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  • 三角形法则平行四边形法则

    万次阅读 2018-04-25 11:38:13
    三角形法则,有时候又叫三角形定则,在物理学中,用来表示两个力的合成(在数学中,是两个首尾相接的向量).假如我们有两个方向的力,分别为a,b,当他们孤立的存在的时候,只是代表某个方向,以及在这个方向的力的大小,但是...

    三角形法则,有时候又叫三角形定则,在物理学中,用来表示两个力的合成(在数学中,是两个首尾相接的向量).

    假如我们有两个方向的力,分别为a,b,当他们孤立的存在的时候,只是代表某个方向,以及在这个方向的力的大小,但是现实生活中,不可能只有单一方向的力,几乎所有物体的运动都受到不止一个力的作用,比如常见的重力,引力等等..


    当力a(既有大小,又有方向的矢量,数学中叫向量,本质是一样的,表现形式不同而已)和力b首尾相接的时候,这两个力产生的作用力大小和方向是什么样的呢?答案就是c,就是把a的起点和b和终点连接起来,得到c,就是这两个力的合力,这就是物理世界中的规律.

    得出:a+b=c

    当a和b这两个力不是首尾相连,而是从同一个A点发出时,合成的力大小和方向又是哪个方向和大小呢?


    由|a|(矢量的模长)和|b|组成的平行四边形的对角线就是他们的合力,起点在A,结束点在B,大小是对角线的长度.

    也即是说,平行四边性的对角线就是合力的大小和方向.

    下面要说的是平行四边形的恒等式,先看下面的图:




    当遇到特殊情形时(长方形):


    就会变成我们熟悉的勾股定理:


    至于证明方法,大家可以参考下,还是利用勾股定理来证明,将等式左右两边的公式进行替换,最后得到相同的表达式(通常等式证明也是这个思路,将被证明的等式两边都替换成相同的表达式)

    平行四边形法则证明

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  • 简单理解利用向量叉积(行列式)求三角形面积

    万次阅读 多人点赞 2020-04-19 21:07:07
    已知三个顶点坐标,若要求三点围成的三角形的面积,对计算机而言,我认为这个公式是最方便的:

    求三角形面积有诸多公式:
    S = 1/2 ah
    S = 1/2 absinC,
    S = sqrt(p*(p-a)(p-b)(p-c))…

    对于不同的场合,每个公式都有自己的优势,若是已知三个顶点坐标a(x1,y1), b(x2,y2), c(x3,y3),若要求三点围成的三角形的面积,对计算机而言这个公式应该是最适合的:

    S = 1/2 * |(x2 - x1) * (y3-y1) - (y2 - y1) * (x3 - x1)|

    也可以展开成:
    S = 1/2 * |(x1y2 + x2y3 + x3y1 - x1y3 - x2y1 - x3y2)|
    不过这种写法的乘法运算要相对多一些。

    当然比较常见是写成行列式的样子:
    在这里插入图片描述

    相信许多人对这条公式并不陌生,下面我按照自己的理解推导一下这个公式:

    第一种理解:

    已知:三角形三个顶点及坐标a(x1,y1), b(x2,y2), c(x3,y3)

    因为我们的目的是求面积,所以三角形的位置是无所谓的,首先,保持三角形整体不变,捉住三角形的某一个顶点,把它拖到坐标原点,如下图,这里就以点a为例,经过这样的操作后三点坐标就变成了a(0,0), b(x2-x1, y2-y1), c(x3-x1, y3-y1)
    在这里插入图片描述
    把三角形整个捉走干什么呢,其实是为了得到两个向量:
    把边ab,边ac分别看成向量b=(x2-x1, y2-y1, 0)和向量c=(x3-x1, y3-y1, 0),这时先回忆一下向量叉乘:
    两个向量叉乘的结果是一个新向量,这个新向量垂直于原向量组成的平面,并且新向量的长度等于原向量合成的平行四边形的面积
    因为向量b,向量c 在XOY平面,所以叉乘得到的向量一定落在Z轴上,设新向量d = (0 ,0 , z),|z| 便是向量b,c 合成的平行四边形的面积,所以平行四边形的一半,|z|/2便是我们要求的三角形abc的面积

    有了这个思路,直接套上向量叉乘公式:
    在这里插入图片描述
    行列式的运算就不具体展示了,结果得:
    向量d = (0, 0, (x2 - x1) * (y3-y1) - (y2 - y1) * (x3 - x1))。
    根据上文,三角形abc的面积为|z|/2,即:
    S = 1/2 * |(x2 - x1) * (y3-y1) - (y2 - y1) * (x3 - x1)|。

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  • 比如我们要对向量缩放一半,可以除以2,也可以乘以0.5,尽量要以乘以0.5来实行。 【向量定义】 对于维向量来说,有个相互垂直的正交基 {},那么一个独立的维标量集{}和此正交基存在一个线性组合,就是一个维...

    除了正常的加减乘除以外,向量的最常见的三个运算是点积、叉积、正交基。

    对于向量的乘法和除法要做一下说明,因为除发的效率要远低于乘法,因此会将除法尽可能的化为乘法来实现。比如我们要对向量缩放一半,则可以除以2,也可以乘以0.5,则尽量要以乘以0.5来实行。

    【向量定义】

    对于n维向量来说,有n个相互垂直的正交基 {{v_1,v_2,v_3...v_n}},那么一个独立的n维标量集{s_1,s_2,s_3,s_4...s_n}和此正交基存在一个线性组合v=s_1v_1+s_2v_2+s_3v_3+...s_nv_n,则v(s_1,s_2,s_3...s_n)就是一个n维向量。

    这里面有一点要注意,只要有正交基,则可以在基上定义向量。比如经常的局部坐标系就是要求其正交基在其上定义局部坐标,比如这篇文章就求了相机坐标的局部坐标系的正交基:【OptiX】第1个示例 光线生成模块(RayGenerationProgram), 相机操作、添加三角网以及相交丢失模块(Miss Program)

    【向量的加减法】

    在求解颜色时,我们经常使用到加法,比如漫反射的结果再加上镜面反射的结果是最终的结果等等。这里要理解的一点是当代表颜色时,加法代表两个颜色叠加。比如R(1.0, 0.0, 0.0)+G(1.0, 0.0, 0.0)+B(1.0, 0.0, 0.0)=W(1.0, 1.0, 1.0),结果就是颜色混合的白色。

    向量的加法从几何上代表两个向量所围成的平行四边形的对角线:

    向量的减法代表另一条对角线(v_1-v_2)时,v_1叫做被减向量,v_2叫做减向量,记v_1-v_2方向的一个口决是:指向被减向量

    【向量的点积】

    向量点积的定义,拿三维向量来说:

    v\cdot w=v_x\cdot w_x+v_y\cdot w_y+v_z\cdot w_z

    这里要注意向量的点积结果是一个数值,而非一个向量。

    下面来推导点积的最重要的几何意义公式v\cdot w=\left | v \right |\left | w \right |cos\theta其中\theta是两个向量之间的夹角。当vw都是单位向量时,v\cdot w=cos\theta 这是图形学界使用频率最高的公式之一。仅对二三维有效。

    下面来进行推导:

    \vec{a_1}=(x_1,y_1,z_1), \vec{b_1}=(x_2,y_2,z_2),它们的终点分别为A=(x_1,y_1,z_1), B=(x_2,y_2,z_2),\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)

    那么,在三角形OAB中,使用余弦定理:

    \left | AB \right |^2=\left | a_1 \right |^2+\left | b_1 \right |^2-\left | a_1 \right |\left | b_1 \right |cos\theta 其中\thetaa_1b_1的夹角。

    将A,B,\overrightarrow{AB}的值代入后,整理即得\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2 +z_1\cdot z_2=\left | \vec{a} \right |\left | \vec{b} \right |cos\theta

    【向量的叉积】

    先看叉积的性质。两个向量的叉积的结果是垂直于这两个向量\vec{a}\vec{b}的第三个向量\vec{a}\times \vec{b},它的方向使用右手螺旋定则,长度则为\vec{a}\vec{b}所围的平行四边形的面积。

    \left |\vec{a}\times \vec{b} \right |=\left | \vec{a} \right |\left | \vec{b} \right |sin\theta,其中\theta\vec{a}\vec{b}的夹角。

    叉乘满足的基本性质如下:

    1. \left |\vec{a}\times \vec{a} \right |=\left | \vec{a} \right |\left | \vec{a} \right |sin\theta=0,自己与自己的夹角\theta=0,则sin\theta=0,所夹的平行四边形的面积也是0。
    2. \left |\vec{a}\times \vec{b} \right |=-\left |\vec{b}\times \vec{a} \right |
    3. (\vec{a}+\vec{b})\times \vec{c}=\vec{a}\times \vec{c}+\vec{b}\times \vec{c}

    再看叉乘在数值计算上的定义:

    u\times w=(u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})\times (v_1\vec{i}+v_2\vec{j}+v_3\vec{k})=u_1v_1\vec{i}\times\vec{i}+u_1v_2\vec{i}\times\vec{j}+u_1v_3\vec{i}\times\vec{k}

    +u_2v_1\vec{j}\times\vec{i}+u_2v_2\vec{j}\times\vec{j}+u_2v_3\vec{j}\times\vec{k}

    +u_3v_1\vec{k}\times\vec{i}+u_3v_2\vec{k}\times\vec{j}+u_3v_3\vec{k}\times\vec{k} (展开式一)

    先讨论正交基\vec{i}\vec{j}\vec{k}的运算法则:

    \vec{i}\times\vec{i}=\vec{j}\times\vec{j}=\vec{k}\times\vec{k}=0

    \left\{\begin{matrix} \vec{i}\times\vec{j}=\vec{k}& \vec{j}\times\vec{i}=-\vec{k}\\ \vec{j}\times\vec{k}=\vec{i}& \vec{k}\times\vec{j}=-\vec{i}\\ \vec{k}\times\vec{i}=\vec{j}& \vec{i}\times\vec{k}=-\vec{j}\\ \end{matrix}\right.

    再代入到(展开式一)

    u\times w=(u_1v_2-u_2v_1)\vec{k}+(u_2v_3-u_3v_2)\vec{i}+(u_3v_1-u_1v_3)\vec{j}

    =\begin{bmatrix} u_2 & u_3\\ v_2 & v_3 \end{bmatrix}\vec{i}- \begin{bmatrix} u_1 & u_3\\ v_1 & v_3 \end{bmatrix}\vec{j}+ \begin{bmatrix} u_1 & u_2\\ v_1 & v_2 \end{bmatrix}\vec{k}

    =\begin{bmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{bmatrix}

    【计算正交基】

    向量的经常的一个操作是构造正交基,根据一个向量,构建正交基,往往需要用到叉乘。在给定的单位向量\vec{a}=(x,y,z),构建一个与之垂直的向量\vec{b},则保证其相互垂直,则\vec{a}\cdot \vec{b}=0,随手可构造\vec{b}=(-z,0,x),再构造\vec{c}=\vec{a}\times \vec{b}

    pbrt-v2的geometry.h的针对向量的定义中有个内联函数用来根据一个输入的向量,计算正交基,输入一个v1,输出v2, 和v3,都是单位向量:

    inline void CoordinateSystem(const Vector &v1, Vector *v2, Vector *v3) {
        if (fabsf(v1.x) > fabsf(v1.y)) {
            float invLen = 1.f / sqrtf(v1.x*v1.x + v1.z*v1.z);
            *v2 = Vector(-v1.z * invLen, 0.f, v1.x * invLen);
        }
        else {
            float invLen = 1.f / sqrtf(v1.y*v1.y + v1.z*v1.z);
            *v2 = Vector(0.f, v1.z * invLen, -v1.y * invLen);
        }
        *v3 = Cross(v1, *v2);
    }

     

     

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  • 向量复习(一):定义、求解、四运算、点积和叉积


    首先,我们先来复习一下二维空间几何求交涉及的向量相关知识,方便那些数学基础不太好或好多年未接触数学的童鞋们。楼主就是其中一员哦,6-7年没有再碰高中数学了,所以对于向量比较熟悉的童鞋可以跳过这部分内容。

    1. 向量的定义

    在数学中,向量(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量),指具有大小(magnitude)和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指:代表向量的方向;线段长度:代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量(物理学中称标量),数量(或标量)只有大小,没有方向。1

    定义大家应该都能明白,但是需要注意一点:给定的向量并不是固定不动的,它不像线段,起始和中止点都是固定的,向量是可以随意平移的,但线段不行,这点后面我们也会说。

    2. 向量的表示

    向量有两种表示方式:1. 几何表示法;2. 坐标表示法;几何表示法如下图1

    在这里插入图片描述
    而坐标表示法比较重要,后面所涉及的都是这种方法,如下图1
    在这里插入图片描述
    简单来说,向量(a, b)(以下简称v(a, b)),表示往x轴正方向移动a个单位,往y轴正方向移动b个单位。比如说v(4, 2),如下图所示:

    在这里插入图片描述

    每个虚线小箭头表示一个单位,我们可以看到从(2, 2)为起点,向x正方向移动4个单位,然后向y轴正方向移动2个单位,最后连接首尾两点的有向线段即为v(4, 2)。注意,我们之前提到向量可以随意平移,所以下面两组向量都表示同一个向量,即使它们的起点和终点并不相同:

    在这里插入图片描述

    也就是说,向量和起始终止位置无关,之和移动的方向和大小有关系。也可以说向量是动态的,而线段是静态的,这点大家需要注意啦哒~

    3. 向量的求解

    如果我们已知两个坐标点,如何求解这两点所表示的向量呢?方法也很简单:

    v(a, b) = point1 - point2 = v(point1.x - point2.x, point1.y - point2.y)

    其实就是两个坐标点x和y相减,那向量方向为:point2为起始点,point1为中止点,比如下面两点 (2,2) 和 (4,4),可以表示两个相反方向但模相同的向量(模即为向量的长度):

    v(2, 2):
    在这里插入图片描述
    v(-2. -2):

    在这里插入图片描述
    所以大家在用坐标求解向量的时候一定要注意方向哦。

    4. 向量的四则运算

    4.1 加法

    两个向量相加,一般使用三角形法则或四边形法则。比如v(4, 0) + v(0, 2) = v(4, 2):

    在这里插入图片描述
    从上图可以看出,最终求解的向量(标红)即为另外两个向量所组成的三角形的边。或者我们将v(4, 0) 和 v(0, 2)平移到对面的方向,组成一个平行四边形,那么最终求解的向量为这个平行四边形的内对角线:

    在这里插入图片描述
    而且我们也可以注意到,向量相加即为两个向量坐标之和:

    /**
     * vector addition
     * */
    
    public Vector add( Vector vector ) {
    	// 无视minsID
        return new Vector( x + vector.x, y + vector.y, minsID-- );
    }
    

    4.2 减法

    其实向量的减法可以看成加上一个方向相反的向量,所以同样适用三角形或平行四边形法则。还是上面的例子,这次我们减去v(0, 2),即加上v(0, -2):

    在这里插入图片描述
    另外注意,向量的运算需要两两向量首尾相连才能运算,所以下面右边这种是不允许的:

    在这里插入图片描述

    /**
     * vector subtract
     * */
    
    public Vector subtract( Vector vector ) {
        return new Vector( x - vector.x, y - vector.y, minsID-- );
    }
    

    4.3 乘法和除法

    这里的乘法和除法并不是两个向量的乘法和除法,而是和一个常量相乘和相除。向量之间的乘法是后面会讲的点积和叉积,但向量之间没有除法。向量和常量相乘或相除,大家可以理解为两个向量之间的比例关系,我们用最简单的共线向量(即平行向量)来举例:

    在这里插入图片描述
    如果只看两者的模,我们知道 |v(8,0)| = 4|v(2,0)|,或者 |v(8,0)| / 4 = |v(2,0)|;上面表达了两个向量之间模的比例,但我们也可以直接用向量来表示两者之间的关系:v(8,0) = 4v(2,0),或者 v(8,0) / 4 = v(2,0);也就是说四分之一个v(8,0)即为v(2,0),4个v(2,0)即为一个v(8,0):

    在这里插入图片描述

    理解了这些概念,那么相应的代码也是很简单了:

    /**
     * vector multiplication
     * */
    
    public Vector multiply( float ratio ) {
        return new Vector( ratio * x , ratio * y, minsID-- );
    }
    
    /**
     * vector division
     * */
    
    public Vector division( float ratio ) {
        return new Vector( x / ratio , y / ratio, minsID-- );
    }
    

    同时,楼主给到的图例也说明了向量四则运算的几何关系,大家可以注意下呢。

    5. 点积和叉积

    这部分主要介绍点积和叉积的计算方法和几何意义,至于其他详细的内容,有兴趣的童鞋可以参考这篇文章:向量内积(点乘)和外积(叉乘)概念及几何意义

    5.1 点积

    先介绍一下点积的基本求解形式2,如果给定两个向量a和b:

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    则它们的点积定义为:
    在这里插入图片描述
    其实就是两个向量的每个变量两两相乘,再相加:

    /**
     * dot multiplication, vector * vector
     * */
    
    public static float dot( Vector vector1, Vector vector2 ) {
        return vector1.x * vector2.x + vector1.y * vector2.y;
    }
    

    点积的几何意义也很简单:向量b在a上面的投影。注意,这里也说明了点积的结果为常量,而非向量:

    在这里插入图片描述
    图上红色部分即为v(3,4)在v(8,0)上面的投影,至于点积的其他内容,请参看上面提到的文章。

    5.2 叉积

    叉积的一般计算求解需要用到矩阵乘法,而后面涉及的几何求交主要是二维坐标,所以这里直接介绍二维坐标的乘法:即x和y交叉相乘,再相减。

    /**
     * cross multiplication,  vector x vector
     * */
    
    public static float cross( Vector vector1, Vector vector2 ) {
        return vector1.x * vector2.y - vector1.y * vector2.x;
    }
    

    叉积的几何意义相对复杂一些:1)其模等于两个向量所组成的平行四边形的面积;2)方向为垂直于两个向量所在平面。所以叉积和点积不一样,叉积的结果是向量,而不是常量。大家可以看下面图示2来理解:

    在这里插入图片描述

    6. 模的求解

    模的求解最简单的方法就是两点之间的距离公式,这点我们从上面的向量几何意义就能看出来,但是这样计算太复杂了。还记得我们说过向量可以自由平移么?那么为何不把向量平移到原点,然后再计算其模呢?通过这样的处理,一个向量的模可以使用其坐标直接求解,而不用两点间的距离公式:

    /**
     * vector's norm, but without radical
     * */
    
    public float normWithoutRadical() {
        return x * x + y * y;
    }
    
    /**
     * vector's norm
     * */
    
    public float norm() {
        return ( float ) Math.sqrt( normWithoutRadical() );
    }
    

    norm()是开方之后的结果,normWithoutRadical()则没有开方,后面两个都有用到,因为有些时候我们不需要开方,可以减少浮点数计算误差。

    通过这样,我们可以求得向量的模。我们最后再提一下一个概念:单位向量(e),即模为1的向量。那么,给定一个向量如何求得e呢?其实很简单:

    e(a, c) = v(a, b) / |v(a, b)|

    也就是向量除以它的模,即为每个单位的向量。

    好啦,向量先复习到这里,以后有遇到更多知识再来讲解哒~接下来,我们将开始正式讲解两种几何求交的问题:直线和直线,圆和直线。

    下一节:
    几何求交(二):直线和圆的交点
    几何求交(一):直线和直线的交点

    7. 附录:代码

    1. 代码:Vector类

    8. 免责声明

    ※ 本文之中如有错误和不准确的地方,欢迎大家指正哒~
    ※ 此项目仅用于学习交流,请不要用于任何形式的商用用途,谢谢呢;


    在这里插入图片描述


    1. 向量 ↩︎ ↩︎ ↩︎

    2. 向量内积(点乘)和外积(叉乘)概念及几何意义 ↩︎ ↩︎

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  • 向量代数

    千次阅读 2020-11-04 23:57:32
    一、向量的概念及其运算 1.1 向量的概念 ...模为1的向量叫做单位向量(Unit vector),与向量a\boldsymbol{a}a长度相等而方向相反的向量,称为a\boldsymbol{a}a的相反向量,记为−a-\boldsymbol{a}−a。 1
  • 详细介绍了空间中判断点在三角形内算法的实现。
  • C#基础-三角形

    2021-09-12 10:55:36
    直角三角形 for (int i = 1; i <= 7; i++)//有几行 { for (int j = 1; j <= i; j++)//一行的个数与几行一致 { Console.Write("*"); } Console.WriteLine(); } Console.ReadKey(); 结果是 for ...
  • 向量法是解高中立体几何题的神器。只要能建立空间直角坐标系的题,都可以用向量法来解,而这样的题目可以占到所有立体几何题的 95% 以上。与传统方法相比,向量法的计算量稍微大一些,但它的优点是不需要费脑筋做...
  • 然而,正如同可微曲面在曲面一点P的邻域内有局部线性映射关系(比如参数域上一点(u,v)处的向量映射到3D曲面上是点(x, y, z)上的曲面切向量,大家可以搜索一下切映射或雅可比矩阵),三角网格上每一个三角单元上也...
  • 对于2维的物体来说,最近的单纯形可能是一个点或者一条线,在三维的情况下,可能是三角形或四面体。 连个物体之间的最短距离就是它们的明可夫斯基差形状到原点的最近距离。 和碰撞检测的GJK函数一样,计算距离的...
  • 设a=(x,y),b=(x',y').1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.AB+BC=AC.a+b=(x+x',y+y').a+0=0+a=a.向量加法的运算律:交换律:a+b=b+a;结合律:(a+b)+c=a+(b+c).2、向量的减法如果a、b是互为相反...
  • 向量加法满足平行四边形法则和三角形法则。向量加法的运算律有交换律a+b=b+a;结合律(a+b)+c=a+(b+c)。向量的减法:如果a、b是互为相反的向量,a+b=0。向量的加减法向量加法的运算律交换律:a+b=b+a;结合律:(a+b)+...
  • 直到目前,我们介绍opengl 的工程准备,窗口建立,画第一个三角形,着色器,纹理贴图。所有这些,都寻求问题描述简单,看上去是平面的操作一样。下面我们要进入opengl 的3D,因此需要了解一些必要的数学知识。本文...
  • 判断点是否在三角形

    千次阅读 2015-11-05 15:42:30
    重心法该方法简单易懂,速度也快,只是多了点向量运算的知识。 在xy坐标系平面中有一个三角形ABC,P是xy平面上的任一点,如下图所示。 对于平面内任意一点P,都可以由如下方程来表示:AP = u*AC + v

空空如也

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向量三角形定则