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    有时我们需要衡量一个向量的大小,这机器学习中,我们经常使用范数来衡量向量大小。LpL^pLp范数定义为: ∥x∥p=(∑i∣xi∣p)1p \|x\|_p=(\sum_i|x_i|^p)^{\frac{1}{p}} ∥x∥p​=(i∑​∣xi​∣p)p1​ 其中p∈R,p⩾...

    有时我们需要衡量一个向量的大小,这机器学习中,我们经常使用范数来衡量向量大小。 L p L^p Lp范数定义为:

    ∥ x ∥ p = ( ∑ i ∣ x i ∣ p ) 1 p \|x\|_p=(\sum_i|x_i|^p)^{\frac{1}{p}} xp=(ixip)p1
    其中 p ∈ R , p ⩾ 1 p \in R,p \geqslant 1 pR,p1

    我们讨论几个特殊的范数。

    L 2 L^2 L2范数又被称为欧几里得范数,表示从原点出发到向量 x x x确定的点的欧几里得距离。 L 2 L^2 L2范数在机器学习中出现的非常的多,经常简化表示为 ∥ x ∥ \|x\| x
    L 2 L^2 L2范数的平方也经常使用,它的计算更为方便。

    在某些机器学习应用中,区分元素是0还是非0小值非常重要,这时候我们会使用 L 1 L^1 L1,即
    ∥ x ∥ 1 = ∑ i ∣ x i ∣ \|x\|_1 = \sum_i|x_i| x1=ixi

    有时候我们会统计向量中非0元素的个数来衡量元素的大小,有些人将这种函数称为 L 0 L^0 L0范数。

    还有一个在机器学习种经常出现的范数为 L ∞ L^ \infty L范数,也成为max范数,它表示向量中具有最大幅度的元素的绝对值:
    ∥ x ∥ ∞ = max ⁡ i ∣ x i ∣ \|x\|_\infty = \max_i|x_i| x=imaxxi

    有时候,我们需要衡量矩阵的大小,最常用的是Frobenius范数:
    ∥ A ∥ F = ∑ i j A i , j 2 \|A\|_F = \sqrt{\sum_{ij}A_{i,j}^2} AF=ijAi,j2

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    向量和矩阵的各种范数

     

    一、向量的范数

    首先定义一个向量为:a=[-568, -10]

    1.1 向量的1范数

    向量的1范数即:向量的各个元素的绝对值之和,上述向量a1范数结果就是:29MATLAB代码实现为:norma1);

     

    1.2 向量的2范数

    向量的2范数即:欧几里得范数向量的每个元素的平方和再开平方根,上述a2范数结果就是:15MATLAB代码实现为:norma2);

    1.3 向量的无穷范数

    1.向量的负无穷范数即:向量的所有元素的绝对值中最小的:上述向量a的负无穷范数结果就是:5MATLAB代码实现为:norma-inf);

    2.向量的正无穷范数即:向量的所有元素的绝对值中最大的:上述向量a的负无穷范数结果就是:10MATLAB代码实现为:normainf);

    1.4 向量的P范数

    ,即向量元素绝对值的P次方和的1/p次幂,matlab调用函数norm(x,p)

    二、矩阵的范数

    首先我们将介绍数学中矩阵的范数的情况,也就是无论哪个学科都统一的一种规定。。。例如矩阵A = [ -1 2 -34 -6 6]

    2.1 矩阵的1范数

    矩阵的1范数,列和范数,即:矩阵的每一列上的元素绝对值先求和,再从中取个最大的,(列和最大),上述矩阵A1范数先得到[5,8,9],再取最大的最终结果就是:9MATLAB代码实现为:normA1);

    2.2 矩阵的2范数

    矩阵的2范数,谱范数,即:矩阵ATAATA的最大特征值开平方根,上述矩阵A2范数得到的最终结果是:10.0623MATLAB代码实现为:normA2);

    2.3 矩阵的无穷范数

    矩阵的无穷范数,行和范数,即:矩阵的每一行上的元素绝对值先求和,再从中取个最大的,(行和最大),上述矩阵A1范数先得到[616],再取最大的最终结果就是:16MATLAB代码实现为:normAinf);

    接下来我们要介绍机器学习的低秩,稀疏等一些地方用到的范数,一般有核范数,L0范数,L1范数(有时很多人也叫1范数,这就让初学者很容易混淆),L21范数(有时也叫2范数),F范数上述范数都是为了解决实际问题中的困难而提出的新的范数定义,不同于前面的矩阵范数。

    2.4 矩阵的核范数

    矩阵的核范数即:矩阵的奇异值(将矩阵svd分解)之和,这个范数可以用来低秩表示(因为最小化核范数,相当于最小化矩阵的秩——低秩),上述矩阵A最终结果就是:10.9287 MATLAB代码实现为:sum(svd(A))

    2.5 矩阵的L0范数

    矩阵的L0范数即:矩阵的非0元素的个数,通常用它来表示稀疏,L0范数越小0元素越多,也就越稀疏,上述矩阵A最终结果就是:6

    2.6 矩阵的L1范数

    矩阵的L1范数即:矩阵中的每个元素绝对值之和,它是L0范数的最优凸近似,因此它也可以表示稀疏,上述矩阵A最终结果就是:22MATLAB代码实现为:sum(sum(abs(A)))

    2.7 矩阵的F范数

    矩阵的F范数,Frobenius范数,即:,矩阵的各个元素平方之和再开平方根,它通常也叫做矩阵的L2范数,它的优点在它是一个凸函数,可以求导求解,易于计算,上述矩阵A最终结果就是:10.0995MATLAB代码实现为:normA,‘fro’)

    2.8 矩阵的L21范数

    矩阵的L21范数(介于L1L2之间的一种范数)。

    • 先以每一列为单位,求每一列的F范数(可认为向量2范数)
    • 然后再将得到的结果L1范数(可认为向量的1范数)

    MATLAB代码实现为: norm(A(:,1),2) + norm(A(:,2),2) + norm(A(:,3),2)

    矩阵A =-12-34-66最终结果就是:17.1559

    在特征选择中求目标函数(损失函数)最小值时,需要对整个公式进行求导。

    如何对矩阵L2,1范数求导?

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    那么,可得向量的求导为

    2.矩阵求导

     

     

     

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空空如也

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