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  • Wegstein法注意事项 应注意如果x1和x2两点选择不当则连线的斜率等于1与直线y=x无交点从而迭代无法进行这就是Wegstein法应当避免的陷井引入一个量C Wegstein法注意事项 令q1-C 当q0时Wegstein法退化为简单的不动点...
  • 总结一次方程组解法与推导过程。

    写在前面

    总结一下中国剩余定理,即一次同余方程组的解的存在性分析及计算,为之后的欧拉函数定理部分做铺垫。这部分内容在南宋时期由数学家秦九韶最先得出。

    P.S. 本文具体内容可查看《数学的思维方式与创新》,丘维声著。在该书的第26页下面关于一次同余方程组的其他解的求解过程部分有一点小问题,应该是 d ≡ c (  ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ m o d    m i ) d\equiv c(\!\!\!\!\mod m_i) dc(modmi),书中那样写成了 c ≡ d (  ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ m o d    m i ) c\equiv d(\!\!\!\!\mod m_i) cd(modmi),理论上讲没有问题,但是写成 d ≡ c (  ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ m o d    m i ) d\equiv c(\!\!\!\!\mod m_i) dc(modmi)更符合实际。

    问题的提出

    一个连的士兵三三数余2,五五数余4,七七数余2,问士兵有多少人。

    设士兵共有 x x x人,则可得到:

    { x ≡ 2   (  ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ m o d    3 ) , x ≡ 4   (  ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ m o d    5 ) , x ≡ 2   (  ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ m o d    7 ) , \begin{cases} x\equiv2\,(\!\!\!\!\mod3),\\ x\equiv4\,(\!\!\!\!\mod5),\\ x\equiv2\,(\!\!\!\!\mod7),\\ \end{cases} x2(mod3),x4(mod5),x2(mod7),

    上述的方程组称为一次同余方程组,下面推导其计算方法。

    一次同余方程组的计算过程

    将上述问题一般化,有:

    m 1 ,   m 2 ,   ⋯   ,   m s m_1,\,m_2,\,\cdots,\,m_s m1,m2,,ms是两两互素且均大于1的整数, b 1 ,   ⋯   ,   b s b_1,\,\cdots,\,b_s b1,,bs是任意给定的整数,考虑如下的一次同余方程组:

    { x ≡ b 1   (  ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ m o d    m 1 ) , x ≡ b 2   (  ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ m o d    m 2 ) , ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ x ≡ b s   (  ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ m o d    m s ) , \begin{cases} x\equiv b_1\,(\!\!\!\!\mod m_1),\\ x\equiv b_2\,(\!\!\!\!\mod m_2),\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ x\equiv b_s\,(\!\!\!\!\mod m_s),\\ \end{cases} xb1(modm1),xb2(modm2),xbs(modms),

    由于 m 1 ,   ⋯   ,   m s m_1,\,\cdots,\,m_s m1,,ms两两互素,应用互素的性质3的推广(可参见与素数有关的一些性质及证明(一))可以得到:

    i ∈ { 1 ,   2 ,   ⋯   ,   s } i\in\{1,\,2,\,\cdots,\,s\} i{1,2,,s},有

    ( m i ,   ∏ j ≠ i m j ) = 1 , \left(m_i,\,\prod\limits_{j\neq i}m_j\right)=1, mi,j=imj=1,

    从而,存在 u i ,   v i ∈ Z u_i,\,v_i\in\mathbb{Z} ui,viZ,使得

    u i m i + v i ∏ j ≠ i m j = 1 , ( 整数互素的充要条件 ) u_im_i+v_i\prod\limits_{j\neq i}m_j=1,\quad(\text{\color{red}整数互素的充要条件}) uimi+vij=imj=1,(整数互素的充要条件)

    于是得到

    v i ∏ j ≠ i m j = 1 − u i m i , v_i\prod\limits_{j\neq i}m_j=1-u_im_i, vij=imj=1uimi,

    所以有

    { v i ∏ j ≠ i m j ≡ 1 (  ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ m o d    m i ) , v i ∏ j ≠ i m j ≡ 0 (  ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ m o d    m k ) , ( k ≠ i ) \begin{cases} v_i\prod\limits_{j\neq i}m_j\equiv 1(\!\!\!\!\mod m_i),\\ v_i\prod\limits_{j\neq i}m_j\equiv 0 (\!\!\!\!\mod m_k),\quad(k\neq i) \end{cases} vij=imj1(modmi),vij=imj0(modmk),(k=i)

    显然,要构造余数为 b i b_i bi,只需将上式左右同乘以 b i b_i bi并求和即可,于是令

    c = b 1 v 1 ∏ j ≠ i m j + ⋯ + b i v i ∏ j ≠ i m j + ⋯ + b s v s ∏ j ≠ i m j , (1) c=b_1v_1\prod\limits_{j\neq i}m_j+\cdots+b_iv_i\prod\limits_{j\neq i}m_j+\cdots+b_sv_s\prod\limits_{j\neq i}m_j,\tag{1} c=b1v1j=imj++bivij=imj++bsvsj=imj,(1)

    则可得

    c ≡ b 1 0 + ⋯ + b i 1 + ⋯ + b s 0 ≡ b i (  ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ m o d    m i ) , ( i = 1 ,   2 ,   ⋯   ,   s ) c\equiv b_10+\cdots+b_i1+\cdots+b_s0\equiv b_i(\!\!\!\!\!\!\mod m_i),\quad(i=1,\,2,\,\cdots,\,s) cb10++bi1++bs0bi(modmi),(i=1,2,,s)

    所以,由 ( 1 ) (1) (1)式构造的 c c c是一次同余方程组的一个解。

    下面寻找这个方程组的其他解。

    d d d是方程组的另解,则显然
    d ≡ c (  ⁣ ⁣ ⁣ m o d    m i ) , ( i = 1 ,   2 ,   ⋯   ,   s ) d\equiv c(\!\!\!\mod m_i),\quad(i=1,\,2,\,\cdots,\,s) dc(modmi),(i=1,2,,s)

    m i   ∣   d − c , ( i = 1 ,   2 ,   ⋯   ,   s ) m_i\,|\,d-c,\quad(i=1,\,2,\,\cdots,\,s) midc,(i=1,2,,s)

    由于 m 1 ,   ⋯   ,   m s m_1,\,\cdots,\,m_s m1,,ms两两互素,应用互素的性质2的推广(可参见与素数有关的一些性质及证明(一))可以得到

    m 1 m 2 ⋯ m s   ∣   d − c , m_1m_2\cdots m_s\,|\,d-c, m1m2msdc,

    于是可以得到

    d ≡ c (  ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ m o d    m 1 m 2 ⋯ m s ) . d\equiv c(\!\!\!\!\!\!\mod m_1m_2\cdots m_s). dc(modm1m2ms).

    中国剩余定理

    根据上面的讨论,显然可以得到下述定理:

    m 1 ,   m 2 ,   ⋯   ,   m s m_1,\,m_2,\,\cdots,\,m_s m1,m2,,ms是两两互素且均大于1的整数, b 1 ,   ⋯   ,   b s b_1,\,\cdots,\,b_s b1,,bs是任意给定的整数,一次同余方程组

    { x ≡ b 1   (  ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ m o d    m 1 ) , x ≡ b 2   (  ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ m o d    m 2 ) , ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ x ≡ b s   (  ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ m o d    m s ) , \begin{cases} x\equiv b_1\,(\!\!\!\!\mod m_1),\\ x\equiv b_2\,(\!\!\!\!\mod m_2),\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ x\equiv b_s\,(\!\!\!\!\mod m_s),\\ \end{cases} xb1(modm1),xb2(modm2),xbs(modms),

    Z \mathbb{Z} Z中有解,其全部解是

    c + k m 1 m 2 ⋯ m s , k ∈ Z , c+km_1m_2\cdots m_s,\quad k\in \mathbb{Z}, c+km1m2ms,kZ,

    其中

    c = b 1 v 1 ∏ j ≠ i m j + ⋯ + b i v i ∏ j ≠ i m j + ⋯ + b s v s ∏ j ≠ i m j , c=b_1v_1\prod\limits_{j\neq i}m_j+\cdots+b_iv_i\prod\limits_{j\neq i}m_j+\cdots+b_sv_s\prod\limits_{j\neq i}m_j, c=b1v1j=imj++bivij=imj++bsvsj=imj,

    v i v_i vi满足

    u i m i + v i ∏ j ≠ i m j = 1 , ( i = 1 ,   2 ,   ⋯   ,   s ) . u_im_i+v_i\prod\limits_{j\neq i}m_j=1,\quad(i=1,\,2,\,\cdots,\,s). uimi+vij=imj=1,(i=1,2,,s).

    一次同余方程组的求解

    先求出 v i ( i = 1 ,   2 ,   ⋯   ,   s ) v_i(i=1,\,2,\,\cdots,\,s) vi(i=1,2,,s),对 m i m_i mi ∏ j ≠ i m j \prod\limits_{j\neq i}m_j j=imj作辗转相除法,将二者的最大公因数 1 1 1表示成二者的倍数和,此时 ∏ j ≠ i m j \prod\limits_{j\neq i}m_j j=imj的倍数为 v i v_i vi

    例题求解

    下面对上面的士兵人数问题进行求解。

    首先计算 3 3 3 5 × 7 = 35 5\times7=35 5×7=35的最大公因数,作辗转相除法得

    35 = 11 × 3 + 2 , 3 = 1 × 2 + 1 , 35=11\times3+2,\quad3=1\times2+1, 35=11×3+2,3=1×2+1,

    所以

    1 = 3 − 1 × 2 = 3 − 1 × ( 35 − 11 × 3 ) = 12 × 3 + ( − 1 ) × 35 1=3-1\times2=3-1\times(35-11\times3)=12\times3+(-1)\times35 1=31×2=31×(3511×3)=12×3+(1)×35

    得到 v 1 = − 1 v_1=-1 v1=1;

    以此类推,分别得到 v 2 = 1 ,   v 3 = 1 v_2=1,\,v_3=1 v2=1,v3=1

    所以,得到此方程组的全部解是
    d = c + m 1 m 2 m 3 k = 2 × ( − 1 ) × 35 + 4 × 1 × 21 + 2 × 1 × 15 + 3 × 5 × 7 k = 44 + 105 k , ( k ∈ Z ) \begin{aligned} d=&c+m_1m_2m_3k\\ =&2\times(-1)\times35+4\times1\times21+2\times1\times15+3\times5\times7k\\ =&44+105k,\quad(k\in\mathbb{Z}) \end{aligned} d===c+m1m2m3k2×(1)×35+4×1×21+2×1×15+3×5×7k44+105k,(kZ)

    由于一个连有一百多名士兵,所以取 k = 1 k=1 k=1,得到该连有 149 149 149名士兵。

    补充

    定理中的条件" m 1 ,   m 2 ,   ⋯   ,   m s m_1,\,m_2,\,\cdots,\,m_s m1,m2,,ms两两互素的"是必要的,整个定理的推导都是围绕互素这个条件展开,所以如果没有这个条件,方程组可能没有解。

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  • matlab的代数方程组解法,有比较多的程序可供参考。matlab的代数方程组解法,有比较多的程序可供参考。
  • 讲述了矩阵方程求解的定常迭代算法 - 经典(定常,不动点)迭代法: Jacobi/Gauss-Seidel,SOR,AOR等 - Krylov子空间迭代法: CG,MIRES,GMRES,BiCGStab等
  • 第三章 线性方程组的直接解法
  • 常微分方程组数值求解;主要内容 数值求解常微分方程组函数概述 非刚性/刚性常微分方程问题求解 隐式微分方程组求解 微分代数方程(DAE)与延迟微分方程(DDE)求解 边值问题求解 ;第一节数值求解常微分方程组函数概述;一...
  • 线性代数中关于方程的解法很重要,有些方法很简单实用。对于我们经常遇到的三元一次方程,其解法按照三元一次方程组的行列式解法可以大大简化计算
  • 线性方程组的直接方法,数值分析实验报告, 线性方程组的迭代法
  • matlab解方程方程组

    万次阅读 多人点赞 2016-06-23 17:11:03
    最近有多人问如何用matlab解方程组的问题,其实在matlab中解方程组还是很方便的,例如,对于代数方程组Ax=b(A为系数矩阵,非奇异)的求解,MATLAB中有两种方法: (1)x=inv(A)*b — 采用求逆运算解方程组;  (2)x=A...
    1、解方程、方程组
    


    x^2-4=12,求x:

    syms x;

    f=x^2-4-12;

    solve(f)


    最近有多人问如何用matlab解方程组的问题,其实在matlab中解方程组还是很方便的,例如,对于代数方程组Ax=b(A为系数矩阵,非奇异)的求解,MATLAB中有两种方法:
    (1)x=inv(A)*b — 采用求逆运算解方程组;

      (2)x=A\B — 采用左除运算解方程组

    PS:使用左除的运算效率要比求逆矩阵的效率高很多~

    例:
    x1+2x2=8
    2x1+3x2=13
    >>A=[1,2;2,3];b=[8;13];
    >>x=inv(A)*b
    x =
    2.00
    3.00
     
    >>x=A\B
    x =
    2.00
    3.00;
    即二元一次方程组的解x1和x2分别是2和3。

    对于同学问到的用matlab解多次的方程组,有符号解法,方法是:先解出符号解,然后用vpa(F,n)求出n位有效数字的数值解.具体步骤如下:
    第一步:定义变量syms x y z ...;
    第二步:求解[x,y,z,...]=solve('eqn1','eqn2',...,'eqnN','var1','var2',...'varN');
    第三步:求出n位有效数字的数值解x=vpa(x,n);y=vpa(y,n);z=vpa(z,n);...。
    如:解二(多)元二(高)次方程组:
    x^2+3*y+1=0
    y^2+4*x+1=0
    解法如下:
    >>syms x y;
    >>[x,y]=solve('x^2+3*y+1=0','y^2+4*x+1=0');
    >>x=vpa(x,4);
    >>y=vpa(y,4);
    结果是:
    x =
    1.635+3.029*i
    1.635-3.029*i
    -.283
    -2.987
    y =
    1.834-3.301*i
    1.834+3.301*i
    -.3600
    -3.307。
    二元二次方程组,共4个实数根;


    还有的同学问,如何用matlab解高次方程组(非符号方程组)?举个例子好吗?
    解答如下:
    基本方法是:solve(s1,s2,…,sn,v1,v2,…,vn),即求表达式s1,s2,…,sn组成的方程组,求解变量分别v1,v2,…,vn。
    具体例子如下:
    x^2 + x*y + y = 3
    x^2 - 4*x + 3 = 0
    解法:
    >> [x,y] = solve('x^2 + x*y + y =3','x^2 - 4*x + 3 = 0')
    运行结果为
    x =
    1 3
    y =
    1 -3/2

    即x等于1和3;y等于1和-1.5


    >>[x,y] = solve('x^2 + x*y + y =3','x^2 - 4*x + 3= 0','x','y')
    x =
    1 3
    y =
    1 -3/2
    结果一样,二元二方程都是4个实根。

    通过这三个例子可以看出,用matlab解各类方程组都是可以的,方法也有多种,只是用到解方程组的函数,注意正确书写参数就可以了,非常方便。

    citefrom:http://bbs.seu.edu.cn/pc/pccon.php?id=950&nid=14498&tid=0

    2、变参数非线性方程组的求解
    对于求解非线性方程组一般用fsolve命令就可以了,但是对于方程组中某一系数是变化的,该怎么求呢?

    %定义方程组如下,其中k为变量
    function F = myfun(x,k)
    H=0.32;
    Pc0=0.23;W=0.18;
    F=[Pc0+H*(1+1.5*(x(1)/W-1)-0.5*(x(1)/W-1)^3)-x(2);
    x(1)-k*sqrt(x(2))];

    %求解过程
    H=0.32;
    Pc0=0.23;W=0.18;
    x0 = [2*W; Pc0+2*H]; % 取初值
    options = optimset('Display','off');
    k=0:0.01:1; % 变量取值范围[0 1]
    for i=1:1:length(k)
    kk=k(i);
    x = fsolve(@(x) myfun(x,kk), x0, options);%求解非线性方程组
    x1(i)=x(1);
    x2(i)=x(2);
    end
    plot(k,x1,'-b',k,x2,'-r');
    xlabel('k')
    legend('x1','x2')

    cite from:http://forum.simwe.com/archiver/tid-836299.html

    3、非线性方程数值求解

    matlab里solve如何使用,是否有别的函数可以代替它.

    matlab里我解y=9/17*exp(-1/2*t)*17^(1/2)*sin(1/2*17^(1/2)*t)=0这样的方程为什么只得到0这一个解,如何可以的到1/2*17^(1/2)*t=n*(pi)这样一族解??




    在matlab里面solve命令主要是用来求解代数方程(即多项式)的解,但是也不是说其它方程一个也不能解,不过求解非代数方程的能力相当有限,通常只能给出很特殊的实数解。(该问题给出的方程就是典型的超越方程,非代数方程)

    从计算机的编程实现角度讲,如今的任何算法都无法准确的给出任意非代数方程的所有解,但是我们有很多成熟的算法来实现求解在某点附近的解。matlab也不例外,它也只能给出任意非代数方程在某点附近的解,函数有两个:fzero和fsolve,具体用法请用help或doc命令查询吧。如果还是不行,你还可以将问题转化为非线性最优化问题,求解非线性最优化问题的最优解,可以用的命令有:fminbnd,fminsearch, fmincon等等。




    *非线性方程数值求解

    *单变量非线性方程求解

    在MATLAB中提供了一个fzero函数,可以用来求单变量非线性方程的根。该函数的调用格式为:

    z=fzero('fname',x0,tol,trace)

    其中fname是待求根的函数文件名,x0为搜索的起点。一个函数可能有多个根,但fzero函数只给出离x0最近的那个根。tol控制结果的相对精度,缺省时取tol=eps,trace�指定迭代信息是否在运算中显示,为1时显示,为0时不显示,缺省时取trace=0。

    例 求f(x)=x-10x+2=0在x0=0.5附近的根。

    步骤如下:

    (1) 建立函数文件funx.m。

    function fx=funx(x)

    fx=x-10.^x+2;

    (2) 调用fzero函数求根。

    z=fzero('funx',0.5)

    z =

    0.3758



    **非线性方程组的求解

    对于非线性方程组F(X)=0,用fsolve函数求其数值解。fsolve函数的调用格式为:

    X=fsolve('fun',X0,option)

    其中X为返回的解,fun是用于定义需求解的非线性方程组的函数文件名,X0是求根过程的初值,option为最优化工具箱的选项设定。最优化工具箱提供了20多个选项,用户可以使用optimset命令将它们显示出来。如果想改变其中某个选项,则可以调用optimset()函数来完成。例如,Display选项决定函数调用时中间结果的显示方式,其中‘off’为不显示,‘iter’表示每步都显示,‘final’只显示最终结果。optimset(‘Display’,‘off’)将设定Display选项为‘off’。

    例 求下列非线性方程组在(0.5,0.5) 附近的数值解。

    (1) 建立函数文件myfun.m。

    function q=myfun(p)

    x=p(1);

    y=p(2);

    q(1)=x-0.6*sin(x)-0.3*cos(y);

    q(2)=y-0.6*cos(x)+0.3*sin(y);

    (2) 在给定的初值x0=0.5,y0=0.5下,调用fsolve函数求方程的根。

    x=fsolve('myfun',[0.5,0.5]',optimset('Display','off'))

    x =

    0.6354

    0.3734

    将求得的解代回原方程,可以检验结果是否正确,命令如下:

    q=myfun(x)

    q =

    1.0e-009 *

    0.2375 0.2957

    可见得到了较高精度的结果。

    citefrom:http://blog.sina.com.cn/s/blog_56ef652d0100ebew.html

    4、fsolve函数解方程

    [X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT,JACOB]=FSOLVE(FUN,X0,...) returns the
    Jacobian of FUN at X.

    Examples
    FUN can be specified using @:
    x = fsolve(@myfun,[2 3 4],optimset('Display','iter'))

    where myfun is a MATLAB function such as:

    function F = myfun(x)
    F = sin(x);

    FUN can also be an anonymous function:

    x = fsolve(@(x) sin(3*x),[1 4],optimset('Display','off'))

    If FUN is parameterized, you can use anonymous functions to capturethe
    problem-dependent parameters. Suppose you want to solve the systemof
    nonlinear equations given in the function myfun, which isparameterized
    by its second argument c. Here myfun is an M-file function suchas

    function F = myfun(x,c)
    F = [ 2*x(1) - x(2) - exp(c*x(1))
    -x(1) + 2*x(2) - exp(c*x(2))];

    To solve the system of equations for a specific value of c, firstassign the
    value to c. Then create a one-argument anonymous function thatcaptures
    that value of c and calls myfun with two arguments. Finally, passthis anonymous
    function to FSOLVE:

    c = -1; % define parameter first
    x = fsolve(@(x) myfun(x,c),[-5;-5])

    cite from:
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  • matlab 解方程组

    万次阅读 多人点赞 2019-09-23 16:52:36
    1、解方程最近有多人问如何用matlab解方程组的问题,其实在matlab中解方程组还是很方便的,例如,对于代数方程组Ax=b(A为系数矩阵,非奇异)的求解,MATLAB中有两种方法:(1)x=inv(A)*b — 采用求逆运算解方程组;...

    1、解方程

    最近有多人问如何用matlab解方程组的问题,其实在matlab中解方程组还是很方便的,例如,对于代数方程组Ax=b(A为系数矩阵,非奇异)的求解,MATLAB中有两种方法:
    (1)x=inv(A)*b — 采用求逆运算解方程组;

      (2)x=A\B — 采用左除运算解方程组

    PS:使用左除的运算效率要比求逆矩阵的效率高很多~

    例:
    x1+2x2=8
    2x1+3x2=13
    >>A=[1,2;2,3];b=[8;13];
    >>x=inv(A)*b
    x =
    2.00
    3.00
      >>x=A\B
    x =
    2.00
    3.00;
    即二元一次方程组的解x1和x2分别是2和3。

    对于同学问到的用matlab解多次的方程组,有符号解法,方法是:先解出符号解,然后用vpa(F,n)求出n位有效数字的数值解.具体步骤如下:
    第一步:定义变量syms x y z ...;
    第二步:求解[x,y,z,...]=solve('eqn1','eqn2',...,'eqnN','var1','var2',...'varN');
    第三步:求出n位有效数字的数值解x=vpa(x,n);y=vpa(y,n);z=vpa(z,n);...。
    如:解二(多)元二(高)次方程组:
    x^2+3*y+1=0
    y^2+4*x+1=0
    解法如下:
    >>syms x y;
    >>[x,y]=solve('x^2+3*y+1=0','y^2+4*x+1=0');
    >>x=vpa(x,4);
    >>y=vpa(y,4);
    结果是:
    x =
    1.635+3.029*i
    1.635-3.029*i
    -.283
    -2.987
    y =
    1.834-3.301*i
    1.834+3.301*i
    -.3600
    -3.307。
    二元二次方程组,共4个实数根;


    还有的同学问,如何用matlab解高次方程组(非符号方程组)?举个例子好吗?
    解答如下:
    基本方法是:solve(s1,s2,…,sn,v1,v2,…,vn),即求表达式s1,s2,…,sn组成的方程组,求解变量分别v1,v2,…,vn。
    具体例子如下:
    x^2 + x*y + y = 3
    x^2 - 4*x + 3 = 0
    解法:
    >> [x,y] = solve('x^2 + x*y + y = 3','x^2 - 4*x + 3 = 0')
    运行结果为
    x =
    1 3
    y =
    1 -3/2

    即x等于1和3;y等于1和-1.5


    >>[x,y] = solve('x^2 + x*y + y = 3','x^2 - 4*x + 3= 0','x','y')
    x =
    1 3
    y =
    1 -3/2
    结果一样,二元二方程都是4个实根。

    通过这三个例子可以看出,用matlab解各类方程组都是可以的,方法也有多种,只是用到解方程组的函数,注意正确书写参数就可以了,非常方便。

    cite from:http://bbs.seu.edu.cn/pc/pccon.php?id=950&nid=14498&tid=0

    2、变参数非线性方程组的求解
    对于求解非线性方程组一般用fsolve命令就可以了,但是对于方程组中某一系数是变化的,该怎么求呢?

    %定义方程组如下,其中k为变量
    function F = myfun(x,k)
    H=0.32;
    Pc0=0.23;W=0.18;
    F=[Pc0+H*(1+1.5*(x(1)/W-1)-0.5*(x(1)/W-1)^3)-x(2);
    x(1)-k*sqrt(x(2))];

    %求解过程
    H=0.32;
    Pc0=0.23;W=0.18;
    x0 = [2*W; Pc0+2*H]; % 取初值
    options = optimset('Display','off');
    k=0:0.01:1; % 变量取值范围[0 1]
    for i=1:1:length(k)
    kk=k(i);
    x = fsolve(@(x) myfun(x,kk), x0, options);%求解非线性方程组
    x1(i)=x(1);
    x2(i)=x(2);
    end
    plot(k,x1,'-b',k,x2,'-r');
    xlabel('k')
    legend('x1','x2')

    cite from:http://forum.simwe.com/archiver/tid-836299.html

    3、非线性方程数值求解

    matlab里solve如何使用,是否有别的函数可以代替它.

    matlab里我解y=9/17*exp(-1/2*t)*17^(1/2)*sin(1/2*17^(1/2)*t)=0这样的方程为什么只得到0这一个解,如何可以的到1/2*17^(1/2)*t=n*(pi)这样一族解??




    在matlab里面solve命令主要是用来求解代数方程(即多项式)的解,但是也不是说其它方程一个也不能解,不过求解非代数方程的能力相当有限,通常只能给出很特殊的实数解。(该问题给出的方程就是典型的超越方程,非代数方程)

    从计算机的编程实现角度讲,如今的任何算法都无法准确的给出任意非代数方程的所有解,但是我们有很多成熟的算法来实现求解在某点附近的解。matlab也不例外,它也只能给出任意非代数方程在某点附近的解,函数有两个:fzero和fsolve,具体用法请用help或doc命令查询吧。如果还是不行,你还可以将问题转化为非线性最优化问题,求解非线性最优化问题的最优解,可以用的命令有:fminbnd, fminsearch, fmincon等等。




    *非线性方程数值求解

    *单变量非线性方程求解

    在MATLAB中提供了一个fzero函数,可以用来求单变量非线性方程的根。该函数的调用格式为:

    z=fzero('fname',x0,tol,trace)

    其中fname是待求根的函数文件名,x0为搜索的起点。一个函数可能有多个根,但fzero函数只给出离x0最近的那个根。tol控制结果的相对精度,缺省时取tol=eps,trace�指定迭代信息是否在运算中显示,为1时显示,为0时不显示,缺省时取trace=0。

    例 求f(x)=x-10x+2=0在x0=0.5附近的根。

    步骤如下:

    (1) 建立函数文件funx.m。

    function fx=funx(x)

    fx=x-10.^x+2;

    (2) 调用fzero函数求根。

    z=fzero('funx',0.5)

    z =

    0.3758



    **非线性方程组的求解

    对于非线性方程组F(X)=0,用fsolve函数求其数值解。fsolve函数的调用格式为:

    X=fsolve('fun',X0,option)

    其中X为返回的解,fun是用于定义需求解的非线性方程组的函数文件名,X0是求根过程的初值,option为最优化工具箱的选项设定。最优化工具箱提供了20多个选项,用户可以使用optimset命令将它们显示出来。如果想改变其中某个选项,则可以调用optimset()函数来完成。例如,Display选项决定函数调用时中间结果的显示方式,其中‘off’为不显示,‘iter’表示每步都显示,‘final’只显示最终结果。 optimset(‘Display’,‘off’)将设定Display选项为‘off’。

    例 求下列非线性方程组在(0.5,0.5) 附近的数值解。

    (1) 建立函数文件myfun.m。

    function q=myfun(p)

    x=p(1);

    y=p(2);

    q(1)=x-0.6*sin(x)-0.3*cos(y);

    q(2)=y-0.6*cos(x)+0.3*sin(y);

    (2) 在给定的初值x0=0.5,y0=0.5下,调用fsolve函数求方程的根。

    x=fsolve('myfun',[0.5,0.5]',optimset('Display','off'))

    x =

    0.6354

    0.3734

    将求得的解代回原方程,可以检验结果是否正确,命令如下:

    q=myfun(x)

    q =

    1.0e-009 *

    0.2375 0.2957

    可见得到了较高精度的结果。

    cite from:http://blog.sina.com.cn/s/blog_56ef652d0100ebew.html

    4、fsolve函数解方程

    [X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT,JACOB]=FSOLVE(FUN,X0,...) returns the
    Jacobian of FUN at X.

    Examples
    FUN can be specified using @:
    x = fsolve(@myfun,[2 3 4],optimset('Display','iter'))

    where myfun is a MATLAB function such as:

    function F = myfun(x)
    F = sin(x);

    FUN can also be an anonymous function:

    x = fsolve(@(x) sin(3*x),[1 4],optimset('Display','off'))

    If FUN is parameterized, you can use anonymous functions to capture the
    problem-dependent parameters. Suppose you want to solve the system of
    nonlinear equations given in the function myfun, which is parameterized
    by its second argument c. Here myfun is an M-file function such as

    function F = myfun(x,c)
    F = [ 2*x(1) - x(2) - exp(c*x(1))
    -x(1) + 2*x(2) - exp(c*x(2))];

    To solve the system of equations for a specific value of c, first assign the
    value to c. Then create a one-argument anonymous function that captures
    that value of c and calls myfun with two arguments. Finally, pass this anonymous
    function to FSOLVE:

    c = -1; % define parameter first
    x = fsolve(@(x) myfun(x,c),[-5;-5])

    转自:http://blog.sina.com.cn/s/blog_7af11b490100t1hk.html

    转载于:https://www.cnblogs.com/bixiongquan/p/3207825.html

    展开全文
  • 线性方程组解法比较成熟,方法也有很多,而且不同的方法对应不同类型方程组,所以在方法选择上实际很讲究。商业软件通常将方法封装起来,用户包括开发人员都接触不到线性方程组求解方法。商业软件内部一般会根据...

    b2431fb338bddd047b27eb26a6e57d06.png

    前面介绍过主要的线性方程组求解库,参考附录。求解大规模线性方程组是仿真软件求解器的底层技术,求解器时间基本都消耗在方程组求解上。线性方程组的解法比较成熟,方法也有很多,而且不同的方法对应不同类型方程组,所以在方法选择上实际很讲究。

    商业软件通常将方法封装起来,用户包括开发人员都接触不到线性方程组求解方法。商业软件内部一般会根据求解规模,求解类型等选择合适的线性方程组求解方法。

    有些商业软件开放了部分接口供用户选择;开源软件比如OpenFOAM,以及使用开源软件的平台Simscale等提供了许多选项供用户选择。

    本文简单介绍下线性方程组的常用解法。通常将线性方程组表示为:

    A*x=b

    A为已知N*N的矩阵,通常称为刚度矩阵(刚度是力学中的概念,电磁,热等也习惯性这么称呼),b为已知向量,x为待求向量。解线性方程组的操作基本围绕矩阵A展开。

    首先介绍一些相关术语:

    1.矩阵条件数

    条件数是一个表征矩阵稳定特性的标志,条件数越大,说明矩阵越不稳定,即当矩阵中数据出现微小变化时,x结果变化非常大。Matlab中可直接使用命令cond(A)查看矩阵条件数。

    2.满秩矩阵

    用初等行变换将矩阵A化为阶梯形矩阵, 矩阵中非零行的个数就定义为这个矩阵的秩,记做r(A)

    即如果矩阵A为N*N,r(A)=N,则矩阵A为满秩矩阵

    在边界元,矩量法等计算方法中,最终形成的A为满秩矩阵。

    3.稀疏矩阵

    矩阵中绝大部分元素都是0

    4.对称矩阵

    矩阵的上三角和下三角关于对角线对称

    5.求解线性方程组直接法

    先求出矩阵A的逆矩阵,再乘以向量b

    6.求解线性方程组迭代法

    简单讲,就是给出一个初始解x',带入原方程中,每次评价差距逐步修正,直到最终A*x'-b 接近0为止。

    7. OOC(out of core)

    对于大型方程组,内存通常无法装下,在求解过程中需要将部分数据写到硬盘上,再次使用的时候再读回来。

    常用直接法:

    直接法的本质是要计算出A的逆矩阵,通常在求解小规模和特征值问题是可以考虑使用直接法。

    1. 高斯消去法/Doolittle /三角分解法/追赶法

    这是最基本的方法,时间复杂度和空间复杂度都是N的三次方,软件一般都不会使用。

    2. 矩阵分解相关

    2. 1.LU分解法

    LU分解就是将矩阵分解成单位下三角矩阵L和上三角矩阵U,本质上仍然属于高斯消去法

    2.2. Cholesky分解 

    Cholesky 分解是把一个对称正定的矩阵表示成一个下三角矩阵L和其转置的乘积的分解。如果矩阵是正定的,使用 Cholesky分解会比LU分解更加高效。

    2.3. LDLT分解法

    Cholesky 分解法的改进

    2.4.QR分解

    QR分解是把矩阵分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵的积。

    2.5. Schur分解

    2.6. SVD/GSVD

    奇异值分解/一般奇异值分解

    在求解大规模线性方程组中,一般不会使用直接法求解,但在使用迭代法过程中需要使用直接法中的方法加工数据。

    间接法的本质是迭代,不同方法的区别在于如何选取初始值以及迭代方法。

    1. 牛顿迭代,Jacobi(雅克比)迭代,Gauss-Seidel迭代

    线性迭代方法,一般情况下收敛太慢,大规模方程组不推荐使用。

    2. JOR -- Jacobi Over Relaxation

    Jacobi 方法加入松弛因子

    3. Lanczos方法

    适用于稀疏矩阵特征值问题

    4. 共轭梯度方法以及改进方法

    共轭梯度法 

    Conjugate gradient method--CG

    双共轭梯度法

    Bi-conjugate gradient method--BCG

    稳定双共轭梯度法

    Bi-conjugate gradient stabilized method--GCGS

    预条件共轭梯度法

    Preconditioned gradient stabilized method--PCG

    相比牛顿和Jacobi,通过优化使其共轭的求解向量和方向,加速了求解性能。

    共轭梯度法的思想就是找到N个两两共轭的方向,每次沿着一个方向优化得到该方向上的极小值,后面再沿其它方向求极小值的时候,不会影响前面已经得到的沿哪些方向上的极小值,所以理论上对n个方向都求出极小值就得到了N维问题的极小值。

    5. GMRAS广义最小残量

    (Generalized Minimal Residual Algorithm)

    非对称系统的线性方程组的数值解迭代法,该方法与最小残量的 Krylov 子空间中向量来逼近解,是求解大规模线性方程组的常用算法之一,具有收敛速度快、稳定性好等优点。

    改进的GMRAS:

    SGMRAS Simpler GMRAS

    PGMRAS Preconditioned  GMRAS

    6. 快速多级(Fast Multi pole Method)

    当矩阵为满秩矩阵时,传统计算方法资源需求和求解规模呈指数级上升,大规模的系统求解需要使用快速多级方法。本技术博客和公众号中有详细介绍。

    改进方法:多层快速多级

    7. Successive Over Relaxation(SOR)连续松弛

    连续过度松弛(SOR)方法是高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)方法的一种变体,用于求解线性方程组,从而可以更快地收敛。任何缓慢收敛的迭代过程都可以使用类似的方法。

    改进的SOR:

    Accelerated Over relaxation (AOR)过松弛

    Preconditioned AOR -- PAOR 预条件过松弛

    Quasi AOR -- QAOR准过松弛

    8. Krylov子空间迭代法

    将矩阵A分解成多个子矩阵,并用一系列线性表达式组合表示。将整个系统降维,利于并行计算,是大规模线性方程组有效的一种解法。其中涉及到了Lanczos方法和Arnoldi方法。

    按照矩阵A的特点,我们可以做如下分类:

    1. 是否是满秩矩阵;

    2. 是否是稀疏矩阵;

    3. 是否是对称矩阵;

    4. 是否是病态矩阵;

    5. 是否是正定矩阵

    6. 矩阵规模(矩阵中N的大小)

    在选择求解方法的时候,需要考虑到方程组矩阵以上特点。根据作者的经验,方程组的求解性能高度依赖矩阵特征,矩阵规模和硬件。

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同解方程组的解法