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  • 若一个向量等于另外几个向量乘以常数相加,则称该向量可用向量a1,s2...an来线性表示 而该向量也被称为是这几个向量的一个线性组合   2、而一个向量能否被另外几个向量线性表示,则可以引申为由该向量与其他...

    线性相关性

    1、线性表示,线性组合:

    若一个向量等于另外几个向量乘以常数相加,则称该向量可用向量a1,s2...an来线性表示

    而该向量也被称为是这几个向量的一个线性组合

     

    2、而一个向量能否被另外几个向量线性表示,则可以引申为由该向量与其他向量组成的线性方程组是否有解

    3、而向量组1与向量组2如果能够线性表示,那就说明:

    向量组1里面的每一个向量都能够由向量组2来线性表示

    向量组的秩

    向量组的秩即为此向量组组成的矩阵的秩,而求矩阵的秩的方法则是利用初等行变换将矩阵变为阶梯矩阵,非0行的行数即为秩数,例如下图:

     

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  • 向量乘以常数:m*3 向量点乘(内积):np.dot(m,n)相应位置元素相乘再相加 向量叉乘(外积):np.cross(m,n) 向量哈达玛积:m*n对应位置相乘 二、矩阵 矩阵创建:np.mat(np.random.randint(1,10,size=(2,3)) 矩阵...

    一、向量

    • 向量加减:m+n:对应位置元素加减
    • 向量乘以常数:m*3
    • 向量点乘(内积):np.dot(m,n)相应位置元素相乘再相加
    • 向量叉乘(外积):np.cross(m,n)
    • 向量哈达玛积:m*n对应位置相乘

    二、矩阵

    • 矩阵创建:np.mat(np.random.randint(1,10,size=(2,3))
    • 矩阵加减:A+B对应位置相加减,两个矩阵必须具有相同阶
    • 矩阵与数相乘:A*2
    • 矩阵与向量相乘:保证矩阵列数等于向量行数
    #矩阵与向量相乘
    import numpy as np
    A=np.mat(np.random.randint(1,10,size=(3,3)))
    print(A)
    m=np.array([[0,1],[1,2],[2,3]])
    print(m)
    print('A*m:',A*m)
    >>
    A: [[6 2 9]
       [2 5 1]
       [1 6 1]]
    m: [[0 1]
       [1 2]
       [2 3]]
    A*m: [[20 37]
          [ 7 15]
          [ 8 16]]
    
    • 矩阵与矩阵相乘
    #矩阵与矩阵相乘
    #矩阵与矩阵相乘
    import numpy as np
    A=np.mat(np.random.randint(1,10,size=(3,3)))
    print('A:',A)
    B=np.mat(np.random.randint(1,10,size=(3,2)))
    print('B:',B)
    print('A*B:',A*B)
    >>
    A: [[7 5 2]
        [2 5 3]
        [6 3 3]]
    B: [[8 6]
        [7 5]
        [2 3]]
    A*B: [[95 73]
          [57 46]
          [75 60]]
    
    • 矩阵转置
    #矩阵转置
    import numpy as np
    A=np.mat(np.random.randint(1,10,size=(3,3)))
    print(A)
    print('转置矩阵:',A.T)
    >>[[6 3 4]
       [3 8 1]
       [5 3 3]]
    转置矩阵: [[6 3 5]
                [3 8 3]
                [4 1 3]]
    
    • 特殊矩阵
    #零矩阵
    print('零矩阵:',np.mat(np.zeros(shape=(2,3))))
    #单位矩阵
    print('单位矩阵:',np.identity(3))
    #对角矩阵
    print('对角矩阵:',np.diag((1,2,3)))
    #对称矩阵
    X=np.mat([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]])
    A=np.triu(X)#取出上三角
    X=A+A.T-np.diag(np.diagonal(X))#np.diagonal(X)可获取对角线元素
    print('对称矩阵:',X)
    >>零矩阵: [[0. 0. 0.]
                [0. 0. 0.]]
    单位矩阵: [[1. 0. 0.]
               [0. 1. 0.]
               [0. 0. 1.]]
    对角矩阵: [[1 0 0]
               [0 2 0]
               [0 0 3]]
    对称矩阵: [[1 2 3]
               [2 5 6]
               [3 6 9]]
    
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  • 实对称矩阵必可正交相似对角化

    千次阅读 2020-05-22 11:35:02
    n阶实对称矩阵A必有n个线性不相关特征向量,A的特征多项式的k重根...而特征向量乘以常数依然对应同一个特征值,从而可以使n个特征向量是单位向量且两两正交,组成一个正交矩阵Q。 A=QΛQTA=Q\Lambda Q^{T}A=QΛQT ...

    n阶实对称矩阵A必有n个线性不相关特征向量,A的特征多项式的k重根解的几何重数m=代数重数k。
    k重特征值对应的k个特征向量可以施密特正交化得到新的k个特征向量,而依然对应同一个特征值;不同特征值的对应特征向量一定正交。而特征向量乘以常数依然对应同一个特征值,从而可以使n个特征向量是单位向量且两两正交,组成一个正交矩阵Q。
    A=QΛQTA=Q\Lambda Q^{T}

    矩阵运算中的技巧:
    xTx=tr(xxT);xTAx=tr(xxTA) x^Tx=tr(xx^T);\\ x^TAx=tr(xx^TA)

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  • 本文是Gilbert Strang的线性代数导论课程笔记。...回忆什么是向量空间:就是一些向量,对一些运算封闭,空间内任何向量相加(加法),结果仍在空间内,或用空间内任意向量乘以常数(数乘),结果仍在空间内,
    本文是Gilbert Strang的线性代数导论课程笔记。课程地址:http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html  
    第六课时:列空间和零空间
    特别关注矩阵的列空间和零空间

    回忆什么是向量空间:就是一些向量,对一些运算封闭,空间内任何向量相加(加法),结果仍在空间内,或用空间内任意向量乘以常数(数乘),结果仍在空间内,即加法和数乘都是封闭的,那么线性组合必然也是封闭的。一种更简单的描述方法:所有线性组合,即任意倍的向量v与任意倍的向量w之和,仍在空间中。向量空间必包含原点。
    什么是子空间:向量空间内的一些向量,它们属于母空间,但自身又构成向量空间,即,子空间是向量空间内的向量空间。任意两个子空间的交集S∩T仍然是子空间。

    我们来看两个核心的子空间
    一、矩阵列空间
    如下例子,A的列空间是R4的子空间,记为C(A),抽象起来:A的列空间由A三个列向量的线性组合组合构成
     
    这个空间到底是什么样子?它等于整个四维空间吗?不等于,它只是相当于四维空间的一个较小的空间。

    抽象背后的实际目的,都是为了深刻认识Ax=b,Ax=b是否对任意b(右侧向量)都有解?或者说,什么样的b使方程组有解?
    Ax=b对任意b并不总有解,因为Ax=b中有四个方程,却只有三个未知数。方程组不总有解,因为3个列向量的线性组合无法充满整个四维空间,因此还有一大堆的b不是这三个列向量的线性组合。
    但有时候是有解的,怎样的b,能让方程组有解,什么样的右侧向量有这种性质?什么b让方程组有解?(很重要)
    1)b为零向量。Ax=0总有一个零解
    2)b是列向量的线性组合。Ax=b有解,当且仅当右侧向量b属于A的列空间。(列空间包含所有A乘以任意x得到的向量,也就是包含所有有解的b)
    列空间是非常核心的内容,它能告诉我何时方程组有解。

    更深入一些的问题,以上三个列向量是否线性无关,是否有某个向量并没有起到作用,能否去掉某列,得到同样的列空间?上面的A,其实可以去掉第三列,因为第三列是前两列的和线性组合,我们把前两列称为A的主列。其实,我们同样可以去掉第一列或者第二列,因为他们是其余两列的差线性组合。不过按照惯例,优先考虑靠前的线性无关向量。因此这里的A列空间可以描述为R4的二维子空间。

    二、另一种向量空间——零空间Null space
    零空间是一种完全不同的子空间。还是看上面A矩阵的例子
    零空间中的关键字是:零,因此它包含Ax=0中所有的解x。现在关心的b只有一个,即b=0。
    因为x是3分量向量,因此本例零空间是R3的子空间(注意A列空间是R4子空间)。矩阵m×n,有n个列,即有n个未知数,以上为A4×3。

    求解零空间
    一般方法为消元法。但上式的解很容易看出来
    怎样描述这个零空间,这里的零空间是R3中穿过原点的一条直线。

    回顾向量空间和子空间定义,我们怎么知道零空间是向量空间的,为什么它称为“空间”。
    检验:Ax=0的解构成一个子空间,需要证明解满足空间的封闭规则,证明如下:

    如下,考虑另外一个问题,右侧b向量取一个非0向量,此时x有解,(这时x的解不是零空间了),那么所有的x解构成子空间吗?很明显不构成子空间,或者说向量空间。因为很明显0向量不在这个空间内,没有0向量,就不用谈向量空间了(原因很明显,数乘运算中,常数取0时需要满足封闭规则)。
    那么它的解是什么?(1 0 0),(0 -1 -1)。。。它实际上是一条不穿过原点的直线(或者在别的更普通的例子中是不穿过原点的平面)

    以上两种子空间的总结:有两种方法构造子空间,其一是通过列的线性组合构造列空间,其二是求解向量必须满足的方程组来构造子空间(通过让x满足特定条件来得到子空间,Ax=0将构造出零空间)
    展开全文
  • 列空间和零空间

    2015-07-07 16:30:55
    回忆什么是向量空间:就是一些向量,对一些运算封闭,空间内任何向量相加(加法),结果仍在空间内,或用空间内任意向量乘以常数(数乘),结果仍在空间内,即加法和数乘都是封闭的,那么线性组合必然也是封闭的。...
  • 矩阵特征值、特征向量、奇异值

    千次阅读 2016-12-05 09:52:53
    一矩阵A作用与一向量a,结果只相当与该向量乘以常数λ。即A*a=λa,则a为该矩阵A的特征向量,λ为该矩阵A的特征值。本征值和本征向量为量子力学术语,对矩阵来讲与特征值和特征向量定义一样。但本征
  • 特征值和特征向量

    2018-04-03 09:50:02
    矩阵A乘以x表示,对向量x进行一次转换(旋转或拉伸)(是一种线性转换),而该转换的效果为常数c乘以向量x(即只进行拉伸)。我们通常求特征值和特征向量即为求出该矩阵能使哪些向量(当然是特征向量)只发生拉伸,...
  • 特征值和特征向量的实际意义

    万次阅读 多人点赞 2018-04-17 14:36:15
    矩阵A乘以x表示,对向量x进行一次转换(旋转或拉伸)(是一种线性转换),而该转换的效果为常数c乘以向量x(即只进行拉伸)。 我们通常求特征值和特征向量即为求出该矩阵能使哪些向量(当然是特征向量)只发生拉伸...
  • 特征值和特征向量的作用

    千次阅读 2019-03-04 21:13:44
    本文转自知乎大牛。 从定义出发,Ax=cx:A为矩阵,c为特征值,x为特征向量。 矩阵A乘以x表示,对向量x进行一次转换(旋转或拉伸)(是一种线性转换),而该转换的效果为常数c乘以向量x(即只进行拉伸)。 ...
  • 特征值与特征向量

    2019-11-17 17:51:27
    在线性代数中,对于一个给定的线性变换A,它的特征向量v经过这个线性变换的作用之后,得到的新向量仍然...矩阵A是线性变换,表示对向量v进行一次转换(旋转或拉伸),而该转换的效果为常数λ乘以向量v(即只进行拉伸...
  • 矩阵A乘以x表示,对向量x进行一次转换(旋转或拉伸)(是一种线性转换),而该转换的效果为常数c乘以向量x(即只进行拉伸)。  我们通常求特征值和特征向量即为求出该矩阵能使哪些向量(当然是特征向量)...
  • 特征向量和特征值的物理意义

    千次阅读 2018-08-27 18:04:39
    本文转自知乎大牛。...矩阵A乘以x表示,对向量x进行一次转换(旋转或拉伸)(是一种线性转换),而该转换的效果为常数c乘以向量x(即只进行拉伸)。 我们通常求特征值和特征向量即为求出该矩阵能使...
  • 矩阵A乘以x表示,对向量x进行一次转换(旋转或拉伸)(是一种线性转换),而该转换的效果为常数c乘以向量x(即只进行拉伸)。 我们通常求特征值和特征向量即为求出该矩阵能使哪些向量(当然是特征向量)只发生拉伸,...
  • 在那里,系统对特征函数的作用相当于乘以一个(复)常数。  于是,我们可以将矩阵A想象为一个“系统”,输入到该系统的“信号”x可分解为特征向量的加权和,  这样,矩阵A这个“系统”对任意向量x的作用就可分解...
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  • 奇异值和特征值

    2016-09-06 16:29:42
    特征值:一矩阵A作用与一向量a,结果只相当与该向量乘以常数λ。即A*a=λa,则a为该矩阵A的特征向量,λ为该矩阵A的特征值。 奇异值:设A为m*n阶矩阵,AHA的n个特征值的非负平方根叫作A的奇异值。记为σi(A) ...
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空空如也

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向量乘以常数