精华内容
下载资源
问答
  • 2020-07-11 17:46:25

    向量组

    • 向量组:有限个相同维度的行向量或列向量组合成的一个集合就叫做向量组A
      • 如果是行向量,那么表示为: A = ( a 1 ⃗ a 2 ⃗ a 3 ⃗ ⋮ a n ⃗ ⋮ ) A = \left (\begin{array}{cccc}\vec{a_1} \\\vec{a_2} \\\vec{a_3} \\ \vdots \\\vec{a_n} \\ \vdots \\\end{array} \right ) A=a1 a2 a3 an
      • 如果是列向量,那么表示为: A = ( a 1 ⃗ , a 2 ⃗ , a 3 ⃗ , ⋯   , a n ⃗ , ⋯   ) A = (\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}, \cdots, \vec{a_n}, \cdots) A=(a1 ,a2 ,a3 ,,an ,)
    • 向量组是由多个向量构成,可以表示为矩阵

    正交向量

    • ∣ ∣ x ∣ ∣ = 1 ||x|| = 1 x=1时,称x为单位向量,这里 ∣ ∣ x ∣ ∣ ||x|| x特指向量x的模
    • ∣ ∣ x ∣ ∣ ≠ 0 , ∣ ∣ y ∣ ∣ ≠ 0 ||x|| \neq 0, ||y|| \neq 0 x=0,y=0时, θ = a r c c o s x ⋅ y ∣ ∣ x ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ y ∣ ∣ \theta = arccos \frac{x · y}{||x|| · ||y||} θ=arccosxyxy 称为n维向量x与y的夹角
      • x ⋅ y = 0 x · y = 0 xy=0时,称向量x与y正交
      • x = 0 x=0 x=0,则显然x与任何向量都正交

    向量的线性表示

    • 对于向量组: A : α 1 , α 2 , . . . , α n A: \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n A:α1,α2,...,αn, 表达式 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k n α n     ( k i ∈ R ) k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_n \alpha_n \ \ \ (k_i \in R) k1α1+k2α2+...+knαn   (kiR) 称为向量组A的一个线性组合
    • 又如果 β \beta β是向量组A的一个线性组合,即存在数 λ 1 , λ 2 , . . . , λ n \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n λ1,λ2,...,λn, 使得 β = λ 1 α 1 + λ 2 α 2 + . . . + λ n α n \beta = \lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2 + ... + \lambda_n \alpha_n β=λ1α1+λ2α2+...+λnαn, 则称向量 β \beta β 可由向量组A线性表示
      • 通常写成 β = [ α 1 , α 2 , ⋯   , α n ] [ λ 1 λ 2 ⋮ λ n ] \beta = [\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n]\left [\begin{array}{cccc}\lambda_1 \\\lambda_2 \\ \vdots \\\lambda_n\end{array} \right ] β=[α1,α2,,αn]λ1λ2λn
      • 向量 β \beta β 可由向量组 A : α 1 , α 2 , . . . , α n A: \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n A:α1,α2,...,αn 线性表示
        • ⇔ \Leftrightarrow (按定义) 存在数 λ 1 , λ 2 , . . . , λ n \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n λ1,λ2,...,λn 使 λ 1 α 1 + λ 2 α 2 + . . . + λ n α n = β \lambda_1\alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2 + ... + \lambda_n \alpha_n = \beta λ1α1+λ2α2+...+λnαn=β
        • ⇔ \Leftrightarrow (转换为方程组) 方程组 x 1 α 1 + x 2 α 2 + . . . + x n α n = β x_1 \alpha_1 + x_2 \alpha_2 + ... + x_n \alpha_n = \beta x1α1+x2α2+...+xnαn=β 即: A x = β ( A = [ α 1 , α 2 , . . . , α n ] ) Ax = \beta (A = [\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n]) Ax=β(A=[α1,α2,...,αn]) 有解
    • 如果向量组 B : β 1 , β 2 , . . . , β q B: \beta_1, \beta_2, ..., \beta_q B:β1,β2,...,βq中的每个向量都可由向量组 A : α 1 , α 2 , . . . , α n A: \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n A:α1,α2,...,αn 线性表示,则称向量组B可由向量组A线性表示
      • 设B由A表示如下:
      • { β 1 = c 11 α 1 + c 21 α 2 + ⋯ + c p 1 α p β 2 = c 12 α 1 + c 22 α 2 + ⋯ + c p 2 α p ⋯ β q = c 1 q α 1 + c 2 q α 2 + ⋯ + c p q α p \left \{\begin{array}{cccc}\beta_1 = c_{11}\alpha_1 + c_{21}\alpha_2 + \cdots + c_{p1}\alpha_p \\ \beta_2 = c_{12}\alpha_1 + c_{22}\alpha_2 + \cdots + c_{p2}\alpha_p \\ \cdots \\ \beta_q = c_{1q}\alpha_1 + c_{2q}\alpha_2 + \cdots + c_{pq}\alpha_p \\ \end{array} \right. β1=c11α1+c21α2++cp1αpβ2=c12α1+c22α2++cp2αpβq=c1qα1+c2qα2++cpqαp
      • 一个向量组表示另一向量组就是矩阵乘法的关系
      • 改写为矩阵
        • [ β 1 , β 2 , ⋯   , β q ] = [ α 1 , α 2 , ⋯   , α p ] [ c 11 c 12 ⋯ c 1 q c 21 c 22 ⋯ c 1 q ⋮ ⋮ ⋮ c p 1 c p 2 . . . c p q ] p × q [\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_q] = [\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_p]\left [\begin{array}{cccc}c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1q} \\c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{1q} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\c_{p1} & c_{p2} & ... & c_{pq}\end{array} \right ]_{p×q} [β1,β2,,βq]=[α1,α2,,αp]c11c21cp1c12c22cp2...c1qc1qcpqp×q
        • 即:B = A × C系数矩阵
      • 转换为矩阵方程 A X = B AX = B AX=B 有解
    • 如果向量组 A : α 1 , α 2 , . . . , α p A: \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_p A:α1,α2,...,αp 与向量组 B : β 1 , β 2 , β 3 . . . , β q B: \beta_1, \beta_2, \beta_3 ..., \beta_q B:β1,β2,β3...,βq 可以相互表示,则称这两个向量组等价
      • 关于向量组的等价关系:
        • 如果 A = ( α 1 α 2 ⋮ α m ) → 行变换 B = ( β 1 β 2 ⋮ β m ) A =\left (\begin{array}{cccc}\alpha_1 \\\alpha_2 \\ \vdots \\\alpha_m\end{array} \right ) \overset{\text{行变换}}{\to} B =\left (\begin{array}{cccc}\beta_1 \\\beta_2 \\ \vdots \\\beta_m\end{array} \right ) A=α1α2αm行变换B=β1β2βm
        • 则称A与B行等价.
        • 同理可定义列等价.
    • 设向量组 A : α 1 , α 2 , . . . , α m A: \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_m A:α1,α2,...,αm, 如果其中一个向量可由其余的向量线性表示,则称该向量组线性相关,否则,如果任意向量都不能由其余向量线性表示,则称该向量组线性无关(或独立)
      • 如何用数学数字表达?
        • 如果存在不全为零的数 k 1 , k 2 , . . . , k m k_1, k_2, ..., k_m k1,k2,...,km
        • k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k m α m = 0 k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_m\alpha_m = 0 k1α1+k2α2+...+kmαm=0
        • 则称该向量组线性相关.
        • 否则,如果设 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k m α m = 0 k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_m\alpha_m = 0 k1α1+k2α2+...+kmαm=0
        • 只能推出 k 1 = k 2 = . . . = k m = 0 k_1 = k_2 = ... = k_m = 0 k1=k2=...=km=0 则称该向量组线性无关
    • 线性相关与线性无关统称为向量组的线性相关性
    • 向量组的线性相关性与线性表示有何关系?
      • 向量组线性相关的充要条件是:向量组中至少存在一个向量是其余向量的线性组合
      • 同理, 可回答线性无关与线性表示的关系
    • 定理:向量组 A : α 1 , α 2 , . . . , α n A: \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n A:α1,α2,...,αn 线性相关的充要条件是矩阵 A = ( α 1 , α 2 , . . . , α n ) A=(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n) A=(α1,α2,...,αn)的秩小于向量个数n,向量组 α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n α1,α2,...,αn 线性无关 ⇔ r ( A ) = n \Leftrightarrow r(A) = n r(A)=n (满秩)

    例1

    • α 1 = ( 1 − 23 ) T , α 2 = ( 210 ) T , α 3 = ( 1 − 79 ) T \alpha_1 = (1 -2 3)^T, \alpha_2 = (2 1 0)^T, \alpha_3 = (1 -7 9)^T α1=(123)T,α2=(210)T,α3=(179)T 问这组向量是否线性相关?
    • 分析
      • A = ( α 1 , α 2 , α 3 ) = ( 1 2 1 − 2 1 − 7 3 0 9 ) → ( 1 2 1 0 5 − 5 0 − 6 6 ) → ( 1 2 1 0 1 − 1 0 0 0 ) A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = \left (\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 \\-2 & 1 & -7 \\3 & 0 & 9\end{array} \right ) \to\left (\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 \\0 & 5 & -5 \\0 & -6 & 6\end{array} \right ) \to\left (\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 \\0 & 1 & -1 \\0 & 0 & 0\end{array} \right ) A=(α1,α2,α3)=123210179100256156100210110
      • 因为 r ( A ) = 2 < 3 r(A) = 2 < 3 r(A)=2<3
      • 所以线性相关

    例2

    • α 1 = [ 1 1 1 ] , α 2 = [ 0 1 1 ] , α 3 = [ 2 4 5 ] \alpha_1 = \left [\begin{array}{cccc}1 \\1 \\1 \\\end{array} \right ],\alpha_2 = \left [\begin{array}{cccc}0 \\1 \\1 \\\end{array} \right ],\alpha_3 = \left [\begin{array}{cccc}2 \\4 \\5 \\\end{array} \right ] α1=111,α2=011,α3=245, 问向量组 { α 1 , α 2 , α 3 } \{ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \} {α1,α2,α3}的线性相关性?
    • 分析
      • [ α 1 , α 2 , α 3 ] = [ 1 0 2 1 1 4 1 1 5 ] → [ 1 0 2 0 1 2 0 0 1 ] [\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3] = \left [\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 \\1 & 1 & 4 \\1 & 1 & 5 \end{array} \right ] \to \left [\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 \\0 & 1 & 2 \\0 & 0 & 1 \end{array} \right ] [α1,α2,α3]=111011245100010221
      • r ( [ α 1 , α 2 , α 3 ] ) = 3 r([\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3]) = 3 r([α1,α2,α3])=3, { α 1 , α 2 , α 3 } \{ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \} {α1,α2,α3} 线性无关
    更多相关内容
  • 生成空间:以二维空间为例,给定两个非零向量。 其中两个非零向量系数a,b任意取值组合,就...若给定多个向量,移除其中一部分而不减少生成空间,就是线性相关 若所有向量都给生成空间增加了维度,就是线性无关 ...

    生成空间:以二维空间为例,给定两个非零向量。
    其中两个非零向量系数a,b任意取值组合,就可以得到整个二维空间,除非两向量共线。
    一个向量固定,另一个向量自由变化,其线性组合可得到一条直线。
    在这里插入图片描述

    一、线性相关

    若给定多个向量,移除其中一就是部分而不减少生成空间,就是线性相关
    若生成空间的维数比给定向量的个数少,就说明这些给定的向量是线性相关
    比如图所示,a(2,3)+b(-2,-3)就是线性相关的,因为就算把b(-2,-3)这个向量删除,a(2,3)得到的生成空间依然是那一条线。也就是给了我2个向量,但是生成的却是个1维空间
    在这里插入图片描述
    代数定义:若向量组中某个向量可以由其余的向量线性表处(即通过线性组合计算得到),那么这个向量组称为线性相关的。
    比如(1,2),(2,3),(4,7)这个向量组就是线性相关的
    因为2(1,2)+(2,3) = (4,7)

    在这里插入图片描述

    二、线性无关

    若所有向量都给生成空间增加了维度,就是线性无关
    在这里插入图片描述

    向量空间就是通过n个不线性相关的向量通过线性组合生成出来的就是向量空间

    2.1 基

    用来生成这个空间的向量,就叫做这个空间的一组,比如下图的两个向量
    在这里插入图片描述
    n维空间中任意n个线性无关的向量都可以是空间的一组基。基组生成了该线性空间。
    默认都用自然基:
    在这里插入图片描述

    2.2 秩

    几何定义:矩阵的秩:线性变换后空间的维数

    原始定义:向量组中线性无关的向量的个数。即向量组的极大线性无关组的向量个数。因为线性无关的向量才能生成向量空间。

    比如这个题,给了我们5个向量,结果发现就3个向量是线性无关的,那么这5个向量只能生成一个3维空间。矩阵的秩=3
    在这里插入图片描述

    2.3 极大线性无关组

    还是这个题,给了我们5个向量,结果发现就a1、a2、a4这3个向量是线性无关的。但是把另外两个向量a3或a5任意一个加进去都会出现线性相关。那a1,a2,a4这三个本就无关的向量就叫做这个向量组的极大线性无关组
    在这里插入图片描述
    意思就是,给我一个向量组,我发现有某些向量是线性无关的,但是这个线性无关的组中,加入任何一个其他向量都会出现线性相关,那么我们就说原来无关的那个向量组就叫做极大线性无关组

    展开全文
  • n维向量及其运算、向量线性相关与线性无关1 向量间的线性关系2 向量组的等价3 线性相关与线性无关4 定理 1 向量间的线性关系 向量定义:n个数a1,a2...ana_{1},a_{2}...a_{n}a1​,a2​...an​组成的有序数组(a1,a2......

    n维向量及其运算、向量线性相关与线性无关


    手动反爬虫: 原博地址

     知识梳理不易,请尊重劳动成果,文章仅发布在CSDN网站上,在其他网站看到该博文均属于未经作者授权的恶意爬取信息
    

    如若转载,请标明出处,谢谢!

    1 向量间的线性关系

    向量定义:n个数 a 1 , a 2 . . . a n a_{1},a_{2}...a_{n} a1,a2...an组成的有序数组 ( a 1 , a 2 . . . a n ) (a_{1},a_{2}...a_{n}) (a1,a2...an),按照表示的方式不同可以分为行向量和列向量

    线性组合: β , α 1 , α 2 . . . α n \beta,\alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{n} β,α1,α2...αn是n维向量,若存在 k 1 , k 2 , . . . k n k_{1},k_{2},...k_{n} k1,k2,...kn使得 β = k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k n α n \beta = k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+...+k_{n}\alpha_{n} β=k1α1+k2α2+...+knαn成立,则成 α 1 , α 2 . . . α n \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{n} α1,α2...αn β \beta β的线性组合,或者成 β \beta β可由 α 1 , α 2 . . . α n \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{n} α1,α2...αn线性表示,其中 k 1 , k 2 , . . . k n k_{1},k_{2},...k_{n} k1,k2,...kn被称作为组合系数,系数可以全取0,比如
    ( 0 0 ) = 0 ∗ ( 1 2 ) + 0 ∗ ( 1 0 ) \left(\begin{matrix} 0\\0\end{matrix}\right) = 0*\left(\begin{matrix} 1\\2\end{matrix}\right)+0 *\left(\begin{matrix} 1\\0\end{matrix}\right) (00)=0(12)+0(10)

    向量性质:
    1)零向量可由任意向量组表示。只需要组合系数全部为0即可
    2)向量组中任一向量可由向量组进行表示。只需要该向量的组合系数取1,其他的系数取0即可
    3)任一向量都可由 ε 1 = ( 1 , 0 , . . . , 0 ) , ε 2 = ( 0 , 1 , . . . , 0 ) , . . . , ε n = ( 0 , 0 , . . . , 1 ) \varepsilon_{1} =(1,0,...,0), \varepsilon_{2} =(0,1,...,0),...,\varepsilon_{n} =(0,0,...,1) ε1=(1,0,...,0),ε2=(0,1,...,0),...,εn=(0,0,...,1)表示,这n个向量组被称作n维单位向量组或者n维基本单位向量组

    ( 1 2 3 ) = 1 ∗ ( 1 0 0 ) + 2 ∗ ( 0 1 0 ) + 3 ∗ ( 0 0 1 ) \left(\begin{matrix} 1\\2\\3\end{matrix}\right) = 1*\left(\begin{matrix} 1\\0\\0\end{matrix}\right)+2 *\left(\begin{matrix} 0\\1\\0\end{matrix}\right)+3 *\left(\begin{matrix} 0\\0\\1\end{matrix}\right) 123=1100+2010+3001

    例题: β = ( − 3 , 2 , − 4 ) , α 1 = ( 1 , 0 , 1 ) , α 2 = ( 2 , 1 , 0 ) , α 3 = ( − 1 , 1 , − 2 ) \beta = (-3,2,-4),\alpha_{1}=(1,0,1),\alpha_{2} = (2,1,0),\alpha_{3} = (-1,1,-2) β=(3,2,4),α1=(1,0,1),α2=(2,1,0),α3=(1,1,2),请问 β \beta β 能否使用 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} α1,α2,α3进行表示?

    解:直接设 β = k 1 α 1 + k 2 α 2 + k 3 α 3 \beta = k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+k_{3}\alpha_{3} β=k1α1+k2α2+k3α3,然后将向量带入
    ( − 3 , 2 , − 4 ) = k 1 ( 1 , 0 , 1 ) + k 2 ( 2 , 1 , 0 ) + k 3 ( − 1 , 1 , − 2 ) ⇒ { k 1 + 2 k 2 − k 3 = − 3 k 2 + k 3 = 2 k 1 − 2 k 3 = − 4 ⇒ { k 1 = 2 k 2 = − 1 k 3 = 3 (-3,2,-4) = k_{1} (1,0,1) + k_{2} (2,1,0) + k_{3} (-1,1,-2) \Rightarrow \begin{cases} k_{1} +2k_{2}-k_{3} =-3 \\ k_{2} +k_{3} =2\\ k_{1} -2k_{3} = -4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} k_{1} =2 \\ k_{2}=-1\\ k_{3} = 3 \end{cases} (3,2,4)=k1(1,0,1)+k2(2,1,0)+k3(1,1,2)k1+2k2k3=3k2+k3=2k12k3=4k1=2k2=1k3=3 β = 2 α 1 − α 2 + 3 α 3 \beta = 2\alpha_{1}-\alpha_{2}+3\alpha_{3} β=2α1α2+3α3

    规律:通过上面的例题,发现不管给出的向量是行还是列, α 1 , α 2 . . . α n \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{n} α1,α2...αn按列均作为方程组的系数, β \beta β按列作为右端常数项(对比一下上面的方程组)

    进一步发现: β \beta β 能否使用 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} α1,α2,α3进行表示 就变成了 方程组是否有解

    2 向量组的等价

    前面针对于矩阵的等价是指:矩阵A经过初等变换后可以变成矩阵B,则称矩阵A与矩阵B等价(矩阵的秩为:非零子式的最高阶数)
    向量组等价: α 1 , α 2 . . . α m \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{m} α1,α2...αm β 1 , β 2 . . . β n \beta_{1},\beta_{2}...\beta_{n} β1,β2...βn同维,若两个向量组可以相互线性表示,则称两个向量组等价,记作 { α 1 , α 2 . . . α m }    ⟺    { β 1 , β 2 . . . β n } \{\alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{m}\} \iff \{\beta_{1},\beta_{2}...\beta_{n}\} {α1,α2...αm}{β1,β2...βn}

    1)反身性: { α 1 , α 2 . . . α m }    ⟺    { α 1 , α 2 . . . α m } \{\alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{m}\} \iff\{\alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{m}\} {α1,α2...αm}{α1,α2...αm}
    2)对应性: 若 { α 1 , α 2 . . . α m }    ⟺    { β 1 , β 2 . . . β n } \{\alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{m}\} \iff \{\beta_{1},\beta_{2}...\beta_{n}\} {α1,α2...αm}{β1,β2...βn},则 { β 1 , β 2 . . . β n }    ⟺    { α 1 , α 2 . . . α m } \{\beta_{1},\beta_{2}...\beta_{n}\}\iff \{\alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{m}\} {β1,β2...βn}{α1,α2...αm}
    3)传递性:若 { α 1 , α 2 . . . α m }    ⟺    { β 1 , β 2 . . . β n } \{\alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{m}\} \iff \{\beta_{1},\beta_{2}...\beta_{n}\} {α1,α2...αm}{β1,β2...βn} { β 1 , β 2 . . . β n }    ⟺    { γ 1 , γ 2 . . . γ s } \{\beta_{1},\beta_{2}...\beta_{n}\}\iff \{\gamma_{1},\gamma_{2}...\gamma_{s}\} {β1,β2...βn}{γ1,γ2...γs},则可推出 { α 1 , α 2 . . . α m }    ⟺    { γ 1 , γ 2 . . . γ s } \{\alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{m}\} \iff \{\gamma_{1},\gamma_{2}...\gamma_{s}\} {α1,α2...αm}{γ1,γ2...γs}

    3 线性相关与线性无关

    α 1 , α 2 . . . α n \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{n} α1,α2...αn是n个m维向量,若存在一组不全为0 k 1 , k 2 , . . . k n k_{1},k_{2},...k_{n} k1,k2,...kn使得 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k n α n = 0 k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+...+k_{n}\alpha_{n} = 0 k1α1+k2α2+...+knαn=0 ,则称 α 1 , α 2 . . . α n \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{n} α1,α2...αn是线性相关

    线性无关:1)不是相关;2)找不到一组不全为0的 k 1 , k 2 , . . . k n k_{1},k_{2},...k_{n} k1,k2,...kn,3)若上述的等式成立,则说明 k 1 , k 2 , . . . k n k_{1},k_{2},...k_{n} k1,k2,...kn必全为0

    性质:
    1) 向量组中两向量成比例,则向量组是线性相关。按照比例将成比例的两个向量值化为0,其余的组合系数为0即可
    − 1 ∗ ( 1 2 ) + 1 2 ∗ ( 2 4 ) + 0 ∗ ( 0 1 ) + 0 ∗ ( 3 4 ) = 0 -1*\left(\begin{matrix} 1\\2\end{matrix}\right)+\frac{1}{2} *\left(\begin{matrix} 2\\4\end{matrix}\right)+0 *\left(\begin{matrix} 0\\1\end{matrix}\right) + 0* \left(\begin{matrix} 3\\4\end{matrix}\right)= 0 1(12)+21(24)+0(01)+0(34)=02)含有零向量的任一向量组必线性相关。 0 α 1 + 0 α 2 + . . . + 1 ∗ 0 = 0 0\alpha_{1}+0\alpha_{2}+...+1*0 = 0 0α1+0α2+...+10=0
    3)一个零向量必线性相关
    4) 一个非零向量必线性无关
    5)一个向量 α \alpha α如果线性相关    ⟺    α = 0 \iff \alpha = 0 α=0

    例题,若 α 1 , α 2 . . . α r \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{r} α1,α2...αr线性相关,证明 α 1 , α 2 . . . α r , α r + 1 , . . . , α s \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{r},\alpha_{r+1},...,\alpha_{s} α1,α2...αr,αr+1,...,αs也是线性相关

    解: 已知 α 1 , α 2 . . . α r \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{r} α1,α2...αr线性相关    ⟺    k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k r α r = 0 \iff k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+...+k_{r}\alpha_{r} = 0 k1α1+k2α2+...+krαr=0,其中 k 1 , k 2 , . . . k r k_{1},k_{2},...k_{r} k1,k2,...kr不全为0,

    预证明 α 1 , α 2 . . . α r , α r + 1 , . . . , α s \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{r},\alpha_{r+1},...,\alpha_{s} α1,α2...αr,αr+1,...,αs也是线性相关,则需要
    k 1 α 1 + k 2 α 2 . . . k r α r + k r + 1 α r + 1 , . . . , + k s α s = 0 , k 1 , k 2 , . . . k r , k r + 1 , . . . , k s 不 全 为 0 k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}...k_{r}\alpha_{r}+k_{r+1}\alpha_{r+1},...,+k_{s}\alpha_{s} = 0, k_{1},k_{2},...k_{r},k_{r+1},...,k_{s}不全为0 k1α1+k2α2...krαr+kr+1αr+1,...,+ksαs=0,k1,k2,...kr,kr+1,...,ks0只需要将下标在r后的k值全都赋值等于0即可

    6)上述例子可以推出:部分组线性相关 ⇒ \Rightarrow 全部组线性相关;全体组线性无关 ⇒ \Rightarrow 部分组线性无关
    7) 无关的向量组,接长向量组也是线性无关的;接长向量组是线性相关的,那么截短的向量组也是线性相关的
    8) n个n维向量(向量的个数等于向量的维数),若构成的行列式 D ≠ 0 D \not=0 D=0,可得出向量组线性无关; D = 0 D =0 D=0,向量组线性相关
    ( 1 , 0 , 3 ) , ( 2 , 1 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) ⇒ ∣ 1 0 3 1 1 1 1 1 0 ∣ (1,0,3),(2,1,1),(1,1,0) \Rightarrow \begin{vmatrix}1 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1&1 & 0 \end{vmatrix} (1,0,3),(2,1,1),(1,1,0)111011310
    9)n个单位向量组线性无关

    例题,判断向量组$(1,0,-1),(-1,-1,2),(2,3,-5)是否线性相关?

    解:直接按照定义,假设存在 k 1 , k 2 , k 3 k_{1},k_{2},k_{3} k1,k2,k3,使得 k 1 α 1 + k 2 α 2 + k 3 α 3 = 0 k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+k_{3}\alpha_{3} = 0 k1α1+k2α2+k3α3=0,然后带入向量组数组,就变成解方程组了
    { k 1 − k 2 + 2 k 3 = 0 − k 2 + 3 k 3 = 0 − k 1 + 2 k 2 − 5 k 3 = 0 ⇒ { k 1 = k 3 k 2 = 3 k 3 , 假 定 k = 1 , 则 说 明 存 在 不 全 为 0 的 值 使 得 式 子 为 0 ⇒ 线 性 相 关 \begin{cases} k_{1} -k_{2} + 2 k_{3} =0 \\ -k_{2} + 3k_{3} =0\\ -k_{1} + 2 k_{2} -5k_{3} = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} k_{1} = k_{3} \\ k_{2} =3k_{3} \end{cases},假定k=1,则说明存在不全为0的值使得式子为0 \Rightarrow 线性相关 k1k2+2k3=0k2+3k3=0k1+2k25k3=0{k1=k3k2=3k3,k=1,0使0线
    可以发现这里判断向量组线性相关还是线性无关的条件就变成了判断方程是够有非零解的问题,对照前面刚好也有一个类似的判定,是用来判定一个向量是否可以由其它向量组进行表示。

    区别:

    • 线性组合    ⟺    \iff 方程有解
    • 不是线性组合    ⟺    \iff 方程无解
    • 向量组线性相关    ⟺    \iff 方程有非零解
    • 向量组线性无关    ⟺    \iff 方程只有零解

    4 定理

    1) α 1 , α 2 . . . α s \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s} α1,α2...αs线性相关    ⟺    \iff 至少一个向量可由其余向量表示
    2) α 1 , α 2 . . . α s \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s} α1,α2...αs线性无关, α 1 , α 2 . . . α s , β \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s},\beta α1,α2...αs,β线性相关,则 β \beta β可由 α 1 , α 2 . . . α s \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s} α1,α2...αs唯一线性表示

    证明:

    先证可线性表示
    α 1 , α 2 . . . α s , β \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s},\beta α1,α2...αs,β线性相关,则存在不全为零的 k 1 , k 2 , . . . k s + 1 k_{1},k_{2},...k_{s+1} k1,k2,...ks+1,使得
    k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k s α s + k s + 1 β = 0 k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+...+k_{s}\alpha_{s} + k_{s+1}\beta= 0 k1α1+k2α2+...+ksαs+ks+1β=0假使这里的 k s + 1 = 0 k_{s+1} = 0 ks+1=0,则得到 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k s α s = 0 k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+...+k_{s}\alpha_{s} = 0 k1α1+k2α2+...+ksαs=0,则 k 1 , k 2 , . . . k s k_{1},k_{2},...k_{s} k1,k2,...ks中必存在一个不为0的数,然而却又和 α 1 , α 2 . . . α s \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s} α1,α2...αs线性无关相矛盾,所以拒绝假使,只能是 k s + 1 ≠ 0 k_{s+1} \not= 0 ks+1=0,这时候同时除于这个不为0的系数后,将 β \beta β移到另一边就实现了 β \beta β α 1 , α 2 . . . α s \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s} α1,α2...αs线性表示

    再证唯一性
    假设存在两组系数使得 β = m 1 α 1 + m 2 α 2 + . . . + m s α s ; β = n 1 α 1 + n 2 α 2 + . . . + n s α s \beta = m_{1}\alpha_{1}+m_{2}\alpha_{2}+...+m_{s}\alpha_{s};\beta = n_{1}\alpha_{1}+n_{2}\alpha_{2}+...+n_{s}\alpha_{s} β=m1α1+m2α2+...+msαs;β=n1α1+n2α2+...+nsαs,两式子相减就得到 ( m 1 − n 1 ) α 1 + ( m 2 − n 2 ) α 2 + . . . + ( m s − n s ) α s = 0 (m_{1}-n_{1})\alpha_{1}+(m_{2}-n_{2})\alpha_{2}+...+(m_{s}-n_{s})\alpha_{s}=0 (m1n1)α1+(m2n2)α2+...+(msns)αs=0,根据 α 1 , α 2 . . . α s \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s} α1,α2...αs线性无关,所以可推出 m i − n i = 0 ⇒ m i = n i m_{i} - n_{i} = 0 \Rightarrow m_{i} = n_{i} mini=0mi=ni,故只存在唯一值

    3)替换定理: α 1 , α 2 . . . α s \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s} α1,α2...αs线性无关,可由 β 1 , . . . , β t \beta_{1},...,\beta_{t} β1,...,βt表示,则 s < = t s <= t s<=t

    这里举的例子就是小王、小李、小张的问题,都拿出他们爸爸的照片,如果说都拿出对应父亲的照片,那么自然他们的父亲就可以来代替儿子,如果一旦说只有两张不同,小张发现小王的爸爸老王的照片竟然和自己的父亲一样,问题就大了,所以不能小于,可以等于也可以大于,这个大于的理解是可以拿出多张父亲的照片也可以把母亲的照片也拿上。这个例子就可以很容易的理解这个替换定理

    4) 替换定理的逆否命题: α 1 , α 2 . . . α s \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s} α1,α2...αs可以由 β 1 , . . . , β t \beta_{1},...,\beta_{t} β1,...,βt表示,且 s > t s > t s>t,则 α 1 , α 2 . . . α s \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s} α1,α2...αs线性相关

    5)推论:若m>n(向量的个数大于向量的维数), m个线性n维向量组线性相关;n+1个n维向量一定线性相关

    6)推论:等价的线性无关组含向量的个数是相同的。相当于是 s < = t s <= t s<=t s > = t s >= t s>=t ,最后推出 s = t s= t s=t

    展开全文
  • 本章主要介绍向量空间的知识,前两章一样本章也可以通过研究解线性方程组的解把所有知识点串联起来,比如研究齐次线性方程组的解可以得到线性相关、线性无关、零空间、解空间的基(基础解系)、解空间的维数、秩...

    本讲义是自己上课所用幻灯片,里面没有详细的推导过程(笔者板书推导)只以大纲的方式来展示课上的内容,以方便大家下来复习。

    本章主要介绍向量空间的知识,与前两章一样本章也可以通过研究解线性方程组的解把所有知识点串联起来,比如研究齐次线性方程组的解可以得到线性相关、线性无关、零空间、解空间的基(基础解系)、解空间的维数、秩定理等概念。研究非齐次线性方程组的解可以得到线性组合、线性表示、列空间、一个向量组可由另一个向量组线性表示、两个向量组等价等概念。若一个向量不在矩阵的列空间当中,即这个向量不能由一组向量线性表示,可以通过正交投影定理得到最小二乘解,而QR分解是求最小二乘解的一种有效途径。本章的核心是向量空间的概念,通过向量空间的同构,可以把其它的向量空间同构到 R n R^n Rn空间,为了表达坐标的方便,我们通常会选择标准正交基,作为该空间的基。本章相对前两章就有一些难度了,希望大家好好复习,把基本概念和方法搞明白。

    推荐两个学习线性代数的资源:

    1. 麻省理工公开课 Linear Algebra

    • https://www.bilibili.com/video/av15463995/
    • 相较于国内老师从行列式入手,MIT老师从几何空间的角度,更加直观揭示线代的内核。

    2. 线性代数的本质

    • https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E
    • 通过直观的动画演示来理解线性代数的大部分核心概念。

    关注本公众号并回复“资料下载”可以获取MIT线性代数公开课英文教材和中文笔记一份,以方便大家学习。


    25

    26

    27

    28

    29

    30

    31

    32

    33

    34

    35

    36

    37

    38

    39

    40

    41

    42

    43

    44

    45

    46

    47

    48

    知识结构


    展开全文
  • 向量组的线性相关与线性无关-向量组的线性无关.pdf
  • 线性代数之线性相关线性表示的求法 线性相关 向量是n个m维(每个向量分量的个数)的向量,若存在一组不全为0的 使得 则 是线性相关的,反之线性无关。... 一个向量线性相关的充要条件是向量为0向量 线性表示...
  • 向量组的线性相关与线性无关.doc
  • 向量线性相关 定义 例题 定义 向量组 α 1 , α 2 , ⋯   , α s ( s ⩾ 1 ) \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s(s\geqslant1) α1​,α2​,⋯,αs​(s⩾1) 称为线性相关,如果有数域 P P P 中不全为零的数 k 1 , ...
  • 向量组的线性相关与线性无关PPT课件.pptx
  • 向量组的线性表出与线性相关3.1 基础概念3.2 线性相关、线性无关的进一步说明4. 判别线性相关性的七大定理4.1 定理14.2 定理24.3 定理34.4 定理44.5 定理54.6 定理6 1. 引入 前文我们已经讨论过行列式和矩阵,下面...
  • 向量线性相关及线性无关.doc
  • 向量组的线性相关性

    万次阅读 2021-06-05 23:45:21
    n维列向量和n维行向量,分别是竖着的和横着的。 aT=(a1,a2,a3,......,an) 横着的是行向量; a
  • 文章目录向量的线性关系线性组合(线性表示)性质向量组的等价性质线性相关与线性无关一些结论例题定理参考 向量的线性关系 用某些向量来表示另一个向量,这是一个线性关系:线性组合 线性组合(线性表示) 下图...
  • 这里写目录标题一,n维向量的线性相关1,简介2,公式:3,线性组合,线性表出,表出系数4,向量组之间等价5,线性相关与线性无关的判别 一,n维向量的线性相关 1,简介 设P为域,n是正整数,P中n个元素构成的有序组...
  • 线性相关与线性表答(出)2.秩与最大线性无关组3.向量个数与维数三、补充 前言 提示:以下是本篇文章正文内容,下面案例可供参考 一、(非)齐次方程组解的判定 秩 行列式(注:在n个n维向量组) 解的情况 b=0...
  • 第二章讲义.
  • 线性代数-向量组的线性相关

    千次阅读 2019-03-07 21:37:12
    n维向量,极大无关组,矩阵的秩
  • 能就线性相关。对应坐标成比例 (1,2)——>(2,4) 成比例 1.向量组:多个向量组成的, 向量组A:a1,a2,a3,a4,a5 向量组可以用矩阵表示。 向量组:行向量,还有列向量。 定理1 一个向量B能由向量组A线性表示:充分...
  • 同时 ,讨论了线性相关性,为什么讨论线性相关性呢,因为,我们要在复杂的向量关系里面进行简化,去除拿下可以去除的向量,那么,我们就需要用线性相关性去判别哪些向量有关系,哪些没有,这节就是讲这个概念。...
  • 向量线性相关PPT课件.pptx
  • 欢迎扫描二维码关注微信公众号 深度学习数学   [每天获取免费的大数据、AI等相关的学习资源、经典和最新的深度学习相关的论文研读,算法和其他互联网技能的学习,概率论、线性代数等高等数学知识的回顾] ...
  • 向量与平面 向量这个概念我们在高中就接触到了,它既指一个点在空间中的坐标,也表示一个有向线段,如果我们加入复数概念的话,它还能表示一个数。在线性代数当中,向量就是指的n个有次序的数a1,a2,⋯ ,ana_1, a_2...
  • 由于b1,b2,b3线性相关 即存在不全为0的x1,x2,x3使得线性方程组成立。由于线性方程组每一行都成立,所以当减少向量中的分量的时候,即减少了一行也成立。而b选项中 可以推的存在全为0的x1,x2,x3使得线性方程组成立,...
  • 向量组和线性相关

    千次阅读 2018-11-08 21:12:30
    线性表示和线性相关向量方程AX=b有解时,称向量b可以用向量组A线性表示,称Σxiai为向量组A的一个线性组合 当向量组B的所有向量bi都能用A线性表示时,称向量组B能被向量组A先行表示。这个关系不一定可逆。 当...
  • 线性代数之向量基础点

    千次阅读 2021-03-06 12:53:48
    线性代数之向量基础点 向量的定义 由n个按照次序排成的数组成的数组叫n维向量,每个数称为该向量的n的分量,其中第i个数ai 称为第i个分量。按照行(列)排列的向量叫做行(列)向量。 n维列向量记作: 几点说明: ...
  • 第一节 向量组的线性相关性   一.数学概念 定义1.1 n个有次序的数 ,所组成的数组称为n维向量,这n个数称为该向量的n个分量,第i个数 称为第i个分量。 定义1. 2 给定向量组A: ,对于任何一组实数 ,...
  • 向量组等价,是两向量组中的各向量,都可以用另一个向量组中的向量线性表示。 矩阵等价,是存在可逆变换(行变换或列变换,对应于1个可逆矩阵),使得一个矩阵之间可以相互转化。 ...
  • n维向量及其线性相关剖析PPT教案学习.pptx
  • 相关向量机做回归预测分类都能实现,回归预测使用RVR类,分类使用RVC。 RVM是支持向量机的稀疏贝叶斯模拟,具有许多优点: 它提供了概率估计,而不是SVM的点估计。 通常提供比SVM更稀疏的解决方案,后者倾向于使支持...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 113,806
精华内容 45,522
关键字:

向量与向量线性相关的条件