\omega''_c和校正网络衰减因子1α\frac{1}{\alpha},满足一下式子:20lgα+L(ωc)+20lgTbωc=0-20lg{\alpha}+L'(\omega''_c)+20lgT_b\omega''_c=0其中:Tb=1ωbT_b=\frac{1}{\omega_b}L(ωc)+20lgTbωcL'(\omega''_c)+20lgT_b\omega''_c可由待校正系统开环对数幅频渐近特性的20dB/dec-20dB/dec延长线在ωc\omega''_c处的数值确定。
      ⑤ 根据相角裕度要求,估算校正网络滞后部分的交接频率ωa\omega_a
      ⑥ 校验已校正系统的各项性能指标。


    1. 综合训练篇
      训练例题:串联校正
      题目:设单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=Ks(s+1)G(s)=\frac{K}{s(s+1)}若要求系统在单位斜坡输入信号作用时,位置输出稳态误差ess()0.1rade_{ss}(\infty)\leq0.1rad,开环系统截止频率ωc4.4rad/s\omega''_c\geq4.4rad/s,相角裕度γ45°\gamma''\geq45°,幅值裕度hdB10dBh''dB\geq10dB,试设计串联无源超前网络。
      解:设计步骤:
      ① 根据稳态误差要求,确定开环增益KK
      ② 利用已确定的开环增益,计算待校正系统的幅值裕度、相角裕度及其对应的截止频率、穿越频率;
      ③ 根据截止频率ωc\omega''_c的要求,计算超前网络参数aTa和T。为保证系统的响应速度,并充分利用网络的相角超前特性,可选择最大超前角频率等于截止频率,即ωm=ωc\omega_m=\omega''_c。其中aaL(ωc)=Lc(ωm)=10lga-L'(\omega''_c)=L_c(\omega_m)=10lga确定,由T=1ωmaT=\frac{1}{\omega_m\sqrt{a}}确定TT值。
      ④ 确定无源超前网络和最大超前角ϕm\phi_maGc(s)=1+aTs1+TsaG_c(s)=\frac{1+aTs}{1+Ts} ϕm=arcsina1a+1\phi_m=\arcsin\frac{a-1}{a+1}
      ⑤ 验算已校正系统的幅值裕度、相角裕度、对应的截止频率、穿越频率。若验算结果不满足指标要求,需重新选择ωm(=ωc)\omega_m(=\omega''_c),然后重复以上设计步骤。
      MATLABMATLAB实现代码如下:
    K=1/0.1;                   %由稳态误差要求计算开环增益
    G0=zpk([],[0 -1],K);       %建立开环系统模型
    [h0,r0,wx0,wc0]=margin(G0) %计算校正前系统的幅值裕度、相角裕度、截止频率、穿越频率
    
    wm=4.4;                    %试取校正系统的截止频率
    L=bode(G0,wm);
    Lwc=20*log10(L);
    a=10^(-0.1*Lwc);            %确定超前校正网络参数a
    T=1/(wm*sqrt(a));           %确定超前校正网络参数T
    phi=asin((a-1)/(a+1));      %phi表示最大超前角φm
    Gc=(1/a)*tf([a*T 1],[T 1]); %确定超前网络传递函数
    Gc=a*Gc;                    %补偿无源超前网络产生的增益衰减
    
    G=Gc*G0;                    %计算已校正系统的开环传递函数
    bode(G,'r',G0,'b--');grid;  %绘制系统校正前后的伯德图
    [h,r,wx,wc]=margin(G)       %计算已校正系统的幅值裕度、相角裕度、截止频率、穿越频率
    
    %其中校正前、校正后系统的幅值裕度、相角裕度、截止频率、穿越频率如下
    h0 =
       Inf
    r0 =
       17.9642     %校正前系统的相角裕度
    wx0 =
       Inf
    wc0 =
        3.0842     %校正前系统截止频率
    h =
       Inf
    r =
       49.3369     %校正后系统的相角裕度,满足指标要求
    wx =
       Inf        
    wc =
        4.4000    %校正后系统的截止频率
    

    超前校正

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