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  • 向量正交

    2021-10-11 14:49:56
    向量的内积 α\alphaα 和 β\betaβ 的内积 (α,β)(\alpha, \beta)(α,β) 为对应元素相乘再相加。内积是一个数。 向量的长度(范数、模) ∣∣α∣∣=(α,α)||\alpha||=\sqrt{(\alpha,\alpha)} ∣∣α∣∣=(α,α)...

    向量的内积
    α \alpha α β \beta β 的内积 ( α , β ) (\alpha, \beta) (α,β) 为对应元素相乘再相加。内积是一个数。

    向量的长度(范数、模)
    ∣ ∣ α ∣ ∣ = ( α , α ) ||\alpha||=\sqrt{(\alpha,\alpha)} α=(α,α)

    性质

    1. ∣ ∣ α ∣ ∣ ≥ 0 ||\alpha||\ge0 α0
    2. ∣ ∣ k α ∣ ∣ = ∣ k ∣ ⋅ ∣ ∣ α ∣ ∣ ||k\alpha||=|k|\cdot||\alpha|| kα=kα
    3. ∣ ( α , β ) ∣ ≤ ∣ ∣ α ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ β ∣ ∣ |(\alpha,\beta)| \le ||\alpha||\cdot||\beta|| (α,β)αβ
    4. ∣ ∣ α + β ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ α ∣ ∣ + ∣ ∣ β ∣ ∣ ||\alpha+\beta|| \le ||\alpha||+||\beta|| α+βα+β

    正交(垂直)
    ( α , β ) = 0 , α ⊥ β (\alpha, \beta)=0, \alpha\perp\beta (α,β)=0,αβ
    零向量和任何向量都正交。

    正交向量组
    不含零向量的正交向量组 α 1 , . . . α n {\alpha_1,...\alpha_n} α1,...αn 中任意两个向量都正交。

    标准正交向量组
    如果正交向量组中每个向量都是单位向量,则这种向量组为标准正交向量组。

    定理
    如果 α 1 , . . . α n {\alpha_1,...\alpha_n} α1,...αn 是正交向量组,则 α 1 , . . . α n {\alpha_1,...\alpha_n} α1,...αn 一定是线性无关的。

    施密特正交化
    给定一组线性无关的 α 1 , . . . , α n {\alpha_1,...,\alpha_n} α1,...,αn,求一组正交的 β 1 , . . . , β n {\beta_1,...,\beta_n} β1,...,βn,使得两个向量组等价。

    • 正交化:
    • β 1 = α 1 \beta_1=\alpha_1 β1=α1
    • β 2 = α 2 − ( α 2 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 \beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1 β2=α2(β1,β1)(α2,β1)β1
    • β 3 = α 3 − ( α 3 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 − ( α 3 , β 2 ) ( β 2 , β 2 ) β 2 \beta_3=\alpha_3-\frac{(\alpha_3,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1-\frac{(\alpha_3,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2 β3=α3(β1,β1)(α3,β1)β1(β2,β2)(α3,β2)β2
    • 1 ∣ ∣ β 1 ∣ ∣ β 1 , 1 ∣ ∣ β 2 ∣ ∣ β 2 , . . . , 1 ∣ ∣ β n ∣ ∣ β n \frac{1}{||\beta_1||}\beta_1, \frac{1}{||\beta_2||}\beta_2,...,\frac{1}{||\beta_n||}\beta_n β11β1,β21β2,...,βn1βn

    α 1 , . . . , α n = 正 交 化 = > β 1 , . . . , β n = 单 位 化 = > η 1 , . . . , η n {\alpha_1,...,\alpha_n}=正交化=>{\beta_1,...,\beta_n}=单位化=>{\eta_1,...,\eta_n} α1,...,αn==>β1,...,βn==>η1,...,ηn

    正交矩阵
    假设 A A A n n n 阶方阵,如果 A T A = E A^TA=E ATA=E,那么A为正交矩阵。

    性质

    1. 如果 A A A 为正交矩阵,则 ∣ A ∣ = 1 o r − 1 |A|=1 or-1 A=1or1
    2. 如果 A A A 为正交矩阵,则 A − 1 = A T A^{-1}=A^{T} A1=AT,且 A − 1 A^{-1} A1 A T A^{T} AT 均为正交矩阵。
    3. A A A B B B 都是 n n n 阶正交矩阵,那么 A B AB AB 也正交。
    4. A A A n n n 阶正交矩阵, α \alpha α β \beta β 为n维列向量,那么 ( A α , A β ) = ( α , β ) (A\alpha,A\beta)=(\alpha, \beta) (Aα,Aβ)=(α,β) ( A α , A β ) = ( A α ) T A β = α T A T A β = ( α , β ) (A\alpha,A\beta)=(A\alpha)^TA\beta=\alpha^TA^TA\beta=(\alpha, \beta) (Aα,Aβ)=(Aα)TAβ=αTATAβ=(α,β)

    定理
    A A A 为正交矩阵的充要条件是 A A A 的列(行)向量组是标准正交向量组

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  • 正交矩阵&正交向量

    千次阅读 2021-07-30 10:45:40
    正交矩阵 ...两个向量正交意味着它们是相互垂直的。若向量αβ正交,则记为α⊥β 向量内积 两个向量的内积就等于两个向量对应各个维度的分量的乘积的和 我们通常把两个向量的内积写成 ...

    正交矩阵

    正交矩阵(Orthogonal Matrix)是指其转置等于其逆的矩阵。

    • AT=A-1
    • 如果A和B都是正交矩阵,并且它们阶数一样,那么AB也是正交矩阵
    • |A|= ± \pm ± 1

    正交向量

    • 两个向量的内积如果是零, 那么就说这两个向量是正交的
    • 两个向量正交意味着它们是相互垂直的。若向量α与β正交,则记为α⊥β

    向量内积

    在这里插入图片描述

    • 两个向量的内积就等于两个向量对应各个维度的分量的乘积的和

    我们通常把两个向量的内积写成
    在这里插入图片描述

    规范正交基

    • 如果向量组 e1,e2,…,er是向量空间V的一个基。
    • 如果它们之间彼此正交,那么就称它们是一组规范正交基。

    施密特算法求规范正交基

    向量空间V中的一组基是a1,a2,…,ar
    在这里插入图片描述

    单位化

    在这里插入图片描述

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  • 向量线性无关和正交及其关系

    千次阅读 2021-12-07 10:29:45
    线性无关:从几何关系思考,线性无关指两个向量不平行,为什么?k1a1+k2a2=0,如果k1或k2不为零,说明a1和a2中的一个可以由另一个成倍数表示,此时a1和a2是平行和线性相关关系。所以若a1和a2线性无关,则a1和a2不...
    1. 正交:从几何关系容易理解,就是指向量垂直;
    2. 线性无关:从几何关系思考,线性无关指两个向量不平行,为什么?k1a1+k2a2=0,如果k1或k2不为零,说明a1和a2中的一个可以由另一个成倍数表示,此时a1和a2是平行和线性相关关系。所以若a1和a2线性无关,则a1和a2不平行。
    3. 两者关系:正交即不平行,所以正交就是线性无关;线性无关即不平行,但可能不是垂直,所以线性无关不等于正交。
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  • 实对称矩阵的特征向量are orthogonal.但您的输入矩阵A不是完全对称的.正如数值误差所预期的那样,差异在eps的数量级上.>> A-A.'ans =1.0e-16 *0 -0.2082 -0.2776 0 0.13880.2082 0 0 -0.1388 00.2776...

    这似乎是一个数值精度问题.

    实对称矩阵的特征向量are orthogonal.但您的输入矩阵A不是完全对称的.正如数值误差所预期的那样,差异在eps的数量级上.

    >> A-A.'

    ans =

    1.0e-16 *

    0 -0.2082 -0.2776 0 0.1388

    0.2082 0 0 -0.1388 0

    0.2776 0 0 -0.2776 0

    0 0.1388 0.2776 0 -0.5551

    -0.1388 0 0 0.5551 0

    如果你强制A完全对称,你将得到一个正交的V_A,直到eps的数字错误:

    >> A = (A+A.')/2;

    >> A-A.'

    ans =

    0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0

    >> [V_A, D_A] = eig(A);

    >> disp(V_A*V_A' - eye(k))

    1.0e-15 *

    -0.3331 0.2220 0.0755 0.1804 0

    0.2220 -0.2220 0.0572 -0.1665 0.1110

    0.0755 0.0572 -0.8882 -0.0590 -0.0763

    0.1804 -0.1665 -0.0590 0 -0.0555

    0 0.1110 -0.0763 -0.0555 0

    令人惊讶的是,当A是对称的并且A几乎是对称的时,V_A获得了如此截然不同的结果.这是我对发生的事情的赌注:如noted by @ArturoMagidin,

    (1) Eigenvectors corresponding to distinct eigenvalues of a symmetric matrix must be orthogonal to each other. Eigenvectors corresponding to the same eigenvalue need not be orthogonal to each other.

    (2) However, since every subspace has an orthonormal basis,you can find orthonormal bases for each eigenspace, so you can find an orthonormal basis of eigenvectors.

    只有当A是对称的时,Matlab才可能采用路线(2)(因此迫使V_a正交).对于不完全对称的A,它可能需要路径(1)并给出每个子空间的基础,但不一定是正交向量.

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  • 本帖最后由 观奇峰 于 2017-4-21 21:02 编辑问题描述:一个不对称矩阵A,得到它的左右特征向量得不到正交关系。也就是附件m文件中右特征向量构成的矩阵bV乘以左特征向量构成的矩阵bV1得不到一个单位矩阵。希望能得到...
  • 假设一个特征向量α1=(a,b,c); 求α2,α3 ①求α2 可以设α2=(?,?,0); 要想满足α1·α2=0, 那么最简单的就是a,b互换其中一个带个负号作为第二个向量的前两个参数 即α2=(b,-a,0)或...这样能比斯密斯正交..
  • 矩阵正交化是将其列向量正交化,并且向量正交化后再转置为矩阵描述,所以参考输入表达式为transpose orthogonalize {1,1,1}, {1,2,3}, {1,4,9} 执行计算得到的结果如下. 例2 试求一个正交相似变换矩阵,将下列对角...
  • 线性代数之 向量的内积,外积,长度,正交和正交矩阵向量的内积向量的外积向量的长度向量正交正交矩阵正交矩阵的扩展 向量的内积 对于列向量a,b∈Rna,b\in R^na,b∈Rn,其内积(点积)表示为: a⋅b=aTb=bTa=∑i=1...
  • 矩阵论——正交向量

    2021-05-16 16:11:48
    向量正交 子空间正交 基正交 四个基本子空间的关系 行空间零空间正交,列空间ATA^TAT的零空间正交。 零向量和任意向量正交
  • 从两个正交向量讲起,正交是垂直的另一种说法。 毕达哥拉斯定理: 如何判断两个向量是否垂直? 点乘! xTy=0; ||x||2+||y||2=||x+y||2 另一种描述长度的方式 xTx=||x|| 假设x是[1;2;3] y=[2;-1;0] x+y=[3;1;3] ||x...
  • 文章目录1、向量空间1.1 向量空间的概念1.2 向量的内积1.3 向量的范数1.4 标准正交向量组1.4 Gram-Schmidt正交化1.5 向量正交表示2、信号空间2.1 信号的能量2.2 信号的内积2.3 信号的范数2.4 信号的相关系数2.5 ...
  • 坑 好像都是正交的, 所以PCA降维属于正交分解。 如果采用非正交的基,就是ICA降维了。
  • 我门用diag(v)diag(v)diag(v)表示一个对角元素由向量vvv组成的对角方阵。对角矩阵的乘法计算效率很高。我们已经见过一种特殊的对角矩阵:单位矩阵。 不是所有的对角矩阵都是方阵,长方形的矩阵也有可能是对角矩阵。 ...
  • 谈谈特征向量正交性小唠嗑一、定理:实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交二、证明思路总结结尾小独白 小唠嗑 很多时候自己学一些新知识的时候,总是会用到之前学过的知识点,但是由于有些点比较零散,不太...
  • 文章目录向量的投影数量积或点积测量向量的方向数量积的性质两向量垂直的条件投影投影向量向量正交分解几个不等式用坐标计算数量积参考 引例:常力做功 若物体在常力 F\boldsymbol{F}F 的作用下产生了位移 S\...
  • 本节将向量空间定义在RmR^mRm上(m是正整数)。 首先介绍一些重要的定义。 Vector Space(向量空间)向量空间是RmR^mRm上的子集且满足以下性质: α1v1+α2v2∈V,(所有的α1,α2属于R,所有的v1,v2属于V)\alpha_1 v_...
  • 向量点积叉积

    2020-12-19 19:19:42
    1 向量点积向量点积度量两向量的相似度,可以分别从直角坐标极坐标角度进行理解。向量,点积可被分解为两个方向的乘积之和,如下图:通俗的说,假如 x 方向表示苹果,y 方向表示橙子,表示有个苹果,个橙子,对...
  • 引言当面对的数据被抽象为一组向量,那么有必要研究一些向量的数学性质。而这些数学性质将成为PCA的理论基础。向量运算即:内积。首先,定义两个维数相同的向量的内积为:(a1,a2,⋯,an)T⋅(b1,b2,⋯,bn)T=a1b1+a2b2+...
  • 本节课程主要讲解的是词向量和Elmo。核心是Elmo,词向量是基础知识点。Elmo 是2018年提出的论文 《Deep contextualized word representtations》,在这篇论文中提出了很重要的思想Elmo,Elmo 是一种基于特征的语言...
  • 5.1 向量的内积、长度及正交性 定义1 设有nnn维向量 x=[x1x2...xn],y=[y1y2...yn]x=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ .\\ .\\ .\\ x_n \end{bmatrix},y = \begin{bmatrix} y_1\\ y_2\\ .\\ .\\ .\\ y_n \end{bmatrix} x=...
  • >> C=cross(A,B) C = 0 -5 4 4.3.3 向量的混合运算 >> D=dot(A, cross(B,C)) D = 41 上例表明,首先进行的是向量BC的叉积运算,然后再把叉积运算的结果与向量A进行点积运算. 4.4 矩阵的基本运算 如果说MATLAB的最大...
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  • 正交基和标准正交基: 前言: 经过上一次线性代数学习之向量空间,维度,和四大子空间的学习,对于空间的概念已经有了非常深刻的认识了,而描述空间很重要的方式除了维度以外,那就是空间的基了,而如小标题所示...
  • matlab特征向量标准化

    2021-04-18 17:06:13
    % S1: S2: S3: S4: AHP 的 matlab 程序实现构造比较矩阵 求特征根和特征向量 求得最大特征根的特征向量 做一致性检验 clear; A=[1 1.2 1.5 1.5; % ......函数作用 (4) ——用总和标准化法标准化矩阵——计算相关系数...
  • 第3章 矩阵特征值特征向量的计算 数值分析各种算法的matlab代码3.3.2 Jacobi旋转法 由于一次正交相似变换A→C=PTAP可将A的两个非对角元素化为零。因此可选一系列正交变换矩阵Pk,对A进行正交相似变换,直至将A...
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空空如也

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向量与向量正交的条件

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