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  • 什么个矩阵A的列向量组可以由矩阵B的列向量组表示时,那么A的秩就小于等于B的秩?
    千次阅读
    2019-10-16 11:14:20
    • 矩阵A的列向量组可以由矩阵B的列向量组线性表示时
      一定存在C有BC=A,(你把每个表达式写出来,组合一下就可以得到这个式子即BX=A,,其中X是一个向量组,即矩阵,如果是向量a可以被列向量组B线性表示,则BX=a,X是一个列向量,即一组数)
      R(A)=R(BC)
      又因为R(A)=R(BC)<= min{R(C),R(B)}<=R(B)
    • 矩阵A不能由矩阵B线性表示时
      R(A)>R(B)
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  • 2、向量组B能由向量组A线性表示,则向量组B的秩不大于向量A的秩。反之不一定成立。 3、一个向量可由向量组中其余向量线性表示,前提是这个向量组线性相关。线性相关的向量组中并不是任一向量都可由其余向...

    重要性质

    1、向量组B=(β1,β2,……,βm)能由向量组A=(α1,α2,……,αm)线性表示的充要条件是:

    矩阵A=(α1,α2,……,αm)的秩=矩阵(α1,α2,……,αm,B)的秩。

    2、向量组B能由向量组A线性表示,则向量组B的秩不大于向量A的秩。反之不一定成立。

    3、一个向量可由向量组中其余向量线性表示,前提是这个向量组线性相关。线性相关的向量组中并不是任一向量都可由其余向量线性表示;但当其余向量线性无关时,这个向量必可由其余向量线性表示。

    4、零向量可由任一组向量线性表示。

    5、向量组α1,α2,……,αm中每个向量都可由向量组本身线性表示。

    展开全文
  • 1. 反对称矩阵定义 ...即 a^ b = a x b (向量a 叉乘 向量b = a的反对称矩阵 乘以 b) 4. 叉乘 与 点乘 点乘 对应元素相乘相加,比如 A=(a1, a2, a3), B=(b1, b2, b3) 则 A·B = a1b1 + a2b2 + a3 +

    1. 反对称矩阵定义

    设A为n维方阵,若有,则称矩阵A为反对称矩阵。

    对于反对称矩阵,它的主对角线上的元素全为0,而位于主对角线两侧对称的元素反号。

    2. 反对称矩阵性质

    3. 向量的反对称矩阵

    有的地方a的反对称矩阵 也记作 a^

    a^ b = a x b (向量a 叉乘 向量b = a的反对称矩阵 乘以 b)

    4. 叉乘 与 点乘

    点乘(内积)

    对应元素相乘相加,比如(列向量) A=(a1, a2, a3)', B=(b1, b2, b3)' 则 A·B = a1b1 + a2b2 + a3b3,结果是一个数值。 点积也叫数量积。结果是一个向量在另一个向量方向上投影的长度,是一个标量。即

     对于上述最后一个等式 A的转置(矩阵1x3) 等于 (a1,a2,a3),  B=(b1, b2, b3)' (矩阵3x1) , 所以 =a1b1 + a2b2 + a3b3 = A·B 。 

    应用:当角度为90度时,即点积为0时,两个向量正交。 

    叉乘(外积)

    叉乘,也叫向量积。结果是一个和已有两个向量都垂直的向量。叉乘结果是一个向量,向量模长是向量A,B组成平行四边形的面积;向量方向是垂直于向量A,B组成的平面 (右手螺旋定则);

    应用:叉乘更多的是判断某个平面的方向。从这个平面上选两个不共线的向量,叉乘的结果就是这个平面的法向量。(自己叉乘自己等于0, 即 A x A = 0

    参考

    向量叉积定义的证明

    点乘和叉乘的区别是什么?

    叉乘与反对称矩阵

    展开全文
  • 向量的点乘 a·b 和叉乘 a×b

    千次阅读 2020-05-29 20:58:25
    向量的点乘 a·b 和叉乘 a×b

    点乘:

    点乘, 即|a|·|b|·cosθ, (结果是一个数字)
    即: a的长度 * b的长度 * ab的夹角

    夹角<90°, 则cosθ>0, 则结果>0
    夹角>90°, 则cosθ<0, 则结果<0

    那有什么用呢?

    答: 判断敌人在我前面还是后面

    我向前方发一条射线, 作为向量a
    我向敌人发一条射线, 作为向量b
    计算点乘结果
    如果是正, 即夹角小于90°, 即敌人在我面前180°内
    如果是负, 即夹角大于90°, 即敌人在我身后180°内

    Vector3 a = me.forward;
    Vector3 b = enemy.position - me.position;
    float dot = Vector3.Dot(a, b);
    if(dot > 0)
    {
    	//敌人在我前边
    }
    
    还有什么用处呢?

    1.求b在a上的投影长度
    因为: a·b = |a|·|b|·cosθ
    又因为: 投影长度 = |b|·cosθ
    则: 投影长度 = a·b ÷ |a|

    2.求θ的角度
    已知a·b的情况下
    cosθ = a·b ÷ |a| ÷ |b|
    再用反余弦, 就能求θ的角度

    叉乘:

    叉乘的结果是个向量
    此向量垂直于ab向量所在的平面
    冲上或者冲下

    用来判断敌人在我左边还是右边

    我向前方发一条射线, 作为向量a
    我向敌人发一条射线, 作为向量b
    叉乘的结果要么冲上, 要么冲下
    看y轴的正负就知道是左边还是右边了

    Vector3 a = me.forward;
    Vector3 b = enemy.position - me.position;
    Vector3 cross = Vector3.Cross(a, b);
    if(cross.y > 0)
    {
    	//敌人在我的......左还是右来着, 忘了
    }
    

    叉乘是按照右手定则算的, 而Unity是左手坐标系, 所以结果是相反的, 所以正就是负, 负就是正
    (右手定则, 如图, 3个向量相互垂直, 已知其中2个就能确定第3个, 具体是怎么算的, 自己去看百度百科)
    在这里插入图片描述

    其实点乘也可以判左右

    //区别就是这次以我的右手方向(me.right)作为向量a

    Vector3 a = me.right;
    Vector3 b = enemy.position - me.position;
    float dot = Vector3.Dot(a, b);
    if(dot > 0)
    {
    	//敌人在我右边
    }
    else
    {
        //敌人在我左边
    }
    
    在不能转身的2D游戏里一般用不到这些点乘叉乘什么的

    如果你在我左边, 则, 你的x必然小于我的x

    if(you.position.x < me.position.x)
    {
    	//你在我左边
    }
    

    以下是从哔哩哔哩<现代计算机图形学入门>看到的

    用来判断点是否在三角内

    在这里插入图片描述
    判断点P是否在三角形ABC内:

    先做成3个首尾相交的向量AB, BC, CA
    先AB×AP, 好, AP在左侧
    再BC×BP, 好, 还是BP在左侧
    再CA×CP, 好, 还是CP在左侧
    好, 都在左侧
    证得: P在三角形内

    问: 那如果ABC 3个点是顺时针排布的呢?
    答: 那就看是否都在右侧
    问: 那我们怎么知道他是顺时针还是逆时针呢?
    答: 我们不需要知道, 只要是同左或者同右, 就可以判定: 点在三角形内

    注意: 还有点P刚好在三角形边上的情况, 那种另外算
    注意: 该方法可适用于所有的"凸多边形"

    点乘和点乘的矩阵表示:

    在这里插入图片描述

    展开全文
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