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向量的范数
2021-07-14 15:13:00有时我们需要衡量一个向量的大小,这机器学习中,我们经常使用范数来衡量向量大小。LpL^pLp范数定义为: ∥x∥p=(∑i∣xi∣p)1p \|x\|_p=(\sum_i|x_i|^p)^{\frac{1}{p}} ∥x∥p=(i∑∣xi∣p)p1 其中p∈R,p⩾...有时我们需要衡量一个向量的大小,这机器学习中,我们经常使用范数来衡量向量大小。 L p L^p Lp范数定义为:
∥ x ∥ p = ( ∑ i ∣ x i ∣ p ) 1 p \|x\|_p=(\sum_i|x_i|^p)^{\frac{1}{p}} ∥x∥p=(i∑∣xi∣p)p1
其中 p ∈ R , p ⩾ 1 p \in R,p \geqslant 1 p∈R,p⩾1我们讨论几个特殊的范数。
L 2 L^2 L2范数又被称为欧几里得范数,表示从原点出发到向量 x x x确定的点的欧几里得距离。 L 2 L^2 L2范数在机器学习中出现的非常的多,经常简化表示为 ∥ x ∥ \|x\| ∥x∥。
L 2 L^2 L2范数的平方也经常使用,它的计算更为方便。在某些机器学习应用中,区分元素是0还是非0小值非常重要,这时候我们会使用 L 1 L^1 L1,即
∥ x ∥ 1 = ∑ i ∣ x i ∣ \|x\|_1 = \sum_i|x_i| ∥x∥1=i∑∣xi∣有时候我们会统计向量中非0元素的个数来衡量元素的大小,有些人将这种函数称为 L 0 L^0 L0范数。
还有一个在机器学习种经常出现的范数为 L ∞ L^ \infty L∞范数,也成为max范数,它表示向量中具有最大幅度的元素的绝对值:
∥ x ∥ ∞ = max i ∣ x i ∣ \|x\|_\infty = \max_i|x_i| ∥x∥∞=imax∣xi∣有时候,我们需要衡量矩阵的大小,最常用的是Frobenius范数:
∥ A ∥ F = ∑ i j A i , j 2 \|A\|_F = \sqrt{\sum_{ij}A_{i,j}^2} ∥A∥F=ij∑Ai,j2 -
22矩阵——向量范数和矩阵范数、p范数、m 1 范数 和F -范数、算子范数、向量加权范数、Schatten范数、Numpy...
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一、向量的范数
首先定义一个向量为:a=[-5,6,8, -10]
1.1 向量的1范数
向量的1范数即:
向量的各个元素的绝对值之和,上述向量a的1范数结果就是:29,MATLAB代码实现为:norm(a,1);
1.2 向量的2范数
向量的2范数即:
欧几里得范数向量的每个元素的平方和再开平方根,上述a的2范数结果就是:15,MATLAB代码实现为:norm(a,2);
1.3 向量的无穷范数
1.向量的负无穷范数即:
向量的所有元素的绝对值中最小的:上述向量a的负无穷范数结果就是:5,MATLAB代码实现为:norm(a,-inf);
2.向量的正无穷范数即:
向量的所有元素的绝对值中最大的:上述向量a的负无穷范数结果就是:10,MATLAB代码实现为:norm(a,inf);
1.4 向量的P范数
,即向量元素绝对值的P次方和的1/p次幂,matlab调用函数norm(x,p)
二、矩阵的范数
首先我们将介绍数学中矩阵的范数的情况,也就是无论哪个学科都统一的一种规定。。。例如矩阵A = [ -1 2 -3;4 -6 6]
2.1 矩阵的1范数
矩阵的1范数,列和范数,即:
矩阵的每一列上的元素绝对值先求和,再从中取个最大的,(列和最大),上述矩阵A的1范数先得到[5,8,9],再取最大的最终结果就是:9,MATLAB代码实现为:norm(A,1);
2.2 矩阵的2范数
矩阵的2范数,谱范数,即:
矩阵ATAATA的最大特征值开平方根,上述矩阵A的2范数得到的最终结果是:10.0623,MATLAB代码实现为:norm(A,2);
2.3 矩阵的无穷范数
矩阵的无穷范数,行和范数,即:
矩阵的每一行上的元素绝对值先求和,再从中取个最大的,(行和最大),上述矩阵A的1范数先得到[6;16],再取最大的最终结果就是:16,MATLAB代码实现为:norm(A,inf);
接下来我们要介绍机器学习的低秩,稀疏等一些地方用到的范数,一般有核范数,L0范数,L1范数(有时很多人也叫1范数,这就让初学者很容易混淆),L21范数(有时也叫2范数),F范数…上述范数都是为了解决实际问题中的困难而提出的新的范数定义,不同于前面的矩阵范数。
2.4 矩阵的核范数
矩阵的核范数即:
矩阵的奇异值(将矩阵svd分解)之和,这个范数可以用来低秩表示(因为最小化核范数,相当于最小化矩阵的秩——低秩),上述矩阵A最终结果就是:10.9287, MATLAB代码实现为:sum(svd(A))
2.5 矩阵的L0范数
矩阵的L0范数即:矩阵的非0元素的个数,通常用它来表示稀疏,L0范数越小0元素越多,也就越稀疏,上述矩阵A最终结果就是:6
2.6 矩阵的L1范数
矩阵的L1范数即:矩阵中的每个元素绝对值之和,它是L0范数的最优凸近似,因此它也可以表示稀疏,上述矩阵A最终结果就是:22,MATLAB代码实现为:sum(sum(abs(A)))
2.7 矩阵的F范数
矩阵的F范数,Frobenius范数,即:
,矩阵的各个元素平方之和再开平方根,它通常也叫做矩阵的L2范数,它的优点在它是一个凸函数,可以求导求解,易于计算,上述矩阵A最终结果就是:10.0995,MATLAB代码实现为:norm(A,‘fro’)
2.8 矩阵的L21范数
矩阵的L21范数(介于L1和L2之间的一种范数)。
- 先以每一列为单位,求每一列的F范数
(可认为向量2范数)
- 然后再将得到的结果求L1范数
(可认为向量的1范数)
MATLAB代码实现为: norm(A(:,1),2) + norm(A(:,2),2) + norm(A(:,3),2)
矩阵A =-12-34-66
最终结果就是:17.1559
在特征选择中求目标函数(损失函数)最小值时,需要对整个公式进行求导。
如何对矩阵L2,1
范数求导?
1.向量求导
那么,可得向量的求导为
2.矩阵求导
- 先以每一列为单位,求每一列的F范数
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