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  • “点到直线的距离公式是高中常见的解析几何公式,形式很优美,但很多人不清楚它的由来,本篇主要来推导一下这个公式,并推广到点到面的距离公式。”01—基础知识向量(vector):方向(direction)+大小(magnitude).向量...

     点到直线的距离公式是高中常见的解析几何公式,形式很优美,但很多人不清楚它的由来,本篇主要来推导一下这个公式,并推广到点到面的距离公式

    01

    基础知识

    向量(vector):方向(direction)+大小(magnitude).

    向量点积(dot product):

    4fc197ed9a1010ac0659cc6f2b49a91f.png

    20d833e635fe8c8f0f5bc6b752aaa9fb.png

    图:向量AB,AC示意图

    6c4c89a07062cac45681dc5cc09d8435.png

    于是

    26e03fe57d907347f7d4d6f004bdb7c3.png

    73d3d67ad404517af61bfcd1a92cddca.png

    8d0bebcb8fd64f9f995116d47f177da5.png

    20d833e635fe8c8f0f5bc6b752aaa9fb.png

    图:投影示意图

    181640c65bdcd8c12704e61d36e254e9.png

    所以,向量f1b630306eb10e267df5915379d30800.png在向量bd93b416174e505a49ad68ccec7cd0ed.png,等于向量f1b630306eb10e267df5915379d30800.png点乘向量bd93b416174e505a49ad68ccec7cd0ed.png的单位向量(要加绝对值)。

    02

    点到直线的距离公式

    任何一条直线l:ax+by+cz=0,点 16f57c7d-7c3a-eb11-8da9-e4434bdf6706.other ,求点A到直线l的距离。

    (Find the distance between a point A and a line l)

    1ee83725cf6028dc425aefe11da489b6.png

    图:直线l与点A的示意图

    在直线l上任取一点 1df57c7d-7c3a-eb11-8da9-e4434bdf6706.other ,则 23f57c7d-7c3a-eb11-8da9-e4434bdf6706.other ,如下图所示。

    f8efd27bb17df33761d7f7646a48977b.png

    点A到直线l的距离,等于AC的长度,也等于向量f1b630306eb10e267df5915379d30800.png在向量bd93b416174e505a49ad68ccec7cd0ed.png上的投影,也就是在法向量 (normal vector) 上的投影。

    而直线的方向向量(direction vector)为 32f57c7d-7c3a-eb11-8da9-e4434bdf6706.other , 法向量(normal vector)为3cf57c7d-7c3a-eb11-8da9-e4434bdf6706.other ,则根据基础知识中的介绍,

    dd3f1cdd051ab183e9445518be4312c9.png

    又因为

    2aac9cfc50c0718708112599c56df933.png 

    所以点A到直线l的距离公式为:

    ace9a9a82be85e4beade74ed56968ca7.png

    03

    点到面的我距离公式

    点A到平面  d9e3351e88b2713f556d69e16ae536de.png的距离。

    (Find the distance between a point A and a plane 46f57c7d-7c3a-eb11-8da9-e4434bdf6706.other )

    8baf35f84921ff3f46da3de1af1a4573.png

    图:点A与平面

    与点到直线的距离做法类似,先在平面 46f57c7d-7c3a-eb11-8da9-e4434bdf6706.other 上找一点 4ef57c7d-7c3a-eb11-8da9-e4434bdf6706.other ,52b4571392125f1a67f44faa2d57a601.png以及平面 46f57c7d-7c3a-eb11-8da9-e4434bdf6706.other 的法向量 5ef57c7d-7c3a-eb11-8da9-e4434bdf6706.other 。其中,平面的法向量为 68f57c7d-7c3a-eb11-8da9-e4434bdf6706.other

    338ca6cbc7994b6dee59eddc992d0faf.png
    图:点B与法向量n

    于是点A到平面 46f57c7d-7c3a-eb11-8da9-e4434bdf6706.other 的距离就是向量 70f57c7d-7c3a-eb11-8da9-e4434bdf6706.other在向量 72f57c7d-7c3a-eb11-8da9-e4434bdf6706.other 上的投影,也就是在法向量 (normal vector) 上的投影:

    da1374a1320d8047e8514486ace7489a.png

    04

    推广:n维空间中点A到n维超平面的距离

    点 76f57c7d-7c3a-eb11-8da9-e4434bdf6706.other ,超平面52b4571392125f1a67f44faa2d57a601.png

    则点A到超平面 46f57c7d-7c3a-eb11-8da9-e4434bdf6706.other 的距离为:

    93910a8b85dc25a19063b37365087878.png.

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    知乎专栏:国际理科

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  • 点到直线的距离公式是高中常见的解析几何公式,形式很优美,但很多人不清楚它的由来,本篇主要来推导一下这个公式,并推广到点到面的距离公式。基础知识向量(vector):方向(direction)+大小(magnitude)向量点积(dot ...

    8c018cd6435cf751968d3c168260f0ff.png

    点到直线的距离公式是高中常见的解析几何公式,形式很优美,但很多人不清楚它的由来,本篇主要来推导一下这个公式,并推广到点到面的距离公式

    • 基础知识

    向量(vector):方向(direction)+大小(magnitude)

    向量点积(dot product):

    bea684a2c27c45799c08cb039d52bddd.png
    图:向量AB,AC示意图


    于是


    注:
    点乘为两个向量对应乘积之和.

    向量

    在向量
    上的投影AD:

    e3c1652692fffc9be9ee89be108ce511.png
    图:投影示意图

    所以,向量
    在向量
    的投影长度,等于向量
    点乘向量
    的单位向量(要加绝对值)。
    • 点到直线的距离公式

    任意一条直线l:ax+by+c=0,点

    ,求点A到直线l的距离。

    (Find the distance between a point A and a line l)

    0c697f141a986adb7ddedd4a521217e0.png
    图:直线l与点A示意图

    在直线l上任取一点

    ,则
    ,如下图所示。

    dd457d054277d859fe07b9b6a3101cb1.png
    图:点B

    点A到直线l的距离,等于AC的长度,也等于向量

    在向量
    上的投影,也就是在法向量 (normal vector) 上的投影。

    而直线的方向向量(direction vector)为

    , 法向量(normal vector)为
    ,则根据基础知识中的介绍,

    又因为,

    所以点A到直线l的距离公式为:

    • 点到面的距离公式

    点A到平面

    的距离。

    (Find the distance between a point A and a plane

    )

    070c78c9074aec933ca51c2d7dd60ab0.png
    图:点A与平面

    与点到直线的距离做法类似,先在平面

    上找一点
    ,
    以及平面
    的法向量
    。其中,平面的法向量为

    7ba8a70d85b09573fd7dea92c7d04f21.png
    图:点B与法向量n

    于是点A到平面

    的距离就是向量
    在向量
    上的投影,也就是在法向量 (normal vector) 上的投影。

    • 推广:n维空间中点A到n维超平面的距离

    ,超平面

    则点A到超平面

    的距离为:

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    如果想看更多有趣的数学知识,可参阅

    双木止月Tong:【国际数学课程】目录zhuanlan.zhihu.com
    22c033205b2d166d0510c1a8232f6b6a.png
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  • 通过向量乘积推导地球两点之间球面距离 思路: 将点经纬度坐标转换三...再根据圆弧长与圆角之间关系lab=rθl_{ab}=r\thetalab​=rθ,得到两个点球面距离 如下所示 其中A、B是球面上两个点,O是球心...
    思路:
    • 将点的经纬度坐标转换三维的直角坐标
    • 根据空间中向量乘积公式a.b=a.bcosθa.b=|a|.|b|\cos{\theta},得到两个点之间的角度
    • 再根据圆弧长与圆角之间的关系lab=rθl_{ab}=r\theta,得到两个点的球面距离

    如下所示
    在这里插入图片描述
    其中A、B是球面上的两个点,O是球心,平面XOY是赤道平面,X轴方向表示0度经线,Y轴方向表示90度经线,Z轴表示北极方向。
    D是A点在赤道平面的投影, ∠AOD表示A点的维度WAW_A,∠XOD表示A点的经度JAJ_A
    C是B点在赤道平面的投影, ∠BOC表示B点的维度WBW_B,∠XOC表示B点的经度JBJ_B

    第1步:坐标转换

    xA=OD.cos(XOD)=OA.cos(AOD).cos(XOD)=r.cosWA.cosJAyA=OD.sin(XOD)=OA.cos(AOD).sin(XOD)=r.cosWA.sinJAzA=AD=OA.sin(AOD)=r.sinWAx_A=|OD|.\cos{(∠XOD)}=|OA|.\cos{(∠AOD)}.\cos{(∠XOD)}=r.\cos{W_A}.\cos{J_A} \\ y_A=|OD|.\sin{(∠XOD)}=|OA|.\cos{(∠AOD)}.\sin{(∠XOD)}=r.\cos{W_A}.\sin{J_A} \\ z_A=|AD|=|OA|.\sin{(∠AOD)}=r.\sin{W_A}

    上面rr表示地球半径, 同理可得B点的三维坐标
    xB=OC.cos(XOC)=OB.cos(BOC).cos(XOC)=r.cosWB.cosJByB=OC.sin(XOC)=OB.cos(BOC).sin(XOC)=r.cosWB.sinJBzB=AD=OB.sin(BOC)=r.sinWBx_B=|OC|.\cos{(∠XOC)}=|OB|.\cos{(∠BOC)}.\cos{(∠XOC)}=r.\cos{W_B}.\cos{J_B} \\ y_B=|OC|.\sin{(∠XOC)}=|OB|.\cos{(∠BOC)}.\sin{(∠XOC)}=r.\cos{W_B}.\sin{J_B} \\ z_B=|AD|=|OB|.\sin{(∠BOC)}=r.\sin{W_B}

    第2步:求解θ\theta角度

    根据空间中向量乘积公式OA.OB=OA.OBcosθ\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=|OA|.|OB|\cos{\theta},得到AB两个点之间的角度
    cosθ=OA.OBOA.OB=OA.OBr2\cos{\theta}=\frac{\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}}{|OA|.|OB|}=\frac{\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}}{r^2}

    OA.OB=xA.xB+yA.yB+zA.zB=r.cosWA.cosJA.r.cosWB.cosJB+r.cosWA.sinJA.r.cosWB.sinJB+r.sinWA.r.sinWB=r2.cosWA.cosWB.(cosJA.cosJB+sinJA.sinJB)+r2.sinWA.sinWB=r2.cosWA.cosWB.cos(JAJB)+r2.sinWA.sinWB\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=x_A.x_B+y_A.y_B+z_A.z_B\\ =r.\cos{W_A}.\cos{J_A}.r.\cos{W_B}.\cos{J_B} +\\ r.\cos{W_A}.\sin{J_A} .r.\cos{W_B}.\sin{J_B} + r.\sin{W_A}.r.\sin{W_B}\\ =r^2.\cos{W_A}.\cos{W_B}.(\cos{J_A}.\cos{J_B}+\sin{J_A}.\sin{J_B})+r^2.\sin{W_A}.\sin{W_B}\\ =r^2.\cos{W_A}.\cos{W_B}.\cos({J_A-J_B}) +r^2.\sin{W_A}.\sin{W_B}

    得到

    cosθ=cosWA.cosWB.cos(JAJB)+sinWA.sinWB\cos{\theta}=\cos{W_A}.\cos{W_B}.\cos({J_A-J_B}) +\sin{W_A}.\sin{W_B}

    第3步:求解AB两点的球面距离

    根据圆弧长与圆角之间的关系lab=rθl_{ab}=r\theta,得到
    lAB=r.θ=r.arccos(cosWA.cosWB.cos(JAJB)+sinWA.sinWB)l_{AB}=r.\theta=r.\arccos({\cos{W_A}.\cos{W_B}.\cos({J_A-J_B}) +\sin{W_A}.\sin{W_B}})

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  • 向量的模,表示向量的长度:我们以前...它的模的计算公式:∣AB⃗∣=12+22+32|\vec{AB}|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}∣AB∣=12+22+32​,这个既表示AB⃗\vec{AB}AB的长度,也表示这点到原点的距离。 #2- 范数: 对于某个向量...
    向量的模,表示向量的长度:我们以前就学过向量,一个一维的向量比如AB=[1,2,3]\vec {AB}=[1,2,3],也表示三维空间中的一个点。它的模的计算公式:AB=12+22+32|\vec{AB}|=\sqrt{1^2+2^2+3^2},这个既表示AB\vec{AB}的长度,也表示这点到原点的距离。

    #2- 范数:

    对于某个向量X=[x1,x2,x3...xn]\vec{X}=[x_1,x_2,x_3...x_n],其2-范数表示为:

    X2=x12+x22+x32...xn2||\vec{X}||_2=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2...x_n^2}

    所以2-范数就是向量的模,对于向量来说2范数就是:XTXX^T X
    但是对于某一个矩阵A来说:其2-范数就是A的转置ATA^T乘以A的矩阵的最大特征值。
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  • 必须绕道,而且至少要经C地点,走AC和CB才能到达,由于街道很规则,ACB就像一个直角3角形,AB是斜边,AC和CB是直角边,根据毕达格拉斯定理,或者向量理论,都可以知道用AC和CB可以表达AB的长度。在早期的计算机图形...
  • 1.三角形面积公式。 海伦公式 知道各边的长度求面积。 p=a+b+c; s=sqrt(p*(p-a)(p-b)(p-c)); 2.知道两点坐标,求两点间的距离。 a=sqrt((x1-x2)(x1-x2)+(y1-y2)(y1-y2));...平面中,有向量AB,AC。AB叉乘AC...
  • 给定两个tensor: A 和 B。...a是tensor A中某一行平方和,b是tensor B中某一行平方和,ab是两个向量的内积。 所以代码为: def EuclideanDistances(a,b): sq_a = a**2 sum_sq_a = torch.sum.
  • 点到直线距离求解

    2020-02-17 17:37:00
    点到线距离求解算法: 解法一: 向量法求解: 1. 当不知道直线公式,仅知道几个点时: 比如A(1,2)B(2,3)C(0,2)求点A到BC距 ...取向量AB=(1,1)则距离d=(向量AB向量n0)绝对值,其中n0是n单位向量,在这里...
  • 各类距离和python实现

    2017-07-12 18:40:28
    先看一下这个,我这里主要是把实现这些距离的公式用python表达出来,其实网上其他人也都写过,但我还是写一遍http://blog.csdn.net/shiwei408/article/details/7602324  ...如果是两个向量AB运算画可以(A-B)(A-B)
  • 小学学过的公式,开平方:(a−b)2=a2+b2−2ab(a-b)^2 = a^2+b^2-2ab(a−b)2=a2+b2−2ab,这里无非是转换成其矩阵形式。 假设现在有两个矩阵,分别是A和B,分别包含2个和3个样本,每个样本有三个特征: 先求ABT: ...
  • 写图形学第一种方法,使用向量计算三个点ABCAB=(b.x-a.x, b.y-a.y)AC=(c.x-a.x, c.y-a.y)cosA = (AB*AC)/(|AB|*|AC|)这种方法好像很复杂,首先AB*AC,|AB|,|AC|需要求两点间的距离向量夹角余弦公式法具体举例:比如...
  • HDU 4741

    2015-08-08 11:08:32
    求两条异面直线的距离、与公垂线的交点坐标 ...③求向量AB在向量n上的射影d,则异面直线a、b间的距离为 再 http://blog.sina.com.cn/s/blog_648868460100h1sf.html 套入公式   #inc
  • 整理一下:第一种方法 ,使用向量计算三个点ABCAB=(b.x-a.x, b.y-a.y)AC=(c.x-a.x, c.y-a.y)cosA = (AB*AC)/(|AB|*|AC|)这种方法好像很复杂,首先AB*AC,|AB|,|AC|需要求两点间的距离向量夹角余弦公式法具体举例:...
  • 微积分 知识整理

    2020-09-08 10:02:42
    两点间的距离公式:∣AB∣=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}∣AB∣=(x2​−x1​)2+(y2​−y1​)2+(z2​−z1​)2​ 2. 方向角和方向余弦 方向角:非零向量 rrr 与各...
  • csdn_export_md

    2020-12-16 15:45:50
    计算三点所形成的夹角的三种方法 c 算法 input float 图形 ...|AB|,|AC|需要求两点间的距离 向量夹角余弦公式法具体举例: 比如已知三点M(1,1),A(2,2),B(2,1)求角度∠AMB 1.先求向量MA,MB 向量公式
  • P4048 [JSOI2010]冷冻波

    2018-11-22 22:05:00
    因为我数学太差,实在不会点到直线距离公式,只好叉积计算面积除以底来计算高了…… 简单来说就是两个向量\((x1,y1),(x2,y2)\)叉积为\((x1y2-x2y1)\),三角形ABC的向量\(AB\)和\(AC\)叉积绝对值就是这个三角形...
  • 想法是把两个点和圆心构成一个三角形,三角形的三边定义成 moa,mob,juli即向量a的模,向量b的模,ab两点的距离。用向量乘积的定理,可以求出两个向量的夹角jiaodu,用面积公式计算出高gao,计算高是否在三角形内部...
  • 高等数学

    2020-03-20 10:43:58
    这里写自定义目录标题基础向量坐标运算模运算数量积垂直或平行圆点到线的距离公式 基础 开方:一个正数有两个平方跟,他们互为相反数,0的平方跟是0。负数没有平方根,一个正数有一个正的立方跟,一个负数有一个负的立方...
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  • 解析:u(1)选择应该是使投影距离最短,而向量的方向正负皆可,故选择AB    2.选择B  解析:k选择与m无关,肘方法适用于聚类类数选择。k选择应该是在满足差异性情况下,取最小值。故选择B。   ...
  • 花书笔记

    2020-07-16 16:43:02
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空空如也

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向量ab的距离公式