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  • 向量的点乘 a·b 和叉乘 a×b

    点乘:

    点乘就是 |a|·|b|·cosθ, (得结果是一个数字float);
    翻译过来就是: 向量a的长度 乘 向量b的长度 再乘 向量ab的夹角;
    我们所需要关心的就是这个夹角;
    夹角小于90°, cosθ就大于0, 点乘的结果就大于0;
    夹角大于90°, cosθ就小于0, 点乘的结果就小于0;
    就是这么简单;

    那有什么用呢?

    答: 判断敌人在我前面还是后面;

    想象以我的眼睛向前发一条射线, 作为向量a;
    再想象我向敌人发一条射线, 作为向量b;
    看dot的正负, 如果是正, 就是夹角小于90°, 也就是敌人在我前面

    Vector3 a = me.forward;
    Vector3 b = enemy.position - me.position;
    float dot = Vector3.Dot(a, b);
    if(dot > 0)
    {
    	//敌人在我前边
    }
    
    还有什么用呢?

    求b在a上的投影长度
    因为: a·b = |a|·|b|·cosθ
    又因为: 投影 = |b|·cosθ
    所以: 投影 = a·b ÷ |a|

    求θ的角度
    已知a·b的情况下
    cosθ = a·b ÷ |a| ÷ |b|
    再用反余弦你就能求θ的角度

    叉乘:

    叉乘的公式和原理你不用懂;
    你只需要知道, 叉乘的结果还是个向量(Vector);
    这个向量垂直于ab向量所在的平面;
    冲上或者冲下

    也就是你只需要看结果的y值的正负号就行了, 就知道冲上还是冲下
    用来判断敌人在我左边还是右边;

    想象以我的眼睛向前发一条射线, 作为向量a;
    再想象我向敌人发一条射线, 作为向量b;
    叉乘的结果要么是冲上, 要么是冲下
    最后我们只要看叉乘向量的y就知道是左边还是右边了;

    Vector3 a = me.forward;
    Vector3 b = enemy.position - me.position;
    Vector3 cross = Vector3.Cross(a, b);
    if(cross.y > 0)
    {
    	//敌人在我的......左还是右来着, 我忘了. 蒙一个, 左吧
    }
    

    叉乘是按照右手定则算的, 而Unity是左手坐标系, 所以结果是相反的, 所以正就是负, 负就是正;
    (右手定则呢, 就是3个向量都相互垂直, 已知其中2个来确定第3个, 具体是怎么算的, 自己去看百度百科)
    在这里插入图片描述
    (图示为错误示范)

    其实点乘也可以判左右

    //区别就是这次不是以我的眼睛发射线(me.forward)作为向量a, 而是以x轴的正方向(me.right)作为向量a

    Vector3 a = me.right;
    Vector3 b = enemy.position - me.position;
    float dot = Vector3.Dot(a, b);
    if(dot > 0)
    {
    	//敌人在我右边
    }
    
    在不能转身的2D游戏里一般用不到这些点乘叉乘什么的

    你在我左边, 你的x就比我的x小, 就这么简单;

    if(you.position.x < me.position.x)
    {
    	//你在我左边
    }
    

    以下是从哔哩哔哩<现代计算机图形学入门>看的

    还能判断点在三角内

    在这里插入图片描述
    判断点P在三角形ABC内:

    先做成3个首尾相交的向量AB, BC, CA
    先AB×AP, 好, AP在左侧
    再BC×BP, 好, 还是BP在左侧
    再CA×CP, 好, 还是CP在左侧
    好, 都在左侧
    证得: P在三角形内
    问: 那如果ABC 3个点是顺时针排布的呢?
    答: 那就看是否都在右侧
    问: 那我们怎么知道他是顺时针还是逆时针呢?
    答: 我们不需要知道, 只要是同左或者同右, 就可以判定: 点在三角形内
    注意: 还有点P刚好在三角形边上的情况, 那种另外算
    注意: 该方法可适用于所有的"凸多边形"

    点乘和点乘的矩阵表示:

    在这里插入图片描述

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  • 向量数量积的定义式:a·b=|a||b|cosθ.其中θ为a.b的夹角. 在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处.但又有 所区别.首先因为无须进行正.余弦形式的转换.也就省去添加 辅助向量的麻烦.当然.在各边所在向量的...

    向量法证明余弦定理 (1)证明思路分析 由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出现.那么可以与哪些向量知识产生联系呢? 向量数量积的定义式:a·b=|a||b|cosθ.其中θ为a.b的夹角. 在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处.但又有 所区别.首先因为无须进行正.余弦形式的转换.也就省去添加 辅助向量的麻烦.当然.在各边所在向量的联系上依然通过向量加 法的三角形法则.而在数量积的构造上则以两向量夹角为引导. 比如证明形式中含有角C.则构造·这一数量积以使出现cosC.同样在证明过程中应注意两向量夹角是以同起点为前提. (2)向量法证明余弦定理过程: 如图.在△ABC中.设AB.BC.CA的长分别是c.a.b. 由向量加法的三角形法则可得=+. ∴·= =2+2·+2 =||2+2||||cos(180°-B)+||2 =c2-2accosB+a2 即b2=c2+a2-2accosB 由向量减法的三角形法则可得: =- ∴·= =2-2·+2 =||2-2||||cosA+||2 =b2-2bccosA+c2 即a2=b2+c2-2bccosA 由向量加法的三角形法则可得 =+=- ∴·= =2-2·+2 =||2-2||||cosC+||2 =b2-2bacosC+a2. 即c2=a2+b2-2abcosC 评述:(1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法的三角形法则. (2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定.与属于同起点向量.则夹角为A,与是首尾相接.则夹角为角B的补角180°-B,与是同终点.则夹角仍是角C. 在证明了余弦定理之后.我们来进一步学习余弦定理的应用. 利用余弦定理.我们可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)已知三边.求三个角. 这类问题由于三边确定.故三角也确定.解唯一, (2)已知两边和它们的夹角.求第三边和其他两个角. 这类问题第三边确定.因而其他两个角唯一.故解唯一.不会产生类似利用正弦定理解三角形所产生的判断取舍等问题. 接下来.我们通过例题评析来进一步体会与总结.【查看更多】

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  • 向量

    2015-12-08 11:24:28
    A·B = |A|·|B|·cos(角度) A·B = x1*x2+y1*y2 这个公式一般用来求夹角 向量叉乘:还是上面的向量,叉乘的结果还是向量。方向在Z轴上 A x B = x1y2-y1x2 这个算出来的是长度,方向再Z轴上 A x B = |A|

    向量 表示的是方向与长度 (x,y)


    向量点乘:向量A(x1,y1) 向量B(x2,y2) ,点乘的结果是标量

    A·B = |A|·|B|·cos(角度)

    A·B = x1*x2+y1*y2

    这个公式一般用来求夹角


    向量叉乘:还是上面的向量,叉乘的结果还是向量。方向在Z轴上

    A x B = x1y2-y1x2

    这个算出来的是长度,方向再Z轴上

    A x B = |A|·|B|·sin(角度)

    这个值的绝对值就是向量A与B形成的平行四边形的面积



    三维向量叉乘:

    对于向量u和v, u x v的结果,是得到一个既垂直于u又垂直于v的向量,假设记作n.

    则有下面公式

    n = u x v;

    而n的方向,是由右手法则决定的。 即伸出右手,四个手指方向从u绕到v. 此时,大姆指的方向,就是n的方向。 我们通常叫做右向量。


    我们假设向量 u,v,n分别用三个标量来表示。即

    u = (Xu,Yu,Zu)

    v = (Xv,Yv,Zv)

    n = (Xn,Yn,Zn)

    则,它们的关系为

    Xn = Yu*Zv – Zu*Yv;

    Yn = Zu*Xv – Xu*Zv;

    Zn = Xu*Yv – Yu*Xv;







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  • 定义:两个向量a与b的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b),0·a =a·0 = 0;若a,b是非零向量,则a与b向量正交的充要条件是a·b = 0。 向量内积的性质: a^2 ≥ 0;当a^2 = 0时,必有a = 0. (正定性) a·b = b·a. ...

    向量

    已知a、b、c是三个向量

    向量的投影 投影过程

    abab线a向量在b向量上的投影就是作a到b的垂线,交点就是投影坐标

    向量的长度(向量的模)

    aa向量a 的长度 记作 |a|a=a.x2+a.y2+a.z2 |a| = \sqrt{a.x^2 + a.y^2 + a.z^2}

    向量的单位

    1向量单位 = 向量长度为1的向量
    也就是1 = |a|

    向量归一化

    =向量归一化 =\frac {向量的分量} {所有向量的分量的和}normal(a(x,y,z))=(a.xa.x+a.y+a.z,a.ya.x+a.y+a.z,a.za.x+a.y+a.z)normal(a(x,y,z)) =( \frac{a.x}{a.x + a.y+a.z}, \frac{a.y}{a.x + a.y+a.z}, \frac{a.z}{a.x + a.y+a.z})

    求与原点、a、b构成的平行四边形点c

    c=a+b c = a + b

    求直线AB的中点C

    c=(a+b)/2 c =( a + b ) / 2

    求向量AB的方向(0,c)

    c=abc = a - b

    求向量a延长N倍后的向量c

    =c=aN=a.xN,a.yN向量 * 常数 = 延长向量 ,c = aN = a.xN, a.yN

    向量的内积(点乘)

    向量的内积记作a·b ,结果是个常数
    【公式】 ab=a.x×b.x+a.y×b.y=abcos(a,b)a·b= a.x \times b.x + a.y \times b.y= |a||b|cos∠(a, b)

    【计算过程】c=ab根据向量的减法得到:c = a-bc2=a2+b22ab根据余弦定理得到:c^2 = a^2 + b^2 -2ab(ab)(ab)=a2+b22abcos(a,b)展开后得到:(a-b)(a-b)=a^2 + b^2 -2|a||b|cos∠(a,b) ab=abcos(a,b)简化后得到:a·b = |a||b|cos∠(a, b)

    计算a、b两个向量之间的夹角

    ab=abcos(a,b)a·b = |a||b|cos∠(a,b)
    (a,b)=arccos(abab),()∠(a,b) = arccos(a·b|a||b|), (内积变体)

    判断a、b两个向量的方向

    adotb=a dot b =
    n=ab=abcos(a,b)公式:n =a·b = |a||b|cos∠(a, b)n>00°90°n>0,说明夹角在0°到90°之间,方向基本相同 n=0n=0,说明相互垂直 n<090°180°n<0,说明夹角在90°到180°之间,两个向量方基本相反
    3ba【用途3:b向量在a向量方向上的投影】向量的投影是指:作b到a的垂线,垂线交点就是b向量在a向量上的投影ban=abab在a的投影:n=\frac{a·b}{|a|}

    向量的外积(叉乘)

    向量a与b的外积记作a×b,结果是一个向量
    该向量的其长度等于原点向量a与向量b组成的平行四边形的面积=|a×b| = |a||b|sin∠(a,b),

    【公式与过程】
    a×b=ijka.xa.ya.zb.xb.yb.z;(ijki=(1,0,0);j=(0,1,0);k=(0,0,1))a \times b =\begin{vmatrix} i & j & k \\ a.x & a.y & a.z \\ b.x & b.y&b.z \end{vmatrix};\begin{pmatrix}i、j、k为代表向量参数位置的向量 \\ i=(1,0,0); j=(0,1,0) ;k=(0,0,1) \end{pmatrix}=(a.yb.zb.ya.z)i(a.xb.zb.xa.z)j+(a.xb.yb.xa.y)k =(a.y*b.z - b.y*a.z) i-(a.x*b.z - b.x *a.z) j+(a.x*b.y - b.x *a.y) k=((a.yb.zb.ya.z),0,0)(0,(a.xb.zb.xa.z),0)+(0,0,(a.xb.yb.xa.y))=((a.y*b.z - b.y*a.z),0,0)-(0,(a.x*b.z - b.x *a.z),0)+(0,0,(a.x*b.y - b.x *a.y))=((a.yb.zb.ya.z),(a.xb.zb.xa.z),(a.xb.yb.xa.y)) =((a.y∗b.z−b.y∗a.z), -(a.x∗b.z−b.x∗a.z), (a.x∗b.y−b.x∗a.y))
    【性质】
    a×b=b×a.;(λa+μb)×c=λ(a×c)+μ(b×c).线a × b = -b × a. (反称性);(λa + μb) × c = λ(a ×c) + μ(b ×c). (线性)

    在二维世界中,求向量a和向量b构成的平行四边形的面积

    c=a×bc = |a \times b|

    求垂直于a,b向量的法向量c,从而构建X、Y、Z坐标系

    ab(a,b,a×b)其方向正交于a与b。并且,(a,b,a×b)构成右手系。 c=a×bc=a\times b

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  • 向量运算

    千次阅读 2017-02-17 23:19:10
    提到 向量运算,首先就是 点乘 和 叉乘。 点乘(Dot Product): ... 向量a·向量b = |a||b| cosθ  = a1·b1 + a2·b2  点乘 的几何意义是一个向量在另外一个向量上的投影。 叉乘(Cross Produ
  • 几何表示a·b=∣a∣∣b∣cosθ,其中θ是向量a与b的夹角。(结果为一个数)2.代数表示a=[a1​,a2​,a3​,…,an​]b=[b1​,b2​,b3​,…,bn​]则a·b=a1​b1​+a2​b2​+…+an​bn;3.运算规律a·b=b·a(a+b)·c=a·c+...
  • 展开全部数量积AB=ac+bd向量积要利用行列式若向量a=(a1,b1,c1),向量b=(a2,b2,c2),则向量a·向量b=a1a2+b1b2+c1c2向量a×向量b=|e68a8462616964757a686964616f31333363396364 i j k| |a1 b1 c1| |a2 b2 c2| =(b1c2-...
  • 向量 点乘 公式:a ·b = |a| * |b| * cosθ 点乘又叫向量的内积、数量积,是一个向量和它在另一个向量上的投影的长度的乘积;...向量a·向量b=a1a2+b1b2+c1c2 叉乘 公式:a × b = |a| * |b| * sinθ 叉...
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  • 向量点乘叉乘

    2019-09-21 11:18:31
     向量a·向量b=|a||b|cos<a,b> 在物理学中,已知力与位移求功,实际上就是求向量F与向量s的内积,即要用点乘。 将向量用坐标表示(三维向量), 若向量a=(a1,b1,c1),向量b=(a2,b2,c2), 则 向量a·向量...
  • 向量的叉乘运算法则为|向量c|...向量a·向量b=|a||b|cos在物理学中,已知力与位移求功,实际上就是求向量F与向量s的内积,即要用点乘。叉乘,也叫向量的外积、向量积。顾名思义,求下来的结果是一个向量,记这个向量...
  • 展开全部已知两个非零向量a、b,那么|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)...记作a·b。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1·x2+y1·y2向量的数量积公式:a*b=|a||b|cosθ,...
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  • 向量的内积

    2019-10-14 10:58:00
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  • 关于向量

    2012-08-05 11:53:00
    a+b=b+a 向量加法的交换律 a-b=a+(-b) 向量减法的定义 (a+b)+c=a+(b+c) 向量加法的结合律 s(t · a)=(s · t)a 标量乘法的结合律 k(a+b)=ka+kb 标量乘法对向量加法的分配律 ||ka||=|K| ||a|| 向量乘以标量相当于以...
  • 向量与矩阵

    千次阅读 2018-05-03 18:10:33
    向量点乘:两个向量a = [a1, a2,…, an]和b = [b1, b2,…, bn]的点积定义为:a·b=a1b1+a2b2+……+anbn。使用矩阵乘法并把(纵列)向量当作n×1 矩阵,点积还可以写为:a·b=a^T*b,这里的a^T指示矩阵a的转置。向量...
  • 向量的点乘和叉乘

    2020-04-26 10:41:44
    A·B=AxBx+AyBy+AzBz(对应元素相乘相加) 几何意义:投影 A·B=|A||B|*cosθ 2.叉乘 叉乘,也叫向量的外积、向量积 意义:叉乘结果是一个向量,向量模长是向量A,B组成平行四边形的面积;向量方向是垂直于向量A,B...
  • Problem D: 编程题B-向量的数量积 Time Limit: 1 Sec Memory ...已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则有a·b=x1x2+y1y2,即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 Input 输入x1,y1,x2
  • 向量的点乘与叉乘

    2019-05-20 18:25:38
    向量的内积(点乘) 定义 概括地说,向量的内积(点乘/数量积)。对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应...定义:两个向量a与b的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b),特别地,0·a =a·0 = 0;若a,b是非零向...
  • 向量的差乘和点乘

    2017-08-11 13:40:00
    点乘: 向量a·向量b=|a|*|b|*cosθ 坐标运算中: 向量a·向量b=a1a2+b1b2+c1c2 向量a×向量b=| i j k||a1 b1 c1||a2 b2 c2|=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)(i、j、k分别为空间中相互垂直的三条坐标轴的单位...
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  • 向量点乘与叉乘

    2018-01-29 18:26:18
    向量a·向量b=|a||b|cos  在物理学中,已知力与位移求功,实际上就是求向量F与向量s的内积,即要用点乘.  2.叉乘,也叫向量的外积、向量积(外向叉).顾名思义,求下来的结果是一个向量,记这个向量为c.  |...
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空空如也

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向量a·b