精华内容
下载资源
问答
  • 偏导数存在并不一定表明函数的连续性
    2021-01-14 15:31:41

    《数学分析,欧阳光中版》第 159页说:

    由一元函数可导必定连续的结论可知,若 $f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 关于 $x$(或 $y$)可导,则 $f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 关于 $x$(或 $y$)连续.不过要注意,此时并不能推出 $f(x,y)$ 关于两个变量是连续的.

    在此,我要用一个失败的证明为此话做注解,以证明如上方框里的话很可能是对的(当然,书上的反例直接表明了方框里的话是对的,但是我愿意从“无法证明”的角度来看这个问题).我们要想证明 $f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 连续,就要证明

    $$\lim_{\Delta x\to 0,\Delta y\to 0}f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)=0.$$

    也就是证明

    $$\lim_{\Delta x\to 0,\Delta y\to 0}[f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y+\Delta y)]+[f(x,y+\Delta y)-f(x,y)]=0.$$

    然而没有证据支持这一点.因为条件里并没有说函数在除去 $(x,y)$ 之外的点是关于 $x$ 或 $y$ 连续.

    更多相关内容
  • 多元函数可微则偏导数一定存在,可微偏导数存在要求强而偏导数连续可以退出可微,但反推不行。若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在,且均在这点连续,则该函数在这点可微。必要条件:若函数在某点可微,...

    展开全部

    函数可微则这个函数一定32313133353236313431303231363533e58685e5aeb931333433643066连续,但连续不一定可微.多元函数可微则偏导数一定存在,可微比偏导数存在要求强而偏导数连续可以退出可微,但反推不行。

    若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在,且均在这点连续,则该函数在这点可微。必要条件:若函数在某点可微,则函数在该点必连续,该函数在该点对x和y的偏导数必存在。

    设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义,对这个邻域中的点P(x,y)=(x0+△x,y0+△y),若函数f在P0点处的增量△z可表示为:

    △z=f(x0+△x,y+△y)-f(x0,y0)=A△x+B△y+o(ρ),其中A,B是仅与P0有关的常数,ρ=〔(△x)^2+(△y)^2〕^0.5.o(ρ)是较ρ高阶无穷小量,即当ρ趋于零是o(ρ)/ρ趋于零.则称f在P0点可微。

    可微的充要条件是曲面z=f(x,y)在点P(x0,y0,f(x0,y0))存在不平行于z轴的切平面Π的充要条件是函数f在点P0(x0,y0)可微,这个切面的方程应为Z-z=A(X-x0)+B(Y-y0)。

    扩展资料:

    可微函数的图像在定义域内的每一点上必存在非垂直切线。因此,可微函数的图像是相对光滑的,没有间断点、尖点或任何有垂直切线的点。

    一般来说,若X是函数ƒ定义域上的一点,且ƒ′(X)有定义,则称ƒ在X点可微。这就是说ƒ的图像在(X,ƒ(X))点有非垂直切线,且该点不是间断点、尖点。

    实践中运用的函数大多在所有点可微,或几乎处处可微。但斯特凡·巴拿赫声称可微函数在所有函数构成的集合中却是少数。这表示可微函数在连续函数中不具代表性。

    展开全文
  • 人球动脉__________,出球动脉____________,因而使血管球内的压力____________。 授权就是把权力和责任统统交给下属。 “地缘政治学”概念是()提出,并使之理论化、系统化的 设有2条路由21.1.193.0/24和21.1....

    治疗瘀血阻滞,血瘀有寒最宜用

    成就最高的志怪小说是

    同一化学反应,当条件变更时,活化能减小,反应速率也随之减小。

    His writings were regarded as ridiculous for a long time before he was famous.

    丝氨酸的合成前体是?( )

    下列选项中,定义无序列表的基本语法格式正确的是【】A、列表项1列表项2......B、列表项1列表项2......C、......D、………………

    6-6-6 氨纶是以( )和( )为原料的一种嵌段共聚物。

    个人主义()

    浅谈人与环境的关系

    创业项目的基本特征包括( )

    浅谈人与环境的关系

    设有2条路由21.1.193.0/24和21.1.194.0/24,如果进行路由汇聚,覆盖这2条路由的地址是( )

    《韩熙载夜宴图》采用了什么样的处理手法?( ) A.空间时间蒙太奇手法 B.写实处理手法 C.写意处理手法 D.人物合影式构图方法

    通信子网提供端到端的可靠传输服务。( )

    6 save ____

    宁夏灵武市水洞沟旧石器时代晚期人类活动的遗址和遗物表明,早在( )就有人类在这里繁衍生息( )。

    公路与公路平面交叉,交叉点一般应设在( )。

    在设置首页不同的情况下,将文档从第5页分成第二节,首页不添加页码,在第2节的页码是续前节的情况下,那么第5页页码应该是多少?

    14.人球微动脉__________,出球微动脉____________,因而使血管球内的压力____________。

    授权就是把权力和责任统统交给下属。

    “地缘政治学”概念是()提出,并使之理论化、系统化的

    设有2条路由21.1.193.0/24和21.1.194.0/24,如果进行路由汇聚,覆盖这2条路由的地址是( )

    少量血胸是指胸腔积血量多少?

    治疗瘀血阻滞,血瘀有寒最宜用

    8. 税务机关对逾期未缴纳税款的纳税人按日加收滞纳税款万分之五的滞纳金。()

    甲基红指示剂的变色范围( )

    授权就是把权力和责任统统交给下属。

    单相桥式整流电路中,整流电压平均值U0等于( )

    某白酒厂2015年春节前,将新研制的粮食白酒1吨作为过节福利发放给员工饮用,该粮食白酒无同类产品市场销售价格。已知该批粮食白酒生产成本20000元,成本利润率为5%,白酒消费税比例税率为20%;定额税率为0.5元/斤。计算该批粮食白酒应纳消费税税额.

    智慧职教: 恶性肿瘤向邻近器官侵犯的主要方式为

    保证白皮酥酥层分布均匀,方便擀制的秘诀是?

    《苕之华》的哀痛是对生命存在本身的怀疑,而不是对生命惋惜对生命之美好的向往。

    一般情况下,全面清查是定期清查,局部清查是不定期清查。()

    35.妊娠满28周不满37周终止者成为

    单相桥式整流电路中,整流电压平均值U0等于( )

    展开全文
  • 一、连续,偏导数不一定存在 ...二、偏导数存在,不一定连续 这个性质跟一元函数有很大差异。对于二元函数,偏导数存在是很弱的条件,甚至连极限都有可能不存在。 例子:f(x,y)={xyx2+y2,x2+y2≠00,x2+y2=0f

    一、连续,偏导数不一定存在

    这个很容易理解,跟一元函数一样。
    例如 f ( x , y ) = ∣ x ∣ f(x,y)=|x| f(x,y)=x,在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)连续,但 f x ( 0 , 0 ) = d ∣ x ∣ d x f_x(0,0)=\frac{\text{d}|x|}{\text{d}x} fx(0,0)=dxdx不存在。
    再例如, f ( x , y ) = x 2 + y 2 f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} f(x,y)=x2+y2 ,其在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)点显然连续,但 f x ( 0 , 0 ) = lim ⁡ x → 0 ∣ x ∣ x f_x(0,0)=\lim_{x\to0}\frac{|x|}{x} fx(0,0)=x0limxx不存在, f y ( 0 , 0 ) f_y(0,0) fy(0,0)同理也不存在。
    用Geogebra画图可以看出这个函数的图像是锥形,在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)点是尖的:
    在这里插入图片描述

    二、偏导数存在,不一定连续

    这个性质跟一元函数有很大差异。对于二元函数,偏导数存在是很弱的条件,甚至连极限都有可能不存在。
    例子: f ( x , y ) = { x y x 2 + y 2 , x 2 + y 2 ≠ 0 0 , x 2 + y 2 = 0 f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^2+y^2},&x^2+y^2\ne0\\0,&x^2+y^2=0\end{cases} f(x,y)={x2+y2xy,0,x2+y2=0x2+y2=0它在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)点的两个偏导数都存在: f x ( 0 , 0 ) = f y ( 0 , 0 ) = 0 f_x(0,0)=f_y(0,0)=0 fx(0,0)=fy(0,0)=0但是它在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)点的极限不存在,以 y = k x y=kx y=kx的路径逼近 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0) lim ⁡ x → 0 , y = k x x y x 2 + y 2 = k 1 + k 2 \lim_{x\to0,y=kx}\frac{xy}{x^2+y^2}=\frac{k}{1+k^2} x0,y=kxlimx2+y2xy=1+k2k随着 k k k的变化而变化,所以 lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) f ( x , y ) \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) (x,y)(0,0)limf(x,y)不存在。
    画图看出这个函数在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)点呈现一个很奇怪的样子:
    在这里插入图片描述

    三、可微,一定连续、偏导数存在

    定理1(可微的必要条件) 设函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处可微,则
    (1) f f f ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处连续;
    (2) f f f ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处的两个偏导数都存在,且有 d f ( x 0 , y 0 ) = f x ( x 0 , y 0 ) d x + f y ( x 0 , y 0 ) d y \text{d}f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)\text{d}x+f_y(x_0,y_0)\text{d}y df(x0,y0)=fx(x0,y0)dx+fy(x0,y0)dy
    证明
    (1) 当 f f f ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处可微时,存在常数 a 1 , a 2 a_1,a_2 a1,a2使得 Δ z = a 1 Δ x + a 2 Δ y + o ( ρ ) \Delta z=a_1\Delta x+a_2\Delta y+o(\rho) Δz=a1Δx+a2Δy+o(ρ),其中 ρ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 \rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} ρ=(Δx)2+(Δy)2 。令 ρ → 0 \rho\to0 ρ0,即 Δ x → 0 \Delta x\to0 Δx0 Δ y → 0 \Delta y\to0 Δy0,得 lim ⁡ ρ → 0 Δ z = 0 \lim_{\rho\to0}\Delta z=0 ρ0limΔz=0 lim ⁡ Δ x → 0 , Δ y → 0 f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) = lim ⁡ Δ x → 0 , Δ y → 0 [ f ( x 0 , y 0 ) + Δ z ] = f ( x 0 , y 0 ) \lim_{\Delta x\to0,\Delta y\to0}f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)=\lim_{\Delta x\to0,\Delta y\to0}[f(x_0,y_0)+\Delta z]=f(x_0,y_0) Δx0,Δy0limf(x0+Δx,y0+Δy)=Δx0,Δy0lim[f(x0,y0)+Δz]=f(x0,y0)因此 f f f ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处连续。
    (2) 由可微的定义, f f f满足 f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) = a 1 Δ x + a 2 Δ y + o ( ρ ) f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=a_1\Delta x+a_2\Delta y+o(\rho) f(x0+Δx,y0+Δy)f(x0,y0)=a1Δx+a2Δy+o(ρ) Δ y = 0 \Delta y=0 Δy=0,则有 ρ = ∣ Δ x ∣ \rho=|\Delta x| ρ=Δx,上式变为 f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) = a 1 + o ( ∣ Δ x ∣ ) f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)=a_1+o(|\Delta x|) f(x0+Δx,y0)f(x0,y0)=a1+o(Δx)两边除以 Δ x \Delta x Δx并取极限得 lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 [ a 1 + o ( ∣ Δ x ∣ ) Δ x ] = a 1 \lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\left[a_1+\frac{o(|\Delta x|)}{\Delta x}\right]=a_1 Δx0limΔxf(x0+Δx,y0)f(x0,y0)=Δx0lim[a1+Δxo(Δx)]=a1 f x ( x 0 , y 0 ) = a 1 f_x(x_0,y_0)=a_1 fx(x0,y0)=a1
    同理,取 Δ x = 0 \Delta x=0 Δx=0 f y ( x 0 , y 0 ) = a 2 f_y(x_0,y_0)=a_2 fy(x0,y0)=a2。∎

    从这里我们可以看出,可微是很强得条件,远比偏导数存在要强。

    然而,这个条件仅仅是必要条件。我们举一个例子 f ( x , y ) = { x y x 2 + y 2 , x 2 + y 2 ≠ 0 0 , x 2 + y 2 = 0 f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}},&x^2+y^2\ne0\\0,&x^2+y^2=0\end{cases} f(x,y)={x2+y2 xy,0,x2+y2=0x2+y2=0它在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)点连续,因为 lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) ∣ f ( x , y ) − f ( 0 , 0 ) ∣ = lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) ∣ f ( x , y ) ∣ ≤ lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 + y 2 2 x 2 + y 2 = 0 \lim_{(x,y)\to(0,0)}|f(x,y)-f(0,0)|=\lim_{(x,y)\to(0,0)}|f(x,y)|\le\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2+y^2}{2\sqrt{x^2+y^2}}=0 (x,y)(0,0)limf(x,y)f(0,0)=(x,y)(0,0)limf(x,y)(x,y)(0,0)lim2x2+y2 x2+y2=0两个偏导数也存在: f x ( 0 , 0 ) = f y ( 0 , 0 ) = 0 f_x(0,0)=f_y(0,0)=0 fx(0,0)=fy(0,0)=0但不可微。因为如果可微,那么 Δ f − f x ( 0 , 0 ) Δ x − f y ( 0 , 0 ) Δ y = o ( ρ ) \Delta f-f_x(0,0)\Delta x-f_y(0,0)\Delta y=o(\rho) Δffx(0,0)Δxfy(0,0)Δy=o(ρ)。然而 lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) Δ f ρ = lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x y x 2 + y 2 \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\Delta f}{\rho}=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2} (x,y)(0,0)limρΔf=(x,y)(0,0)limx2+y2xy不存在。也就是说,满足定理1的条件不一定可微。
    其函数图像如下:
    在这里插入图片描述

    四、偏导数连续,一定可微

    定理2(可微的充分条件) 设函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)得的某个邻域内有定义,若 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)的两个偏导数均在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处连续,则该函数在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处可微。
    证明 Δ z = f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) = [ f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 + Δ y ) ] + [ f ( x 0 , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) ] \begin{aligned}\Delta z&=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)\\&=[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0+\Delta y)]+[f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)]\end{aligned} Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)f(x0,y0)=[f(x0+Δx,y0+Δy)f(x0,y0+Δy)]+[f(x0,y0+Δy)f(x0,y0)]右边的每一项都是一元函数的改变量,故可以采用拉格朗日中值定理( f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( ξ ) ( b − a ) f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a) f(b)f(a)=f(ξ)(ba)),即存在 θ 1 , θ 2 ∈ ( 0 , 1 ) \theta_1,\theta_2\in(0,1) θ1,θ2(0,1)使得 Δ z = f x ( x 0 + θ 1 Δ x , y 0 + Δ y ) Δ x + f y ( x 0 , y 0 + θ 2 Δ y ) Δ y \Delta z=f_x(x_0+\theta_1\Delta x,y_0+\Delta y)\Delta x+f_y(x_0,y_0+\theta_2\Delta y)\Delta y Δz=fx(x0+θ1Δx,y0+Δy)Δx+fy(x0,y0+θ2Δy)Δy由于 f x ( x , y ) f_x(x,y) fx(x,y) ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)连续,取极限 ρ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 → 0 \rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\to0 ρ=(Δx)2+(Δy)2 0 lim ⁡ ρ → 0 f x ( x 0 + θ 1 Δ x , y 0 + Δ y ) = f x ( x 0 , y 0 ) \lim_{\rho\to0}f_x(x_0+\theta_1\Delta x,y_0+\Delta y)=f_x(x_0,y_0) ρ0limfx(x0+θ1Δx,y0+Δy)=fx(x0,y0)因此有 f x ( x 0 + θ 1 Δ x , y 0 + Δ y ) = f x ( x 0 , y 0 ) + α 1 ( ρ ) f_x(x_0+\theta_1\Delta x,y_0+\Delta y)=f_x(x_0,y_0)+\alpha_1(\rho) fx(x0+θ1Δx,y0+Δy)=fx(x0,y0)+α1(ρ)同理有 f y ( x 0 , y 0 + θ 2 Δ y ) = f ( x 0 , y 0 ) + α 2 ( ρ ) f_y(x_0,y_0+\theta_2\Delta y)=f(x_0,y_0)+\alpha_2(\rho) fy(x0,y0+θ2Δy)=f(x0,y0)+α2(ρ)其中 α 1 , 2 ( ρ ) \alpha_{1,2}( \rho) α1,2(ρ) ρ \rho ρ的高阶无穷小。整理得 Δ z = f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) = [ f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 + Δ y ) ] + [ f ( x 0 , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) ] = [ f x ( x 0 , y 0 ) + α 1 ( ρ ) ] Δ x + [ f ( x 0 , y 0 ) + α 2 ( ρ ) ] Δ y = f x ( x 0 , y 0 ) Δ x + f y ( x 0 , y 0 ) Δ y + α 1 ( ρ ) Δ x + α 2 ( ρ ) Δ y \begin{aligned}\Delta z&=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)\\&=[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0+\Delta y)]+[f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)]\\&=[f_x(x_0,y_0)+\alpha_1(\rho)]\Delta x+[f(x_0,y_0)+\alpha_2(\rho)]\Delta y\\&=f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y+\alpha_1(\rho)\Delta x+\alpha_2(\rho)\Delta y\end{aligned} Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)f(x0,y0)=[f(x0+Δx,y0+Δy)f(x0,y0+Δy)]+[f(x0,y0+Δy)f(x0,y0)]=[fx(x0,y0)+α1(ρ)]Δx+[f(x0,y0)+α2(ρ)]Δy=fx(x0,y0)Δx+fy(x0,y0)Δy+α1(ρ)Δx+α2(ρ)Δy只需证明后面两项是 ρ \rho ρ的高阶无穷小。而 Δ x ≤ ρ \Delta x\le\rho Δxρ Δ y ≤ ρ \Delta y\le\rho Δyρ,所以 ∣ α 1 ( ρ ) Δ x + α 2 ( ρ ) Δ y ∣ ≤ ∣ α 1 ( ρ ) + α 2 ( ρ ) ∣ ρ |\alpha_1(\rho)\Delta x+\alpha_2(\rho)\Delta y|\le|\alpha_1(\rho)+\alpha_2(\rho)|\rho α1(ρ)Δx+α2(ρ)Δyα1(ρ)+α2(ρ)ρ lim ⁡ ρ → 0 ∣ α 1 ( ρ ) Δ x + α 2 ( ρ ) Δ y ρ ∣ = lim ⁡ ρ → 0 α 1 ( ρ ) + α 2 ( ρ ) = o ( ρ ) \lim_{\rho\to0}\left|\frac{\alpha_1(\rho)\Delta x+\alpha_2(\rho)\Delta y}{\rho}\right|=\lim_{\rho\to0}\alpha_1(\rho)+\alpha_2(\rho)=o(\rho) ρ0limρα1(ρ)Δx+α2(ρ)Δy=ρ0limα1(ρ)+α2(ρ)=o(ρ)于是 α 1 ( ρ ) Δ x + α 2 ( ρ ) Δ y \alpha_1(\rho)\Delta x+\alpha_2(\rho)\Delta y α1(ρ)Δx+α2(ρ)Δy ρ \rho ρ的高阶无穷小。因此有 Δ z = f x ( x 0 , y 0 ) Δ x + f y ( x 0 , y 0 ) Δ y + o ( ρ ) \Delta z=f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y+o(\rho) Δz=fx(x0,y0)Δx+fy(x0,y0)Δy+o(ρ) f f f ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处可微。∎

    注意:这只是充分条件。有些函数,例如 f ( x , y ) = { ( x 2 + y 2 ) sin ⁡ 1 x 2 + y 2 , x 2 + y 2 ≠ 0 0 , x 2 + y 2 = 0 f(x,y)=\begin{cases}(x^2+y^2)\sin{\frac{1}{x^2+y^2}},&x^2+y^2\ne0\\0,&x^2+y^2=0\end{cases} f(x,y)={(x2+y2)sinx2+y21,0,x2+y2=0x2+y2=0它在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)处可微,但 f x ( x , y ) f_x(x,y) fx(x,y) f y ( x , y ) f_y(x,y) fy(x,y) ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)处间断。

    另外, f x ( x , y ) , f y ( x , y ) f_x(x,y),f_y(x,y) fx(x,y),fy(x,y)二元函数,它们连续是指满足二元函数连续的条件,而不仅仅是在 x x x方向或在 y y y方向上连续。

    五、偏导数连续,函数一定连续

    这是定理1和定理2结合起来后一个很显然的推论。

    六、可微,则沿任一方向的方向导数存在

    定理3 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)可微,则函数 f f f在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)沿任意 l \bm l l方向的方向导数均存在,且 ∂ f ∂ l ∣ x 0 , y 0 = f x ( x 0 , y 0 ) cos ⁡ α + f y ( x 0 , y 0 ) cos ⁡ β \left.\frac{\partial f}{\partial\bm l}\right|_{x_0,y_0}=f_x(x_0,y_0)\cos\alpha+f_y(x_0,y_0)\cos\beta lfx0,y0=fx(x0,y0)cosα+fy(x0,y0)cosβ其中 l \bm l l方向上的单位向量是 e l = ( cos ⁡ α , cos ⁡ β ) \bm e_l=(\cos\alpha,\cos\beta) el=(cosα,cosβ)
    证明:由定理1,当 ( x , y ) → ( 0 , 0 ) (x,y)\to(0,0) (x,y)(0,0)时,有 f ( x , y ) − f ( x 0 , y 0 ) = f x ( x 0 , y 0 ) Δ x + f y ( x 0 , y 0 ) Δ y + o ( ρ ) f(x,y)-f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y+o(\rho) f(x,y)f(x0,y0)=fx(x0,y0)Δx+fy(x0,y0)Δy+o(ρ) ( x , y ) = ( x 0 , y 0 ) + t e l = ( x 0 , y 0 ) + ( t cos ⁡ α , t cos ⁡ β ) (x,y)=(x_0,y_0)+t\bm e_l=(x_0,y_0)+(t\cos\alpha,t\cos\beta) (x,y)=(x0,y0)+tel=(x0,y0)+(tcosα,tcosβ),即 Δ x = t cos ⁡ α , Δ y = t cos ⁡ β , ∣ t ∣ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 \Delta x=t\cos\alpha,\Delta y=t\cos\beta,|t|=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} Δx=tcosα,Δy=tcosβ,t=(Δx)2+(Δy)2 ,可得 f ( x 0 , y 0 ) = f x ( x 0 , y 0 ) t cos ⁡ α + f y ( x 0 , y 0 ) t cos ⁡ β + o ( ρ ) f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)t\cos\alpha+f_y(x_0,y_0)t\cos\beta+o(\rho) f(x0,y0)=fx(x0,y0)tcosα+fy(x0,y0)tcosβ+o(ρ)由方向导数的定义有 ∂ f ∂ l ∣ x 0 , y 0 = lim ⁡ t → 0 f ( x 0 + t cos ⁡ α , y 0 + t cos ⁡ β ) − f ( x 0 , y 0 ) t = lim ⁡ t → 0 f x ( x 0 , y 0 ) t cos ⁡ α + f y ( x 0 , y 0 ) t cos ⁡ β + o ( ∣ t ∣ ) t = f x ( x 0 , y 0 ) cos ⁡ α + f y ( x 0 , y 0 ) cos ⁡ β \begin{aligned}\left.\frac{\partial f}{\partial\bm l}\right|_{x_0,y_0}&=\lim_{t\to0}\frac{f(x_0+t\cos\alpha,y_0+t\cos\beta)-f(x_0,y_0)}{t}\\&=\lim_{t\to0}\frac{f_x(x_0,y_0)t\cos\alpha+f_y(x_0,y_0)t\cos\beta+o(|t|)}{t}\\&=f_x(x_0,y_0)\cos\alpha+f_y(x_0,y_0)\cos\beta\end{aligned} lfx0,y0=t0limtf(x0+tcosα,y0+tcosβ)f(x0,y0)=t0limtfx(x0,y0)tcosα+fy(x0,y0)tcosβ+o(t)=fx(x0,y0)cosα+fy(x0,y0)cosβ证毕。∎


    总结

    综合以上所有讨论,我们将各个条件之间的关系理成下面这张图:

    可以看出偏导数连续是最强的条件,可微是很强的条件,(任意方向)偏导数存在是很弱的条件。

    展开全文
  • 方向导数,可微,偏导存在的基本关

    千次阅读 2021-01-14 15:31:41
    f(x,y)在(0,0)偏导数存在说明沿x,y轴的正,负方向导数存在.那么(x,y)在任意点处偏导数存在和任意方向的方向导数存在是什么关系?那么偏导数不存在和任意方向的方向导数存在是什么关系?那么方向导数和可的关系又是...
  • 为什么偏导数连续,函数就可微

    万次阅读 多人点赞 2018-10-23 17:50:27
    如果函数 的偏导数 、 在点 连续,那么函数在该点可微。 下面来解释这个结论,并且减弱这个结论的条件。 先简单阐述下“连续”、“偏导数”、“可微”的意义,后面要用到。如果非常熟悉了,可以直接跳到最后...
  • 1、如果函数z=f(x, y) 在(x, y)...这类问题一般都是证明在某点处偏导数存在,注意这时切记不能使用求导公式,以一元函数为例,这是因为用求导公式计算出来的导函数f'(x)往往含有间断点,在间断点x0.对于z=f(x,y) 求...
  • 3 2.3 二元函数可微偏导数存在之间的关系……………………………………………… 3 2.4 二元函数可微与偏导数连续之间的关系……………………………………………… 4 二元函数连续、 偏导数、 可微的关系图……...
  • 3 2.3 二元函数可微偏导数存在之间的关系 ………………………………………………3 2.4 二元函数可微与偏导数连续之间的关系 ………………………………………………4 二元函数连续、偏导数、可微的关系 图 …………...
  • 讨论多元函数连续、偏导数存在可微之间的关系.doc
  • 连续、偏导数可微

    千次阅读 2020-10-03 06:36:56
    1 连续的含义 通俗来说,用笔作画,不提笔画出来的曲线就是连续的: ...首先要对偏导数有所了解。多变量的函数f(x,y) 可以是三维空间中的曲面 https://blog.csdn.net/ccnt_2012/article/details/83310653 ...
  • 1) 函数连续无法推出函数导,同理函数导无法推出函数连续。 2)函数可微可以推迟函数连续,也可以推出函数导,...3)偏导数连续(偏导数存在且连续)可以推出函数可微,但是函数可微无法退出偏导数连续。 ...
  • 而可时,偏导数并不一定可导,即: { 偏 导 数 可 导 ⇒ 连 续 连 续 ⇏ 偏 导 数 可 导 \begin{cases} 偏导数可导\Rightarrow连续\\ 连续\nRightarrow偏导数可导 \end{cases} {偏导数可导⇒连续连续⇏偏导数可导...
  • 多元函数中:连续在一元函数被欺负,变成了偏导连续,然后它深知可微的强大,直接认了可微做它的野爹,可微也没有辜负它的期望,不光帮它恢复成了函数连续,还帮它找到了它弟弟可偏导存在。 ...
  • 注:多元函数的偏导数在一点连续是指, 偏导数在该点的某个邻域内存在,于是偏导数在这个邻域内有定义,而且这个偏导函数在该点连续。理解这一点,才能理解后面的充分条件。
  • 二元函数的连续偏导数可微之间的关系 目 录 摘要……………………………………………………………………………………………1 关键词…………………………………………………………………………………………1 ...
  • 多元函数可微为什么推不出偏导数连续,不要用反例证明,我想从根本上知道为什么?
  • 注:多元函数的偏导数在一点连续是指, 偏导数在该点的某个邻域内存在,于是偏导数在这个邻域内有定义,而且这个偏导函数在该点连续。理解这一点,才能理解后面的充分条件。 为什么函数 在原点导...
  • 结论(一元函数范畴内) 可导与连续的关系:可导必连续,连续不一定可导;...很显然函数连续,可导,可偏导数连续的关系可以从图中看出 函数连续不一定的函数可(例子:y=|x|) 函数连续不一定函数可导 ...
  • 结论(一元函数范畴内) 可导与连续的关系:可导必连续,连续不一定可导; 可与连续的关系:可与可导...很显然函数连续,可导,可偏导数连续的关系可以从图中看出 函数连续不一定的函数可(例子:y=|x|...
  • 对于二元函数而言:导是指的是两个偏导数存在,偏导数是把某一自变量看作一个常数时的导数。偏导数的存在只能保证与坐标轴平行的方向上函数的极限值等于函数值(仅仅是坐标轴平行的方向),但是连续是指函数以任何...
  • 导数 导数(Derivative),也叫导函数值。又名商,是积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时,函数输出值的增量...于是偏导数就出现了,它将多元函数中的一个元看作变量,其余
  • 偏导数计算公式大全

    万次阅读 2021-01-17 16:25:31
    如果函数f(x)在(a,b)中每一点处都导,则称f(x)在(a,b)上可导,则建立f(x)的...导数公式大全-偏导数基本公式大全_营销/活动策划_计划/解决方案_实用文档。导数公式大全 1、原函数:y=c(c 为常数) 导数: y'=0 2、原...
  •  如果一个函数在x0处可导,那么它一定在x0处是连续函数。 函数可导定义: (1)设f(x)在x0及其附近有定义,则当a趋向于0时,若 [f(x0+a)-f(x0)]/a的极限存在, 则称f(x)在x0处可导。 (2)若对于区间(a,b)上任意一点
  • 可偏导一定连续的例子

    千次阅读 2020-10-17 10:55:31
    所以, f(x,y)f(x,y)f(x,y)存在偏导数 不连续的证明 lim⁡x→0t→kxf(x,y)=lim⁡x→0kx2x2+k2x2=k1+k2(3)\begin{aligned} \lim\limits_{\tiny\begin{array}{l}x\to0\\t\to kx \end{array}}f(x,y)&= \lim\limits_{\...
  • 龙源期刊网http://www.qikan.com.cn二元函数连续、偏导数和全微分之间的关系作者:张宇红来源:《山东工业技术》2019年第12期摘要:通过证明或反例说明二元函数连续、偏导数,全微分之间的关系。关键词:二元函数;...
  • 与连续的关系:可必连续,连续不一定可导;(例子:y=|x|) 可与连续的关系:可与可是一样的; 可积与连续的关系:可积不一定连续,连续必定可积;(允许有限个第一类间断点,即可去间断点及跳跃间断点的...
  • 62616964757a686964616fe78988e69d8331333366306464而偏导连续则是更强的条件,即偏导存在且连续可以推出多元函数连续,反之不。下面来分析,首先大家需要了解这些定义都是人定义出来的,可以反映多元函数的部分...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 6,254
精华内容 2,501
关键字:

可微偏导数一定存在

友情链接: zzwzsp01.rar