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2019-10-16 11:14:20
- 矩阵A的列向量组可以由矩阵B的列向量组线性表示时
一定存在C有BC=A,(你把每个表达式写出来,组合一下就可以得到这个式子即BX=A,,其中X是一个向量组,即矩阵,如果是向量a可以被列向量组B线性表示,则BX=a,X是一个列向量,即一组数)
R(A)=R(BC)
又因为R(A)=R(BC)<= min{R(C),R(B)}<=R(B) - 矩阵A不能由矩阵B线性表示时
R(A)>R(B)
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向量组a可由向量组b线性表示什么意思
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1、向量组B=(β1,β2,……,βm)能由向量组A=(α1,α2,……,αm)线性表示的充要条件是:
矩阵A=(α1,α2,……,αm)的秩=矩阵(α1,α2,……,αm,B)的秩。
2、向量组B能由向量组A线性表示,则向量组B的秩不大于向量A的秩。反之不一定成立。
3、一个向量可由向量组中其余向量线性表示,前提是这个向量组线性相关。线性相关的向量组中并不是任一向量都可由其余向量线性表示;但当其余向量线性无关时,这个向量必可由其余向量线性表示。
4、零向量可由任一组向量线性表示。
5、向量组α1,α2,……,αm中每个向量都可由向量组本身线性表示。
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矩阵运算_向量a叉乘向量b = a的反对称矩阵乘以b
2021-12-17 17:17:451. 反对称矩阵定义 ...即 a^ b = a x b (向量a 叉乘 向量b = a的反对称矩阵 乘以 b) 4. 叉乘 与 点乘 点乘 对应元素相乘相加,比如 A=(a1, a2, a3), B=(b1, b2, b3) 则 A·B = a1b1 + a2b2 + a3 +1. 反对称矩阵定义
设A为n维方阵,若有
,则称矩阵A为反对称矩阵。
对于反对称矩阵,它的主对角线上的元素全为0,而位于主对角线两侧对称的元素反号。
2. 反对称矩阵性质
3. 向量的反对称矩阵
有的地方a的反对称矩阵 也记作 a^
即 a^ b = a x b (向量a 叉乘 向量b = a的反对称矩阵 乘以 b)
4. 叉乘 与 点乘
点乘(内积)
对应元素相乘相加,比如(列向量) A=(a1, a2, a3)', B=(b1, b2, b3)' 则 A·B = a1b1 + a2b2 + a3b3,结果是一个数值。 点积也叫数量积。结果是一个向量在另一个向量方向上投影的长度,是一个标量。即
对于上述最后一个等式 A的转置(矩阵1x3) 等于 (a1,a2,a3), B=(b1, b2, b3)' (矩阵3x1) , 所以
=a1b1 + a2b2 + a3b3 = A·B 。
应用:当角度为90度时,即点积为0时,两个向量正交。
叉乘(外积)
叉乘,也叫向量积。结果是一个和已有两个向量都垂直的向量。叉乘结果是一个向量,向量模长是向量A,B组成平行四边形的面积;向量方向是垂直于向量A,B组成的平面 (右手螺旋定则);
应用:叉乘更多的是判断某个平面的方向。从这个平面上选两个不共线的向量,叉乘的结果就是这个平面的法向量。(自己叉乘自己等于0, 即 A x A = 0)
参考
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向量的点乘 a·b 和叉乘 a×b
2020-05-29 20:58:25向量的点乘 a·b 和叉乘 a×b点乘:
点乘, 即|a|·|b|·cosθ, (结果是一个数字)
即: a的长度 * b的长度 * ab的夹角夹角<90°, 则cosθ>0, 则结果>0
夹角>90°, 则cosθ<0, 则结果<0那有什么用呢?
答: 判断敌人在我前面还是后面
我向前方发一条射线, 作为向量a
我向敌人发一条射线, 作为向量b
计算点乘结果
如果是正, 即夹角小于90°, 即敌人在我面前180°内
如果是负, 即夹角大于90°, 即敌人在我身后180°内Vector3 a = me.forward; Vector3 b = enemy.position - me.position; float dot = Vector3.Dot(a, b); if(dot > 0) { //敌人在我前边 }
还有什么用处呢?
1.求b在a上的投影长度
因为: a·b = |a|·|b|·cosθ
又因为: 投影长度 = |b|·cosθ
则: 投影长度 = a·b ÷ |a|2.求θ的角度
已知a·b的情况下
cosθ = a·b ÷ |a| ÷ |b|
再用反余弦, 就能求θ的角度叉乘:
叉乘的结果是个向量
此向量垂直于ab向量所在的平面
冲上或者冲下用来判断敌人在我左边还是右边
我向前方发一条射线, 作为向量a
我向敌人发一条射线, 作为向量b
叉乘的结果要么冲上, 要么冲下
看y轴的正负就知道是左边还是右边了Vector3 a = me.forward; Vector3 b = enemy.position - me.position; Vector3 cross = Vector3.Cross(a, b); if(cross.y > 0) { //敌人在我的......左还是右来着, 忘了 }
叉乘是按照右手定则算的, 而Unity是左手坐标系, 所以结果是相反的, 所以正就是负, 负就是正
(右手定则, 如图, 3个向量相互垂直, 已知其中2个就能确定第3个, 具体是怎么算的, 自己去看百度百科)
其实点乘也可以判左右
//区别就是这次以我的右手方向(me.right)作为向量a
Vector3 a = me.right; Vector3 b = enemy.position - me.position; float dot = Vector3.Dot(a, b); if(dot > 0) { //敌人在我右边 } else { //敌人在我左边 }
在不能转身的2D游戏里一般用不到这些点乘叉乘什么的
如果你在我左边, 则, 你的x必然小于我的x
if(you.position.x < me.position.x) { //你在我左边 }
以下是从哔哩哔哩<现代计算机图形学入门>看到的
用来判断点是否在三角内
判断点P是否在三角形ABC内:先做成3个首尾相交的向量AB, BC, CA
先AB×AP, 好, AP在左侧
再BC×BP, 好, 还是BP在左侧
再CA×CP, 好, 还是CP在左侧
好, 都在左侧
证得: P在三角形内问: 那如果ABC 3个点是顺时针排布的呢?
答: 那就看是否都在右侧
问: 那我们怎么知道他是顺时针还是逆时针呢?
答: 我们不需要知道, 只要是同左或者同右, 就可以判定: 点在三角形内注意: 还有点P刚好在三角形边上的情况, 那种另外算
注意: 该方法可适用于所有的"凸多边形"点乘和点乘的矩阵表示:
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