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  • 向量点乘与叉乘的几何意义

    万次阅读 多人点赞 2016-11-06 21:59:35
    向量点乘与叉乘的几何意义 很惭愧,作为一名学生,向量的最基本的知识全忘了,在最近做计算机图形学实验时,需要用到向量计算时,发现自己寸步难行。只好赶快百度”预习”一下。向量点乘:a * b公式:a * b = |a...

    向量的点乘与叉乘的几何意义

      很惭愧,作为一名学生,向量的最基本的知识全忘了,在最近做计算机图形学实验时,需要用到向量计算时,发现自己寸步难行。只好赶快百度”预习”一下。

    向量的点乘:a * b

    公式:a * b = |a| * |b| * cosθ
    点乘又叫向量的内积、数量积,是一个向量和它在另一个向量上的投影的长度的乘积;是标量。
    点乘反映着两个向量的“相似度”,两个向量越“相似”,它们的点乘越大。

    向量的叉乘:ab

    ab = |a| * |b| * sinθ
    向量积被定义为:
    模长:(在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)(0° ≤ θ ≤ 180°),它位于这两个矢量所定义的平面上。)
    方向:a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直,且遵守右手定则。(一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的:若坐标系是满足右手定则的,当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时,竖起的大拇指指向是c的方向。c = ab
    这里写图片描述
    特别的,在二维中,两个向量的向量积的模的绝对值等于由这两天向量组成的平行四边形的面积。
    向量积

    参考:百度百科,维基百科

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  • 向量的点乘:a * b 公式:a * b = |a| * |b| * cosθ  点乘又叫向量的内积、数量积,是一个向量和它在另一个向量投影长度乘积;是标量。  点乘反映着两个向量的“相似度”,两个向量越“相似”,它们...

    向量的点乘:a * b

    公式:a * b = |a| * |b| * cosθ 
    点乘又叫向量的内积、数量积,是一个向量和它在另一个向量上的投影的长度的乘积;是标量。 
    点乘反映着两个向量的“相似度”,两个向量越“相似”,它们的点乘越大。

    向量的叉乘:a ∧ b

    a ∧ b = |a| * |b| * sinθ 
    向量积被定义为: 
    模长:(在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)(0° ≤ θ ≤ 180°),它位于这两个矢量所定义的平面上。) 
    方向:a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直,且遵守右手定则。(一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的:若坐标系是满足右手定则的,当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时,竖起的大拇指指向是c的方向。c = a ∧ b) 
    这里写图片描述 
    特别的,在二维中,两个向量的向量积的模的绝对值等于由这两天向量组成的平行四边形的面积。 
    向量积

    参考:百度百科,维基百科

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  • 向量是由n个实数组成的一个n行1列(n*1)或一个1行n列(1*n)的...点乘公式对于向量a和向量b: a和b的点积公式为: 要求一维向量a和向量b的行列数相同。点乘几何意义点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的...

    向量是由n个实数组成的一个n行1列(n*1)或一个1行n列(1*n)的有序数组;

    向量的点乘,也叫向量的内积、数量积,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量。

    点乘公式

    对于向量a和向量b:

                          

    a和b的点积公式为:

    要求一维向量a和向量b的行列数相同。

    点乘几何意义

    点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及在b向量在a向量方向上的投影,有公式:

    推导过程如下,首先看一下向量组成:

    定义向量:

    根据三角形余弦定理有:

    根据关系c=a-b(a、b、c均为向量)有:

    即:

    向量a,b的长度都是可以计算的已知量,从而有a和b间的夹角θ:

    根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向,是否正交(也就是垂直)等方向关系,具体对应关系为:

    a·b>0    方向基本相同,夹角在0°到90°之间

    a·b=0    正交,相互垂直

    a·b<0    方向基本相反,夹角在90°到180°之间

    叉乘公式

    两个向量的叉乘,又叫向量积、外积、叉积,叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

    对于向量a和向量b:

    a和b的叉乘公式为:

    其中:

    根据i、j、k间关系,有:

    叉乘几何意义

    在三维几何中,向量a和向量b的叉乘结果是一个向量,更为熟知的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。

    在3D图像学中,叉乘的概念非常有用,可以通过两个向量的叉乘,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示:

    在二维空间中,叉乘还有另外一个几何意义就是:aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

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  • 向量点乘向量叉乘的几何意义

    千次阅读 2019-02-01 17:50:04
    向量点乘(内积) 向量点乘公式为: ...内积(点乘的几何意义: 表征或计算两个向量之间的夹角 b向量a向量方向上的投影 判断两个向量是否同一方向或正交(即垂直)等方向关系,具体对应关系为:...

    向量点乘(内积)

    向量点乘公式为:

    a * b = |a| * |b| * cosθ

    点乘的结果是是标量点乘也被称为内积,是a向量在b向量上投影的长度与b向量的长度的乘积,反映了两个向量之间的相似度,两向量越相似,它们的点积就越大。

    内积(点乘)的几何意义:

    1. 表征或计算两个向量之间的夹角
    2. b向量在a向量方向上的投影

    判断两个向量是否同一方向或正交(即垂直)等方向关系,具体对应关系为:

    a∙b>0→方向基本相同,夹角在0°到90°之间 
    a∙b=0→ 正交,相互垂直 
    a∙b<0→ 方向基本相反,夹角在90°到180°之间

     

    向量叉乘(外积)

    向量叉乘公式为:

    a ^ b = |a| * |b| * sinθ

    叉乘的结果是一个新的向量,所以也称为向量积,它垂直于相乘的a、b两向量所构成的平面。

    外积(叉乘)的几何意义:

    在三维几何中,向量a和向量b的外积结果是一个向量,有个更通俗易懂的说法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。

    在3D图像学中,外积的概念非常有用,可以通过两个向量的外积,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示:

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  • 声明: 本文转自这里 向量是由n个实数组成一个n行1列(n*1)或一个1行n列(1*n)有序数组; 向量的点乘,也叫向量内积、数量积,对...对于向量a和向量b: &nbsp; &nbsp; &nbsp; &...
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  • 向量的点乘和叉乘

    2019-11-11 18:01:53
    向量是由n个实数组成的一个n行1列(n1)或一个1行n列(1n)的有序数组 ...点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及在b向量a向量方向上的投影,有公式: 二、叉乘公式 两...
  • 向量点乘向量叉乘的意义

    万次阅读 2018-08-15 15:47:27
    这是博客原文:向量点乘与叉乘的几何意义。我主要是为了方便自已以后添加和查找。 向量的点积公式为:a * b = |a| * |b| * cosθ,点积的结果是数量而不是向量所以点积也被称为数量积或者内积,是a向量b向量上...
  • 【转】向量点乘(内积)和叉乘(外积、向量积)概念及几何意义解读向量是由n个实数组成的...1. 点乘公式对于向量a和向量b: a和b的点积公式为:要求一维向量a和向量b的行列数相同。点乘几何意义点乘的几何意义是可以用来...
  • 向量是由n个实数组成一个n行1列(n*1)或一个1行n列(1*n)有序数组; 向量的点乘,也叫向量内积、数量积,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量...对于向量a和向量b: &nbsp; &nbsp; &...

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