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  • matlab 非线性拟合 y= 1 / (a + b * x)

    千次阅读 2019-07-11 20:32:23
    y= 1 / (a + b * x) x = 1.0 : 0.4 : 2.6; y = [0.931, 0.473, 0.297, 0.224, 0.168]; 通过各种拟合方法求a, b的值,画出拟合曲线,并比较结果,分析误差 二、思路导图 三、流 程 图 ...

    一、题目

    已知:

    • y= 1 / (a + b * x)

    • x = 1.0 : 0.4 : 2.6;

    • y = [0.931, 0.473, 0.297, 0.224, 0.168];

    • 通过各种拟合方法求a, b的值,画出拟合曲线,并比较结果,分析误差

    二、思路导图

    在这里插入图片描述

    三、流 程 图

    在这里插入图片描述

    四、源程序

    • 主程序mainProgram.m
    clear; %清除所有变量
    
    %初始样本数据如下:
    x = 1.0 : 0.4 : 2.6;
    y = [0.931, 0.473, 0.297, 0.224, 0.168];
    
    %求出a, b预估值,以及定义基函数
    syms a b; %定义变量
    [a, b] = solve(0.931 == 1 / (a + b * 1.0), 0.473 == 1 / (a + b * 1.4), a, b); %求出a, b预估值
    beta0 = double([a, b]); %将变量sym类型转化成double类型
    fun = @(beta, x)(1 ./ (beta(1) + beta(2) * x)); %基函数模型
    
    %非线性拟合
    [ab_lsqcurvefit, res_lsqcurvefit, r_lsqcurvefit] = lsqcurvefit(fun, beta0', x', y'); %返回五个参数,这里取前三个,待定系数,残差平方和以及残差
    [ab_nlinfit, r_nlinfit] = nlinfit(x', y', fun, beta0'); %多元非线性拟合, ab_nlinfit为待定系数最优值,r_nlinfit为各点拟合的残差
    
    %线性拟合
    ab_polyfit = polyfit(x', 1 ./ y', 1); %多项式拟合,ab_polyfit为待定系数
    ab_polyfit = [ab_polyfit(2),ab_polyfit(1)]';
    r_polyfit = 1 ./ (ab_polyfit(1) + ab_polyfit(2) * x') - y';
    ab_multifit = multifit(x', 1 ./ y', 1); %多项拟合,将fun转化成 1 / y = a + b * x
    r_multifit = 1 ./ (ab_multifit(1) + ab_multifit(2) * x') - y';
    ab_Least_square = Least_square(x, 1 ./ y); %线性最小二乘拟合
    r_Least_square = 1 ./ (ab_Least_square(1) + ab_Least_square(2) * x') - y';
    ab_matrix = matrix_division(x, y); %矩阵除法
    r_matrix = 1 ./ (ab_matrix(1) + ab_matrix(2) * x') - y';
    t = [ones(1,5); x];
    [ab_lsqlin, res_lsqlin, r_lsqlin]  = lsqlin(t', 1 ./ y'); %对方程a+b*x = 1/y,a与看作x1,x2,则有Cx = b,C就是a与b的系数矩阵
    [ab_regress, bint, r_regress] = regress(1 ./ y', t', 0.05);
    
    %画图
    ab = [ab_lsqcurvefit'; ab_nlinfit'; ab_polyfit'; ab_multifit'; ab_Least_square'; ab_matrix'; ab_lsqlin'; ab_regress'];
    rgb = {'-r', '-b', '-g', '-c', '-m', '-y', '-k', '-'};
    leg = {'数据点'; 'lsqcurvefit拟合'; 'nlinfit拟合'; 'polyfit拟合'; 'multifit拟合'; 'Least_square拟合'; 'Least_square拟合'; 'lsqlin拟合'; 'regress拟合'};
    new_x = 1.0 : 0.01 : 2.6; %计算更多的点,使图像更光滑
    
    hold on;
    figure(1);
    plot(x, y, '*');
    for i = 1 : 8
        a = ab(i, 1); %待定系数a
        b = ab(i, 2); %待定系数b
        new_y = 1 ./ (a + b * new_x); %拟合后因变量的值
        plot(new_x, new_y, rgb{i}); %画出拟合曲线
    end
    title('y随x变化图像'); %标题
    xlabel('x'); %x轴坐标
    ylabel('y'); %y轴坐标
    legend(leg( : ));
    hold off;
    
    figure(2);
    for i = 1 : 8
        a = ab(i, 1); %待定系数a
        b = ab(i, 2); %待定系数b
        new_y = 1 ./ (a + b * new_x); %拟合后因变量的值
        subplot(2,4,i);
        plot(x, y, '*', new_x, new_y, rgb{i}); %画出拟合曲线
        title('y随x变化图像'); %标题
        xlabel('x'); %x轴坐标
        ylabel('y'); %y轴坐标
        legend(leg{1}, leg{i + 1}); %图例
    end
    
    %误差分析:残差平方和以及残差绝对值的最大值
    r = [r_lsqcurvefit'; r_nlinfit'; r_polyfit'; r_multifit'; r_Least_square'; r_matrix'; r_lsqlin'; r_regress'];
    r_pfh = ones(8, 1);
    r_max = ones(8, 1);
    for i = 1 : 8
        r_pfh(i) = sum(r(i, : ) .^ 2);
        r_max(i) = max(abs(r(i, : )));
    end
    
    %打印结果
    disp('各种拟合求得的a与b的值:');
    disp(ab);
    disp('各种拟合求得的残差最大值:');
    disp(r_max);
    disp('各种拟合求得的残差平方和:');
    disp(r_pfh);
    
    • 最小二乘Least_square.m
    function s = Least_square(x,y)
    %最小二乘法
    %输入数据:
    %   试验数据点的x坐标向量:X
    %   试验数据点的y坐标向量:Y
    %输出数据:
    %   系数矩阵: s
    if(length(x) == length(y)) %维数检查
            n = length(x);  
    else
        disp('x和y的维数不相等!');
        return;
    end                 
    A = zeros(2, 2);
    A(2, 2) = n;
    B = zeros(2, 1);
    for i = 1 : n %对矩阵A,B进行循环赋值
        A(1, 1) = A(1, 1) + x(i) * x(i);
        A(1, 2) = A(1, 2) + x(i);
        B(1, 1) = B(1, 1) + x(i) * y(i);
        B(2, 1) = B(2, 1) + y(i);
    end                 
    A(2, 1) = A(1, 2);
    s = A \ B;            %求解系数矩阵S
    s = [s(2); s(1)];
    
    • 矩阵除法matrix_division.m
    function ab = matrix_division(x, y)
    %矩阵除法
    %输入数据:
    %   试验数据点的x坐标向量:X
    %   试验数据点的y坐标向量:Y
    %输出数据:
    %   系数矩阵: ab
    
    if(length(x) ~= length(x)) %维度判断
        disp('数据点坐标不匹配');
        return;
    end
    y = y .^ (-1); 
    x = [ones(5, 1), x'];
    ab = x \ y;
    
    • 多项式拟合multifit.m
    function s = multifit( X,Y,m)
    %多项式曲线拟合 
    %输入数据:
    %   试验数据点的x坐标向量:X
    %   试验数据点的y坐标向量:Y
    %   拟合多项式的次数:m
    %输出数据:
    %   系数矩阵: s
    
    if(length(X) ~= length(Y))
        disp('数据点坐标不匹配');
        return;
    end
    N = length(X);
    c(1: (2 * m + 1)) = 0;
    b(1: (m + 1)) = 0;
    
    for j = 1:(2 * m + 1) %求c
        for k = 1 : N
            c(j) = c(j) + X(k) ^ (j - 1); %构造左边Ck矩阵
            if(j < (m + 2))
                b(j) = b(j) + Y(k) * X(k) ^ (j - 1); %构造右边Bk矩阵
            end
        end
    end
    
    C(1, : )=c(1 : (m + 1));
    for s = 2: (m + 1)
        C(s, : ) = c(s : (m + s));
    end
    s = C \ b'; %直接求解法求出拟合系数 
    

    注:建立上面几个文件,然后在matlab中,执行主程序mainProgram.m

    五、函数图像

    • 将几种拟合方法得出来的拟合曲线花在一张图上
      在这里插入图片描述
    • 分别画出几种拟合方法得出来的拟合曲线
      在这里插入图片描述

    六、结果分析

    本题就是求a和b的值,我们采用了8种不同的拟合方法,求出不同的8组a和b的值及其残差和残差平方和,并进行比较。
    在这里插入图片描述

    七、结论

    • 将非线性拟合转为线性拟合求得的系数较为准确,将非线性转拟合为线性拟合是比较科学准确的方法
    • Polyfit,multifit,最小二乘,矩阵除法不仅求得的系数准确,而且残差平方和,残差最大值均较小,这四种方法的根本原理都是最小二乘法,所以,最小二乘法拟合结果一般来讲更可靠

    八、小结

    • 第一类:已知关系式求系数
      最小二乘法
    • 第二类:离散数据点求关系式
      1.判断变量之间的相关性
      2.画散点图,如果是认为是指数型,可以画半对数图验证猜想
      3.选择合适的函数模型进行拟合
      4.误差分析
    展开全文
  • 向量的常用计算公式

    千次阅读 2019-07-12 22:30:35
    向量的常用计算公式 本文提供全流程,中文翻译。 Chinar 的初衷是将一种简单的生活方式带给世人 使有限时间 具备无限可能 Chinar —— 心分享、心创新!记录并提供常用向量的计算公式,备忘为初学者节省宝贵...

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    向量的常用计算公式


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    1

    Length —— 向量长度


    勾股定理: a 2 + b 2 = C 2 a^2+b^2=C^2 a2+b2=C2

    向量C的长度:C= a 2 + b 2 \sqrt{a^2+b^2} a2+b2


    举个例子

    在这里插入图片描述


    2

    Project —— 项目文件


    Unity 版本:2018.3.12

    项目文件为 unitypackage 文件包:

    下载导入 Unity 即可使用

    提取码:9449

    举个例子


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    END

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  • 向量旋转公式

    万次阅读 多人点赞 2018-09-30 17:50:17
    在二维坐标系中,一个位置向量的旋转公式可以由三角函数的几何意义推出。 比如上图所示是位置向量R逆时针旋转角度B前后的情况。  在左图中,我们有关系:  x0 = |R| * cosA =&gt; cosA = x0 / |R|  y...

    在二维坐标系中,一个位置向量的旋转公式可以由三角函数的几何意义推出。

    https://gss0.baidu.com/-Po3dSag_xI4khGko9WTAnF6hhy/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=8464aa8c060828386858d41288a98539/1ad5ad6eddc451da22d00d78b7fd5266d016327a.jpg

    比如上图所示是位置向量R逆时针旋转角度B前后的情况。

          在左图中,我们有关系:

      x0 = |R| * cosA       =>          cosA = x0 / |R|

      y0 = |R| * sinA        =>          sinA = y0 / |R|

       在右图中,我们有关系:

      x1 = |R| * cos(A+B)

      y1 = |R| * sin(A+B)

      其中(x1, y1)就是(x0, y0)旋转角B后得到的点,也就是位置向量R最后指向的点。我们展开cos(A+B)和sin(A+B),得到:

      x1 = |R| * (cosAcosB - sinAsinB)

      y1 = |R| * (sinAcosB + cosAsinB)

      现在把  cosA = x0 / |R| 和 sinA = y0 / |R|  代入上面的式子,得到:

    x1 = |R| *(x0 * cosB / |R| - y0 * sinB / |R|)=>  x1 = x0 * cosB - y0 * sinB

    y1 = |R| *(y0 * cosB / |R| + x0 * sinB / |R|)=>y1 = x0 * sinB + y0 * cosB

      这样我们就得到了二维坐标下向量围绕圆点的逆时针旋转公式。顺时针旋转就把角度变为负:

      x1 = x0 * cos(-B) - y0 * sin(-B) =>  x1 = x0 * cosB + y0 * sinB

      y1 = x0 * sin(-B) + y0 * cos(-B)=>  y1 = -x0 * sinB + y0 * cosB

      现在我要把这个旋转公式写成矩阵的形式,有一个概念我简单提一下,平面或空间里的每个线性变换(这里就是旋转变换)都对应一个矩阵,叫做变换矩阵。对一个点实施线性变换就是通过乘上该线性变换的矩阵完成的。好了,打住,不然就跑题了。

    所以二维旋转变换矩阵就是:

                       [cosA  sinA]          [cosA –sinA]                                          

               [-sinA cosA] 或者  [sinA cosA]

    我们对向量进行旋转变换可以通过矩阵完成,比如我要向量(x, y)绕原点逆时针旋转角度A:

     [x, y] x  [cosA  sinA] = [x*cosA-y*sinA  x*sinA+y*cosA]

                                      [-sinA cosA]

          旋转后的向量为:[x*cosA-y*sinA  x*sinA+y*cosA]

     

    展开全文
  • 向量的点乘 a·b 和叉乘 a×b

    千次阅读 2020-05-29 20:58:25
    向量的点乘 a·b 和叉乘 a×b

    点乘:

    点乘就是 |a|·|b|·cosθ, (得结果是一个数字float);
    翻译过来就是: 向量a的长度 乘 向量b的长度 再乘 向量ab的夹角;
    我们所需要关心的就是这个夹角;
    夹角小于90°, cosθ就大于0, 点乘的结果就大于0;
    夹角大于90°, cosθ就小于0, 点乘的结果就小于0;
    就是这么简单;

    那有什么用呢?

    答: 判断敌人在我前面还是后面;

    想象以我的眼睛向前发一条射线, 作为向量a;
    再想象我向敌人发一条射线, 作为向量b;
    看dot的正负
    如果是正, 即夹角小于90°, 即敌人在我面前180°内
    如果是负, 即夹角大于90°, 即敌人在我身后180°内

    Vector3 a = me.forward;
    Vector3 b = enemy.position - me.position;
    float dot = Vector3.Dot(a, b);
    if(dot > 0)
    {
    	//敌人在我前边
    }
    
    还有别的什么用处呢?

    求b在a上的投影长度
    因为: a·b = |a|·|b|·cosθ
    又因为: 投影 = |b|·cosθ
    所以: 投影 = a·b ÷ |a|

    求θ的角度
    已知a·b的情况下
    cosθ = a·b ÷ |a| ÷ |b|
    再用反余弦, 就能求θ的角度

    叉乘:

    叉乘的公式和原理你不用懂;
    你只需要知道, 叉乘的结果还是个向量(Vector);
    这个向量垂直于ab向量所在的平面;
    冲上或者冲下

    也就是你只需要看结果的y值的正负号就行了, 就知道冲上还是冲下
    用来判断敌人在我左边还是右边;

    想象以我的眼睛向前发一条射线, 作为向量a;
    再想象我向敌人发一条射线, 作为向量b;
    叉乘的结果要么是冲上, 要么是冲下
    最后我们只要看叉乘向量的y就知道是左边还是右边了;

    Vector3 a = me.forward;
    Vector3 b = enemy.position - me.position;
    Vector3 cross = Vector3.Cross(a, b);
    if(cross.y > 0)
    {
    	//敌人在我的......左还是右来着, 我忘了
    }
    

    叉乘是按照右手定则算的, 而Unity是左手坐标系, 所以结果是相反的, 所以正就是负, 负就是正;
    (右手定则呢, 就是3个向量都相互垂直, 已知其中2个来确定第3个, 具体是怎么算的, 自己去看百度百科)
    在这里插入图片描述
    (图示为错误示范)

    其实点乘也可以判左右

    //区别就是这次不是以我的眼睛发射线(me.forward)作为向量a, 而是以我的右手方向(x轴的正方向)(me.right)作为向量a

    Vector3 a = me.right;
    Vector3 b = enemy.position - me.position;
    float dot = Vector3.Dot(a, b);
    if(dot > 0)
    {
    	//敌人在我右边
    }
    else
    {
        //敌人在我左边
    }
    
    在不能转身的2D游戏里一般用不到这些点乘叉乘什么的

    因为, 你在我左边, 你的x就比我的x小, 就这么简单;

    if(you.position.x < me.position.x)
    {
    	//你在我左边
    }
    

    以下是从哔哩哔哩<现代计算机图形学入门>看的

    还能用来判断点是否在三角内

    在这里插入图片描述
    判断点P是否在三角形ABC内:

    先做成3个首尾相交的向量AB, BC, CA
    先AB×AP, 好, AP在左侧
    再BC×BP, 好, 还是BP在左侧
    再CA×CP, 好, 还是CP在左侧
    好, 都在左侧
    证得: P在三角形内

    问: 那如果ABC 3个点是顺时针排布的呢?
    答: 那就看是否都在右侧
    问: 那我们怎么知道他是顺时针还是逆时针呢?
    答: 我们不需要知道, 只要是同左或者同右, 就可以判定: 点在三角形内

    注意: 还有点P刚好在三角形边上的情况, 那种另外算
    注意: 该方法可适用于所有的"凸多边形"

    点乘和点乘的矩阵表示:

    在这里插入图片描述

    展开全文
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  • 向量点乘相关公式推导

    万次阅读 2016-08-18 15:28:23
    1.向量点乘公式推导和几何解释 01.向量点乘(dot product)是其各个分量乘积的和,公式: 用连加号写: ...点乘的结果是一个标量,等于...如果ab都是单位向量,那么点乘的结果就是其夹角的cos值。 ab = cosθ
  • 一些向量求导公式

    千次阅读 2017-03-29 21:09:44
    一些向量求导公式参考《关于向量求导的一些公式》,刘昌红,刘瑞元 1.xT=[x1,...,xn],aT=[a1,...,an]\mathbf x^T=[x_1,...,x_n], \mathbf a^T = [a_1,...,a_n] ∂(aTx)m∂x=m(aTx)m−1a\frac{\partial(\mathbf a^T...
  • 向量点乘相关公式推导及 几何解释

    千次阅读 2020-03-19 00:12:59
    1.向量点乘公式推导和几何解释 01.向量点乘(dot product)是其各个分量乘积的和,公式: 用连加号写: 02.几何解释: ...点乘的结果是一个标量,等于向量大小与夹角的...假设ab都是二维向量,θ1是a与x轴的夹角...
  • 常用矩阵向量求导公式

    千次阅读 2018-09-12 10:51:03
    在推导机器学习的迭代更新公式过程中进场需要用到矩阵或者向量的求导操作,很多求导公式经常会忘,因此这里Mark一下,方便后面自己查阅方便。 直接包含求导向量公式 dxTdx=IdxdxT=IdxTdx=IdxdxT=I\frac{dx^T...
  • 向量微分公式

    千次阅读 2019-07-07 22:36:47
    机器学习或优化领域经常有对向量的微分,这里补一下相关公式. 含参矩阵函数的微分 ddteAt=AeAt=eAtA;\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}e^{\bm{A}t}=\bm{A}e^{\bm{A}t}=e^{\bm{A}t}\bm{A};dtd​eAt=AeAt=eAtA; ddtcos...
  • 基于BP神经网络PID控制+Simulink仿真

    万次阅读 多人点赞 2019-05-30 10:58:30
     通过reshape函数,从列向量里任意组成矩阵如c=reshape(b,3,8),b中元素按顺序排成一个3*8的矩阵,也就是还原了矩阵a,  c=reshape(b(10:24),3,5),b中第10个元素到第24个元素,按顺序排成一个3*5的矩阵。 ...
  • 公式说明 其中大写如果没加绝对值符号均为向量。  求三角形内心时会用到公式:aOA+bOB+cOC = 0 其中各点如图所示 证明过程 ...A的角平分线交边BC于D。如图    由图可知向量OB = OD+DB...
  • A. Triangle time limit per test 2 seconds memory limit per test 64 megabytes input standard input output standard output 判断一个格点三角形是直角三角形,近似直角三角形,...
  • 点乘a*b和叉乘aXb

    万次阅读 2018-11-07 10:55:47
    向量是由n个实数组成的一个n行1列(n*1)或一个1行n列(1*n)的有序数组; 向量的点乘,也叫向量的内积、数量积,对两...对于向量a和向量b: &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nb...
  • 机器学习(五):w·x+b模型(2)

    千次阅读 2017-02-04 16:06:53
    3. 支持向量机SVMSVM主要用于分类问题,w∈Rn,b∈R,y∈{−1,1}w\in R^n, b\in R, y\in \{-1,1\}(注意此处不再将b视为w0w_0)3.1 引言3.1.1 training set完全线性可分假设有很多wx+b=0超平面可以将training set中的...
  • 两个向量ab的叉积(向量积)可以被定义为: 在这里θ表示两向量之间的角夹角(0° ≤ θ ≤ 180°),它位于这两个矢量 所定义的平面上。 向量积的模(长度)可以解释成以a和b为邻边的平行四边形的面积。求...
  • 向量投影与向量投影矩阵

    万次阅读 2018-12-03 21:03:11
    以下是向量a在向量b上的投影,θ 为两向量的夹角。 其中a = a||+a⊥,a||则是a在b上的投影。 所以投影公式如下: 向量投影矩阵 将以上投影公式写成矩阵形式,这里使用的是列优先的矩阵,即向量写成...
  • 数学-向量公式总结和一些公式证明

    千次阅读 2012-10-20 22:43:22
    向量公式总结。 定理1.1,对于给定的任何两个系数ab,以及任何三个向量P,Q和R,存在一下运算规律 1P + Q = Q + P  2(P + Q) + R = P + (Q + R) 3(ab)P = a(bP) 4a(P + Q) = aP +...

空空如也

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向量a+b的公式