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  • python二维向量运算_[VB.NET][C#]二维向量的基本运算
    2021-01-29 07:05:58

    前言

    在数学中,几何向量是指具有大小和方向的几何对象。

    在编程中,向量有着广泛的应用,其作用在图形编程和游戏物理引擎方面尤为突出。

    第一节 构造函数

    通过创建一个二维向量的类(或结构体),实现向量的表示及其运算。

    1. 首先,将类命名为“Vector2D”

    2. 添加两个属性 X 和 Y ,分别表示二维向量的两个分量

    3. 实现构造函数,实例化时即初始化 X,Y 的值

    Public Class Vector2D

    Public Property x As Double 'x分量

    Public Property y As Double 'y分量

    '''

    ''' 二维向量类,能够实现平面向量的表示与运算

    '''

    ''' 向量的X初始值,默认为0

    ''' 向量的Y初始值,默认为0

    Public Sub New(Optional x As Double = , Optional y As Double = )

    Me.x = x

    Me.y = y

    End Sub

    End Class

    第二节四则运算

    1.添加 Public 方法“Add()”,实现向量与向量加法

    '''

    ''' 加上一个向量

    '''

    ''' 要加的向量

    '''

    Public Sub Add(ByVal vector As Vector2D)

    x += vector.x

    y += vector.y

    End Sub

    2.添加 Public 方法“Minus()”,实现向量与向量减法

    '''

    ''' 减去一个向量

    '''

    ''' 要减的向量

    '''

    Public Sub Minus(ByVal vector As Vector2D)

    x -= vector.x

    y -= vector.y

    End Sub

    3.添加 Public 方法“Multiply()”,实现向量与标量乘法

    '''

    ''' 乘以一个标量

    '''

    ''' 要乘的标量

    '''

    Public Sub Multiply(ByVal number As Double)

    x *= number

    y *= number

    End Sub

    4.添加 Public 方法“Divide()”,实现向量与标量除法

    '''

    ''' 除以一个标量

    '''

    ''' 要除的标量

    '''

    Public Sub Divide(ByVal number As Double)

    x /= number

    y /= number

    End Sub

    第三节重载运算符

    利用运算符重载(而不是调用方法)可以更简便的实现向量运算。

    1. 直接在 Vector2D 类里重载运算符。

    '重载向量与向量加法运算符

    Public Overloads Shared Operator +(ByVal LeftVector As Vector2D, ByVal RightVector As Vector2D) As Vector2D

    Return New Vector2D(LeftVector.x + RightVector.x, LeftVector.y + RightVector.y)

    End Operator

    '重载向量与向量减法运算符

    Public Overloads Shared Operator -(ByVal LeftVector As Vector2D, ByVal RightVector As Vector2D) As Vector2D

    Return New Vector2D(LeftVector.x - RightVector.x, LeftVector.y - RightVector.y)

    End Operator

    '重载向量与标量乘法运算符

    Public Overloads Shared Operator *(ByVal LeftVector As Vector2D, ByVal RightNum As Double) As Vector2D

    Return New Vector2D(LeftVector.x * RightNum, LeftVector.y * RightNum)

    End Operator

    '重载标量与向量乘法运算符(交换律)

    Public Overloads Shared Operator *(ByVal LeftNum As Double, ByVal RightVector As Vector2D) As Vector2D

    Return New Vector2D(RightVector.x * LeftNum, RightVector.y * LeftNum)

    End Operator

    '重载向量与标量除法运算符

    Public Overloads Shared Operator /(ByVal LeftVector As Vector2D, ByVal RightNum As Double) As Vector2D

    Return New Vector2D(LeftVector.x / RightNum, LeftVector.y / RightNum)

    End Operator

    第四节模的计算

    1.添加 Public 函数“Magnitude()”,实现计算模长

    '''

    ''' 返回向量的模长

    '''

    '''

    Public Function Magnitude() As Double

    Return Math.Sqrt(x * x + y * y)

    End Function

    2.添加 Public 方法“SetMag()”,实现设定模长

    '''

    ''' 指定向量的模长

    '''

    ''' 指定的长度

    Public Sub SetMag(ByVal sPutNum As Double)

    Dim tempMag As Double = Me.Magnitude

    x = x * (sPutNum / tempMag)

    y = y * (sPutNum / tempMag)

    End Sub

    3.添加 Public 方法“LimitMag()”,实现限制模长

    '''

    ''' 限制向量模长,小于或等于某一值

    '''

    ''' 指定的最大值

    Public Sub LimitMag(ByVal lUponNum As Double)

    Dim tempMag As Double = Me.Magnitude

    If tempMag > lUponNum Then

    x = x * (lUponNum / tempMag)

    y = y * (lUponNum / tempMag)

    End If

    End Sub

    第五节夹角与旋转

    1.添加 Public Shared 函数“GetHeading()”,实现计算向量的方向角

    '''

    ''' '求向量的方向角

    '''

    ''' 指定的向量

    '''

    Public Shared Function GetHeading(ByVal gVector As Vector2D) As Double

    Dim Angle As Double

    Angle = Math.Asin(gVector.x / Math.Sqrt(gVector.x * gVector.x + gVector.y * gVector.y)) * ( / Math.PI)

    Return Angle

    End Function

    2.添加 Public Shared 函数“GetAngleBetween()”,实现计算两个向量的夹角

    '''

    ''' '求两向量的夹角

    '''

    ''' 第一个向量

    ''' 第二个向量

    '''

    Public Shared Function GetAngleBetween(ByVal gLeftVector As Vector2D, ByVal gRightVector As Vector2D) As Double

    Dim Angle As Double

    Angle = Math.Asin((gLeftVector.x * gRightVector.x + gLeftVector.y * gRightVector.y) /

    (Math.Sqrt(gLeftVector.x * gLeftVector.x + gLeftVector.y * gLeftVector.y) *

    Math.Sqrt(gRightVector.x * gRightVector.x + gRightVector.y * gRightVector.y))) *

    ( / Math.PI)

    Return Angle

    End Function

    3.添加Public方法“Rotate()”,实现向量旋转

    '''

    ''' 向量旋转

    '''

    ''' 指定旋转的角度,弧度制

    Public Sub Rotate(ByVal gAngle As Double)

    Dim x1, y1 As Double

    x1 = x * Math.Cos(gAngle) - y * Math.Sin(gAngle)

    y1 = y * Math.Cos(gAngle) + x * Math.Sin(gAngle)

    x = x1

    y = y1

    End Sub

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    需要注意的是,两个矩阵的标准乘积不是指两个矩阵中对应元素的乘积。不过,那样的矩阵操作确实是存在的,被称为 元素对应乘积(element-wise product)或者 Hadamard 乘积(Hadamard product),记为 A ⨀ B A \bigodot B AB

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    t r ( A T ) = t r ( A ) t r ( A + B ) = t r ( A ) + t r ( B ) t r ( A B ) = t r ( B A ) ( A B 为 n × n , B A 为 m × m ) tr(A^T)=tr(A)\\ tr(A+B)=tr(A)+tr(B)\\ tr(AB)=tr(BA)(AB为n×n,BA为m×m) tr(AT)=tr(A)tr(A+B)=tr(A)+tr(B)tr(AB)=tr(BA)(ABn×n,BAm×m)
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    • [a b c] = (axbc , 这个是向量的混合积。

     

     

    1. 内积

     

    1.1 定义

     

    1.2 向量内积性质

     

    注意,向量内积不满足结合律,即一般情况下 (a·b)·c != a·(b·c), 因为向量的内积结果是一个标量

     

     

    1.3 向量内积的物理意义

    向量内积的物理意义是,力通过位移做功。

     

    1.4 向量内积的用途

     

    1.4.1 求两个非零向量的夹角 

     

     

    1.4.2 判断两个非零向量是否垂直

    简单的对应坐标相乘再求和,结果为0就垂直,否则就不垂直。

     

     

    2. 外积

    2.1 向量外积的定义

     

    向量外积的结果是垂直于原向量所定义平面的向量。

    通过坐标进行外积的直接计算比较复杂,写成行列式的形式,再展开,方便记忆。

     

    2.2 向量外积的性质

     

    2.3 向量外积的几何意义

    再除以2的话,就是以 a,b 为边的三角形的面积。

     

    2.4 向量外积的用途

    2.4.1 求与三角形面积相关的问题

    3. 混合积

     

    3.1 向量混合积的定义

    三个向量,先外积后内积,最后出个标量结果,就是三个向量的混合积。

     

    混合积的坐标表达式非常规整优美。

     

    3.2 混合积的性质

     

    3.3 混合积的几何意义

     

     

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    3.4.1 求四面体体积相关

     

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空空如也

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向量乘法运算律