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  • 复数向量关系.doc

    2021-10-08 21:34:58
    复数向量关系.doc
  • 复数计算和向量计算的区别

    千次阅读 2018-12-02 21:26:38
    今天接触到了量子计算,原理正在摸索,但是从数学角度,复数计算应该会用到。 以前学习复数的时候,纯属应付考试,...2、看起来复数计算好像跟向量计算很像,但是还是不一样。下面就把学习内容写下来: 1)向量可...

    今天接触到了量子计算,原理正在摸索,但是从数学角度,复数计算应该会用到。

    以前学习复数的时候,纯属应付考试,现在回想只记得一个公式:i^{2}=-1,是的,就只记得这个!

    今天周末,有时间缕一下,看几个问题:

    1、复数里用到了虚数,看了阮老师的一篇文章,虚数的意义何在,清晰了好多,上学的时候怎么没想过这些问题呢?

    2、看起来复数计算好像跟向量计算很像,但是还是不一样。下面就把学习内容写下来:

    1)向量可以是二维、三维...N维,复数只能为二维。

    2)向量运算法则及意义见:向量运算。主要意思如下:

    • 向量加减法:如果两个向量的维数相同,那么他们能够相加减,运算结果的向量的维数和原向量相同。向量的加法等于两个向量的分量相加,向量的减法相当于加上一个负向量。
    • 向量加减法对应的几何解释,是空间上的点之间的距离,首尾相连距离可以用加法计算,尾尾相连距离可以用向量减法来得到。
    • 向量乘法:向量的乘法分为点乘和叉乘。
    • 向量点乘:标量可以和向量相乘,向量也可以和向量向量相乘,这就叫点乘,也叫做内积。标量与向量相乘不可以写点,向量与向量相乘必须要写点,向量的点乘优先级高于向量的加减法。注意:向量点乘后的结果是标量。
    • 向量点乘几何意义就是一个向量在平行于另一个向量方向上的投影的数值乘积
    • 向量叉乘:两个向量的叉乘得到是向量,且这个向量垂直于原来的两个向量。向量的叉乘只可以运用在3D向量中。
    • 叉乘的几何意义是:结果的模是一个向量在垂直于另一个向量方向上的投影的数值乘积,或者说是两个向量为边构成的平行四边形的面积。

    3)复数运算法则及意义

    • 复数加减法,与向量在二维空间中的加法类似;
    • 复数乘法不同,两个复数相乘,就等于旋转半径相乘、旋转角度相加。

     

     

     

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  • 理解复数域上的向量空间

    千次阅读 2021-04-05 10:00:26
    说明:本文转载自博客:理解复数域上的向量空间(第一篇),由于没有找到原作者的联系方式,所以直接搬运过来了,如有侵权请联系我,我立即删除。 线性代数进行到酉空间中的自伴算子、正规算子以及谱定理这部分内容...

    说明:本文转载自博客:理解复数域上的向量空间(第一篇),由于没有找到原作者的联系方式,所以直接搬运过来了,如有侵权请联系我,我立即删除。

    线性代数进行到酉空间中的自伴算子、正规算子以及谱定理这部分内容时,会发现很多在复空间中成立的命题在实空间中却未必成立。这种情况多少让人感到有点奇怪,为什么会出现这种情况?
    复数域是包含实数域的,我们学习复数之后碰到最多的是相反的情况:原本在实数域上成立的性质在复数域中不一定成立了,比如,实数可以比较大小,但复数没有大小关系;又比如,实数的平方非负,等等。这样的命题见多了,容易使人产生思维定势,认为复数包含实数,因此在复数范围内成立的命题在实数范围内也必然成立,而实数范围成立的命题不一定都能推广到复数。
    可尤其是学习到复变函数之后,这种情况似乎反过来了,同样的一个概念,到了复数中反倒比原来实数情况下的相应概念有了更多的内涵。这又是为什么呢?

    比如,在”Linear Algebra Done Right” 第七章有个命题 7.2,是说

    命题7.2: 如果 V V V是复数域上的内积空间,并且 T T T V V V上的线性算子,且对任意向量 v v v,都有 ⟨ T v , v ⟩ = 0 \langle Tv,v\rangle=0 Tv,v=0,那么 T = 0 T=0 T=0
    证明: 使用恒等式
    ⟨ T u , w ⟩ = ⟨ T ( u + w ) , u + w ⟩ − ⟨ T ( u − w ) , u − w ⟩ 4 + ⟨ T ( u + i w ) , u + i w ⟩ + ⟨ T ( u − i w ) , u − i w ⟩ 4 i \begin{aligned}\langle Tu,w\rangle=&\frac{\langle T(u+w),u+w\rangle-\langle T(u-w),u-w\rangle}{4}\\ &+\frac{\langle T(u+iw),u+iw\rangle+\langle T(u-iw),u-iw\rangle}{4}i\end{aligned} Tu,w=4T(u+w),u+wT(uw),uw+4T(u+iw),u+iw+T(uiw),uiwi
    即可得证。

    但是,同样的假设,在实数空间中却得不出同样的结论来,比如,二维空间中把所有向量都逆时针旋转90度角。

    可是,在实空间中可以存在旋转90度的映射,为什么在复空间中就没有这种映射?难道就不可以有一个线性变换像实空间中那样把每一个向量都旋转到垂直的位置上吗?

    它的证明的确在那里,证法也的确没有错,但是我却从直观上难以接受这个命题。我不甘心,于是找来实空间中的那个旋转映射放在复空间上,定义复空间上的映射
    T ( a b ) = ( b − a ) T\begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b\\ -a\end{pmatrix} T(ab)=(ba)
    那么 ⟨ T v , v ⟩ = a b ˉ − b a ˉ \langle Tv,v\rangle=a\bar b-b\bar a Tv,v=abˉbaˉ,通常情况下,这是个纯虚数,不一定是零。所以这个反例失败了,在这个例子上,我不得不承认上面那个命题。但是,它给我带来更多的思考:

    我们应该怎样直观地想象复向量空间?从前我们总是把向量想象成一条带有方向的线段,把一维子空间想象成一条直线,”线”总是伴随着我们对向量空间的影像理解,因为实数上面可以定义线序,而我们生存的三维空间就可以看成实三维空间,所以在理解一般的向量空间的时候,这种影像可以帮助我们建立起很多问题的直观。但是,当探究复向量空间内部的特殊结构的时候,这种形象的理解遇到了一些问题。
    比如,把一个复向量取共轭,跟原来的向量是什么位置关系?又比如,一个向量 v v v乘以 i i i,变成了 i v iv iv,是把这个向量怎么样了?旋转了九十度?可是毕竟二者是线性相关的,而在我们的直观理解中,线性相关的两个向量是共线的,数乘只是把向量拉长或缩短。但是如果把它们两个想象成共线的,又无法想象它们两个有相同的长度,一个一维子空间中相同长度的向量不是两个,而是无穷多个,无法想象。
    看来,与复平面类似,只有把一维复向量空间理解成我们所熟悉的平面才自然一些,而这个一维复空间中的一个复向量,可以看成是躺在个平面上的,它并不占据这个一维空间的一整段,在它周围可以有无数多条与它长度相等的向量。
    那么这么看来,一个 n 维的复空间,是否可以形象地把它想象成一个 2n 维实空间?

    把问题提得更明确一些,如果我们把一个 n 维复空间看成一个实数域上的向量空间,即把数量乘法中用到的数限制在实数域中,那么,原来的基底 e 1 , e 2 , … , e n e_1,e_2,\dots,e_n e1,e2,,en就张不成整个空间了,可以证明, 向量组 e 1 , i e 1 , e 2 , i e 2 , … , e n , i e n e_1,ie_1,e_2,ie_2,\dots,e_n,ie_n e1,ie1,e2,ie2,,en,ien是这个实向量空间的基底,一共 2n 个元素,所以它是一个 2n 维实向量空间。(注意,这个实数空间中的一个向量 v 在原来复空间意义下可以乘以纯量 i 变成 iv,但在实空间中 iv 将不再是这种乘法的结果,它只是与 v 有关的一个向量而已。我们仍然记为 iv。)

    如果只考虑空间本身,那么这样的理解是足够的,也足以提供复空间的一些直观信息。可是,我们需要理解的不止是这些,还有内积、线性变换等一些东西,在这个衍生出来的实空间中的这些东西到底跟原来的复空间中相应的对象有什么联系?

    首先分析内积,如果原来的复空间中有内积 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ \langle \cdot,\cdot\rangle ,,那么 R e   ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ \mathrm{Re}\,\langle \cdot,\cdot\rangle Re,就是衍生出的实空间中的内积,我们用方括号 [ ⋅ , ⋅ ] [\cdot,\cdot] [,]表示这个实空间的内积,
    那么原来的内积就可以用这个实数空间内积表示为
    ⟨ u , v ⟩ = [ u , v ] + i [ u , i v ] \langle u,v\rangle=[u,v]+i[u,iv] u,v=[u,v]+i[u,iv]
    并且,这两个内积诱导的范数是相同的。
    对任意向量 v v v,向量 i v iv iv在实数空间的内积意义下是垂直于 v v v的: [ i v , v ] = R e   i ⟨ v , v ⟩ = 0 [iv,v]=\mathrm{Re}\,i\langle v,v\rangle=0 [iv,v]=Reiv,v=0
    如果 e 1 , e 2 , … , e n e_1,e_2,\dots,e_n e1,e2,,en是复空间的标准正交基底,那么 e 1 , i e 1 , e 2 , i e 2 , … , e n , i e n e_1,ie_1,e_2,ie_2,\dots,e_n,ie_n e1,ie1,e2,ie2,,en,ien是实空间的标准正交基底。

    下面讨论一个向量乘以 i 是怎么回事。在复空间中,变换 S = i I S=iI S=iI是个线性变换,那么在实空间中 v v v i v iv iv的变换是否也是线性变换?注意到原来复空间的任何线性变换在实空间下也是线性变换,所以 S S S也不例外。那么它在实空间意义下对应什么矩阵呢?
    取上面的标准正交基底 e 1 , i e 1 , e 2 , i e 2 , … , e n , i e n e_1,ie_1,e_2,ie_2,\dots,e_n,ie_n e1,ie1,e2,ie2,,en,ien,显然它在这组基底下的矩阵为
    ( 0 − 1 0 0 1 0 0 0 ⋱ 0 0 0 − 1 0 0 1 0 ) \begin{pmatrix}0&-1&&0&0\\ 1&0&&0&0\\ &&\ddots&&\\ 0&0&&0&-1\\ 0&0&&1&0\end{pmatrix} 0100100000010010
    即主对角线上是 2×2 阶矩阵块
    ( 0 − 1 1 0 ) \begin{pmatrix}0&-1\\ 1&0\end{pmatrix} (0110)
    其余位置都为零。

    接下来讨论一般的线性变换。在复空间中每个线性变换 T T T都对应实空间的一个线性变换,那么反过来,是否一个实空间的线性变换在复空间中也是线性变换呢?
    T ( u + v ) = T u + T v T(u+v)=Tu+Tv T(u+v)=Tu+Tv这一条是两种空间都共同满足的,但关键是 T ( k v ) = k T v T(kv)=kTv T(kv)=kTv这个性质,对于实空间,我们只要求 k k k为实数,但对于复空间,我们还要求 k k k可以取复数。那么就必须有 T ( a u + b i u ) = a T u + b i T u T(au+biu)=aTu+biTu T(au+biu)=aTu+biTu,换句话说,就是 T T T与上面定义的 S S S可交换: T S v = S T v TSv=STv TSv=STv,只有这样的 T T T才有资格作为复空间的线性变换,并且这是个充要条件。
    分析一下 L ( V ) \mathcal L(V) L(V)的维数,当 V V V是复空间时, L ( V ) \mathcal L(V) L(V)的维数是 n 2 n^2 n2,把 L ( V ) \mathcal L(V) L(V)看成相应的实数空间,维数也不过是 2 n 2 2n^2 2n2,但如果把 V V V看成相应的实空间,那么 L ( V ) \mathcal L(V) L(V)的维数是 4 n 2 4n^2 4n2,可见,复空间上的线性变换比相应的实空间的线性变换少了一半,原因就是复空间的特性对线性变换会有更多的限制。
    利用矩阵的分块乘法规则可以证明,实空间上的 2 n × 2 n 2n\times 2n 2n×2n阶矩阵 A A A,如果与 S S S对应的矩阵可交换,那么 A A A有以下形式:
    ( a − b c − d b a d c ⋱ e − f g − h f e h g ) \begin{pmatrix}a&-b&&c&-d\\ b&a&&d&c\\ &&\ddots&&\\ e&-f&&g&-h\\ f&e&&h&g\end{pmatrix} abefbafecdghdchg
    显然,它对应复空间上的矩阵
    ( a + b i … c + d i ⋮ ⋱ ⋮ e + f i … g + h i ) \begin{pmatrix}a+bi&\dots&c+di\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ e+fi&\dots&g+hi\end{pmatrix} a+bie+fic+dig+hi
    而且,分析这种矩阵的自由度,与上面分析的复空间变换的维数恰好吻合。

    下面利用实空间的理论,在复空间衍生的实空间中证明命题 7.2。首先证明一条引理:

    引理1: 如果 V V V是实的内积空间, T ∈ L ( V ) T\in\mathcal L(V) TL(V),那么 T T T满足
    ∀ v ∈ V , ⟨ T v , v ⟩ = 0 \forall v\in V,\langle Tv,v\rangle=0 vV,Tv,v=0
    当且仅当 T T T是斜自伴的,即 T ⋆ = − T T^\star=-T T=T
    证明: 如果 T ⋆ = − T T^\star=-T T=T,那么有 ⟨ T v , v ⟩ = ⟨ v , T ⋆ v ⟩ = − ⟨ v , T v ⟩ = − ⟨ T v , v ⟩ \langle Tv,v\rangle=\langle v,T^\star v\rangle=-\langle v,Tv\rangle=-\langle Tv,v\rangle Tv,v=v,Tv=v,Tv=Tv,v,因此 ⟨ T v , v ⟩ = 0 \langle Tv,v\rangle=0 Tv,v=0
    反过来,如果 ∀ v ∈ V , ⟨ T v , v ⟩ = 0 \forall v\in V,\langle Tv,v\rangle=0 vV,Tv,v=0,那么
    ⟨ T ( v + w ) , v + w ⟩ = ⟨ T v , v ⟩ + ⟨ T v , w ⟩ + ⟨ T w , v ⟩ + ⟨ T w , w ⟩ = 0 \begin{aligned}\langle T(v+w),v+w\rangle=&\langle Tv,v\rangle+\langle Tv,w\rangle+\langle Tw,v\rangle+\langle Tw,w\rangle\\ =&0\end{aligned} T(v+w),v+w==Tv,v+Tv,w+Tw,v+Tw,w0
    因此
    ⟨ T v , w ⟩ + ⟨ T w , v ⟩ = ⟨ T v , w ⟩ + ⟨ w , T ∗ v ⟩ = ⟨ T v , w ⟩ + ⟨ T ∗ v , w ⟩ = ⟨ ( T + T ∗ ) v , w ⟩ = 0 \begin{aligned}\langle Tv,w\rangle+\langle Tw,v\rangle=&\langle Tv,w\rangle+\langle w,T^*v\rangle\\ =&\langle Tv,w\rangle+\langle T^*v,w\rangle\\ =&\langle (T+T^*)v,w\rangle\\ =&0\end{aligned} Tv,w+Tw,v====Tv,w+w,TvTv,w+Tv,w(T+T)v,w0
    w = ( T + T ∗ ) v w=(T+T^*)v w=(T+T)v即可得证。

    接下来把命题7.2 翻译成实空间中的命题并证明之。

    命题2 V V V是实内积空间, T T T S S S都是 V V V上的斜自伴算子,且 S S S可逆, T T T S S S可交换,并且任意向量 v v v ⟨ T v , S v ⟩ = 0 \langle Tv,Sv\rangle=0 Tv,Sv=0,那么 T = 0 T=0 T=0
    证明:由 ⟨ T v , S v ⟩ = − ⟨ S T v , v ⟩ = 0 \langle Tv,Sv\rangle=-\langle STv,v\rangle=0 Tv,Sv=STv,v=0,可知 S T ST ST也是斜自伴的。那么
    − T S = ( T S ) ∗ = S ∗ T ∗ = S T = T S -TS=(TS)^*=S^*T^*=ST=TS TS=(TS)=ST=ST=TS,因此 T S = 0 TS=0 TS=0。又 S S S可逆,故 T = 0 T=0 T=0。证毕。
    (P.S: 如果没有 S S S可逆的条件,那么 n u l l   T ⊃ r a n g e   S \mathrm{null}\,T\supset\mathrm{range}\,S nullTrangeS。)

    原来一个复向量空间上的线性变换相当于暗中假定了这么多的条件!难怪复空间中的算子理论有那么好的性质。


    2015/10/28 补充:

    我们可以完善引理1,使得通过这个引理可以更直接地证明书上的命题7.2:

    引理1‘: V V V是实数域或复数域上的内积空间, T ∈ L ( V ) T\in\mathcal L(V) TL(V)。记 i R i\mathbb R iR为所有纯虚数和 0 0 0构成的集合,那么, T T T满足
    ∀ v ∈ V , ⟨ T v , v ⟩ ∈ i R \forall v\in V,\langle Tv,v\rangle\in i\mathbb R vV,Tv,viR
    当且仅当 T T T是斜自伴的,即 T ∗ = − T T^*=-T T=T
    证明: 如果 T ∗ = − T T^*=-T T=T,那么有 ⟨ T v , v ⟩ = ⟨ v , T ∗ v ⟩ = − ⟨ v , T v ⟩ = − ⟨ T v , v ⟩ ‾ \langle Tv,v\rangle=\langle v,T^*v\rangle=-\langle v,Tv\rangle=-\overline{\langle Tv,v\rangle} Tv,v=v,Tv=v,Tv=Tv,v,因此 ⟨ T v , v ⟩ ∈ i R \langle Tv,v\rangle\in i\mathbb R Tv,viR
    反过来,如果 ∀ v ∈ V , ⟨ T v , v ⟩ ∈ i R \forall v\in V,\langle Tv,v\rangle\in i\mathbb R vV,Tv,viR,那么
    ⟨ T ( v + w ) , v + w ⟩ = ⟨ T v , v ⟩ + ⟨ T v , w ⟩ + ⟨ T w , v ⟩ + ⟨ T w , w ⟩ ∈ i R \begin{aligned}\langle T(v+w),v+w\rangle=&\langle Tv,v\rangle+\langle Tv,w\rangle+\langle Tw,v\rangle+\langle Tw,w\rangle\\ \in& i\mathbb R\end{aligned} T(v+w),v+w=Tv,v+Tv,w+Tw,v+Tw,wiR
    因此
    ℜ ⟨ T v , w ⟩ + ⟨ T w , v ⟩ = ℜ ( ⟨ T v , w ⟩ + ⟨ w , T ∗ v ⟩ ) = ℜ ( ⟨ T v , w ⟩ + ⟨ T ∗ v , w ⟩ ) = ℜ ⟨ ( T + T ∗ ) v , w ⟩ = 0 \begin{aligned}\Re\langle Tv,w\rangle+\langle Tw,v\rangle=&\Re(\langle Tv,w\rangle+\langle w,T^*v\rangle)\\ =&\Re(\langle Tv,w\rangle+\langle T^*v,w\rangle)\\ =&\Re\langle (T+T^*)v,w\rangle\\ =&0\end{aligned} Tv,w+Tw,v====(Tv,w+w,Tv)(Tv,w+Tv,w)(T+T)v,w0
    w = ( T + T ⋆ ) v w=(T+T^\star)v w=(T+T)v即可得 ∀ v , ∥ ( T + T ⋆ ) v ∥ 2 = 0 \forall v, \|(T+T^\star)v\|^2=0 v,(T+T)v2=0,因此 T = − T ⋆ T=-T^\star T=T

    这样,在复数域空间中,如果 T T T满足 ∀ v ∈ V , ⟨ T v , v ⟩ = 0 \forall v\in V,\langle Tv,v\rangle =0 vV,Tv,v=0,那么 T T T i T iT iT就同时满足引理1’的条件,所以同时有 T = − T ⋆ T=-T^\star T=T i T = − ( i T ) ⋆ = i T ⋆ iT=-(iT)^\star=iT^\star iT=(iT)=iT,因此 T = 0 T=0 T=0

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    在理解复数和虚数之前我们先看如何表示一个笛卡尔积坐标系下过原点的向量,如下图一所示

    图一

    向量之间还可以通过加法来合成,如下图二所示

    图二

    除此之外向量之间还有点乘和叉乘,但唯独没有向量乘法,即:。另外向量加法,点乘和叉乘运算都不能控制向量旋转,为此人们就想到了是否可以使用还没利用到的向量乘法来表示向量旋转。显然要实现向量旋转的目的,就需要使用新的模型表示过原点的向量,为此诞生了复数。

    图三

    如图三所示就是用复数表示向量的模型。同理复数加法运算(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i相当于向量的加法合成,合成的向量还是用复数表示。下面为了使复数表示的向量乘法能表示向量的旋转,我们制定了如下用乘法表示的旋转规则,见图四:

     图四

    我们知道,要控制向量旋转,实质上就是控制向量在实轴的分量和虚轴分量的大小,由上图四乘法旋转规则可知,实轴分量大小可以由虚轴分量大小乘以 i 控制,而虚轴分量大小又可以用实轴分量大小乘以 i 控制,这样就开始有了交叉相乘的味道。

    在介绍复数表示的向量乘法之前先介绍复数模和幅角的概念,为了描述复平面上的任意一点(即过复平面原点的向量),可以写成更为普遍的形式:

                          z=a+bi

    其中a和b分别称为复数Z的实部虚部。而Z的长度或“模(Modulus)”为Z点到复平面圆心处的距离,即,Z的幅角公式为下图五

    图五(注: 幅角即为向量与实轴的夹角)

    现在我们开始介绍重头戏:复数表示的向量乘法,假设r1=a+bi,r2=c+di,则

    r1*r2=(a+bi)(c+di)=ac+bdii+adi+cbi=(ac-bd)+(ad+cb)i

    这里ac-bd控制实轴分量大小,ad+cb控制虚轴分量大小。由上乘法可以很容易看出,r1借r2控制了自身的旋转,也可以说r2借r1控制了自身的旋转。直接给出结论:两个复数相乘的结果就是,让它们的模长相乘得到最终的模长,让它们的幅角相加得到最终的幅角。这也就解释了为什么说复数自带旋转属性,且有大小和方向的原因了,即 根据图四的旋转规则实轴可以通过乘i旋转为虚轴,故有旋转属性,实轴有数值大小和正负,分别决定了旋转到虚轴分量的大小和分量方向,虚轴可以乘i旋转到实轴,虚轴有系数,系数大小和正负决定了旋转到实轴分量的大小和实轴分量方向。

    下面引用知乎"怎么理解复数和虚数的一个例题说明复数乘法的应用:

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  • 复数与旋转

    千次阅读 2019-10-29 00:31:41
    最近看到复数的一些有趣性质,记录在此。...有时方便起见,亦表示位向量形式(a,b)(a,b)(a,b). 对于两个复数z1=(a,b),z2=(c,d)z_1 = (a,b),z_2 = (c,d)z1​=(a,b),z2​=(c,d)相乘, z1z2=(a+bi)(c+di)...

    最近看到复数的一些有趣性质,记录在此。
    从定义开始,复数由实部和虚部构成:
    z = a + b i , i 2 = − 1 z = a + bi,i^2 = -1 z=a+bii2=1
    有时方便起见,亦表示位向量形式 ( a , b ) (a,b) (a,b).
    对于两个复数 z 1 = ( a , b ) , z 2 = ( c , d ) z_1 = (a,b),z_2 = (c,d) z1=(a,b),z2=(c,d)相乘,
    z 1 z 2 = ( a + b i ) ( c + d i ) = a c − b d + a d i + b d i = [ a − b b a ] ( c d ) z_1 z_2 = (a + bi)(c+di) \\ =ac -bd +adi+bdi\\ =\begin{matrix}\left[ \begin{array}{ccc} a &-b \\ b&a \\ \end{array} \right]\left( \begin{array}{ccc} c\\ d \end{array} \right) \end{matrix} z1z2=(a+bi)(c+di)=acbd+adi+bdi=[abba](cd)

    可以看出,用一个复数左乘的效果相当于一个矩阵变换。
    对于矩阵做一些变形:
    [ a − b b a ] = a 2 + b 2 [ a a 2 + b 2 − b a 2 + b 2 b a 2 + b 2 a a 2 + b 2 ] = ∣ ∣ z ∣ ∣ [ c o s θ − s i n θ s i n θ c o s θ ] \begin{matrix}\left[ \begin{array}{ccc} a &-b \\ b&a \\ \end{array} \right] \end{matrix} = \sqrt{a^2+b^2}\begin{matrix}\left[ \begin{array}{ccc} \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}&\frac{-b}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}&\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ \end{array} \right] \end{matrix} = ||z|| \begin{matrix}\left[ \begin{array}{ccc} cos\theta&-sin\theta \\ sin\theta&cos\theta\\ \end{array} \right] \end{matrix} [abba]=a2+b2 [a2+b2 aa2+b2 ba2+b2 ba2+b2 a]=z[cosθsinθsinθcosθ]
    变化后的矩阵部分
    [ c o s θ − s i n θ s i n θ c o s θ ] ( 1 0 ) = ( c o s θ s i n θ ) \begin{matrix}\left[ \begin{array}{ccc} cos\theta&-sin\theta \\ sin\theta&cos\theta\\ \end{array} \right] \end{matrix} \left( \begin{array}{ccc} 1\\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} cos\theta\\ sin\theta \end{array} \right) [cosθsinθsinθcosθ](10)=(cosθsinθ)
    将x轴单位向量逆时针旋转 θ \theta θ,如果乘以(0,1)效果类似。
    于是我们得到了复数与平面旋转的某种关系,复数z将二维向量v旋转 θ \theta θ角之后放大 ∣ ∣ z ∣ ∣ ||z|| z倍。
    为了方便的将这一旋转角度表示, ( a , b ) (a,b) (a,b)表示不能直接体现旋转角。记得微积分中的欧拉公式
    c o s θ + i s i n θ = e i θ cos\theta + isin\theta = e^{i\theta} cosθ+isinθ=eiθ
    c o s θ + i s i n θ cos\theta + isin\theta cosθ+isinθ是一个单位复向量,任何复数都可以表示为 z = ∣ ∣ z ∣ ∣ c o s θ + i s i n θ = ∣ ∣ z ∣ ∣ e i θ z = ||z||cos\theta + isin\theta=||z||e^{i\theta} z=zcosθ+isinθ=zeiθ.

    z = ∣ ∣ z ∣ ∣ c o s θ + i s i n θ = ∣ ∣ z ∣ ∣ e i θ z = ||z||cos\theta + isin\theta=||z||e^{i\theta} z=zcosθ+isinθ=zeiθ
    复数左乘的效果就是顺时针旋转θ角然后放大模长倍。

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空空如也

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向量与复数的关系

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