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  • 标量-向量-矢量相关器是使用向量中的两个介子多重子和伪标量通道中的两个介子多重子构造的。 这些参数受操作员产品扩展的限制,处于领先地位,其中两个或所有三个动量被认为很大。 另外,要求Brodsky-Lepage极限...
  • 三角形法向量矢量乘法

    千次阅读 2012-07-16 11:47:07
    数量积也叫点积,它是向量向量的乘积,其结果为一个标量。几何上,数量积可以定义如下: 设、为两个任意向量,它们的夹角为,则他们的数量积为: [3] 数量积被广泛应用于物理中,如做功就是用力的矢量点乘位移...

    伸出右手,使拇指与四指垂直,四指指向a的方向,弯向b的方向,则大拇指指的方向就是a*b的方向

     

    数量积

    数量积也叫点积,它是向量与向量的乘积,其结果为一个标量。几何上,数量积可以定义如下:

    \vec{A}\vec{B}为两个任意向量,它们的夹角为\theta,则他们的数量积为:

    \vec{A} \cdot \vec{B}=\left | \vec{A} \right | \left | \vec{B} \right | \cos {\theta}[3]

    数量积被广泛应用于物理中,如做功就是用力的矢量点乘位移的矢量,即 W=\vec{F} \cdot \vec{s}

    向量积

    向量积也叫叉积矢量积,它也是向量与向量的乘积,不过需要注意的是,它的结果是个向量,但由于其结果是由坐标系确定,所以其结果被称为伪向量。

    设有向量\vec{A}=(A_x\vec{i},A_y\vec{j},A_z\vec{k})\vec{B}=(B_x\vec{i},B_y\vec{j},B_z\vec{k})

    则其向量积的矩阵表达式可写作:

    \vec{A} \times \vec{B}=\begin{vmatrix}  \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\  A_x & A_y & A_z \\  B_x & B_y & B_z\end{vmatrix}

          

    实例:

    我们需要找到三角形的法线(normal)。它是一个向量,是三角形平面上的一条垂线,如图



             法线是到达三角形表面的一条垂线

    我们可以通过该平面的两个向量计算出它们的外积(cross product)从而求出这条法线。两个向量的积是一条垂直于这两条向量的新向量。我们将使用的这两条向量是点 A和B,点 B和C 之间的连线。每个向量都用有带有 x, y, z的 Object 持有。

    var ab:Object = new Object();
    ab.x = pointA.x - pointB.x;
    ab.y = pointA.y - pointB.y;
    ab.z = pointA.z - pointB.z;
    var bc:Object = new Object();
    bc.x = pointB.x - pointC.x;
    bc.y = pointB.y - pointC.y;
    bc.z = pointB.z - pointC.z;

    然后计算法线,即另一个向量。求该对象的法向量(norm)。下面的代码用于计算向量ab和bc的外积:

    var norm:Object = new Object();
    norm.x = (ab.y * bc.z) - (ab.z * bc.y);
    norm.y = -((ab.x * bc.z) - (ab.z * bc.x));
    norm.z = (ab.x * bc.y) - (ab.y * bc.x);

     

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  • 说到矢量的除法,可能第一反应就是两个向量做比较,可能是模的比值。可以做这个定义,但这个定义用处并不是很大,我有一种用处更大的定义。众所周知,当你用一个尺子测量你的身高,结果是178。常识告诉我们身高是178...

    引言

    我的都知道标量乘和矢量乘,标量乘就是两个矢量各项元素相乘之和,得到的是一个标量;矢量乘就是两个矢量相乘得到一个新的矢量,该矢量垂直于这两个矢量。对于除法呢,矢量是否有除法呢?是否也是标量除和矢量除呢?

    标量除

    说到矢量的除法,可能第一反应就是两个向量做比较,可能是模的比值。可以做这个定义,但这个定义用处并不是很大,我有一种用处更大的定义。众所周知,当你用一个尺子测量你的身高,结果是178。常识告诉我们身高是178cm。为什么要写上单位,因为你量取一个东西时,都是用东西的长度除以尺子的单位长度,用下数学式表示:
    L/i=178L/i=178
    式中:LL是身高,ii是尺子的单位,常用cm。
    如果用两把尺子垂直摆放,则不仅来测量你的身高,还能测量胖瘦。这样可以用两个式子表示
    {L/i=178W/j=34 \left\{ \begin{array}{l} L/i=178& \\ W/j=34 \\ \end{array} \right.
    式中iijj组成一组矢量基MMLLWW是被衡量的对象矢量PP分解到ii方向和jj方向的两个矢量,数学可以这样描述:
    P/M=(P/iP/j)=(L/iW/j)=(L/iW/j)=(17834)P/M=(\begin{array}{l}P/i&P/j\end{array})=(\begin{array}{l}L/i&W/j\end{array})=(\begin{array}{l}|L|/|i|&|W|/|j|\end{array})=(\begin{array}{l}178&34\end{array})这里的P/iP/iP/jP/jL/iL/iW/jW/j就是矢量之间的除法。P/MP/M是矢量与矢量基的除法,由于矢量基有多个矢量,矢量对矢量基的除法是矢量对基内的每个矢量进行除法。我们定义一个矢量A对另一个矢量B的标量除为该矢量A在矢量B中的投影长度除以矢量B的长度。上式中LL就是PPii中的投影,WW就是PPjj中的投影,所以
    P/i=L/iP/j=W/jP/i=L/i,P/j=W/j对于两个相互平行的矢量,将两个矢量的模相除才有意义,两个相互平行的矢量的标量除就是两个矢量的模相除。所以L/i=178,W/j=34L/i=178,W/j=34标量除法的数学定义如下。a/b=projba/b=projbab\vec{a}/\vec{b}=proj_b\vec{a}/\vec{b}=\frac{|proj_b\vec{a}|}{|\vec{b}|}几何表示如下
    在这里插入图片描述根据上述的定义可以进一步拓展,
    a/b=acos<a,b>b=ababb=abb2\vec{a}/\vec{b}=\frac{|\vec{a}|cos<a,b>}{|\vec{b}|}=\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|}\frac{|\vec{a}\vec{b}|}{|\vec{b}|}=\frac{\vec{a}\vec{b}}{|\vec{b}|^2}
    a=(ax,ay,az)\vec{a}=(a_x,a_y,a_z),b=(bx,by,bz)\vec{b}=(b_x,b_y,b_z)
    a/b=axbx+ayby+azbzbx2+by2+bz2\vec{a}/\vec{b}= \frac{a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z}{b^2_x+b^2_y+b^2_z}标量除有线性的关系,若a=a1+a2a=a_1+a_2,那么a/b=a1/b+a2/ba/b=a_1/b+a_2/b
    如果aabb垂直,那么a/b=0a/b=0
    可以简单证明得到

    矢量除

    有标量除,是否也有矢量除。不管有没有这个自然概念,但可以创造啊。数学早已经走出了从0,1,2,3…和长宽高等自然概念中提取素材的时代,走向了从数学本身来提取素材或者创造概念的时代。
    矢量乘有两个特点:1、垂直于参与乘法的矢量,2、模与正弦有关。类比这个,可以按下图定义矢量除
    在这里插入图片描述
    图中a÷ba\div b就是aabb的矢量除,它部分满足两个特点,与bb垂直,与aa模存在正弦的关系。矢量除可以这么定义:矢量aa对矢量bb的矢量除就是矢量aa对垂直于矢量bb且与矢量aa和矢量bb共面的矢量的投影。根据定义
    a÷b=aa/bba\div b=a-a/b \cdot b
    a=(ax,ay,az)\vec{a}=(a_x,a_y,a_z),b=(bx,by,bz)\vec{b}=(b_x,b_y,b_z)
    a÷b=(axaxbx+ayby+azbzbx2+by2+bz2bxayaxbx+ayby+azbzbx2+by2+bz2byayaxbx+ayby+azbzbx2+by2+bz2by)=(axby2+axbz2aybybxazbzbxaybx2+aybz2axbxbyazbzbyazbx2+azby2axbxbzaybybz)/(bx2+by2+bz2)=(byaxaybxbybzazaxbxbybzayazbybzbxaxaybxbybxazaxbzbxbyayazbybz)/(bx2+by2+bz2)=b×a×b/b2a \div b=\begin{pmatrix} a_x-\frac{a_x b_x+a_y b_y+a_z b_z}{b^2_x+b^2_y+b^2_z}b_x \\ a_y-\frac{a_x b_x+a_y b_y+a_z b_z}{b^2_x+b^2_y+b^2_z}b_y \\ a_y-\frac{a_x b_x+a_y b_y+a_z b_z}{b^2_x+b^2_y+b^2_z}b_y \end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix} a_xb^2_y+a_xb^2_z-a_yb_yb_x-a_zb_zb_x \\ a_yb^2_x+a_yb^2_z-a_xb_xb_y-a_zb_zb_y \\ a_zb^2_x+a_zb^2_y-a_xb_xb_z-a_yb_yb_z \end{pmatrix}/(b^2_x+b^2_y+b^2_z)\\ =\begin{pmatrix} b_y\begin{vmatrix}a_x & a_y \\b_x & b_y\end{vmatrix}-b_z\begin{vmatrix}a_z & a_x \\b_x & b_y\end{vmatrix} \\ b_z\begin{vmatrix}a_y & a_z \\b_y & b_z\end{vmatrix}-b_x\begin{vmatrix}a_x & a_y \\b_x & b_y\end{vmatrix} \\ b_x\begin{vmatrix}a_z & a_x \\b_z & b_x\end{vmatrix}-b_y\begin{vmatrix}a_y & a_z \\b_y & b_z\end{vmatrix} \end{pmatrix}/(b^2_x+b^2_y+b^2_z)\\=b\times a\times b/|b|^2a÷b=b×a×b/b2a \div b=b\times a\times b/|b|^2
    矢量除有线性的关系,若a=a1+a2a=a_1+a_2,那么a÷b=a1÷b+a2÷ba\div b=a_1\div b+a_2\div b
    如果aabb垂直,那么a÷b=ac÷a÷b=c÷b÷a=cc/aac/bba\div b=a\\c\div a\div b=c\div b\div a=c-c/a\cdot a-c/b\cdot b
    矢量除与标量除的混合运算
    (a÷b)/c=a/ca/bb/c(a\div b)/c=a/c-a/b\cdot b/c
    还有很多混合运算,后续我将一个一个推导
    a/(b÷c)=?a(b÷c)=?a/(b\div c)=?\\ a\cdot (b\div c)=?

    投影

    矢量aa向矢量bb投影我们记为projbaproj_ba,在平面内,矢量aa向垂直于矢量bb矢量投影我们记为prepbaprep_ba,也可以称其为垂矢。他们与标量除和矢量除有如下关系
    projba=a/bbprepba=a÷bproj_ba=a/b\cdot b\\ prep_ba=a \div b 矢量向平面的投影又如何,矢量向平面的垂矢又如何呢?已知某平面内两个向量aabb,平面外的一个矢量cc,如图所示
    在这里插入图片描述
    可以肯定c在平面的投影propabc=kaa+kbbprop_{ab}c=k_a \cdot a+k_b \cdot b,当然还有很多种表达都可以,这种在几何上体现形式更好,符合矢量合成的平行四边形的美感。可知
    projabc/a=c/aprojabc/b=c/bproj_{ab}c/a=c/a\\proj_{ab}c/b=c/b
    所以
    (kaa+kbb)/a=ka+kbb/a(kab+kbb)/b=kaa/b+kb(k_a\cdot a+k_b\cdot b)/a=k_a+k_b\cdot b/a\\(k_a\cdot b+k_b\cdot b)/b=k_a\cdot a/b+k_b

    求解kak_akbk_b
    ka=c/bb/ac/ab/aa/b1=(c÷b)/a1b/aa/bkb=c/aa/bc/bb/aa/b1=(c÷a)/b1b/aa/bk_a=\frac{c/b\cdot b/a-c/a}{b/a\cdot a/b-1}=\frac{(c\div b)/a}{1-b/a\cdot a/b}\\k_b=\frac{c/a\cdot a/b-c/b}{b/a\cdot a/b-1}=\frac{(c\div a)/b}{1-b/a\cdot a/b}
    aabb垂直时a/b=0,b/a=0a/b=0,b/a=0,所以
    ka=c/akb=c/bk_a=c/a\\k_b=c/b
    垂矢的求法为cc先对aa求垂矢得c÷ac\div a,再对aa在平面上垂直矢量b÷ab\div a求垂矢,即(c÷a)÷(b÷a)(c\div a)\div (b\div a),可以证明此矢量垂直于aab÷ab\div a,所以此矢量垂直于平面,所以
    prepabc=(c÷a)÷(b÷a)prep_{ab}c=(c\div a)\div (b\div a)
    也可以表达为
    prepabc=(c÷b)÷(a÷b)prep_{ab}c=(c\div b)\div (a\div b)
    因此cc在平面上投影的另一种表达为
    propabc=c(c÷a)÷(b÷a)prop_{ab}c=c-(c\div a)\div (b\div a)
    存在如下两个关系(c÷a)÷(b÷a)+(c÷b)/a1b/aa/ba+(c÷a)/b1b/aa/bb=c(c\div a)\div (b\div a)+\frac{(c\div b)/a}{1-b/a\cdot a/b}\cdot a+\frac{(c\div a)/b}{1-b/a\cdot a/b} \cdot b=c
    (c÷a)÷(b÷a)//a×b(c\div a)\div (b\div a)//a\times b
    后续证明

    正交化

    正交化是指已知一系列的不平行矢量a1,a2,a3,a4...ana_1,a_2,a_3,a_4...a_n求其所在空间的正交基b1,b2,b3,b4...bnb_1,b_2,b_3,b_4...b_n。有了这些正交的基,继续单位化,就构建了一套坐标系。之前投影讲到矢量aabb的垂矢,矢量cc到矢量aabb组建的平面的垂矢就是一个正交化的过程。用a1a_1代替aaa2a_2代替bba3a_3代替ccb1,b2,b3b_1,b_2,b_3为生成的正交矩阵,其过程如下
    b1=a1b2=a2÷b1b3=(a3÷b1)÷b2b_1=a_1\\ b_2=a_2\div b_1\\ b_3=(a_3\div b_1)\div b_2
    扩展到四维呢?扩展到多维呢?大胆假设
    b1=a1b2=a2÷b1b3=a3÷b1÷b2b4=a4÷b1÷b2÷b3bn=an÷b1÷b2÷b3÷÷bn1 b_1=a_1\\ b_2=a_2\div b_1\\ b_3=a_3\div b_1\div b_2\\ b_4=a_4\div b_1\div b_2\div b_3\\ \vdots\\ b_n=a_n\div b_1\div b_2\div b_3\div \cdots \div b_{n-1}
    小心求证: 求证的目标就是b1,b2,b3,,bn1,bnb_1,b_2,b_3,\cdots,b_{n-1},b_n相互两两垂直,采用递推法进行证明:
    n=2n=2时,因为b2=a2÷b1b_2=a_2\div b_1根据矢量除的定义就可知b2b_2b1b_1垂直
    n=3n=3时,b3=a3÷b1÷b2b3=(a3a3/b1b1)÷b2b3=a3÷b2a3/b1b1÷b2b_3=a_3\div b_1\div b_2\\ b_3=(a_3-a_3/b_1\cdot b_1)\div b_2\\ b_3=a_3\div b_2-a_3/b_1 \cdot b_1\div b_2
    因为b1b_1b2b_2垂直,所以b1÷b2=b1b_1\div b_2=b_1,所以b3=a3a3/b2b2a3/b1b1b_3=a_3-a_3/b_2 \cdot b_2-a_3/b_1\cdot b_1
    所以
    b3/b1=(a3a3/b2b2a3/b1b1)b3/b1=a3/b1a3/b2b2/b1a3/b1b1/b1b_3/b_1=(a_3-a_3/b_2 \cdot b_2-a_3/b_1\cdot b_1)\\ b_3/b_1=a_3/b_1-a_3/b_2 \cdot b_2/b_1-a_3/b_1\cdot b_1/b_1
    因为b2b_2b1b_1垂直,所以b2/b1=0b_2/b_1=0,所以
    b3/b1=a3/b1a3/b1b1/b1b3/b1=a3/b1a3/b1=0b_3/b_1=a_3/b_1-a_3/b_1\cdot b_1/b_1\\ b_3/b_1=a_3/b_1-a_3/b_1=0
    所以b3b_3b1b_1垂直,b3b_3b2b_2的垂直关系可采用同样的方式证明,当然如果熟悉矢量除的定义,也可以直接看出b3b_3b2b_2的关系。
    n=k1n=k-1b1,b2,b3,,bk1b_1,b_2,b_3,\cdots,b_{k-1}相互两两垂直,那么n=kn=k
    bk=ak÷b1÷b2÷b3÷÷bk1bk=akak/b1b1ak/b2b2ak/b3b3ak/bn1bn1b_k=a_k\div b_1\div b_2\div b_3\div \cdots \div b_{k-1}\\ b_k=a_k-a_k/b_1\cdot b_1-a_k/b_2\cdot b_2-a_k/b_3\cdot b_3-\cdots -a_k/b_{n-1}\cdot b_{n-1}
    b1,b2,b3,,bk1b_1,b_2,b_3,\cdots,b_{k-1}任意选择一个kik_i,计算bk/bib_k/b_i
    bk/bi=ak/biak/b1b1/biak/b2b2/biak/b3b3/biak/bibi/biak/bn1bn1/bib_k/b_i=a_k/b_i-a_k/b_1\cdot b_1/b_i-a_k/b_2\cdot b_2/b_i-a_k/b_3\cdot b_3/b_i-\cdots\\-a_k/b_i\cdot b_i/b_i-\cdots -a_k/b_{n-1}\cdot b_{n-1}/b_i所以bk/bi=ak/biak/bibi/bi=0b_k/b_i=a_k/b_i-a_k/b_i\cdot b_i/b_i=0
    所以bkb_kb1,b2,b3,,bk1b_1,b_2,b_3,\cdots,b_{k-1}任意一个矢量垂直,也就是b1,b2,b3,,bkb_1,b_2,b_3,\cdots,b_k内的所以矢量都相互两两垂直。证明完毕!
    等等,或许有人疑问,为啥bk=akak/b1b1ak/b2b2ak/b3b3ak/bn1bn1b_k=a_k-a_k/b_1\cdot b_1-a_k/b_2\cdot b_2-a_k/b_3\cdot b_3-\cdots -a_k/b_{n-1}\cdot b_{n-1}这个可以自行递推证明一下。
    提示一下,对于b1,b2,b3,,bmb_1,b_2,b_3,\cdots,b_m内的所有矢量相互两两垂直,若下式成立a÷b1÷b2÷÷bm1=aa/b1b1a/b2b2a/bm1bm1a\div b_1 \div b_2 \div \cdots \div b_{m-1}=a-a/b_1 \cdot b_1-a/b_2 \cdot b_2-\cdots -a/b_{m-1} \cdot b_{m-1}a÷b1÷b2÷÷bm=aa/b1b1a/b2b2a/bm1bm1a/bmbma\div b_1 \div b_2 \div \cdots \div b_{m}=a-a/b_1 \cdot b_1-a/b_2 \cdot b_2-\cdots -a/b_{m-1} \cdot b_{m-1}-a/b_{m} \cdot b_{m}

    施密特正交化与QR分解

    根据上节内容,我们知道
    b1=a1b2=a2÷b1b3=a3÷b1÷b2b4=a4÷b1÷b2÷b3bn=an÷b1÷b2÷b3÷÷bn1 b_1=a_1\\ b_2=a_2\div b_1\\ b_3=a_3\div b_1\div b_2\\ b_4=a_4\div b_1\div b_2\div b_3\\ \vdots\\ b_n=a_n\div b_1\div b_2\div b_3\div \cdots \div b_{n-1} bk=akak/b1b1ak/b2b2ak/b3b3ak/bn1bn1b_k=a_k-a_k/b_1\cdot b_1-a_k/b_2\cdot b_2-a_k/b_3\cdot b_3-\cdots -a_k/b_{n-1}\cdot b_{n-1}
    那么可以将b1,b2,b3bnb_1,b_2,b_3\cdots b_n展开来,
    b1=a1b2=a2a2/b1b1b3=a3a3/b1b1a3/b2b2b4=a4a4/b1b1a4/b2b2a4/b3b3bn=anan/b1b1an/b2b2an/b3b3an/bn1bn1 b_1=a_1\\ b_2=a_2-a_2/ b_1\cdot b_1\\ b_3=a_3-a_3/ b_1\cdot b_1-a_3/ b_2\cdot b_2\\ b_4=a_4-a_4/ b_1\cdot b_1-a_4/ b_2\cdot b_2-a_4/ b_3\cdot b_3\\ \vdots\\ b_n=a_n-a_n/ b_1\cdot b_1-a_n/ b_2\cdot b_2-a_n/ b_3\cdot b_3-\cdots-a_n/ b_{n-1}\cdot b_{n-1}
    所以
    b1=a1b2=a2k2,1b1b3=a3k3,1b1k3,2b2b4=a4k4,1b1k4,2b2k4,3b3bn=ankn,1b1kn,2b2kn,3b3kn,n1bn1 b_1=a_1\\ b_2=a_2-k_{2,1}\cdot b_1\\ b_3=a_3-k_{3,1}\cdot b_1-k_{3,2}\cdot b_2\\ b_4=a_4-k_{4,1}\cdot b_1-k_{4,2}\cdot b_2-k_{4,3}\cdot b_3\\ \vdots\\ b_n=a_n-k_{n,1}\cdot b_1-k_{n,2}\cdot b_2-k_{n,3}\cdot b_3-\cdots-k_{n,n-1}\cdot b_{n-1} 其中
    ki,j={ai/bj=aibjai2;(i>j)1,(i=j)k_{i,j}= \begin{cases} a_i/b_j=\frac{a_i\cdot b_j}{|a_i|^2}; &(i>j) \\ 1, &(i=j) \end{cases} 这就是施密特正交化,将所有aa放在等号左边,所有bb放在等号右边
    a1=b1a2=k2,1b1+b2a3=k3,1b1+k3,2b2+b3a4=k4,1b1+k4,2b2+k4,3b3+b4an=kn,1b1+kn,2b2+kn,3b3++kn,n1bn1+bn a_1=b_1\\ a_2=k_{2,1}\cdot b_1+b_2\\ a_3=k_{3,1}\cdot b_1+k_{3,2}\cdot b_2+b_3\\ a_4=k_{4,1}\cdot b_1+k_{4,2}\cdot b_2+k_{4,3}\cdot b_3+b_4\\ \vdots\\ a_n=k_{n,1}\cdot b_1+k_{n,2}\cdot b_2+k_{n,3}\cdot b_3+\cdots+k_{n,n-1}\cdot b_{n-1}+b_n 将所有bb换成其单位向量qq,则有
    a1=b1q1a2=k2,1b1q1+b2q2a3=k3,1b1q1+k3,2b2q2+b3q3a4=k4,1b1q1+k4,2b2q2+k4,3b3q3+b4q4an=kn,1b1q1+kn,2b2q2+kn,3b3q3++kn,n1bn1qn1+bnqn a_1=|b_1|\cdot q_1\\ a_2=k_{2,1}|b_1|\cdot q_1+|b_2|\cdot q_2\\ a_3=k_{3,1}|b_1|\cdot q_1+k_{3,2}|b_2|\cdot q_2+|b_3|\cdot q_3\\ a_4=k_{4,1}|b_1|\cdot q_1+k_{4,2}|b_2|\cdot q_2+k_{4,3}|b_3|\cdot q_3+|b_4|\cdot q_4\\ \vdots\\ a_n=k_{n,1}|b_1|\cdot q_1+k_{n,2}|b_2|\cdot q_2+k_{n,3}|b_3|\cdot q_3+\cdots+k_{n,n-1}|b_{n_1}|\cdot q_{n-1}+|b_n|\cdot q_n
    若写成矩阵的形式就是
    (a1a2a3an)=(r1,1000r2,1r2,200r3,1r3,2r3,30rn,1rn,2rn,3rn,n)(q1q2q3qn) \begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3\\ \cdots \\a_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} r_{1,1} & 0&0&\cdots&0 \\ r_{2,1} & r_{2,2} &0&\cdots&0\\ r_{3,1} & r_{3,2}&r_{3,3} &\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ r_{n,1}&r_{n,2}&r_{n,3}&\cdots&r_{n,n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} q_1\\q_2\\q_3\\ \cdots \\q_n \end{pmatrix}
    其中ri,j=ki,jbjr_{i,j}=k_{i,j}|b_j|
    这就是QR分解,QQ是一个单位正交矩阵,放在复域,称为酉矩阵
    Q=(q1q2q3qn)Q=\begin{pmatrix} q_1\\q_2\\q_3\\ \cdots \\q_n \end{pmatrix}
    经过QR分解,一个满秩矩阵可以分解成一个下三角矩阵乘单位正交矩阵,这可以用于线性最小二乘问题的求解和矩阵特征值的计算。

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    矢量:也叫向量。有模和方向。 标量:只有模没有方向。 矢量求模: 单位矢量:也叫归一化。矢量除以它的模, 得到的新的矢量是模为1的单位矢量,它与原来的矢量方向相同。 矢量:点乘-点积:内积,叉积。 (1) ...

    矢量:也叫向量。有模和方向。

    标量:只有模没有方向。

    矢量求模:

    单位矢量:也叫归一化。矢量除以它的模, 得到的新的矢量是模为1的单位矢量,它与原来的矢量方向相同。

    矢量:点乘-点积:内积,叉积。

    (1) 点乘可以用来判断两个向量是否垂直,返回值为0,则垂直。(公式:abcosθ,向量夹角θ为90度,则垂直)

    (2)本质上其实是判断两个向量相似的程度(2个向量夹角越小,越相似)。

    (3)计算敌人在你的正方向上行走的距离,利用的是计算一个向量在另一个向量上的投影分量大小(根据点乘几何意义)

    (4)得到2个向量的夹角:范围[0, 180]  ,可以做游戏怪物的视角是否有查看到玩家,可以用来计算敌人是否在角色的攻击范围之内

    Vector A,B;
    float dotValue = Vector3.Dot (A.normalized, B.normalized);
    float angle = Mathf.Acos(dotValue) * Mathf.Rad2Deg;  
    当然,更简单的方法是float  Vector3.Angle (Vector3 from, Vector3 to) 

    (5)判断目标在自己的前后方位

    Vector3.Dot(transform.forward, target.position)

    返回值为正时,目标在自己的前方;返回值为负时,在自己的后方;返回值为0时,在自己的正左方或者正右方。

    (6)模拟飞机飞行的状态,当飞机与vector3.up的点积等于0,证明飞机平行飞行;当小于0时候,证明飞机向下飞行;当大于0时候,证明飞机向上飞行
    原文:https://blog.csdn.net/qiaoquan3/article/details/70194685 ===

    (1)叉乘可以用来判断两个向量是否平行或相交。返回值为0,则平行。

    (2)用于求平面法线(叉乘的几何意义:absinθ)

    (3)计算两个物体之间形成四边形的面积(|a||b|sinθ)

    (4)得到2个向量的夹角:范围[-90,90]

    Vector A,B;
    float value = Vector3.Cross (A.normalized, B.normalized);
    float angle = Mathf.Asin(value) * Mathf.Rad2Deg;  
    (5)判断目标在自己的左右方位
           Vector3.Cross(transform.forward, target.position).y

          返回值为正时,目标在自己的右方;返回值为负时,在自己的左方;返回值为0时,在自己的正前方或者正后方。

    (6)将炮管的正方向向量  与  敌人位置减去炮管位置的向量 进行叉积,得到一个向量,炮管绕此向量旋转,可以使炮管旋转至对准敌人,实现定位敌人的作用


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空空如也

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