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  • 向量a点乘向量b的公式
    千次阅读
    2020-04-26 10:41:44

    1.点乘

    点乘,也叫向量的内积、数量积

    A·B=AxBx+AyBy+AzBz(对应元素相乘相加)
    几何意义:投影
    A·B=|A|
    |B|*cosθ
    在这里插入图片描述

    2.叉乘

    叉乘,也叫向量的外积、向量积
    在这里插入图片描述
    意义:叉乘结果是一个向量,向量模长是向量A,B组成平行四边形的面积;向量方向是垂直于向量A,B组成的平面;
    |向量C|=|向量A*向Bb|=|A||B|sin<A,B>

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  • 向量点乘 a·b 和叉乘 a×b

    千次阅读 2020-05-29 20:58:25
    向量点乘 a·b 和叉乘 a×b

    点乘:

    点乘, 即|a|·|b|·cosθ, (结果是一个数字)
    即: a的长度 * b的长度 * ab的夹角

    夹角<90°, 则cosθ>0, 则结果>0
    夹角>90°, 则cosθ<0, 则结果<0

    那有什么用呢?

    答: 判断敌人在我前面还是后面

    我向前方发一条射线, 作为向量a
    我向敌人发一条射线, 作为向量b
    计算点乘结果
    如果是正, 即夹角小于90°, 即敌人在我面前180°内
    如果是负, 即夹角大于90°, 即敌人在我身后180°内

    Vector3 a = me.forward;
    Vector3 b = enemy.position - me.position;
    float dot = Vector3.Dot(a, b);
    if(dot > 0)
    {
    	//敌人在我前边
    }
    
    还有什么用处呢?

    1.求b在a上的投影长度
    因为: a·b = |a|·|b|·cosθ
    又因为: 投影长度 = |b|·cosθ
    则: 投影长度 = a·b ÷ |a|

    2.求θ的角度
    已知a·b的情况下
    cosθ = a·b ÷ |a| ÷ |b|
    再用反余弦, 就能求θ的角度

    叉乘:

    叉乘的结果是个向量
    此向量垂直于ab向量所在的平面
    冲上或者冲下

    用来判断敌人在我左边还是右边

    我向前方发一条射线, 作为向量a
    我向敌人发一条射线, 作为向量b
    叉乘的结果要么冲上, 要么冲下
    看y轴的正负就知道是左边还是右边了

    Vector3 a = me.forward;
    Vector3 b = enemy.position - me.position;
    Vector3 cross = Vector3.Cross(a, b);
    if(cross.y > 0)
    {
    	//敌人在我的......左还是右来着, 忘了
    }
    

    叉乘是按照右手定则算的, 而Unity是左手坐标系, 所以结果是相反的, 所以正就是负, 负就是正
    (右手定则, 如图, 3个向量相互垂直, 已知其中2个就能确定第3个, 具体是怎么算的, 自己去看百度百科)
    在这里插入图片描述

    其实点乘也可以判左右

    //区别就是这次以我的右手方向(me.right)作为向量a

    Vector3 a = me.right;
    Vector3 b = enemy.position - me.position;
    float dot = Vector3.Dot(a, b);
    if(dot > 0)
    {
    	//敌人在我右边
    }
    else
    {
        //敌人在我左边
    }
    
    在不能转身的2D游戏里一般用不到这些点乘叉乘什么的

    如果你在我左边, 则, 你的x必然小于我的x

    if(you.position.x < me.position.x)
    {
    	//你在我左边
    }
    

    以下是从哔哩哔哩<现代计算机图形学入门>看到的

    用来判断点是否在三角内

    在这里插入图片描述
    判断点P是否在三角形ABC内:

    先做成3个首尾相交的向量AB, BC, CA
    先AB×AP, 好, AP在左侧
    再BC×BP, 好, 还是BP在左侧
    再CA×CP, 好, 还是CP在左侧
    好, 都在左侧
    证得: P在三角形内

    问: 那如果ABC 3个点是顺时针排布的呢?
    答: 那就看是否都在右侧
    问: 那我们怎么知道他是顺时针还是逆时针呢?
    答: 我们不需要知道, 只要是同左或者同右, 就可以判定: 点在三角形内

    注意: 还有点P刚好在三角形边上的情况, 那种另外算
    注意: 该方法可适用于所有的"凸多边形"

    点乘和点乘的矩阵表示:

    在这里插入图片描述

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  • 好久没有写文章了,抱歉了,以后每天...两个向量“相乘”:等于两个向量的模(长度)乘于夹角的余弦在二维空间中,向量的点乘:使用余弦定理证明:向量点乘的直观理解:向量的点乘,两个向量必须是同方向的,所以做...

    好久没有写文章了,抱歉了,以后每天都会更新一篇的....

    向量的点乘,也就是两个向量相乘:

    我们是不这么定义的,不是两个向量对应的坐标元素相乘:

    两个向量“相乘”,结果是⼀个数!,两个向量"相乘",更严格的说法:两个向量的点乘,两个向量的内积。

    两个向量“相乘”:等于两个向量的模(长度)乘于夹角的余弦

    在二维空间中,向量的点乘:

    使用余弦定理证明:

    向量点乘的直观理解:

    向量的点乘,两个向量必须是同方向的,所以做投影以后的长度再相乘

    同样,可以用坐标来理解:

    v向量分解为x轴的x2向量,y轴的y2向量,u向量分解为x轴的x1向量,和y轴的y1向量,然后分别相乘,有4种情况,垂直的向量相乘为0,所以是x1.x2+y1.y2

    使用Python实现向量的点乘:

    具体代码:

    定义一个内部使用的文件_globals,用来存储全局使用的变量 EPSILON,用来判断精度用的

    EPSILON = 1e-8

    Vector的代码:

    import math

    from ._globals import EPSILON

    class Vector:

    def __init__(self, lst):

    self._values = list(lst)

    @classmethod

    def zero(cls, dim):

    """返回一个dim维的零向量"""

    return cls([0] * dim)

    def __add__(self, another):

    """向量加法,返回结果向量"""

    assert len(self) == len(another), \

    "Error in adding. Length of vectors must be same."

    return Vector([a + b for a, b in zip(self, another)])

    def __sub__(self, another):

    """向量减法,返回结果向量"""

    assert len(self) == len(another), \

    "Error in subtracting. Length of vectors must be same."

    return Vector([a - b for a, b in zip(self, another)])

    def norm(self):

    """返回向量的模"""

    return math.sqrt(sum(e**2 for e in self))

    def normalize(self):

    """返回向量的单位向量"""

    if self.norm() < EPSILON:

    raise ZeroDivisionError("Normalize error! norm is zero.")

    return Vector(self._values) / self.norm()

    def dot(self, another):

    """向量点乘,返回结果标量"""

    assert len(self) == len(another), \

    "Error in dot product. Length of vectors must be same."

    return sum(a * b for a, b in zip(self, another))

    def __mul__(self, k):

    """返回数量乘法的结果向量:self * k"""

    return Vector([k * e for e in self])

    def __rmul__(self, k):

    """返回数量乘法的结果向量:k * self"""

    return self * k

    def __truediv__(self, k):

    """返回数量除法的结果向量:self / k"""

    return (1 / k) * self

    def __pos__(self):

    """返回向量取正的结果向量"""

    return 1 * self

    def __neg__(self):

    """返回向量取负的结果向量"""

    return -1 * self

    def __iter__(self):

    """返回向量的迭代器"""

    return self._values.__iter__()

    def __getitem__(self, index):

    """取向量的第index个元素"""

    return self._values[index]

    def __len__(self):

    """返回向量长度(有多少个元素)"""

    return len(self._values)

    def __repr__(self):

    return "Vector({})".format(self._values)

    def __str__(self):

    return "({})".format(", ".join(str(e) for e in self._values))

    测试代码:

    from playLA.Vector import Vector

    if __name__ == "__main__":

    vec = Vector([5, 2])

    print(vec)

    print("len(vec) = {}".format(len(vec)))

    print("vec[0] = {}, vec[1] = {}".format(vec[0], vec[1]))

    vec2 = Vector([3, 1])

    print("{} + {} = {}".format(vec, vec2, vec + vec2))

    print("{} - {} = {}".format(vec, vec2, vec - vec2))

    print("{} * {} = {}".format(vec, 3, vec * 3))

    print("{} * {} = {}".format(3, vec, 3 * vec))

    print("+{} = {}".format(vec, +vec))

    print("-{} = {}".format(vec, -vec))

    zero2 = Vector.zero(2)

    print(zero2)

    print("{} + {} = {}".format(vec, zero2, vec + zero2))

    print("norm({}) = {}".format(vec, vec.norm()))

    print("norm({}) = {}".format(vec2, vec2.norm()))

    print("norm({}) = {}".format(zero2, zero2.norm()))

    print("normalize {} is {}".format(vec, vec.normalize()))

    print(vec.normalize().norm())

    print("normalize {} is {}".format(vec2, vec2.normalize()))

    print(vec2.normalize().norm())

    try:

    zero2.normalize()

    except ZeroDivisionError:

    print("Cannot normalize zero vector {}.".format(zero2))

    print(vec.dot(vec2))

    注意:

    向量的点乘的应⽤

    1、求出两个向量之间的夹角范围,或者具体值

    2、判断两个向量的相似程度(推荐系统)

    一组物品进行推荐,可能是电影,音乐....在推荐的时候,最典型的推荐策略就是推荐和你的喜好最相似的内容,比如说,你已经在系统上留下足迹,喜欢电影A,此时电影B和A相似,推荐系统就会倾向把电影B推荐给你,电影C和电影B极其不相似,推荐系统就不会推荐。

    在这个背后如何判断两个电影是否相似?

    很简单的判断就是使用向量的点乘,在这种情况下,可以想象一下,每一个电影都可以理解为一个高维空间中的点,把向量另外一种视角看待(高维空间中的一个点),对电影来说,它可能有(电影的时间,演员的列表,电影的导演,电影的类型,电影的色调,台词量....)的一个高维度信息,就是在一个高维空间中的点,在这种情况下,如果我们转换我们的视角,把每个电影又转换成一个高维空间中的一个向量,每两个电影之间就会存在一个夹角,这时候,我们可以看这两个电影之间的夹角是直角,钝角,还是锐角,,如果是锐角,那么这两个电影之间有一部分是重合的,我就说这两个电影是相似的,如果是垂直的,那么这两部电影就是无关的,如果是顿角那么这两部电影是背离的。

    在这里我们不仅可以看两个向量之间的夹角,还可以看点乘的结果(值),如果点乘的值为正值,并且越大,说明这两个电影越相似,在最极端的情况下,这两个向量完全重合的时候,那么这时候这两个向量的点乘将达到最大值,也就是两个电影的高维空间中的点(电影的时间,演员的列表,电影的导演,电影的类型,电影的色调,台词量....)已经重合了。

    换句话说,我们可以使用向量点乘的方式,来看两个向量(电影)的相似,值越大,越相似,值越小,越不一样,这就是向量的点乘在推荐系统中的一个典型应用,当然了,现在的推荐

    系统都比较复杂,在判断两个物品是否相似的时候,也有其他更加准确的方法,不仅如此,在具体判断两个物品是否相似之前,对两个物品所对应的数据也也需要进行很多的处理。

    3、⼏何计算

    v向量投影到u向量上

    投影点的方向,也就是u向量除以u向量的模,也就是u向量方向的单位向量,举例子,u向量为(3,4),模长为5,u向量方向的单位向量为(3/5,4/5)

    展开全文
  • 向量点乘(一)

    万次阅读 2019-05-18 10:46:52
    向量点乘(一) 1.点乘的定义 向量u和向量v之间最小的夹角我们记做为[u,v],如下图所示,两个向量之间的夹角我们用绿色弧形表示,其中一个夹角用绿色矩形表示,这意味着这两个向量的夹角为90度或者是π/2,即[u,v...

                                            向量的点乘(一)

    1.点乘的定义

    向量u和向量v之间最小的夹角我们记做为[u,v],如下图所示,两个向量之间的夹角我们用绿色弧形表示,其中一个夹角用绿色矩形表示,这意味着这两个向量的夹角为90度或者是π/2,即[u,v]=π/2。表示这两个向量正交(垂直)。图中左下角表示两个向量0夹角为0,第二行中部表示的是两个向量夹角为π。这两种情况我们都可以称之为共线向量或者平行向量。左下角的两个向量平行且有相同的方向,第二行中部的两个向量平行但是方向相反。

    定义1:点乘

    向量u和向量v的点乘,表示为u·v,其数值为:

    我们知道\left \| v \right \|表示的是向量的长度,由于向量的长度总是一个大于零的标量,那么,对于上述点乘而言,只有当\left [ u,v \right ]为正数的时候,点乘结果才为正数。因此,我们可以推导出点乘的一些性质:

    其中,最后一条性质非常重要。如果两个向量相互正交(垂直),那么他们的点乘。利用这个性质往往能够简化一些计算。

    Example :点乘的简单计算

    假设我们有两个向量uv。其中向量u的长度为4,v的长度为3.两个向量的夹角为π/4,任意一个向量都不为零。我们根据上述的定义计算其点乘为:

    2.单位向量和归一化

    长度为1的向量我们称之为单位向量,也就是说当向量v为单位向量,即有\left \| v \right \|=1。对于任何一个非零向量,我们都可以得到其单位向量。求解单位向量的过程我们称之为归一化。任意一个非零向量v,我们可以把该向量除以其长度即可得到归一化的单位向量n。即:

    3.投影

    如下图所示,根据三角学知识,我们知道直角三角形中最小角的余弦可以根据斜边和最短边求得。用表达式可以表示为:

                                                                                                cos\Theta =\frac{a}{c}

    假设u向量正交投影到另外一个向量v,得到一个新的向量w。如下图所示:

    向量uv以及虚线构成一个直角三角形。根据三角学的知识可得,\cos \left [ u,v \right ]=\left \| w \right \|/\left \| v \right \|,即我们可以得到向量w的长度为\left \| w \right \|=\left \| u \right \|\cos \left [ u,v \right ]。如果v向量长度为1,即\left \| v \right \|=1,那么向量w可以通过如下式子计算:

                                                                    w=\left \| w \right \|v=\left \| u \right \|\cos \left [ u,v \right ]v

    \left \| w \right \|vw相比,我们知道\left \| w \right \|v和向量v的方向相同,长度正好和的w长度一致。上式是针对向量v长度为1的情况而言,假设对于任意一个非零向量而言,我们可以通过归一化的方法求得其单位向量,之后再带入到上式中我们即可得到任意非零向量的投影为:

    由于向量的归一化并不会改变向量的方向,因此我们任然使用\cos \left [ u,v \right ]代替\cos \left [ u,\frac{v}{\left \| v \right \|} \right ]。上式中分子分母同乘以标量\left \| v \right \|得到:

    根据点乘的定义我们知道,上式的分子正好是点乘。即我们进一步简化为:

    因此,我们有正交投影的正式定义为:

    对于非零向量v,向量u正交投影于v的投影我们可以定义为:

                                                                                      P_{u}=\frac{u\cdot v}{\left \| v \right \|^{2}}v

    上式公式计算出来的是u向量在v向量上与v向量同方向的投影向量w。

    向量内积的几何解释就是一个向量在另一个向量上的投影的积,也就是同方向的积

    由于计算出来的向量w和v是同方向的。即

    这也就解释了上述内积的几何意义:一个向量在另一个向量投影的积

    利用投影的定义,我们可以推到出点乘的一些性质。

    点乘的性质:

    4.正交基

    这一小节我们将介绍一种计算点乘的简单方法。假设我们在三维空间中,以相同的基向量为基础,得到的两个向量和

    u=\left ( u_{1},u_{2},u_{3} \right )v=\left ( v_{1},v_{2},v_{3} \right )

    这两个向量的点乘可以表示为:

    展开可得到:

    这个式子既长又复杂。但是,但我们假设e_{i}e_{j}=0i\neq j时,上式即表示为每一个基向量都正交于另外每一个基向量。我们再进一步假设e_{i}e_{i}=1对所有i都成立。这个等式说明每一个基向量的长度为1.在这两个假设的前提下,上式可以简化为:

     

    正交基定义:

    对于N维空间的正交基,其中包含一系列基向量,\left ( e_{1},\cdots ,e_{n} \right )其必然满足:

    这意味着,这些基向量都是长度为一的单位向量,且两两相互正交。

    正交基中的点乘:

    在任何一个正交基中,两个n维向量之间的点乘可以表示为:

    例如,在正交基中,二维向量、三维向量之间的点乘可以发分别表示为:

    在学校学习线性代数的时候,印象中我们都是直接套用了上述公式。因为默认使用的是以X轴和Y轴为正交基向量的。在校学习的时候只是单纯的知道这么计算,当时也没有深入的思考为什么这样计算。直到多年之后,再次学习到这里,才恍然大悟,原来如此。

    Example:

    在如下图中的正交基所表示的空间中,u=\left ( 1,2 \right )v=\left ( 3,1.5 \right ),计算\left \| u \right \|\left \| v \right \|\cos \left [ u,v \right ]

    我们知道\left \| u \right \|\left \| v \right \|\cos \left [ u,v \right ]恰好是两个向量的点乘。我们利用其基向量正交的条件可知,

     5.正交基中的向量长度

    我们已经知道,在正交基中的向量点乘我们可以简单的通过其坐标点之间的乘积之和求得。在这一小节中,我们也会明白在正交基中,我们也可以简单快速的求得向量的长度。

     

    我们根据点乘的性质知道,v\cdot v=\left \| v^{} \right \|^{2}。如果v向量在正交基中的坐标为\left ( v_{x},v_{y} \right ),我们可以根据正交基中的点乘性质知道\left \| v \right \|^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}。如下图所示:

    上图中,我们画出了向量v,以及它在正交基向量中的坐标。向量在正交基中的表示,类似于下图直角三角形的表示。其中c=\left \| v \right \|,a=v_{x},b=v_{y},。我们知道在直角三角形中,根据勾股定理可知:c^{2}=a^{2}+b^{2}

    因此在二维平面中,任意一个在正交基中的向量我们可以通过下式计算其长度:  

    6.利用点乘计算三角形的面积

    如下图所示,我们用三点定义了一个三角形。我们将利用向量点乘的形式计算其面积。我们将使用两条边构成的向量u=B-Av=C-A。根据三角形知识可知,三角形的面积计算公式为:bh/2,其中b是底边的长度,h是三角形的高。在下图中b=||u||,,h可以表示为:

     

    因此,三角形的面积公式可以转换为:

     

     

    由于三角形的面积总为正。我们可以对上式两边开平方可得:

    因此,三角形的面积公式向量形式为:

     

     

     

    翻译至:http://immersivemath.com/ila/ch03_dotproduct/ch03.html

     

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  • 向量点乘与叉乘

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    向量点乘与叉乘 向量(Vector)  在几乎所有的几何问题中,向量(有时也称矢量)是一个基本点。向量的定义包含方向和一个数(长度)。在二维空间中,一个向量可以用一对x和y来表示。例如由点(1,3)到(5,1的向量...
  • 点乘与叉乘是线性代数的基本知识,在工作中也经常能够遇到,下面我们来温习一下它们的概念以及使用C++代码对它们进行实现。
  • 向量点乘的含义

    万次阅读 2017-09-06 09:27:55
     二维空间的两个向量 a =(x1,y1),b= (x2,y2),则它们的数量积(内积、点积)为以下实数:  a*b=x1x2+y1y2 几何定义:  二维空间内有两个向量ab,它们的夹角为&(0  a*b = |a||b|cos& 点乘的值: u...
  • 向量点乘与叉乘的几何意义

    万次阅读 多人点赞 2016-11-06 21:59:35
    向量点乘:a * b公式a * b = |a| * |b| * cosθ 点乘又叫向量的内积、数量积,是一个向量和它在另一个向量上的投影的长度的乘积;是标量。 点乘反映着两个向量的“相似度”,两个向量越“相似”,它们的点乘
  • 这一段细枝末节很多,一篇下来篇幅很长,读下来耗时,所以分了两个部分。九、解释距离公式的原理。下面介绍计算几何中最重要的公式之一:距离...先计算从ab向量d,在3D情况中:ab的距离等于向量d的长度。之前学...
  • 定义:两个向量ab的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b),0·a =a·0 = 0;若ab是非零向量,则ab向量正交的充要条件是a·b = 0。 向量内积的性质: a^2 ≥ 0;当a^2 = 0时,必有a = 0. (正定性) a·b = b·a. ...

空空如也

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向量a点乘向量b的公式