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    高等数学第七版上册 同济大学数学系 编 课后答案 习题解析


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    • 第一章 函数与极限
    • 第二章 导数与微分
    • 第三章 微分中值定理与导数的应用
    • 第四章 不定积分
    • 第五章 定积分
    • 第六章 定积分的应用
    • 第七章 微分方程
    • 考试复习重点
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    千次阅读 2019-01-08 16:48:39
    微分中值定理与导数的应用 ...P182六题 ㈡拉格朗日中值定理  f(x)在闭区间上连续,在开区间上可导,  则在该区间内至少存在一点使  f(b)-f(a)=f’(θ)(b-a)成立。(可以变形)  可以理解为:在区间内存在一...

    微分中值定理与导数的应用

    一·微分中值定理
    ㈠罗尔定理:
      内容:f(x)在闭区间上连续,在开区间上可导,且在区间端点处函数值相同。
      则f(x)在该区间内至少存在一点,该点的导数值为0。
      
      如果是考研题的话,一般需要构造辅助函数来寻找f(x)。

    P182第六题

    ㈡拉格朗日中值定理
      内容:f(x)在闭区间上连续,在开区间上可导,
      则在该区间内至少存在一点使
      f(b)-f(a)=f’(θ)(b-a)成立。(可以变形)
      可以理解为:在区间内存在一点,该点的斜率与两端点连线斜率相同。

    P182页最上面第一小题,课后第十小题

    ㈢柯西中值定理(参数方程下的拉格朗日)
      内容:f(x),F(x)在闭区间连续,开区间可导,且F’(x)≠0
      则存在
       在这里插入图片描述
    成立


    三大定理用法比较多。知道定理就好,不变应万变。


    二·洛必达法则
    ㈠两种未定式情况:零比零型(将趋近值带入,分子分母都为0),无穷比无穷型。
    在这两种情况下,分子分母可以同时求导,如得不出答案,还可以继续求导,直至得到结果

    例二,例三,例五

    ㈡做题过程中可能会遇见其他情况的未定式需进行变形:在这里插入图片描述

    碰上这几种未定式都依次进行转换,转变成那两种基本类型。(通分,取对数没啥讲的,取倒是将其中一个值变成它分之一,然后移到分母上。因为无穷大与无穷小互为倒数)无穷小为为0

    例7,8,9

    课后第二题,不能用洛必达的情况(虽然是无穷比无穷):
     导之后分子分母极限都存在或都为无穷的情况才能用洛必达。若不存在就不能用洛必达定理(一般情况不会遇见)


    三·泰勒公式
      本科阶段对其要求不高,考研阶段经常用。
      须记住几个常见的:
      在这里插入图片描述


    四·单调性与凹凸性
    ㈠单调性:(用一阶导函数判)
      一阶导函数:大于0的为增函数,小于0的为减函数。【一阶导为0的点称为驻点】
      
    ㈡凹凸性:(用二阶导函数判)
      二阶导函数:大于0的为凹函数,小于0的为凸函数,(记不住的话,考试的时候可以用个简单的抛物线心算一下)【二阶导为0的点称为拐点。它是一个点,不是横坐标
      补:瑕点:简单来说就是求极限时使分母为0的点


    五·极值最值
    极值求法:
    利用一阶导:高中应该学过吧

    利用二阶导:首先函数得有二阶导,且一阶导为0,则当二阶导小于零时为在该点取极大值,反之为极小值

    利用n阶导:课本p161页第四题(表达非常清晰,不再打了)

    练习:p182上面第二小题

    最值
    把驻点,不可导点,区间端点分别带进函数,比较大小即可


    六·画图
    ①列个表格,找出驻点,拐点,然后分割区间
    ②写出各区间内函数增减情况
    ③找出驻点,拐点的函数值
    ④找出一些其他点补充一下图形准确性
    ⑤画图

    看两道例题,学学步骤


    七·曲率(只记公式就可以)
    ㈠弧微分:(几种不同的函数)几种不同的函数
    记住会用会带入就好

    ㈡曲率:在这里插入图片描述

    参数方程曲率计算公式:
    在这里插入图片描述

    例二

    ㈢曲率圆与曲率半径:
      有公切线,凹向一致,曲率相同。
      曲率半径与函数该点曲率互为倒数

    例三,课后1,4,5


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    第四章
    第五章
    第七章

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  • 第一章函数与极限 第二章导数与微分 第三章微分中值定理与导数的应用 第四章不定积分 第五章定积分 第六章定积分的应用
  • 第三节 函数的极限 第四节 无穷小与无穷大 第五节 极限运算法则 第六节 极限存在准则 两个重要极限 第七节 无穷小的比较 第八节 函数的连续性与间断点 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 第十节 闭区间上连续...
  • 第三节 函数的极限 第四节 无穷小与无穷大 第五节 极限运算法则 第六节 极限存在准则 两个重要极限 第七节 无穷小的比较 第八节 函数的连续性与间断点 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 第十节 闭区间上连续...
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  • 二章 二节 函数的求导法则 反函数的求导法则 如果函数x=f(y)x=f(y)x=f(y)在区间IyI_yIy​内单调、可导且f′(y)≠0f'(y)≠0f′(y)​=0,那么它的反函数y=f−1(x)y=f^{-1}(x)y=f−1(x)在区间Ix={x∣x=f(y),y∈...

    第二章 第二节 函数的求导法则

    反函数的求导法则

    如果函数 x = f ( y ) x=f(y) x=f(y)在区间 I y I_y Iy内单调、可导且 f ′ ( y ) ≠ 0 f'(y)≠0 f(y)=0,那么它的反函数 y = f − 1 ( x ) y=f^{-1}(x) y=f1(x)在区间 I x = { x ∣ x = f ( y ) , y ∈ I y } I_x=\{x|x=f(y),y∈I_y\} Ix={xx=f(y),yIy}内也可导,且
    [ f − 1 ( x ) ] ′ = 1 f ′ ( y ) [f^{-1}(x)]'=\frac{1}{f'(y)} [f1(x)]=f(y)1

    d y d x = 1 d x d y \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}} dxdy=dydx1
    即:反函数的导数等于直接函数导数的倒数

    第二章 第三节 高阶导数

    莱布尼兹Leibniz公式

    如果函数 u = u ( x ) u=u(x) u=u(x) v = v ( x ) v=v(x) v=v(x)都在点 x x x处具有 n n n阶导数,那么
    ( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ (uv)'=u'v+uv' (uv)=uv+uv
    ( u v ) ′ ′ = u ′ ′ v + 2 u ′ v ′ + u v ′ ′ (uv)''=u''v+2u'v'+uv'' (uv)=uv+2uv+uv
    ( u v ) ′ ′ ′ = u ′ ′ ′ v + 3 u ′ ′ v ′ + 3 u ′ v ′ ′ + u v ′ ′ ′ (uv)'''=u'''v+3u''v'+3u'v''+uv''' (uv)=uv+3uv+3uv+uv
    由数学归纳法可以证明:
    ( u v ) n = u n v + n u n − 1 v ′ + n ( n − 1 ) 2 ! u ( n − 2 ) v ′ ′ + . . . + n ( n − 1 ) . . . ( n − k + 1 ) k ! u ( n − k ) v k + . . . + u v ( n ) (uv)^{{n}}=u^{n}v+nu^{n-1}v'+\frac{n(n-1)}{2!}u^{(n-2)}v''+...+\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}u^{(n-k)}v^{k}+...+uv^{(n)} (uv)n=unv+nun1v+2!n(n1)u(n2)v+...+k!n(n1)...(nk+1)u(nk)vk+...+uv(n)

    y − x 2 e 2 x y-x^2e^{2x} yx2e2x,求 y 20 y^{20} y20
    解:
    u = e 2 x , v = x 2 u=e^{2x},v=x^2 u=e2x,v=x2,则
    u ( k ) = 2 k e 2 x ( k = 1 , 2 , . . . , 20 ) u^{(k)}=2^ke^{2x}(k=1,2,...,20) u(k)=2ke2x(k=1,2,...,20)
    v ′ = 2 x , v ′ ′ = 2 , v ( k ) = 0 ( k = 3 , 4 , . . . , 20 ) v'=2x,v''=2,v^{(k)}=0(k=3,4,...,20) v=2x,v=2,v(k)=0(k=3,4,...,20)
    代入莱布尼兹公式,得
    y ( 20 ) = 2 20 e 2 x ( x 2 + 20 x + 95 ) y^{(20)}=2^{20}e^{2x}(x^2+20x+95) y(20)=220e2x(x2+20x+95)

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  • 高等数学 教案同济版

    2009-03-01 20:57:58
    高等数学教案 一 章 极限与连续 二 章 导数与微分 章 导数的应用 ...... 十二章 微分方程
  • 定 理 3 : 定理3: 定 理 3 : 如 果 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) ...高等数学一些定理证明,证明存在性的时候,只要举出一个例子(这里是 ε = A 2 \varepsilon=\frac{A}{2} ε = 2 A ​ ),就能

    定 理 3 : 定理3: 3:

    如 果 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = A , 且 A &gt; 0 ( 或 A &lt; 0 ) , 如果\lim_{x\to x_0}f(x) = A,且A &gt; 0(或A &lt; 0), limxx0f(x)=A,A>0(A<0)

    那 么 存 在 常 数 δ &gt; 0 , 使 得 当 0 &lt; ∣ x − x 0 ∣ &lt; δ 时 , 那么存在常数\delta &gt; 0,使得当0&lt;|x-x_0|&lt;\delta时, δ>0使0<xx0<δ,

    有 f ( x ) &gt; 0 ( 或 f ( x ) &lt; 0 ) . 有f(x)&gt;0(或f(x)&lt;0). f(x)>0(f(x)<0).


    下面为书上的证明

    : 就 A &gt; 0 的 情 况 证 明 . :就A&gt;0的情况证明. A>0.

    因 为 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = A &gt; 0 因为 \lim_{x\to x_0}f(x) =A&gt;0 limxx0f(x)=A>0

    所 以 , 取 ε = A 2 &gt; 0 , 则 ∃ δ &gt; 0 , 当 0 &lt; ∣ x − x 0 ∣ &lt; δ 时 , 所以,取 \varepsilon=\frac{A}{2}&gt;0,则\exist \delta&gt;0,当 0&lt;|x-x_0|&lt;\delta时, ε=2A>0δ>00<xx0<δ

    有 有
    ∣ f ( x ) − A ∣ &lt; A 2 ⇒ f ( x ) &gt; A − A 2 = A 2 &gt; 0 |f(x)-A|&lt;\frac{A}{2} \Rightarrow f(x)&gt;A-\frac{A}{2}=\frac{A}{2}&gt;0 f(x)A<2Af(x)>A2A=2A>0
    类 似 地 可 以 证 明 A &lt; 0 的 情 形 . 类似地可以证明A&lt;0的情形. A<0.


    疑惑点:

    为什么取 ε = A 2 \varepsilon=\frac{A}{2} ε=2A?


    个人对一些想法:

    其实不止 A 2 \frac{A}{2} 2A A 3 \frac{A}{3} 3A A 4 \frac{A}{4} 4A … \ldots ,只要小于A,大于0,都可以证明 ε \varepsilon ε存在

    因为这个定理,只是在说明:当A条件存在时,B存在

    所以只要证明存在 ε \varepsilon ε 可以使 f ( x ) &gt; 0 f(x)&gt;0 f(x)>0存在

    就已经证明完成了。
    高等数学一些定理证明,证明存在性的时候,只要举出一个例子(这里是 ε = A 2 \varepsilon=\frac{A}{2} ε=2A),就能

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  • 作者是同济大学数学系。 该书是同济大学数学系编《高等数学》系列,依据最新的“工科类本科数学基础课程教学基本要求”,为高等院校工科类各专业学生修订而成。
  • 高数同济五版+线代同济四版+概率浙大三版 全部习题答案 二部分
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  • 对本科生十分有用,是微分方程。对提高自己的综合能力很有好处,是习题课总结的!

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