二阶低通滤波器的设计
一、系统设计方案选择
1、总方案设计
方案框图
2、子框图的作用
RC网络的作用
在电路中RC网络起着滤波的作用，滤掉不需要的信号，这样在对波形的选取上起着至关重要的作用，通常主要由电阻和电容组成。
放大器的作用
电路中运用了同相输入运放，其闭环增益RVF=1+R4/R3同相放大器具有输入阻抗非常高，输出阻抗很低的特点，广泛用于前置放大级。
反馈网络的作用
将输出信号的一部分或全部通过牧电路印象输入端，称为反馈，其中电路称为反馈网络，反馈网络分为正、负反馈。
3、方案选择
1)滤波器的选择
一阶滤波器电路最简单，但带外传输系数衰减慢，一般在对带外衰减性要求不高的场合下选用。无限增益多环反馈型滤波器的特性对参数变化比较敏感，在这点上它不如压控电压源型二阶滤波器。
2)级数的选择
滤波器的级数主要根据对带外衰减特殊性的要求来确定。每一阶低通或高通电路可获得-6dB每倍频程(-20dB每十倍频程)的衰减，每二阶低通或高通电路可获得-12dB每倍频程(-40dB每十倍频程)的衰减。
3)元器件的选择
一般设计滤波器时都要给定截止频率fc(ωc)带内增益Av，以及品质因数Q(二阶低通或高通一般为0.707)。在设计时经常出现待确定其值的元件数目多于限制元件取值的参数之数目，因此有许多个元件均可满足给定的要求，这就需要设计者自行选定某些元件值。一般从选定电容器入手，因为电容标称值的分档较少，电容难配，而电阻易配，可根据工作频率范围按照表1.1.3初选电容值。
二、系统组成及工作原理
1、有源二阶压控滤波器
基础电路如图1所示
图1二阶有源低通滤波基础电路
它由两节RC滤波电路和同相比例放大电路组成，在集成运放输出到集成运放同相输入之间引入一个负反馈，在不同的频段，反馈的极性不相同，当信号频率f＞＞f0时(f0为截止频率)，电路的每级RC电路的相移趋于-90º，两级RC电路的移相到-180º，电路的输出电压与输入电压的相位相反，故此时通过电容c引到集成运放同相端的反馈是负反馈，反馈信号将起着削弱输入信号的作用，使电压放大倍数减小，所以该反馈将使二阶有源低通滤波器的幅频特性高频端迅速衰减，只允许低频端信号通过。其特点是输入阻抗高，输出阻抗低。
2、无限增益多路反馈有源滤波器
基本形式图
在二阶压控电压源低通滤波电路中，由于输入信号加到集成运放的同相输入端，同时电容C1在电路参数不合适时会产生自激震荡。为了避免这一点，Aup取值应小于3.可以考虑将输入信号加到集成运放的反相输入端，采取和二阶压控电压源低通滤波电路相同的方式，引入多路反馈，构成反相输入的二阶低通滤波电路，这样既能提高滤波电路的性能，也能提高在f=f0附近的频率特性幅度。由于所示电路中的运放可看成理想运放，即可认为其增益无穷大，所以该电路叫做无限增益多路反馈低通滤波电路。
三、单元电路设计、参数计算、器件选择
1、二阶压控低通滤波器设计及参数计算
所以根据上述推导公式可得：电路设计时应该使得
，根据市场能买到的器件，则可以取R4+R3+10k，然后由中心频率计算公试可以取C1=C2=0.1uF，可以得出电阻R1=596.58k，R4=1.06255k.可以用2k的电位器代替，基本达到设计要求了。
仿真电路图如下所示：
2、无限增益多路反馈有源滤波器的设计及参数计算
根据上述推导公式可得：电路设计时应该使得C1=C2，根据市场能买到的器件，则可以取C1=C3=0.1uF，然后由中心频率计算公式，电压增益公式以及品质因素的公式计算参数，依据以上三个公式，取fO=2KHz，Q=0.707，Aup=2.令R1=R2可得：R1=R2=0.22519K，3R=0.45038K，而用R1，R2用2K的电位器调节，
使得其等于0.22519K即可基本达到设计要求。其仿真电路图如下
四、电路组装及调试
1、压控电压源二阶低通滤波电路
当输入的信号频率小于截止频率2000hz，其电路的增益为2.即其波形的峰峰值是两倍
2、无限增益多路负反馈二阶低通滤波器
其仿真电路图如上：
当输入的频率是1000HZ，2000HZ，30000JHZ的交流电源是输出信号的波形图分别如下：
输出与输入的倍数关系分别是2倍，1.4倍然后是截至了，趋于0.滤波器的滤波效果已经达到，截至频率是2000HZ。小于2000HZ时，输出波放大2倍。

一、二阶压控电压源低通滤波器（赛伦-凯电路/二阶正相低通滤波器）



该电路是一个经典二阶低通滤波器，特点：

1）、输入电压经过两级RC低通电路

2）、输入电压进入集成运放的同相输入端，即同相放大

3）、第一级RC电路的电容不接地，改接到输出端。原因：引入反馈，使输出电压在高频段迅速下降，但在截止频率范围内不要降太多。

 

1、电流分析法：

这个是典型的同相放大器，因此其为：

放大倍数（零频增益）：                                (1)

令电阻R都一致，C都一致。再对节点Um和同相放大器的正相输入端点U+，进行电流分析。有：

流入节点Um的电流：                         (2)

前两个不做解释，第三个是电容电流的向量形式。为什么

流入节点U+的电流：                      (3)

 

将以上三个式子联立得传递函数为：

               （4）

  为等效品质因数。

2、复导纳分析

用复导纳法，Y1=1/R1,Y2=1/R2,Y3=sC1 Y4=sC2，令s=jw则转化为下图：



同样从节点Um和U+分析。复导纳是什么？

节点Um:

                   （5）

                       （6）

节点U+：

                               （7）

               

将Y2移项：

                                                    （8）

 

将8带入6，再化简移向得到复频域形式：

           （9）

上下再同除以：Y1,Y2,Y3,Y4

得：

           （10）

有：

             (11)

上下再同乘以s方，除以R1R2，再有：
         (12)

与低通滤波器传递函数一般形式

                             （13）

比：

截止角频率：



阻尼系数：

                              （14）

 

二、二阶反相型低通有源滤波器

1、介绍

二阶反相型低通有源滤波器是反相比例积分器的输入端再加一节RC低通电路构成的。

 



同上，采用电流分析：

对于N点电流：



对于N点电压：



联立得到：



参考文献：

[1]强推二阶滤波电路 

[2]强推二阶低通滤波传递函数介绍

[3]模拟电子技术一些有源滤波器件计算及传递函数

[4]二阶滤波器的标准传递函数,零、极点分布

[5]二阶设计

[6]​​​​​​​高明甫,杨 勇,孔令斌.二阶压控电压源低通滤波器设计 （中国地质大学(武汉)物理系）[J].电子元器件,2010,2(3):12-22.

 

 

https://wenku.baidu.com/view/a3f8e8c6302b3169a45177232f60ddccda38e699.html
https://wenku.baidu.com/view/f0ebde78d1d233d4b14e852458fb770bf68a3b3e.html
1、二阶有源滤波器电路综述
 压控电源型（VCVS）——同相输入，输入阻抗很高，输出阻抗很低，滤波器相当于一个电压源，故称电压控制电压源电路。其优点是电路性能稳定、增益容易调节（缺点增益很小通常1~2，如果设置直流增益K>2.5，可导致振荡，无法工作）。引入C1反馈，低频时它不存在，高频时输出相位滞后90度以上，进一步拉低+端。   
   无限增益多路反馈型（MFB）——运放为反相输入，输出端通过C2R3形成两条反馈支路。其优点是电路有倒相作用，使用元件较少，但增益调节对其性能参数会有影响，故应用范围比VCVS电路要小。   
2、采用压控电压源（VCVS）实现巴特沃斯低通滤波器
（1）品质因子Q的选择
· Q=0.707，构成巴特沃思滤波器（常用） 
· Q=1/√3=0.577 ，构成贝塞尔滤波器。
· Q=1,切比雪夫滤波器。
以上部分源于
https://wenku.baidu.com/view/a3f8e8c6302b3169a45177232f60ddccda38e699.html
（2）巴特沃斯元器件的参数关系选择
     下面的左侧图比右侧图多了两个调节直流增益K的电阻，右侧的增益K=1。显然同相端和反相端的电压为Vo/K。
具体上面用到的公式怎么来的呢？看下面：
式中：

RC有源滤波器
有源滤波器：

优点：不使用电感，体积小；可放大信号且倍数易调节；可加入电压串联负反馈，是输入电阻高，输出电阻低，输入输出之间有良好的隔离。
缺点：可靠性差；不宜用于高频；不宜在高电压、大电流下使用；需外接电源。

一阶低通有源滤波器 - VCVS压控电压源电路
一种同相输入，产生正向增益的低阶滤波器，通过负反馈网络形成一个增益可控的VCVS。从一阶VCVS说起：



输入电压先经过低通滤波器滤波，后输入至同相比例放大电路的同相端；


同相比例放大电路由R1、Rf、放大器组成。同相比例放大器输入阻抗高，输出阻抗低，性能稳定，增益容易调节。

$\begin{aligned}
&\text{传递函数}\qquad &&A(s)=\frac{V_o(s)}{V_i(s)}=\dot{A}_u\cdot A_0=\frac{A_0}{1+j\omega/\omega_n}\\
&\text{RC滤波器幅频函数}\qquad &&\dot{A_u}=\frac{\dot{U_c}}{\dot{U_i}}=\frac{1}{1+j\omega RC}\\
&\text{放大器增益}\qquad &&A_0=\frac{R_1+R_f}{R_1}\\
&\text{特征角频率}\qquad &&\omega_0=\frac{1}{RC}\\
&\text{幅频响应}\qquad &&|A(j\omega)|=\frac{A_0}{\sqrt{1+(\omega/\omega_0)^2}}
\end{aligned}$



一阶高通有源滤波器
将低通滤波器的前置低通RC电路替换为高通。

$\text{传递函数}\qquad A(s)=\frac{1}{1+\omega_n/s}$
二阶有源滤波器



对于低通，Y1、Y2为电阻R1、R2；Y3、Y4为电容C1、C2（公式推导以低通为例）。


二阶有源滤波在转折频率处性能不佳，因此引入一定正反馈Y3可改善。


R3、R4、放大器组成同相比例放大器。

$\begin{aligned}
\text{传递函数}\qquad A(s)=\frac{V_o(s)}{V_i(s)}&=\frac{U_2(s)}{U_1(s)}=\frac{U_b(s)}{U_1(s)}\cdot\frac{U_2(s)}{U_b(s)}\\&=\dot{A}_u\cdot A_0\\
&=\frac{A_0Y_1Y_2}{Y_3Y_4+(1-A_0)Y_2Y_3+Y_2Y_4+Y_1Y_2+Y_1Y_4}\\
&=\frac{A_0}{R_1R_2C_1C_2s^2+[R_2C_2+R_1C_2+R_1C_1(1-A)]s+1}\\
&=\frac{A_{\omega_0}^2}{s^2+\omega_0/Q\cdot s+{\omega_0}^2}
\end{aligned}$
$\text{a,b处KCL方程} \qquad
\begin{aligned}
&\begin{cases}
	\frac{U_1-U_a}{Y_1}-\frac{U_a-U_b}{Y_2}=\frac{U_a-U_2}{Y_3} \\
    U_a(s)\cdot\frac{Y_4}{Y_2+Y_4}=U_b(s)
\end{cases}
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
&\text{放大器增益}\qquad &&A_0=\frac{U_2(s)}{U_b(s)}=\frac{R_3+R_4}{R_3}\\
&\text{特征角频率}\qquad &&{\omega_0}^2=\frac{1}{R_1R_2C_1C_2}\\
&\text{品质因数}\qquad &&Q=\frac{1}{3-A_0}\\
&\text{相频响应}\qquad &&\varphi(\omega)=-arctg\frac{\omega/(\omega_0Q)}{1-(\omega/\omega_0)^2}
\end{aligned}$


$A_0<3$ 时，滤波电路才能稳定工作，$A_0\geqq 3$时，滤波器自激



总结

参考文献：

牛燕炜. 有源低通滤波器的设计与仿真分析[J]. 现代电子技术, No.251(12):181-183.
王龙, 贾瑞皋, 陈洪海. VCVS有源滤波器的设计及Matlab辅助仿真分析[J]. 测井技术, 2005(06):95-99.
滤波器基本概念分类 - https://mbb.eet-china.com/forum/topic/75523_1_1.html
低通、高通、带通、带阻、状态可调滤波器 - https://mbb.eet-china.com/forum/topic/76881_1_1.html