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  • 连续型Hopfield网络结构如右图所示,它是单层反馈非线性网络,每一个节点输出均反馈至节点输入。 Hopfield网络用模拟电路实现神经元节点如下图。 图中电阻 Ri0R_{i0}Ri0​ 和电容 CiC_iCi​ 并联, 模拟生物...

    1 连续型Hopfield神经网络

    连续型Hopfield网络结构如右图所示,它是单层反馈非线性网络,每一个节点的输出均反馈至节点的输入。
    在这里插入图片描述
    Hopfield网络用模拟电路实现的神经元节点如下图。 图中电阻 Ri0R_{i0} 和电容 CiC_i 并联, 模拟生物神经元的延时特性, 电阻 Rij(j=1,2,...,n)R_{ij}(j=1, 2, ... , n) 模拟突触特征 ,偏置电流 IiI_i 相当于阈值, 运算放大器模拟神经元的非线性饱和特性。在这里插入图片描述

    设模型中放大器为理想放大器, 其输入端无电流输入, 则第 i 个放大器的输入方程为:
    CidUidt=UiRi0+j=1nWij(ViUi)+IiWij=1Rij \begin{array}{l} C_{i} \frac{d U_{i}}{d t}=-\frac{U_{i}}{R_{i0}}+\sum\limits_{j=1}^{n} W_{i j}\left(V_{i}-U_{i}\right)+I_{i} \\ W_{i j}=\frac{1}{R_{i j}} \end{array}

    连续型 HopfieId 动态神经网络模型如下图所示,取 Wij=Wji,  Wii=0W_{ij}=W_{ji},\;W_{ii}=0 (无自反馈)
    在这里插入图片描述

    1Ri=1Ri0+j=1nWij \frac{1}{R_i}=\frac{1}{R_{i0}}+\sum\limits_{j=1}^nW_{ij}

    则有:
    {CidUidt=UiRi+j=1nWijVi+IiVi=f(Ui)(1) \left\{ \begin{array}{l} C_{i} \frac{d U_{i}}{d t}=-\frac{U_{i}}{R_{i}}+\sum\limits_{j=1}^{n} W_{i j}V_{i}+I_{i} \\ V_i=f(U_i) \end{array} \right. \tag{1}

    一般设
    {U=xV=yRiCi=τIC=θ \left\{ \begin{aligned} &U=x\\ &V=y\\ &R_iC_i=\tau\\ &\frac{I}{C}=\theta \end{aligned} \right.

    {dxidt=1τxi+1CijWijyj+θiyi=f(xi) \left\{\begin{array}{l} \frac{d x_{i}}{d t}=-\frac{1}{\tau} x_{i}+\frac{1}{C_{i}} \sum\limits_{j} W_{i j} y_{j}+\theta_{i} \\ y_{i}=f\left(x_{i}\right) \end{array}\right.

    式中 f(x)为S形激励函数。一般有以下两种形式:

    1. 非对称型 Sigmoid 函数:f(x)=11+exf(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}
    2. 对称型 Sigmoid 函数:f(x)=1ex1+exf(x)=\frac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}

    2 能量函数

    能量函数的定义
    E=12i=1nj=1nWijViVji=1nViIi+i=1n1Ri0Vif1(V)dV E=-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} W_{i j} V_{i} V_{j}-\sum_{i=1}^{n} V_{i} I_{i}+\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{R_{i}} \int_{0}^{V_{i}} f^{-1}(V) d V

    i=1n1Ri0Vif1(V)dV\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{R_{i}} \int_{0}^{V_{i}} f^{-1}(V)dVViV_i 求导:积分的求导就是 f1(Vi)f^{-1}(V_i) 了,由于 Vi=f(Ui)V_i=f(U_i),所以 i=1n1Ri0Vif1(V)dVVi=Ui\frac{\partial \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{R_{i}} \int_{0}^{V_{i}} f^{-1}(V)dV}{\partial V_i}=U_i

    求取 dEdt\frac{dE}{dt}
    dEdt=iEVidVidt(2) \frac{d E}{d t}=\sum_{i} \frac{\partial E}{\partial V_{i}} \frac{d V_{i}}{d t} \tag{2}

    其中:
    EVi=12jWijVj12jWjiVjIi+1RiUi \frac{\partial E}{\partial V_{i}}=-\frac{1}{2} \sum_{j} W_{i j} V_{j}-\frac{1}{2} \sum_{j} W_{j i} V_{j}-I_{i}+\frac{1}{R_{i}} U_{i}

    由于 Wij=WjiW_{ij}=W_{ji},则有:
    EVi=jWijVjIi+1RiUi \frac{\partial E}{\partial V_i}=-\sum\limits_j W_{ij}V_j-I_i+\frac{1}{R_i}U_i

    由连续 Hopfield 运行方程 (1) 可得:
    EVi=CidUidt=Ci(dVidt)dUidVi=Ci(dVidt)ddVif1(Vi) \frac{\partial E}{\partial V_i}=-C_i\frac{dU_i}{dt}=-C_i\left(\frac{dV_i}{dt}\right)\frac{dU_i}{dV_i}=-C_i\left(\frac{dV_i}{dt}\right)\frac{d}{dV_i}f^{-1}(V_i)

    将上式代入式 (2) 可得:
    dEdt=iCi(dVidt)2f1(Vi) \frac{dE}{dt}=-\sum_iC_i\left(\frac{dV_i}{dt}\right)^2f^{-1}(V_i)

    由于 Ci>0,  f(U)C_i>0,\; f(U) 单调递增,故 f1(V)f^{-1}(V)也单调递增, 可得:
    dEdt0 \frac{dE}{dt}\le 0

    当且仅当,dVidt=0\frac{dV_i}{dt}=0 时,dEdt=0\frac{dE}{dt}=0

    结论: 网络是渐进稳定的, 随着时间的推移, 网络的状态向E减小的方向运动, 其稳定平衡状态就是E的极小点。

    没看懂看这里

    3 连续型 Hopfield 神经网络特点

    连续神经网络模型在简化生物神经元性质的同时,重点突出了以下特点:
    a. 神经元作为一个输入输出变换,其传输特性具有 sigmoid 特性。
    b. 神经元之间大量的兴奋性、抑制性连接,主要通过反馈来实现。
    C. 既代表产生动作电位的神经元又代表按渐进方式工作的神经元。

    因此, 连续神经网络模型准确地保留了生物神经网络的动态和非线形特征。

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  • 根据神经网络运行过程中信息流向,可分为前馈式和反馈式两种基本类型。前馈网络(如BP神经网络输出仅由当前输入和权矩阵决定,而与网络先前输出状态无关。 Hopfield是一种典型的反馈型神经网络。Hopfield...

    结构和工作方式

    根据神经网络运行过程中的信息流向,可分为前馈式和反馈式两种基本类型。前馈网络(如BP神经网络)的输出仅由当前输入和权矩阵决定,而与网络先前的输出状态无关。
    Hopfield是一种典型的反馈型神经网络。Hopfield网络分为离散型和连续型两种网络模型,分别记作DHNN(discrete hopfield neural network)和CHNN(continues hopfield neural network),本文重点讨论DHNN。

    特点:

    1.和MPL(Multilayer perceptron;多层感知机)不同,多层感知机的每一层承担不同的功能,比如输入层只负责输入,输出层只负责输出,DHNN网络每一层都承担相同的功能。
    2.网络中所有神经元的输入为:除自己之外的所有神经元的输出(符号X,n-1个),对输入加权求和,再减去阈值(符号T)。注:也有包含自反馈的DHNN,引入自反馈可以增加网络的信息储存容量。

    基本概念:

    1.网络的状态:DHNN网中的每个神经元有相同的功能,其输出称为状态,用Xj表示,所有神经元状态的集合就构成反馈网络的状态,如式(1)所示。
    X=[x1,x2,...,xn]T(1)X=[x_1,x_2,...,x_n]^T\qquad(1)
    注:
    1)为什么不叫‘输出’?因为如果理解成输出,此输出是在不断变化的,所以称之为‘状态’更合适。
    2)为什么用X表示,一般输出都是用Y?因为输出会反馈回来变输入,所以X与Y等价。
    2.反馈网络的输入就是网络的初始状态值,如式(2)所示。
    X(0)=[x1(0),x2(0),...,xn(0)]T(2)X(0)=[x_1(0),x_2(0),...,x_n(0)]^T\qquad(2)
    3.反馈网络在外界输入激发下,从初始状态进入动态演变过程,变化规律如式(3)所示。
    Xj=f(netj)j=1,2,...,nX_j=f(net_j) \qquad j=1,2,...,n
    Xj=sgn(netj)={1netj01netj<0j=1,2,...,n(3)X_j=sgn(net_j)= \begin{cases} \quad1 \qquad net_j\geq 0\\ -1 \qquad net_j<0\\ \end{cases} j=1,2,...,n\qquad (3)
    注:可以规定在0处状态保持为上一时刻的状态。
    式中净输入为:
    netj=i=1n(wijxi)Tjj=1,2,...,n(4)net_j=\sum_{i=1}^{n} {(w_{ij}x_i)-T_j} \quad j=1,2,...,n\qquad (4)
    对于DHNN网络,一般有wii=0,wij=wjiw_{ii}=0,w_{ij}=w_{ji},即权值矩阵W是主对角线是0的对称矩阵,也意味着没有自反馈,网络中n个神经元中,任意两个神经元的影响是对等的。
    4.反馈网络稳定时,每个神经元的状态都不再改变,注意 反馈还存在,只是状态不再改变。此时稳定状态就是网络的输出,如式(5)所示:
    limtX(t)(5) \lim_{t\to \infty} X(t)\qquad(5)

    5.网络的工作方式
    1)网络的异步工作方式(串行):
    网络运行时每次只有一个神经元j进行状态的调整,其他神经元的状态均保持不变,如式(6)所示:
    xj(t+1)={sgn[netj(t)]j=ixj(t)ji(6)x_j(t+1)= \begin{cases} sgn[net_j(t)]\quad j=i \\ x_j(t)\qquad j\neq i \\ \end{cases}\quad (6)
    注:需要n次才能全部更新一次,并且需要注意各个神经元更新顺序。
    2)网络的同步工作方式(并行):
    网络的同步工作方式是一种并行方式,所有神经元同时调整状态,如式(7)所示:
    xj(t+1)=sgn[netj(t)]j=1,2,...,n(7) x_j(t+1)=sgn[net_j(t)] j=1,2,...,n \quad(7)

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  • 卷积神经网络是一类特殊人工神经网络,区别于神经网络其他模型(如递归神经网络、Boltzmann机等),它最主要的特点是卷积运算操作(convolution operators)。因此,CNN 在诸多领域应用特别是图像相关任务上表现优异...

    应用领域

    卷积神经网络是一类特殊的人工神经网络,区别于神经网络其他模型(如递归神经网络、Boltzmann机等),它最主要的特点是卷积运算操作(convolution operators)。因此,CNN 在诸多领域的应用特别是图像相关任务上表现优异,例如图像分类、图像语义分割、图像检索、物体检测等计算机视觉的问题,而我自己研究方向也是SAR图像识别与分类,所以跟这个类似。

    基本结构

    总体来说,卷积神经网络,是一种层次模型,其输入是原始数据,如RGB图像、原始音频数据等。卷积神经网络通过卷积操作、汇合操作和非线性激活函数映射等一系列的操作层层堆叠,将高层语义信息由原始数据输入层中抽取出来,逐层抽象,这一过程便是前馈运算。其中,不同类型操作在卷积神经网络中一般被称作“层”:卷积层操作对应“卷积层”,汇合操作对应“汇合层”,等等。最终,卷积神经网络的最后一层将目标任务(分类、回归等)形式化为目标函数。通过计算预测值与真实值之间的误差或损失,凭借反向传播算法将误差层向前反馈,更新每一层参数,并在更新参数后再次前馈,如此往复,直到网络模型收敛,从而达到模型训练的目的。
    更通俗地讲,卷积神经网络操作犹如搭积木的过程,将卷积等操作层作为“基本单元”依次“搭”在原始数据上,逐层堆砌,以损失函数的计算作为过程结束,其中每层的数据形式是一个三维张量。

    前馈运算

    前馈运算的预测过程就是一次网络的前馈运算:将测试集图像作为网络输入送进网络,之后经过第一层操作得一个数值,如此下去,直到得到结果。

    反馈运算

    在神经网络求解时,特别是针对大规模应用问题(如ILSVRC分类或检测任务),常采用批处理的随机梯度下降法(mini-batch SGD)。批处理的随机梯度下降法在训练模型阶段随机选取n个样本作为一批样本,先通过前馈运算做出预测并计算其误差,后通过梯度下降法更新参数,梯度从后往前逐层反馈,直至更新到网络的第一层参数,这样的一个参数更新过程称为“批处理过程(mini-batch)”。不同批处理之间按照无放回抽样遍历所有训练集样本,遍历一次训练样本称为“一轮(epoch)”.其中,批处理样本的大小不宜设置得过小。过小时,由于样本采样随机,那么急于该样本的误差更新模型参数不一定在全局上最优(此时仅为局部最优更新),这会使得训练过程产生振荡。而批处理大小上的上限主要受到硬件资源的限制,如GPU显存大小。一般而言,批处理大小的设为32、64、128或256即可。当然在随机梯度下降更新参数时还有不同的参数更新策略。

    总结用户

    在实际应用中,用户只需要把精力放在模型构建和前向代码的书写上,不用担心复杂的梯度求导过程。
    神经网络模型通过前馈运算对样本进行推理和预测,通过反向运算将预测误差反向传播并逐层更新参数,如此两种运算依次交替迭代,完成模型的训练过程。
    :文章选自《解析深度学习—卷积神经网络原理与视觉实践》魏秀参著

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