一、连续，偏导数不一定存在

这个很容易理解，跟一元函数一样。
例如$f(x,y)=|x|$，在$(0,0)$连续，但$f_x(0,0)=\frac{\text{d}|x|}{\text{d}x}$不存在。
再例如，$f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$，其在$(0,0)$点显然连续，但$$f_x(0,0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{|x|}{x}$$不存在，$f_y(0,0)$同理也不存在。
用Geogebra画图可以看出这个函数的图像是锥形，在$(0,0)$点是尖的：

二、偏导数存在，不一定连续

这个性质跟一元函数有很大差异。对于二元函数，偏导数存在是很弱的条件，甚至连极限都有可能不存在。
例子：$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{xy}{x^2+y^2},& x^2+y^2\ne 0\\ 0,& x^2+y^2=0\end{array}$$它在$(0,0)$点的两个偏导数都存在：$$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$$但是它在$(0,0)$点的极限不存在，以$y=kx$的路径逼近$(0,0)$得$$\underset{x\to 0,y=kx}{\lim }\frac{xy}{x^2+y^2}=\frac{k}{1+k^2}$$随着$k$的变化而变化，所以$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }f(x,y)$$不存在。
画图看出这个函数在$(0,0)$点呈现一个很奇怪的样子：

三、可微，一定连续、偏导数存在

定理1（可微的必要条件） 设函数$z=f(x,y)$在$(x_0,y_0)$处可微，则
(1) $f$在$(x_0,y_0)$处连续；
(2) $f$在$(x_0,y_0)$处的两个偏导数都存在，且有$\text{d}f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)\text{d}x+f_y(x_0,y_0)\text{d}y$。
证明：
(1) 当$f$在$(x_0,y_0)$处可微时，存在常数$a_1,a_2$使得$\Delta z=a_1\Delta x+a_2\Delta y+o(\rho )$，其中$\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$。令$\rho \to 0$，即$\Delta x\to 0$且$\Delta y\to 0$，得$$\underset{\rho \to 0}{\lim }\Delta z=0$$或$$\underset{\Delta x\to 0,\Delta y\to 0}{\lim }f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)=\underset{\Delta x\to 0,\Delta y\to 0}{\lim }[f(x_0,y_0)+\Delta z]=f(x_0,y_0)$$因此$f$在$(x_0,y_0)$处连续。
(2) 由可微的定义，$f$满足$$f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=a_1\Delta x+a_2\Delta y+o(\rho )$$取$\Delta y=0$，则有$\rho =|\Delta x|$，上式变为$$f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)=a_1+o(|\Delta x|)$$两边除以$\Delta x$并取极限得$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left[a_1+\frac{o(|\Delta x|)}{\Delta x}\right]=a_1$$即$f_x(x_0,y_0)=a_1$。
同理，取$\Delta x=0$得$f_y(x_0,y_0)=a_2$。∎

从这里我们可以看出，可微是很强得条件，远比偏导数存在要强。

然而，这个条件仅仅是必要条件。我们举一个例子$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}},& x^2+y^2\ne 0\\ 0,& x^2+y^2=0\end{array}$$它在$(0,0)$点连续，因为$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }|f(x,y)-f(0,0)|=\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }|f(x,y)|\le \underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{x^2+y^2}{2\sqrt{x^2+y^2}}=0$$两个偏导数也存在：$$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$$但不可微。因为如果可微，那么$\Delta f-f_x(0,0)\Delta x-f_y(0,0)\Delta y=o(\rho )$。然而$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{\Delta f}{\rho }=\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{xy}{x^2+y^2}$$不存在。也就是说，满足定理1的条件不一定可微。
其函数图像如下：

四、偏导数连续，一定可微

定理2（可微的充分条件） 设函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$得的某个邻域内有定义，若$f(x,y)$的两个偏导数均在点$(x_0,y_0)$处连续，则该函数在点$(x_0,y_0)$处可微。
证明：$$\begin{array}{rl}\Delta z& =f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)\\ & =[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0+\Delta y)]+[f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)]\end{array}$$右边的每一项都是一元函数的改变量，故可以采用拉格朗日中值定理（$f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$），即存在${\theta }_1,{\theta }_2\in (0,1)$使得$$\Delta z=f_x(x_0+{\theta }_1\Delta x,y_0+\Delta y)\Delta x+f_y(x_0,y_0+{\theta }_2\Delta y)\Delta y$$由于$f_x(x,y)$在$(x_0,y_0)$连续，取极限$\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}\to 0$得$$\underset{\rho \to 0}{\lim }{f}_x(x_0+{\theta }_1\Delta x,y_0+\Delta y)=f_x(x_0,y_0)$$因此有$$f_x(x_0+{\theta }_1\Delta x,y_0+\Delta y)=f_x(x_0,y_0)+{\alpha }_1(\rho )$$同理有$$f_y(x_0,y_0+{\theta }_2\Delta y)=f(x_0,y_0)+{\alpha }_2(\rho )$$其中${\alpha }_{1,2}(\rho )$是$\rho$的高阶无穷小。整理得$$\begin{array}{rl}\Delta z& =f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)\\ & =[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0+\Delta y)]+[f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)]\\ & =[f_x(x_0,y_0)+{\alpha }_1(\rho )]\Delta x+[f(x_0,y_0)+{\alpha }_2(\rho )]\Delta y\\ & =f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y+{\alpha }_1(\rho )\Delta x+{\alpha }_2(\rho )\Delta y\end{array}$$只需证明后面两项是$\rho$的高阶无穷小。而$\Delta x\le \rho$，$\Delta y\le \rho$，所以$|{\alpha }_1(\rho )\Delta x+{\alpha }_2(\rho )\Delta y|\le |{\alpha }_1(\rho )+{\alpha }_2(\rho )|\rho$，$$\underset{\rho \to 0}{\lim }\left|\frac{{\alpha }_1(\rho )\Delta x+{\alpha }_2(\rho )\Delta y}{\rho }\right|=\underset{\rho \to 0}{\lim }{\alpha }_1(\rho )+{\alpha }_2(\rho )=o(\rho )$$于是${\alpha }_1(\rho )\Delta x+{\alpha }_2(\rho )\Delta y$是$\rho$的高阶无穷小。因此有$$\Delta z=f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y+o(\rho )$$即$f$在$(x_0,y_0)$处可微。∎

注意：这只是充分条件。有些函数，例如$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}(x^2+y^2)\sin \frac{1}{x^2+y^2},& x^2+y^2\ne 0\\ 0,& x^2+y^2=0\end{array}$$它在$(0,0)$处可微，但$f_x(x,y)$与$f_y(x,y)$在$(0,0)$处间断。

另外，$f_x(x,y),f_y(x,y)$是二元函数，它们连续是指满足二元函数连续的条件，而不仅仅是在$x$方向或在$y$方向上连续。

五、偏导数连续，函数一定连续

这是定理1和定理2结合起来后一个很显然的推论。

六、可微，则沿任一方向的方向导数存在

定理3 若$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$可微，则函数$f$在点$(x_0,y_0)$沿任意$\mathbf{l}$方向的方向导数均存在，且$${\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}|}_{x_0,y_0}=f_x(x_0,y_0)\cos \alpha +f_y(x_0,y_0)\cos \beta$$其中$\mathbf{l}$方向上的单位向量是${\mathbf{e}}_l=(\cos \alpha ,\cos \beta )$。
证明：由定理1，当$(x,y)\to (0,0)$时，有$$f(x,y)-f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y+o(\rho )$$令$(x,y)=(x_0,y_0)+t{\mathbf{e}}_l=(x_0,y_0)+(t\cos \alpha ,t\cos \beta )$，即$\Delta x=t\cos \alpha ,\Delta y=t\cos \beta ,|t|=\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$，可得$$f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)t\cos \alpha +f_y(x_0,y_0)t\cos \beta +o(\rho )$$由方向导数的定义有$$\begin{array}{rl}{\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}|}_{x_0,y_0}& =\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\cos \beta )-f(x_0,y_0)}{t}\\ & =\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f_x(x_0,y_0)t\cos \alpha +f_y(x_0,y_0)t\cos \beta +o(|t|)}{t}\\ & =f_x(x_0,y_0)\cos \alpha +f_y(x_0,y_0)\cos \beta \end{array}$$证毕。∎

总结

综合以上所有讨论，我们将各个条件之间的关系理成下面这张图：

可以看出偏导数连续是最强的条件，可微是很强的条件，（任意方向）偏导数存在是很弱的条件。