一、题目
 
已知：
 
 
y= 1 / (a + b * x)
 
 
x = 1.0 : 0.4 : 2.6;
 
 
y = [0.931, 0.473, 0.297, 0.224, 0.168];
 
 
通过各种拟合方法求a, b的值，画出拟合曲线，并比较结果，分析误差
 
 
二、思路导图
 
 
三、流 程 图
 
 
四、源程序
 
主程序mainProgram.m
 
clear; %清除所有变量

%初始样本数据如下：
x = 1.0 : 0.4 : 2.6;
y = [0.931, 0.473, 0.297, 0.224, 0.168];

%求出a, b预估值，以及定义基函数
syms a b; %定义变量
[a, b] = solve(0.931 == 1 / (a + b * 1.0), 0.473 == 1 / (a + b * 1.4), a, b); %求出a, b预估值
beta0 = double([a, b]); %将变量sym类型转化成double类型
fun = @(beta, x)(1 ./ (beta(1) + beta(2) * x)); %基函数模型

%非线性拟合
[ab_lsqcurvefit, res_lsqcurvefit, r_lsqcurvefit] = lsqcurvefit(fun, beta0', x', y'); %返回五个参数，这里取前三个，待定系数，残差平方和以及残差
[ab_nlinfit, r_nlinfit] = nlinfit(x', y', fun, beta0'); %多元非线性拟合, ab_nlinfit为待定系数最优值，r_nlinfit为各点拟合的残差

%线性拟合
ab_polyfit = polyfit(x', 1 ./ y', 1); %多项式拟合，ab_polyfit为待定系数
ab_polyfit = [ab_polyfit(2),ab_polyfit(1)]';
r_polyfit = 1 ./ (ab_polyfit(1) + ab_polyfit(2) * x') - y';
ab_multifit = multifit(x', 1 ./ y', 1); %多项拟合，将fun转化成 1 / y = a + b * x
r_multifit = 1 ./ (ab_multifit(1) + ab_multifit(2) * x') - y';
ab_Least_square = Least_square(x, 1 ./ y); %线性最小二乘拟合
r_Least_square = 1 ./ (ab_Least_square(1) + ab_Least_square(2) * x') - y';
ab_matrix = matrix_division(x, y); %矩阵除法
r_matrix = 1 ./ (ab_matrix(1) + ab_matrix(2) * x') - y';
t = [ones(1,5); x];
[ab_lsqlin, res_lsqlin, r_lsqlin]  = lsqlin(t', 1 ./ y'); %对方程a+b*x = 1/y，a与看作x1,x2，则有Cx = b，C就是a与b的系数矩阵
[ab_regress, bint, r_regress] = regress(1 ./ y', t', 0.05);

%画图
ab = [ab_lsqcurvefit'; ab_nlinfit'; ab_polyfit'; ab_multifit'; ab_Least_square'; ab_matrix'; ab_lsqlin'; ab_regress'];
rgb = {'-r', '-b', '-g', '-c', '-m', '-y', '-k', '-'};
leg = {'数据点'; 'lsqcurvefit拟合'; 'nlinfit拟合'; 'polyfit拟合'; 'multifit拟合'; 'Least_square拟合'; 'Least_square拟合'; 'lsqlin拟合'; 'regress拟合'};
new_x = 1.0 : 0.01 : 2.6; %计算更多的点，使图像更光滑

hold on;
figure(1);
plot(x, y, '*');
for i = 1 : 8
    a = ab(i, 1); %待定系数a
    b = ab(i, 2); %待定系数b
    new_y = 1 ./ (a + b * new_x); %拟合后因变量的值
    plot(new_x, new_y, rgb{i}); %画出拟合曲线
end
title('y随x变化图像'); %标题
xlabel('x'); %x轴坐标
ylabel('y'); %y轴坐标
legend(leg( : ));
hold off;

figure(2);
for i = 1 : 8
    a = ab(i, 1); %待定系数a
    b = ab(i, 2); %待定系数b
    new_y = 1 ./ (a + b * new_x); %拟合后因变量的值
    subplot(2,4,i);
    plot(x, y, '*', new_x, new_y, rgb{i}); %画出拟合曲线
    title('y随x变化图像'); %标题
    xlabel('x'); %x轴坐标
    ylabel('y'); %y轴坐标
    legend(leg{1}, leg{i + 1}); %图例
end

%误差分析：残差平方和以及残差绝对值的最大值
r = [r_lsqcurvefit'; r_nlinfit'; r_polyfit'; r_multifit'; r_Least_square'; r_matrix'; r_lsqlin'; r_regress'];
r_pfh = ones(8, 1);
r_max = ones(8, 1);
for i = 1 : 8
    r_pfh(i) = sum(r(i, : ) .^ 2);
    r_max(i) = max(abs(r(i, : )));
end

%打印结果
disp('各种拟合求得的a与b的值：');
disp(ab);
disp('各种拟合求得的残差最大值：');
disp(r_max);
disp('各种拟合求得的残差平方和：');
disp(r_pfh);
 
最小二乘Least_square.m
 
function s = Least_square(x,y)
%最小二乘法
%输入数据：
%   试验数据点的x坐标向量：X
%   试验数据点的y坐标向量：Y
%输出数据：
%   系数矩阵: s
if(length(x) == length(y)) %维数检查
        n = length(x);  
else
    disp('x和y的维数不相等！');
    return;
end                 
A = zeros(2, 2);
A(2, 2) = n;
B = zeros(2, 1);
for i = 1 : n %对矩阵A，B进行循环赋值
    A(1, 1) = A(1, 1) + x(i) * x(i);
    A(1, 2) = A(1, 2) + x(i);
    B(1, 1) = B(1, 1) + x(i) * y(i);
    B(2, 1) = B(2, 1) + y(i);
end                 
A(2, 1) = A(1, 2);
s = A \ B;            %求解系数矩阵S
s = [s(2); s(1)];
 
矩阵除法matrix_division.m
 
function ab = matrix_division(x, y)
%矩阵除法
%输入数据：
%   试验数据点的x坐标向量：X
%   试验数据点的y坐标向量：Y
%输出数据：
%   系数矩阵: ab

if(length(x) ~= length(x)) %维度判断
    disp('数据点坐标不匹配');
    return;
end
y = y .^ (-1); 
x = [ones(5, 1), x'];
ab = x \ y;
 
多项式拟合multifit.m
 
function s = multifit( X,Y,m)
%多项式曲线拟合 
%输入数据：
%   试验数据点的x坐标向量：X
%   试验数据点的y坐标向量：Y
%   拟合多项式的次数：m
%输出数据：
%   系数矩阵: s

if(length(X) ~= length(Y))
    disp('数据点坐标不匹配');
    return;
end
N = length(X);
c(1: (2 * m + 1)) = 0;
b(1: (m + 1)) = 0;

for j = 1:(2 * m + 1) %求c
    for k = 1 : N
        c(j) = c(j) + X(k) ^ (j - 1); %构造左边Ck矩阵
        if(j < (m + 2))
            b(j) = b(j) + Y(k) * X(k) ^ (j - 1); %构造右边Bk矩阵
        end
    end
end

C(1, : )=c(1 : (m + 1));
for s = 2: (m + 1)
    C(s, : ) = c(s : (m + s));
end
s = C \ b'; %直接求解法求出拟合系数 
 
注：建立上面几个文件，然后在matlab中，执行主程序mainProgram.m
 
五、函数图像
 
将几种拟合方法得出来的拟合曲线花在一张图上
 
分别画出几种拟合方法得出来的拟合曲线
 
 
六、结果分析
 
本题就是求a和b的值，我们采用了8种不同的拟合方法，求出不同的8组a和b的值及其残差和残差平方和，并进行比较。
 
 
七、结论
 
将非线性拟合转为线性拟合求得的系数较为准确，将非线性转拟合为线性拟合是比较科学准确的方法
Polyfit，multifit，最小二乘，矩阵除法不仅求得的系数准确，而且残差平方和，残差最大值均较小，这四种方法的根本原理都是最小二乘法，所以，最小二乘法拟合结果一般来讲更可靠
 
八、小结
 
第一类：已知关系式求系数
 最小二乘法
第二类：离散数据点求关系式
 1.判断变量之间的相关性
 2.画散点图，如果是认为是指数型，可以画半对数图验证猜想
 3.选择合适的函数模型进行拟合
 4.误差分析

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 向量的常用计算公式

 
 
 
    
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1
 Length ——  向量长度
  
2
Project —— 项目文件
  
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1
 
 Length ——  向量长度
 

 
勾股定理：$a^2+b^2=C^2$
 
向量C的长度：C=$\sqrt{a^2+b^2}$
 
 是 
 
 
 
 
2
 
Project —— 项目文件
 

 
 Unity 版本：2018.3.12
 
项目文件为 unitypackage 文件包：
 
下载导入 Unity 即可使用
 
 
 
提取码：9449
 
 

   
 
 
支持
 
 May Be  —— 开发者，总有一天要做的事！
 

 
 
    
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  END 
 
 

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在二维坐标系中，一个位置向量的旋转公式可以由三角函数的几何意义推出。
 
 
比如上图所示是位置向量R逆时针旋转角度B前后的情况。
 
      在左图中，我们有关系：
 
　　x0 = |R| * cosA       =>          cosA = x0 / |R|
 
　　y0 = |R| * sinA        =>          sinA = y0 / |R|
 
  　在右图中，我们有关系：
 
　　x1 = |R| * cos（A+B）
 
　　y1 = |R| * sin（A+B）
 
　　其中（x1， y1）就是（x0， y0）旋转角B后得到的点，也就是位置向量R最后指向的点。我们展开cos（A+B）和sin（A+B），得到：
 
　　x1 = |R| * （cosAcosB - sinAsinB）
 
　　y1 = |R| * （sinAcosB + cosAsinB）
 
　　现在把  cosA = x0 / |R| 和 sinA = y0 / |R|  代入上面的式子，得到：
 
x1 = |R| *（x0 * cosB / |R| - y0 * sinB / |R|）=>  x1 = x0 * cosB - y0 * sinB
 
y1 = |R| *（y0 * cosB / |R| + x0 * sinB / |R|）=>y1 = x0 * sinB + y0 * cosB
 
　　这样我们就得到了二维坐标下向量围绕圆点的逆时针旋转公式。顺时针旋转就把角度变为负：
 
　　x1 = x0 * cos（-B） - y0 * sin（-B） =>  x1 = x0 * cosB + y0 * sinB
 
　　y1 = x0 * sin（-B） + y0 * cos（-B）=>  y1 = -x0 * sinB + y0 * cosB
 
　　现在我要把这个旋转公式写成矩阵的形式，有一个概念我简单提一下，平面或空间里的每个线性变换（这里就是旋转变换）都对应一个矩阵，叫做变换矩阵。对一个点实施线性变换就是通过乘上该线性变换的矩阵完成的。好了，打住，不然就跑题了。
 
所以二维旋转变换矩阵就是：
 
                   [cosA  sinA]          [cosA –sinA]                                          
 
           [-sinA cosA] 或者  [sinA cosA]
 
我们对向量进行旋转变换可以通过矩阵完成，比如我要向量（x， y）绕原点逆时针旋转角度A：
 
 [x, y] x  [cosA  sinA] = [x*cosA-y*sinA  x*sinA+y*cosA]
 
                                  [-sinA cosA]
 
      旋转后的向量为：[x*cosA-y*sinA  x*sinA+y*cosA]
 
 

点乘:
 
点乘就是 |a|·|b|·cosθ, (得结果是一个数字float);
 翻译过来就是: 向量a的长度 乘 向量b的长度 再乘 向量ab的夹角;
 我们所需要关心的就是这个夹角;
 夹角小于90°, cosθ就大于0, 点乘的结果就大于0;
 夹角大于90°, cosθ就小于0, 点乘的结果就小于0;
 就是这么简单;
 
那有什么用呢?
 
答: 判断敌人在我前面还是后面;
 
想象以我的眼睛向前发一条射线, 作为向量a;
 再想象我向敌人发一条射线, 作为向量b;
 看dot的正负
 如果是正, 即夹角小于90°, 即敌人在我面前180°内
 如果是负, 即夹角大于90°, 即敌人在我身后180°内
 
Vector3 a = me.forward;
Vector3 b = enemy.position - me.position;
float dot = Vector3.Dot(a, b);
if(dot > 0)
{
	//敌人在我前边
}
 
还有别的什么用处呢?
 
求b在a上的投影长度
 因为: a·b = |a|·|b|·cosθ
 又因为: 投影 = |b|·cosθ
 所以: 投影 = a·b ÷ |a|
 
求θ的角度
 已知a·b的情况下
 cosθ = a·b ÷ |a| ÷ |b|
 再用反余弦, 就能求θ的角度
 
叉乘:
 
叉乘的公式和原理你不用懂;
 你只需要知道, 叉乘的结果还是个向量(Vector);
 这个向量垂直于ab向量所在的平面;
 冲上或者冲下
 
也就是你只需要看结果的y值的正负号就行了, 就知道冲上还是冲下
 用来判断敌人在我左边还是右边;
 
想象以我的眼睛向前发一条射线, 作为向量a;
 再想象我向敌人发一条射线, 作为向量b;
 叉乘的结果要么是冲上, 要么是冲下
 最后我们只要看叉乘向量的y就知道是左边还是右边了;
 
Vector3 a = me.forward;
Vector3 b = enemy.position - me.position;
Vector3 cross = Vector3.Cross(a, b);
if(cross.y > 0)
{
	//敌人在我的......左还是右来着, 我忘了
}
 
叉乘是按照右手定则算的, 而Unity是左手坐标系, 所以结果是相反的, 所以正就是负, 负就是正;
 (右手定则呢, 就是3个向量都相互垂直, 已知其中2个来确定第3个, 具体是怎么算的, 自己去看百度百科)
 
 (图示为错误示范)
 
其实点乘也可以判左右
 
//区别就是这次不是以我的眼睛发射线(me.forward)作为向量a, 而是以我的右手方向(x轴的正方向)(me.right)作为向量a
 
Vector3 a = me.right;
Vector3 b = enemy.position - me.position;
float dot = Vector3.Dot(a, b);
if(dot > 0)
{
	//敌人在我右边
}
else
{
    //敌人在我左边
}
 
在不能转身的2D游戏里一般用不到这些点乘叉乘什么的
 
因为, 你在我左边, 你的x就比我的x小, 就这么简单;
 
if(you.position.x < me.position.x)
{
	//你在我左边
}
 
 
以下是从哔哩哔哩<现代计算机图形学入门>看的
 
还能用来判断点是否在三角内
 

 判断点P是否在三角形ABC内:
 
先做成3个首尾相交的向量AB, BC, CA
 先AB×AP, 好, AP在左侧
 再BC×BP, 好, 还是BP在左侧
 再CA×CP, 好, 还是CP在左侧
 好, 都在左侧
 证得: P在三角形内
 
问: 那如果ABC 3个点是顺时针排布的呢?
 答: 那就看是否都在右侧
 问: 那我们怎么知道他是顺时针还是逆时针呢?
 答: 我们不需要知道, 只要是同左或者同右, 就可以判定: 点在三角形内
 
注意: 还有点P刚好在三角形边上的情况, 那种另外算
 注意: 该方法可适用于所有的"凸多边形"
 
点乘和点乘的矩阵表示: