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  • 近世代数--群同构--第一同构定理

    千次阅读 2020-10-29 16:45:30
    信息安全数学基础--群环域--群同态等价式先验知识群同态等价式f=σφ,f=\sigma\varphi,f=σφ,证明σ\sigmaσ是同构的 博主是初学信息安全数学基础(整除+同余+原根+群环域),本意是想整理一些较难理解的定理、算法...

    博主是初学近世代数(群环域),本意是想整理一些较难理解的定理、算法,加深记忆也方便日后查找;如果有错,欢迎指正。
    我整理成一个系列:近世代数,方便检索。

    先验知识

    • 正规子群normal subgroup ∀ a ∈ G , H ≤ G , \forall a\in G,H\le G, aG,HG, a H = H a , aH=Ha, aH=Ha,则称 H H H G G G的正规子群,记作 H ⊴ G H\unlhd G HG。如果 H ≠ G H\neq G H=G,那么称 H H H G G Gproper normal subgroup,记作 H ◃ G H\triangleleft G HG。通常,我们讨论的都是 H ≠ G H\neq G H=G的情况,所以下文中都直接使用 H ◃ G H\triangleleft G HG

    其中 G G G本身单位元 { e } \{e\} {e}是群 G G G的正规子群。
    H ◃ G ↔ ∀ a ∈ G , a H a − 1 ⊂ H H\triangleleft G\leftrightarrow \forall a\in G,aHa^{-1}\subset H HGaG,aHa1H
    证明:
    “ → : ” “\rightarrow: ” : H ◃ G → ∀ a ∈ G , a H = H a → ∀ a ∈ G , a H a − 1 = H ⊂ H H\triangleleft G\rightarrow \forall a\in G,aH=Ha\rightarrow \forall a\in G,aHa^{-1}=H\subset H HGaG,aH=HaaG,aHa1=HH
    “ ← : ” “\leftarrow: ” : ∀ a ∈ G , a H a − 1 ⊂ H → ∃ h 1 , h 2 ∈ H , a h 1 a − 1 = h 2 → a h 1 = h 2 a ∈ H a → a H ⊂ H a ; \forall a\in G,aHa^{-1}\subset H\rightarrow {\exists}h_1,h_2\in H,ah_1a^{-1}=h_2\rightarrow ah_1=h_2a\in Ha\rightarrow aH\subset Ha; aG,aHa1Hh1,h2H,ah1a1=h2ah1=h2aHaaHHa;同理, H a ⊂ a H ; Ha\subset aH; HaaH;故, a H = H a , H ◃ G 。 aH=Ha,H\triangleleft G。 aH=Ha,HG

    • 商群:有 H ◃ G , G H\triangleleft G,G HG,G H H H的所有不同陪集的集合,记作 G / H , G / H G/H,G/H G/HG/H关于子集的乘法构成一个群。

    证明:单位元+逆元+封闭性+结合性
    单位元 G / H = { a H ∣ H ◃ G , a ∈ G } , G/H=\{aH|H\triangleleft G,a\in G\}, G/H={aHHG,aG},已知 a H ⋅ H = H ⋅ a H = a H , aH·H=H·aH=aH, aHH=HaH=aH,所以 H H H是单位元
    逆元 a H ⋅ a − 1 H = a a − 1 H = H ; a − 1 H ⋅ a H = a − 1 a H = H , aH·a^{-1}H=aa^{-1}H=H;a^{-1}H·aH=a^{-1}aH=H, aHa1H=aa1H=H;a1HaH=a1aH=H,所以 a − 1 H a^{-1}H a1H a H aH aH的逆元
    封闭性 ∀ a H , b H ∈ G / H , a H ⋅ b H = a h 1 b h 2 ∣ h 1 , h 2 ∈ H = a b h 1 h 2 ∣ h 1 h 2 ∈ H = a b h ∣ h ∈ H = a b H , \forall aH,bH\in G/H,aH·bH=ah_1bh_2|h_1,h_2\in H=abh_1h_2|h_1h_2\in H=abh|h\in H=abH, aH,bHG/H,aHbH=ah1bh2h1,h2H=abh1h2h1h2H=abhhH=abH,因为 a , b ∈ G , → a b ∈ G , a,b\in G,\rightarrow ab\in G, a,bG,abG,所以 a b H ∈ G / H abH\in G/H abHG/H
    结合性 ( a H ⋅ b H ) ⋅ c H = a b H ⋅ c H = a b c H ; a H ⋅ ( b H ⋅ c H ) = a H ⋅ b c H = a b c H (aH·bH)·cH=abH·cH=abcH;aH·(bH·cH)=aH·bcH=abcH (aHbH)cH=abHcH=abcH;aH(bHcH)=aHbcH=abcH,所以 ( a H ⋅ b H ) ⋅ c H = a H ⋅ ( b H ⋅ c H ) (aH·bH)·cH=aH·(bH·cH) (aHbH)cH=aH(bHcH)

    • 群同态:有两个群 ( G , ⋅ ) , ( G ′ , ∗ ) (G,·),(G',*) (G,),(G,), f f f G G G G ′ G' G的一个映射,满足 f ( a ⋅ b ) = f ( a ) ∗ f ( b ) , f(a·b)=f(a)*f(b), f(ab)=f(a)f(b), f f f G G G G ′ G' G的一个同态,记作 G ∼ G ′ G\sim G' GG

    单同态:如果 f f f是单射,那么 f f f是单同态
    满同态:如果 f f f是满射,那么 f f f是满同态
    同构:如果 f f f是双射,那么 f f f是同构

    • I m ( f ) = f ( G ) = { f ( a ) ∣ a ∈ G } , I m ( f ) ≤ G , Im(f)=f(G)=\{f(a)|a\in G\},Im(f)\le G, Im(f)=f(G)={f(a)aG},Im(f)G,如果 I m ( f ) = G ′ Im(f)=G' Im(f)=G,则 f f f是满同态;
    • k e r ( f ) = { a ∣ a ∈ G , f ( a ) = e ′ } , k e r ( f ) ◃ G , ker(f)=\{a|a\in G,f(a)=e'\},ker(f)\triangleleft G, ker(f)={aaG,f(a)=e},ker(f)G,如果 k e r ( f ) = { e } , ker(f)=\{e\}, ker(f)={e}, f f f是单同态;所有kernel都是正规子群,所有正规子群都是某个映射的kernel

    证明 k e r ( f ) ◃ G : ker(f)\triangleleft G: ker(f)G:
    H = k e r ( f ) , H=ker(f), H=ker(f),则要证的就是 a H = H a , ∀ a ∈ G , aH=Ha,\forall a \in G, aH=Ha,aG, a H a − 1 ⊂ H aHa^{-1}\subset H aHa1H
    f ( a H a − 1 ) = f ( a ) ∗ f ( H ) ∗ f ( a − 1 ) = f ( a ) ∗ e ′ ∗ f ( a − 1 ) = f ( a ) ∗ f ( a − 1 ) = f ( a ⋅ a − 1 ) = f ( e ) f(aHa^{-1})\\ =f(a)*f(H)*f(a^{-1})\\ =f(a)*e'*f(a^{-1})\\=f(a)*f(a^{-1})\\=f(a·a^{-1})\\=f(e) f(aHa1)=f(a)f(H)f(a1)=f(a)ef(a1)=f(a)f(a1)=f(aa1)=f(e)
    现在要求 f ( e ) f(e) f(e)
    假设 a ∈ k e r ( f ) , a\in ker(f), aker(f),
    f ( a ⋅ e ) = f ( a ) ∗ f ( e ) f ( a ) = f ( a ) ∗ f ( e ) e ′ = e ′ ∗ f ( e ) f(a·e)=f(a)*f(e)\\ f(a)=f(a)*f(e)\\ e'=e'*f(e) f(ae)=f(a)f(e)f(a)=f(a)f(e)e=ef(e)
    对于 G ′ G' G中的单位元 e ′ e' e,任何数与单位元做运算都是该数本身,所以 f ( e ) = e ′ f(e)=e' f(e)=e
    f ( a H a − 1 ) = e ′ → a H a − 1 ⊂ k e r ( f ) = H , f(aHa^{-1})=e'\rightarrow aHa^{-1}\subset ker(f)=H, f(aHa1)=eaHa1ker(f)=H,证毕。

    • 自然同态normal homomorphism N ◃ G N\triangleleft G NG f : G → G / N f:G\rightarrow G/N f:GG/N是满同态, f ( g ) = g N f(g)=gN f(g)=gN,称自然同态。

    第一同构定理: f = σ φ , σ f=\sigma\varphi,\sigma f=σφσ为同构。

    条件1: f : G → G ′ f:G\rightarrow G' f:GG是一个满同态,
    条件2: N = k e r ( f ) , N=ker(f), N=ker(f),
    G / N ≅ G ′ 。 G/N\cong G'。 G/NG σ \sigma σ为同构, f = σ φ 。 f=\sigma\varphi。 f=σφ在这里插入图片描述
    证明:
    要证 σ \sigma σ是同构的,即证同态+单同态+满同态。因为 G / N = { g N ∣ g ∈ G } , φ : G → G / N , G/N=\{gN|g\in G\},\varphi:G\rightarrow G/N, G/N={gNgG},φ:GG/N, φ ( g ) = g N ; f : G → G ′ , \varphi(g)=gN;f:G\rightarrow G', φ(g)=gN;f:GG, f ( g ) = g ′ , g ′ ∈ G ′ ; σ : G / N → G ′ , f(g)=g',g'\in G';\sigma:G/N\rightarrow G', f(g)=g,gG;σ:G/NG, σ ( g N ) = g ′ , g ′ ∈ G ′ 。 \sigma(gN)=g',g'\in G'。 σ(gN)=g,gG所以我们定义 σ ( g N ) = f ( g ) , g ∈ G 。 \sigma(gN)=f(g),g\in G。 σ(gN)=f(g),gG

    • 同态

      • 一个映射:要证 a N = b N → σ ( a N ) = σ ( b N ) : a N = b N → a − 1 b N = N → a − 1 b ∈ N → f ( a − 1 b ) = 1 G → f ( a − 1 ) ∗ f ( b ) = 1 G → f ( a − 1 ) − 1 = f ( b ) → f ( a ) = f ( b ) → σ ( a N ) = σ ( b N ) aN=bN\rightarrow \sigma(aN)=\sigma(bN):\\aN=bN\\\rightarrow a^{-1}bN=N\\\rightarrow a^{-1}b\in N\\\rightarrow f(a^{-1}b)=1_G\\\rightarrow f(a^{-1})*f(b)=1_G\\\rightarrow f(a^{-1})^{-1}=f(b)\\\rightarrow f(a)=f(b)\\\rightarrow \sigma(aN)=\sigma(bN) aN=bNσ(aN)=σ(bN)aN=bNa1bN=Na1bNf(a1b)=1Gf(a1)f(b)=1Gf(a1)1=f(b)f(a)=f(b)σ(aN)=σ(bN)
      • 保持运算:要证 σ ( a N ⋅ b N ) = σ ( a N ) ∗ σ ( b N ) : σ ( a N ⋅ b N ) = σ ( a b N ) = f ( a b ) = f ( a ) ∗ f ( b ) = σ ( a N ) ∗ σ ( b N ) \sigma(aN·bN)=\sigma(aN)*\sigma(bN):\\\sigma(aN·bN)\\=\sigma(abN)\\=f(ab)\\=f(a)*f(b)\\=\sigma(aN)*\sigma(bN) σ(aNbN)=σ(aN)σ(bN)σ(aNbN)=σ(abN)=f(ab)=f(a)f(b)=σ(aN)σ(bN)
    • 单同态:要证单同态,即证 k e r ( σ ) = e = N ker(\sigma)={e}=N ker(σ)=e=N(因为 G / N G/N G/N的单位元为 N N N)。

    对任意 a N ∈ k e r ( σ ) , aN\in ker(\sigma), aNker(σ), σ ( a N ) = f ( a ) = e ′ , \sigma(aN)=f(a)=e', σ(aN)=f(a)=e, a ∈ k e r ( f ) = N , → a N = N , a\in ker(f)=N,\rightarrow aN=N, aker(f)=N,aN=N, k e r ( σ ) = N ker(\sigma)=N ker(σ)=N

    • 满同态:要证满同态,即证 I m ( σ ) = G ′ Im(\sigma)=G' Im(σ)=G,对 ∀ a ′ ∈ G ′ , \forall a'\in G', aG, σ ( a N ) = a ′ \sigma(aN)=a' σ(aN)=a

    对于 G ′ G' G中任意元素 a ′ a' a,由于 f f f是满同态,有 f ( a ) = a ′ f(a)=a' f(a)=a存在,所以有相应的 a N aN aN存在,即 σ ( a N ) = a ′ \sigma(aN)=a' σ(aN)=a,所以 σ \sigma σ也是满同态。

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  • 近世代数--群同构--第三同构定理

    千次阅读 2020-11-25 17:38:26
    近世代数--群同构--第三同构定理 博主是初学近世代数(群环域),本意是想整理一些较难理解的定理、算法,加深记忆也方便日后查找;如果有错,欢迎指正。 先验知识在第一同构定理。 第三同构定理:H◃G,N◃G,N⊆HH\...

    近世代数--群同构--第三同构定理

    博主是初学近世代数(群环域),本意是想整理一些较难理解的定理、算法,加深记忆也方便日后查找;如果有错,欢迎指正。
    我整理成一个系列:近世代数,方便检索。

    先验知识在第一同构定理

    第三同构定理 H ◃ G , N ◃ G , N ⊆ H H\triangleleft G,N\triangleleft G,N\subseteq H HG,NG,NH,有 G / H ≅ ( G / N ) / ( H / N ) G/H\cong (G/N)/(H/N) G/H(G/N)/(H/N)

    证明:根据第一同构定理,我们把 G / N G/N G/N看作 G G G G / H G/H G/H看作 G ′ G' G H / N H/N H/N看作 K e r ( f ) , f : G → G ′ Ker(f),f:G\rightarrow G' Ker(f),f:GG,就自然有第三同构定理成立。

    满足第一同构定理有两个条件

    • 条件1: f : G / N → G / H f:G/N\rightarrow G/H f:G/NG/H是满同态;
    • 条件2: H / N H/N H/N K e r ( f ) Ker(f) Ker(f)

    定义: f ( a N ) = a H , ∀ a ∈ G f(aN)=aH,\forall a\in G f(aN)=aH,aG

    证明条件1

    • 同态:
      • 是一个映射:要证 a N = b N → f ( a N ) = f ( b N ) , ∀ a , b ∈ G aN=bN\rightarrow f(aN)=f(bN),\forall a,b \in G aN=bNf(aN)=f(bN),a,bG
        a N = b N → a − 1 b N = N → a − 1 b ∈ N ⊆ H → a − 1 b H = H → a H = b H → f ( a N ) = f ( b N ) aN=bN\\\rightarrow a^{-1}bN=N\\\rightarrow a^{-1}b\in N\subseteq H\\\rightarrow a^{-1}bH=H\\\rightarrow aH=bH\\\rightarrow f(aN)=f(bN) aN=bNa1bN=Na1bNHa1bH=HaH=bHf(aN)=f(bN)
      • 保持运算:要证 f ( a N b N ) = f ( a N ) f ( b N ) , ∀ a , b ∈ G f(aNbN)=f(aN)f(bN),\forall a,b \in G f(aNbN)=f(aN)f(bN),a,bG
        N ◃ G , H ◃ G → b N = N b , b H = H b ∀ b ∈ G → f ( a N b N ) = f ( a ( N b ) N ) = f ( a ( b N ) N ) = f ( a b N ) = a b H = a b H H = a ( b H ) H = a ( H b ) H = ( a H ) ( b H ) = f ( a N ) f ( b N ) N\triangleleft G,H \triangleleft G\\\rightarrow bN=Nb,bH=Hb\forall b\in G\\ \rightarrow f(aNbN)\\=f(a(Nb)N)\\=f(a(bN)N)\\=f(abN)\\=abH\\=abHH\\=a(bH)H\\=a(Hb)H\\=(aH)(bH)\\=f(aN)f(bN) NG,HGbN=Nb,bH=HbbGf(aNbN)=f(a(Nb)N)=f(a(bN)N)=f(abN)=abH=abHH=a(bH)H=a(Hb)H=(aH)(bH)=f(aN)f(bN)
    • 满射:要证 ∀ a H ∈ G / H , ∃ a N \forall aH\in G/H,{\exists} aN aHG/H,aN使得 f ( a N ) = a H f(aN)=aH f(aN)=aH,易得。

    证明条件2

    • 证明 H / N H/N H/N是内核,从内核定义出发,要证 H / N = K e r ( f ) H/N=Ker(f) H/N=Ker(f)
      f : G / N → G / H , f ( a N ) = a H , K e r ( f ) = { a N : a N ∈ G / N , f ( a N ) = 1 G / H } f:G/N\rightarrow G/H,f(aN)=aH,Ker(f)=\{aN:aN\in G/N,f(aN)=1_{G/H}\} f:G/NG/H,f(aN)=aHKer(f)={aN:aNG/N,f(aN)=1G/H}
      我们知道 1 G / H = H 1_{G/H}=H 1G/H=H,那么 K e r ( f ) = { a N : a N ∈ G / N , f ( a N ) = H } = { a N : a N ∈ G / N , a H = H } = { a N : a N ∈ G / N , a ∈ H } = H / N \\Ker(f)\\=\{aN:aN\in G/N,f(aN)=H\}\\=\{aN:aN\in G/N,aH=H\}\\=\{aN:aN\in G/N,a\in H\}\\=H/N Ker(f)={aN:aNG/N,f(aN)=H}={aN:aNG/N,aH=H}={aN:aNG/N,aH}=H/N
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  • 近世代数--群同构--第二同构定理

    千次阅读 2020-11-25 15:03:13
    近世代数--群同构--第二同构定理 博主是初学近世代数(群环域),本意是想整理一些较难理解的定理、算法,加深记忆也方便日后查找;如果有错,欢迎指正。

    近世代数--群同构--第二同构定理

    博主是初学近世代数(群环域),本意是想整理一些较难理解的定理、算法,加深记忆也方便日后查找;如果有错,欢迎指正。
    我整理成一个系列:近世代数,方便检索。

    先验知识在第一同构定理

    第二同构定理: H ≤ G , N ≤ G , N ◃ G , H\le G,N\le G,N\triangleleft G, HG,NG,NG H / ( H ∩ N ) ≅ H N / N H/(H\cap N)\cong HN/N H/(HN)HN/N

    证明:根据第一同构定理,我们把 H H H看作 G G G H N / N HN/N HN/N看作 G ′ G' G H ∩ N H\cap N HN看作 K e r ( f ) , f : G → G ′ Ker(f),f:G\rightarrow G' Ker(f),f:GG,就自然有第二同构定理成立。

    满足第一同构定理有两个条件

    • 条件1: f : H → H N / N f:H\rightarrow HN/N f:HHN/N是满同态;
    • 条件2: H ∩ N H\cap N HN K e r ( f ) Ker(f) Ker(f)

    定义: f ( h ) = h N ( H → H N / N ) f(h)=hN(H\rightarrow HN/N) f(h)=hN(HHN/N),本来应该定义 f ( h ) = h n N f(h)=hnN f(h)=hnN,但是从原像看,没有 n n n可以提供;而且 h ∈ H ⊂ H N h\in H\subset HN hHHN,是符合定义的;所以这里的定义只是针对所有原像定义了到像的映射。

    证明条件1

    • 同态:

      • 是一个映射:要证 h 1 = h 2 → f ( h 1 ) = f ( h 2 ) h_1=h_2\rightarrow f(h_1)=f(h_2) h1=h2f(h1)=f(h2)
        易证: h 1 = h 2 → h 1 N = h 2 N → f ( h 1 ) = f ( h 2 ) h_1=h_2\rightarrow h_1N=h_2N\rightarrow f(h_1)=f(h_2) h1=h2h1N=h2Nf(h1)=f(h2)

      • 保持运算:要证 f ( h 1 h 2 ) = f ( h 1 ) f ( h 2 ) f(h_1h_2)=f(h_1)f(h_2) f(h1h2)=f(h1)f(h2)

        • N ◃ G , → ∀ g ∈ G , g N = N g N\triangleleft G,\rightarrow \forall g\in G,gN=Ng NG,gG,gN=Ng
          H ≤ G → ∀ h ∈ H ⊂ G , h N = N h H\le G\rightarrow \forall h\in H\subset G,hN=Nh HGhHG,hN=Nh
        • f ( h 1 h 2 ) = h 1 h 2 N = h 1 h 2 N N = h 1 ( h 2 N ) N = h 1 ( N h 2 ) N = h 1 N h 2 N = ( h 1 N ) ( h 2 N ) = f ( h 1 ) f ( h 2 ) f(h_1h_2)\\=h_1h_2N\\=h_1h_2NN\\=h_1(h_2N)N\\=h_1(Nh_2)N\\=h_1Nh_2N\\=(h_1N)(h_2N)\\=f(h_1)f(h_2) f(h1h2)=h1h2N=h1h2NN=h1(h2N)N=h1(Nh2)N=h1Nh2N=(h1N)(h2N)=f(h1)f(h2)
    • 满射:要证 ∀ h N ∈ H N / N , ∃ h \forall hN\in HN/N,{\exists} h hNHN/N,h使得 f ( h ) = h N f(h)=hN f(h)=hN,易得。

    证明条件2

    • 证明 H ∩ N H\cap N HN是内核,从内核定义出发,要证 H ∩ N = K e r ( f ) H\cap N=Ker(f) HN=Ker(f)
      f : H → H N / N , f ( h ) = h N , K e r ( f ) = { h : h ∈ H , f ( h ) = 1 H N / N } f:H\rightarrow HN/N,f(h)=hN,Ker(f)=\{h:h\in H,f(h)=1_{HN/N}\} f:HHN/N,f(h)=hNKer(f)={h:hH,f(h)=1HN/N}
      我们知道 1 H N / N = N 1_{HN/N}=N 1HN/N=N,那么 K e r ( f ) = { h : h ∈ H , f ( h ) = N } = { h : h ∈ H , h N = N } = { h : h ∈ H , h ∈ N } = H ∩ N \\Ker(f)\\=\{h:h\in H,f(h)=N\}\\=\{h:h\in H,hN=N\}\\=\{h:h\in H,h\in N\}\\= H\cap N Ker(f)={h:hH,f(h)=N}={h:hH,hN=N}={h:hH,hN}=HN
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    以下内容来自上学期我的高等代数学习...定理1(同构的万有性质)设$V_1$和$V_2$同构,$\varphi$是同构映射,则对于任意向量空间$W$,对任意$\sigma \in L(V_1,W)$,存在唯一的$\sigma' \in L(V_2,W)$,使得$\sigma = \...
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  • 基于经典代数的思想和方法,讨论了正则FI-代数的MP滤子与同构基本定理。引入正则FI-代数中MP滤子的概念,并讨论了其基本性质,给出了正则FI-代数中包含任意子集的最小MP滤子的构造方法;讨论了正则FI-代数的MP滤子和...
  • 群的同构和映射

    千次阅读 2019-04-12 15:03:25
    则称G和G‘同构,记为 称f为G到G’的同构。 单射:设f是由集合A到集合B的映射,如果所有x,y∈A,且x≠y,都有f(x)≠f(y),则称f为由A到B的单射。 满射:如果每个可能的像至少有一个变量映射其上(即像集合B中的每...
  • 子图同构定义 子图同构的映射关系 Reference 写在后面的话写在前面的话谨以此片献给 my best love, grandpa.时光匆匆流逝,我们永远无能为力,我能做的就是脚踏实地,变成你的骄傲~和你在一起的时光,是我所有的宝藏...
  • 抽象代数学习笔记(10) 群的同构

    千次阅读 2017-09-08 15:40:29
    历史上,不同的文明发明了他们自己的计数方法。比如 {一,二,三...},{one,two,three...}\{一,二,三...\},\{one,two,three...\} 等等。但是在数学上,我们认为这些计数方法本质是一样的,...于是,就有了同构的概念。 设
  • 求两两互不同构的含n个点的简单图有多少种。 简单图是关联一对顶点的无向边不多于一条的不含自环的图。 a图与b图被认为是同构的是指a图的顶点经过一定的重新标号以后,a图的顶点集和边集能完全与b图一一对应。 ...
  • 定义1 设S 是一个非空集合,如果S 上存在一个代数运 算
  • 然后我就想起了我的远古文章,想当年,我还是个对Polya定理一知半解的小蒟蒻,时过境迁,如今我已经变成了一个完全不知道Polya定理是什么东西的大蒟蒻了。 具体的可以去看那篇文章,我梳理一下这个模型。 两端点都...
  • 我们要更加深入地学习...这个定理的证明很简单。注意:既然同态了,那我证明用的映射肯定用满射。 还有一个点:代数系统也不一定是群。代数系统是一个群加上一些代数运算,这些代数运算只要求封闭(也就是之前看..
  • 由Polya定理直接得解。 同理[BZOJ1488]可以看作一个完全图的黑白染色,直接令m=2即可。 1 #include 2 #include 3 #define rep(i,l,r) for (int i=(l); i(r); i++) 4 typedef long long ll; ...
  • 题目大意 求两两互不同构的含n个点的简单图有...这个题是学习了Polya定理和群论以后的练手题,但是推了好久并没有推出来。。。。真的是太难辣。。。 首先我先说一下我错误的想法: 很容易就把这个题转化成了给\
  • BZOJ 1488 [HNOI2009]图的同构 Polya定理

    千次阅读 2015-08-27 21:01:35
    BZOJ 1488 [HNOI2009]图的同构 Polya定理

空空如也

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同构定理