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  • 这里写目录标题一,n维向量线性相关1,简介2,公式:3,线性组合,线性表出,表出系数4,向量之间等价5,线性相关与线性无关的判别 一,n维向量线性相关 1,简介 设P为域,n是正整数,P中n个元素构成的有序组...

    一,n维向量的线性相关

    1,简介

    设P为域,n是正整数,P中n个元素构成的有序组(a1,a2,…,an)称为P上的n维向量
    n维向量可以写成行行式称为行向量
    α=(a1,a2,a3,a4…,an)

    n维向量也可以写成列行式称为列向量
    在这里插入图片描述
    P上全体n维向量构成的集合记为P^n,
    P^n中两个n维向量相等是指它们的相应分量完全相同

    • 这里α称为n维向量(简称向量)
    • 第i(i=1,2,3,4…n)个数ai称为α的第i个分量
    • n个分量都为实数的向量称为实向量
    • α为行向量则α的转置为列向量
    • 分量全为0的向量(0,0,0…0)称为零向量并记为0
    • 将若干个维数相同的向量所组成的集合称为向量组
    • 将向量组中一部分向量组成的向量组称为原向量组部分组
    • 按列分块的向量组称为列向量组
    • 按行分块的向量组称为行向量组

    2,公式:

    • 1,α+β=β+α
    • 2,(α+β)+γ=α+(β+γ)
    • 3,对于任意的 α∈P^n均有α+0=α
    • 4,对于任意的α∈P^n均存在负向量-α,使得α+()=0
    • 5,1α=α
    • 6,数乘结合律:kh(α)=k(hα)
    • 7,(k+l)α=kα+lα
    • 8,k(α+β)=kα+kβ
      其中αβγ∈P^n,k,h,l∈R

    3,线性组合,线性表出,表出系数

    β,α1,α2,α3αn∈P^n
    如果存在数k1,k2,k3…kn∈R
    使得β=k1α1+k2α2+k3α3…+knαn
    则称向量β是向量组α1,α2,α3αn线性组合,或者说向量β由向量组α1,α2,α3αn 线性表出
    而k1,k2,k3…kn则为表出系数或者组合系数

    4,向量组之间等价

    设有两个向量组
    (Ⅰ):α1α2,……,αm
    (Ⅱ):β1β2,……,βm
    如果(Ⅰ)中每个向量都可以由向量组(Ⅱ)线性表示,则称(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示;如果(Ⅰ)与(Ⅱ)可以相互线性表示,则称(Ⅰ)与(Ⅱ)等价,记为(Ⅰ)≌(Ⅱ)。

    • 反身性:任何向量组Ⅰ:α1α2,……,αm均与本身等价,例(α1α2,……,αm)≌(α1α2,……,αm
    • 对称性:如果向量组Ⅰ:α1α2,……,αm与向量组Ⅱ:β1β2,……,βm等价,那么向量组Ⅱ与向量组Ⅰ也等价,例(α1α2,……,αm)≌(β1β2,……,βm),(β1β2,……,βm)≌(α1α2,……,αm
    • 传递性:例(α1α2,……,αm)≌(β1β2,……,βm),(β1β2,……,βm)≌(γmγm,…,γm),则(α1α2,……,αm)≌(γmγm,…,γm

    5,线性相关与线性无关的判别

    (1),线性相关:存在一组不全为0的数k1,k2,k3…kn使得k1α1+k2α2+k3α3…+knαn=0
    (2),线性无关:找不到一组不全为0的k1…kn值成立也就是说k1…kn必全为0

    • 定义1:向量组中的两向量成比例(线性相关
      例:-1*(1 2)+1/2*(2 4)+0*(5 19)+0*(-1 99)=0
    • 定义2:含零向量的任意向量组必线性相关
    • 定义3:一个零向量必线性相关
      例:1*0=0
    • 定义4:一个非零向量必线性无关,α不等于0,kα=0,=>k=0
    • 定义5:一个向量线性相关的充要条件,α=0;
    • 定义6:如果向量组Ⅰ:α1,α2,α3,…αn的一部分线性相关则这个向量组Ⅰ就线性相关
    • 定义7:向量组Ⅰ:α1,α2,α3,…αn(n>=2)线性相关的充要条件是向量组Ⅰ中至少有一个向量可以由其余的向量线性表出
    • 定义8:向量组Ⅰ:α1,α2,α3,…αn的一个部分线性相关,那么这个向量组Ⅰ线性相关
    • 定义9:向量组Ⅰ:α1,α2,α3,…αn线性无关,那么这个向量组Ⅰ的任意一个部分线性无关
    • 定义10:当向量组所含向量的个数多于向量的维数时,该向量组一定线性相关;
    • 定义11:n个n维向量组成的行列式D不等于0的充分必要条件是向量组线性无关D等于0的充分必要条件为方程组线性相关
    • 定义12:等价的线性无关的向量组含向量个数相同
    • 定义13:如果向量组α1,α2,α3,…αn线性无关,而向量组α1,α2,α3…αn,β,则β可以由向量组α1,α2,α3,…αn**线性表出,并且表示法唯一
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  • 同时 ,讨论了线性相关性,为什么讨论线性相关性呢,因为,我们要在复杂的向量关系里面进行简化,去除拿下可以去除的向量,那么,我们就需要用线性相关性去判别哪些向量有关系,哪些没有,这节就是讲这个概念。...

    前言:施光燕老师的课,最大的特点,就是不仅仅传授概念,往往从本质上,说明,我们学的概念有什么用,为什么要设定这个概念,这节的知识就是一个典型的例证。

    本节讨论了向量的概念,向量其实就是一些我们认为有关系的数列。

    同时 ,讨论了线性相关性,为什么讨论线性相关性呢,因为,我们要在复杂的向量关系里面进行简化,去除拿下可以去除的向量,那么,我们就需要用线性相关性去判别哪些向量有关系,哪些没有,这节就是讲这个概念。


    1 N维向量

    要抓住研究对象的最基本的构成(这个是马克斯的观点)

     矩阵、行列式里面,最基本的构成(我们理解为事情最有意义的的基本构成),应该是一行或者一列的数字,这些数字是有逻辑关系的。我们称为向量:

    每个数叫做分量,有几个数就是几维向量。向量列排,也可以看成是矩阵的列矩阵。

    向量的运算也就是矩阵的运算。


    2 向量组的线性相关性:

    【什么是线性】向量的运算式子就是向量的线性组合。

     

    【公式一】

    【公式一】中有一个向量贝塔和一个阿发的线性组合相等,

    就认为其【贝塔】为【阿法】向量的线性表出。

    在向量运算中,我们重点要了结他们直接的关系。这样就可以忽略其中某个向量。

    【案,也就是简化】

    简化,简化,简化

     由【公式一】如果这两个向量是平等的,也就是没有区分的权重,那么可以把所有的向量放到一个0等的左边,于是有:

    【案:笔者理解为,既然向量都是平等的,那么表述也就是各为表述,也就是写成上面的方程】

    那么,要求这个符合条件的取值【案,所谓符合条件,就是符合满足线性表述的条件,也就是如果满足符合线性表述的条件,那么就是符合向量之间可以化简的条件】,就是,相当于找到这个值,也就是解这个系数方程:

    也就是这个线性方程组,有没有0解。【如果有解,那么就是可以互为表述,那么,既然可以互为表述,那么就可以减少方程中向量的个数,从而简化向量方程组。】

     


     3 极大线性相关组:

    【案,极大线性相关组,其实就是找到最简答的表述向量关系的方程组。类似于,我们生活中,遇到了很多问题,比如,打篮球,要验证哪种篮球比较好,我们需要在无数种篮球的数据中,找到本质上能反应篮球特征的数据来分析,因为,我们只需选一个皮的篮球,一个橡胶的篮球,一个塑料的篮球来研究,而不需要把市场上所有篮球来研究了。

            但是,我们研究的对象是未知的,那么,比如篮球,我们也许不知道这些篮球有皮的,塑料的,橡胶的分类和区别,我们只有一直向量数据。如何研究这些不同篮球的表现,其本质,也就是我们在本节一开始就提到的,追求事物的本质的基本原理,就是我们提到的线性相关性】

    也就是用最少的部分掌握全体的办法

    表述为:

     

     我们要简化【丢掉】些线性相关的向量,那么就留下了线性无关的向量对不对?而且,既然我们丢掉的向量不能影响整个研究的对象关系,那么,这些向量之间都应该能够互为线性表出【也就是能够互为代替】,否者是不能扔掉的。简化【踢掉】后留下的这部分向量,也当然每个向量都能用这部分互为线性表出。

    上述一个4维向量,我们取两个向量看看他们是不是线性相关,如下:我们按照向量线性方程可以求出

    上述,为线性相关性的表述,可以看到,这个4维向量的向量之间是具备线性相关性的。【因为说有点向量都可以用我们刚才选出的两个向量进行线性表述】

     

     

    然后,我们任意取其他的两个向量,验证上述条件。

     

     【比如,上面的例题是2个】

    针对一组向量,把他并起来写成一个矩阵。然后,变成阶梯阵。将阶梯阵里面非零行的行数和这组的向量个数进行比较。如果小于,这这组向量是线性相关,否则不相关。

    如何求极大线性无关组呢,我们只需要把这组向量的左边第一个元素取出来,构成这个向量组,这个组就是极大线性无关组。

     

     

     也就是阶梯阵的秩。

     将向量并在一起构成一个矩阵,这里向量的个数【一个列为一个向量】是4,

    然后,进行初等行变换,变成阶梯阵

    上图,中1,3被圈的位置,分别为第一个和第3个向量,这两个向量组成的向量组,就是极大线性无关组。他的个数是2,那么这个线性相关组的秩就是2 。

     

     

     

     

     


    B站,施光燕

    研究生入学资格考试,数学复习指导。【上海交通大学】

     

     

     

     

     

     

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  • 线性代数之向量基础点

    千次阅读 2021-03-06 12:53:48
    线性代数之向量基础点 向量的定义 由n个按照次序排成的数组成的数组叫n维向量,每个数称为该向量的n的分量,其中第i个数ai 称为第i个分量。按照行(列)排列的向量叫做行(列)向量。 n维列向量记作: 几点说明: ...

                                        线性代数之向量基础点

    向量的定义

    由n个按照次序排成的数组成的数组叫n维向量,每个数称为该向量的n的分量,其中第i个数 称为第i个分量。按照行(列)排列的向量叫做行(列)向量。

    n维列向量记作: 

    几点说明:

    • 如果kα=0,这里的0是零向量,k是常数,则要么k=0要么α=0

     

    向量组的定义

    向量组:n个同维的行向量(列向量)组成的集合向量组。

    向量组与矩阵

    m个n维列向量所组成的向量组A:a1  构成了n*m的矩阵,记作A=(a1  ,a2  … am  )

    注:这里n维列向量,即可看作行有n个。

    m个n维行向量所组成的向量组构成了m*n的矩阵,记作

     

    线性组合

    给定向量组 ,对于任意一组实数 则表达式

    则称为向量组A的线性组合。其中叫做该线性组合的系数。

     

    线性表示

    如果向量   则b是向量组A的线性组合,这是向量b可有向量组A线性表示。这里其实转换为了方程有解,全是0也是有解。

    特别的:

    • 线性表示时系数可以全是0
    • 0向量可有任意向量组表示。
    • 任何向量都可由 (1,0,...0),(0,1,0...0),(0,0,1...0) ...(0,0...0...1)表示

    向量组等价

    两个向量组可以相互线性表示,叫做第一个向量组等价于第二个向量组。向量组等价的性质:

    反身性:向量组和自己等价,A~A。

    对称性:向量组可以相互等价,A~B则B~A

    传递性: 向量组1等价于向量组2,向量组2等价于向量组3则,向量1等价于向量组3,即A~B,B~C则A~C

     

    线性相关

    向量是n个m维(每个向量分量的个数)的向量,若存在一组不全为0的   使得 则α 是线性相关的,反之线性无关。

    线性无关即等价于以下命题:

    1. 线性不相关
    2. 找不到一组不全0的    使得
    3.  全为0

    几种情况:

    关于单个向量

    • 向量组中两个向量成比例,则两个向量必线性相关
    • 含零向量的任向量组必线性相关(取0向量的系数为1或者k,其余均为0)
    • 一个零向量必线性相关
    • 一个非零向量必然线性无关
    • 一个向量线性相关的充要条件是向量为0向量

    关于向量组

    • 部分组线性相关则整体组也线性相关(这里的部分组是指向量组的部分,即假设向量组有n个向量,则此时部分组是它的 “部分”,即有k个,k小于n)

                  逆否命题整体组线性无关 则部分组也线性无关也成立。

    • 线性无关的向量组的接长向量组也无关(线性无关的向量组的每个向量按相同位置随机增加一些分量得到的高维向量组也是线性无关的,这里涉及向量组里每个向量的维数即单个向量元素个数。这里的接长即对于于每个向量的维数的增加。

                 逆否命题线性相关的向量组截短之后的向量组也线性相关。这里截断时仍保留原有的系数即可(因之前已经找不到不全为0的系数)。

    比如 b=(3,0,0,4), 则 

    如果截短,如果须按 即仍然线性相关。

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    • 向量组部分相关则整体组相关的理解:

    由定义则取原有系数不变(至少含不全为0系数),新增的向量(组)系数全部取0即可。(外部部分行代替整体行,可理解成内部有线性关系再外延还是有这个线性关系)

    • 逆否命题,整体组线性无关则部分组也线性无关的理解:

    由线性无关定义则原系数均为0,则取部分组时也是线性无关。(外部全体不行则部分不行)

    • 线性无关的接长向量组也无关的理解:

    由线性无关定义则原系数均为0,则向量组里每个向量里新接个元素系数为0时才能满足线性表示的定义,亦无关。(内部无关则扩大后仍无关)

    • 线性相关的向量组截短之后的向量组也线性相关的理解:

    由定义则取原有系数不变(至少含不全为0系数),截断的向量(组)系数仍取原有的。(内部相关则缩小后仍相关)

    线性相关与方程组

    针对n个n维的向量(向量的个数等于向量的维数,向量组的另外中说法)线性无关的充要条件是它的行列式不等于0(齐次方程系数行列式不等于0,必有唯一0解,即系数全为0),线性相关的充要条件是它的行列式等于0

    两点说明:

      线性组合充要条件方程有解(源于线性组合的定义);

    不是线性组合充要条件方程无解。

    线性相关的充要条件是方程有非零解(源于线性相关的定义);

        线性无关的充要条件是方程只有零解。

     

    极大无关组

    极大无关组

    假设有向量组A:a1  ,a2  … am  的部分组和部分组a1  ,a2  … ak  (这里k小于等于m,可从向量组里挑选)满足如下条件:

           1) 部分组之间线性无关

           2) 向量组里每个向量均可由该部分组线性表示。

           3)该向量组的向量个数最大

    则成这样的部分向量组为极大线性无关组。

    不难发现,极大无关组有如下特点:

    1. 任意两个极大无关组含向量个数是相同的。
    2. 极大无关组不唯一

    极大无关组求解步骤

       1) 原始矩阵均按照列组成向量

       2) 只应用行变换,形成行简化阶梯型

        3) 首非零元所在列为极大无关组

        4) 其余向量的系数用简化阶梯型按列填充

     

    向量组的秩

    极大无关组含向量的个数,记作 即称为向量组的秩。

    向量秩的特点:

    一定小于等于向量的维数,因为当找的向量个数大于维数时线性相关。

    向量组的秩大于0小于等于向量个数和向量维数的较小者。min{向量个数,向量维数}

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  • 前言:前一节我们讨论了向量的基本概念,并得出向量的两个基本操作,这节我们依据上节的向量知识,将向量线性代数的线性相关性的概念拿出来讨论,从而深刻理解什么叫线性相关性: Mathematics requires a small ...

    前言:前一节我们讨论了向量的基本概念,并得出向量的两个基本操作,这节我们依据上节的向量知识,将向量和线性代数的线性相关性的概念拿出来讨论,从而深刻理解什么叫线性相关性:

    Mathematics requires a small dose,not of genius,but of an imaginative freedom which, in a larger dose, would be insanity. --- Angus K. Rodgers


    1 两个基本单位向量:

    上一节我们提到,向量坐标和缩放这2个概念。现在我们来应用一下。

    我们把原来的坐标点概念拓展一下,原来坐标表示的是单位长度,我们生活中的距离。我们可以用绝对单位来赋值他,比如单位长度单位是1米,那么2就是2米,这个简单。

    现在,我们拓展一下,单位长度我们定义为一个基本的向量(因为是向量,那么他就不仅仅是有长度,还有方向对不对)。那么,我们用单位向量去描述我们要的向量,是不是就可以用缩放的倍数概念了。这样就构成了一个,缩放因子表达的坐标系(或者说是矢量坐标系)

    【案】向量 = 矢量

    【案】这个理解起来有点绕,理解为把原来XY坐标系的概念改一下,变成向量坐标系。原来的点的绝对坐标,变成了向量的一个缩放比例,记住,向量是运动的,那么在原点上,他的运动(如果用tip的长度)来衡量,不就是他运动的缩放比例吗?

    既然用基本单位向量来表示,我们就定义一下这个基本向量分别为:

     设定为XY坐标系的指向X方向,且单位为1的向量(X方向单位向量)

    设定为XY坐标系的指向Y方向,且单位为1的向量(Y方向单位向量)

     有了这两个基本向量,我们就可以把矢量(向量)的坐标看成是缩放因子去乘以基本向量,从而得到两个基础向量缩放的和,

    【案】这个概念非常重要,以这两个基础向量构建的XY坐标系的方法。

    如果我们将两个基础向量改成其他的基础向量,马上,我们就会得出一个全新的坐标系。

    这也许就是为了,坐标系变换的基础。

    2 坐标系的构建

    我们继续深入一下刚才重要的概念,现在我们选取一对任意的向量【1.5单位长度的一个第一象限的向量v,0.6单位长度的第四象限的向量w】作为基础向量,那么通过改变缩放因子(向量的坐标值),我们是不是还是可以得出在这个XY向量系的其他所有的向量吗?

    通过选取不同的缩放比例相加,我们还是可以得到,整个坐标上的所有的向量。

    如下图,紫红色表述的是由新的基础向量通过scalling缩放得到的新的向量。

     但是,这样相加得到的向量和前面我们用基本的单位向量做同等比例的缩放得到的向量显然是不同的。

    例如:用计算机程序计算,我们用【-0.80,1.30】T这个向量坐标去表述这个紫红色的向量。

     而在,XY坐标系下同一个位置,我们如果用前面的基础向量坐标i head,j head去缩放到这个位置,需要的缩放比例矩阵为【3.1,-2.9】T,

    显然,这个例子里面,虽然位置相同,但是,因为基于不同的基本向量,得出的向量的坐标(缩放比例)是不同的。

     【由此得出另外一个重要的概念】

    任何时候,我们去描述一个向量的值的时候,一定要同时考察该向量是基于那个隐含的基础向量。换句话说,就是要考察不同的坐标系统下的转换关系。


     3 线性、线性相关性和Span:

    上小节,我们讨论了基础向量是如何决定一个坐标系统的。但是,无论基础向量怎么变化,他都是通过两个方法来构建坐标系统,相加和相乘。或者,用缩放理论来描述,就是一组缩放的组合。

     这样就引申出了线性代数里面重要的概念:线性和线性组合

    我们把两个向量通过两个缩放因子通过加法进行表述的结果,称为线性组合。

    如果固定某一个缩放因子a 或者 b,这样就会给出在一条直线上的向量集。


     如果两个缩放因子都自由给出,那么很可能你可以得到所有的2维的向量。

    为什么这里用很可能,因为我们只讨论了缩放因子a或者b的情况,向量V和W的相关性也会影响结构。因为,如果V和W正好在一条直线上(同一个方向或者相反方向),那么缩放因子再怎么改变,两个向量的线性组合都不可能在这条直线外面。

     

    同样,还有可能V,W都是0值,那么两个向量的线性组合就一个原点。

    无论,这两个向量的关系如何,也无论线性缩放因子如何取值,他们组成的线性组合所生成的向量集,其实就表示了这个线性组合所构成的空间,我们定义为SPAN【线性生成空间】.

     


    4 向量和点

    向量是有方向和箭头的,但是,当我们讨论向量的集。我们只考虑向量的tips,也就是他的坐标点集合。


    5 3D 向量空间

    如果只用两个基础向量放到一个3维的坐标空间,我们会看到一个平面的表。

     如果我们增加一个基础向量u,用3个基础向量进行表述,那么就是之前二维的向量组合的一个三维拓展。

    他线性生成空间的定义完全和二维的是类似的。

    如果,这个基础向量u,正好是之前的二维向量线性生成空间的一个元素。(正如之前二维线性生生成空间,两个向量可能在一条直线上一样),我们又得到了和之前用两个基础向量描述的结果一样的平面。

     也就是增加的基础向量u,并不能保证一定可能自由访问任意的向量空间。

    如何描述我们的正确选型能,这里,终于引出了本节最关键的概念:线性相关。

    线性相关的向量v 和 w,构成的向量线性空间就是一个Line up的直线。

    同样,线性相关的三个向量,只能构成一个平面的向量线性空间。

    由此,我们得出结论:

    向量空间的基是由一组线性无关的向量,而且这些向量能够张成一个满的空间。

     【案,感觉这里表述还是有点不清楚,我再加一点】

     

     

    若一个向量集是某个子空间的 Basis,则该向量集必须满足两个条件:

    • 各向量之间线性无关;
    • 该向量集能张成该子空间。

     

     

     

     

     


    参考:同线性代数【12】

    李宏毅-线代总结(三) - 知乎 (zhihu.com)

    Essence of linear algebra: @ Youtube by,3Blue1Brown


    单词表:

    1         Span【线性生成空间】

    The “Span” of v and w is the set of all their linear combinations.

    2         i head, j head 【基础向量 X方向,基础向量Y方向】

     3        Basis,Basis vector:【基,基础向量】

    The Basis vector define the Coordinates which vary the different scalling would result the vector via Span.

    The basis of a vector space is a set of linearly independent vectors that span the full space.

    4         Linear combination 【线性组合】

    5         Linearly dependent & independent 【线性相关和线性无关】

     

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  • 1.线性组合、线性相关 Def1Def 1Def1: k1α1+k2α2+...+knαnk_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_n\alpha_nk1​α1​+k2​α2​+...+kn​αn​称之为向量组α1,α2,...,αn\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_nα1​,α...
  • #机器学习--线性代数基础--第三章:向量组的线性相关性1、向量的定义2、线性组合3、向量组的线性相关性4、向量组的秩5、向量空间 1、向量的定义         nnn 个有次序的数 ...
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  • 例题1:求一个2×22\times 22×2的线性变换矩阵TTT,使其可以将单位向量e1=[10]e_1=\begin {bmatrix} 1\\0\end {bmatrix}e1​=[10​]变换到e1+e2e_1+e_2e1​+e2​,且将单位向量e2=[01]e_2=\begin {bmatrix} 0\\1\...
  • KKT(Karush-Kuhn-Tucker)条件作为带约束可微分优化问题的最优性条件,占据着非常重要的地位。目前对于KKT条件的介绍网络上也有不少资料。这篇文章主要的目的一个是把这些资料梳理出来构成一个相对清晰的脉络,另一...
  • 5.1 特征值、特征向量 5.2 相似矩阵 5.3 实对称矩阵
  • 在样本空间中,划分超平面可通过如下线性方程来描述 其中为法向量,决定了超平面的方向;为位移项,决定了超平面与原点之间的距离。样本空间中任意点到超平面的距离为 假设超平面能将样本正确分类,即对于,若...
  • Stanford 提出的 GloVe vector 结合 count-based 和 prediction-based 方法的优点,核心观点是共现条件概率的比率能更显著体现词的相似性: 共现条件概率的比率可以表示成词向量空间的一个线性表示: 最后的loss ...
  • 非齐次线性方程组有解的条件: R(A,β)=R(A)=n(未知量的个数)有唯一一个解 R(A,β)≠R(A)无解 R(A,β)=R(A)<n 无数个解 2.向量β可以被向量组α线性表示等价于AX=β方程有解。表示法唯一,...
  • 向量空间

    2021-06-26 11:20:41
    向量空间又称线性空间,是线性代数的中心内容和基本概念之一。在解析几何里引入向量概念后,使许多问题的处理变得更为简洁和清晰,在此基础上的进一步抽象化,形成了与域相联系的向量空间概念。譬如,实系数多项式的...
  • 第二章、多元正态分布及参数估计这一讲主要是给出概率论中若干概念向高维的推广2.1随机向量一、随机向量的联合分布、边缘分布和条件分布1、多元数据 维随机向量: ,其中每个 都是随机变量随机矩阵: ,其中每个 都...
  • 线性组合、向量张成的空间与基 基向量i ̂、j ̂ i ̂:在x轴上长度为1的向量 j ̂:在Y轴上长度为1的向量 对于向量[■(3@-2)]可以看为3i ̂+(-2) j ̂两个经过缩放的向量的和 基向量可以任意指定,用数字描述向量时...
  • 支持向量机为一个二分类模型,它的基本模型定义为特征空间上的间隔最大的线性分类器。而它的学习策略为最大化分类间隔,最终可转化为凸二次规划问题求解。 1.1、SVM(支持向量机)与LR(逻辑回归)的区别? LR是参数...
  • 4:神经网络基础 吴恩达《Machine Learning》精炼笔记 5:神经网络 吴恩达《Machine Learning》精炼笔记 6:关于机器学习的建议 今天带来第七周课程的笔记:关于支持向量机SVM的相关知识点。内容包含: 硬间隔 支持...
  • 向量在网络上已经有了大量的文章,但是,出于我们专栏的完整性系统性的考虑,笔者还是决定加上这样一个专题。计划用3-4次,彻底说清楚在自然语言处理中,词向量的由来,本质和训练。公众号专栏主要讲基本原理,...
  • 4.向量

    2021-01-06 20:45:28
    4.向量 1、基础概念 向量 n维向量:n个数a1~an组成的有序数组 行向量&列向量(一般默认取一种) ...2、向量间的线性关系 线性组合 定义:β和α1⋅⋅⋅αn都是n维向量,存在k1⋅⋅⋅kn使β=k1α1+⋅⋅⋅knαn

空空如也

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向量之间线性相关条件