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  • 相信很多学习向量空间模型(Vector Space Model)的人都会被其中的余弦定理公式所迷惑..因为一看到余弦定理,肯定会先想起初中时的那条最简单的公式cosA=a/c(邻边比斜边),见下图:但是,初中那条公式是只适用于直角三角形...

    相信很多学习向量空间模型(Vector Space Model)的人都会被其中的余弦定理公式所迷惑..

    因为一看到余弦定理,肯定会先想起初中时的那条最简单的公式cosA=a/c(邻边比斜边),见下图:

    但是,初中那条公式是只适用于直角三角形的,而在非直角三角形中,余弦定理的公式是:

    cosA=(c2 + b2 - a2)/2bc

    不过这条公式也和向量空间模型中的余弦定理公式不沾边,迷惑..

    引用吴军老师的数学之美系列的余弦定理和新闻的分类里面的一段:

    -------------------引用开始分界线------------------------

    假定三角形的三条边为 a, b 和 c,对应的三个角为 A, B 和 C,那么角 A 的余弦

    如果我们将三角形的两边 b 和 c 看成是两个向量,那么上述公式等价于

    其中分母表示两个向量 b 和 c

    的长度,分子表示两个向量的内积。

    举一个具体的例子,假如新闻 X 和新闻 Y 对应向量分别是x1,x2,...,x64000

    和y1,y2,...,y64000,

    那么它们夹角的余弦等于

    -------------------引用完毕分界线------------------------

    高中那条公式又怎么会等价于向量那条公式呢?

    原来它从高中的平面几何跳跃到大学的线性代数的向量计算..

    关于线性代数中的向量和向量空间,可以参考下面两个页面:

    在线性代数的向量计算的余弦定理中,

    * 分子是两个向量的点积(wiki),点积的定理和计算公式:

    The dot product of two vectors a =

    [a1,

    a2, … ,

    an] and

    b = [b1,

    b2, … ,

    bn] is defined

    as:

    点积(dot product),又叫内积,数量积..(Clotho注:

    product常见的是产品的意思,但在数学上是乘积的意思.)

    * 分母是两个向量的长度相乘.这里的向量长度的计算公式也比较难理解.

    假设是二维向量或者三维向量,可以抽象地理解为在直角坐标轴中的有向线段,如图:

    d2

    = x2 + y2 -> d =

    sprt(x2 + y2)

    d2

    = x2 + y2 + z2

    ->  d =

    sprt(x2 + y2 + z2)

    三维以上的维度很难用图来表示,但是再多维度的向量,也仍然可以用这条公式来计算:

    dn2 = x12 + x22 + .. + xn2  -> dn = sprt(x12 + x22 + .. + xn2)

    在文本相似度计算中,向量中的维度x1,x2..xn其实就是词项(term)的权重,一般就是词项的tf-idf值.

    而这条看上去很抽象的公式,其实就是为了计算两篇文章的相似度.

    文本相似度计算的处理流程是:

    1.对所有文章进行分词

    2.分词的同时计算各个词的tf值

    3.所有文章分词完毕后计算idf值

    4.生成每篇文章对应的n维向量(n是切分出来的词数,向量的项就是各个词的tf-idf值)

    5.对文章的向量两篇两篇代入余弦定理公式计算,得出的cos值就是它们之间的相似度了

    当两条新闻向量夹角的余弦等于一时,这两条新闻完全重复(用这个办法可以删除重复的网页);当夹角的余弦接近于一时,两条新闻相似,从而可以归成一类;夹角的余弦越小,两条新闻越不相关。

    余弦定理是常见的相似度衡量方法之一,见博文“机器学习中的相似性度量 (多种几何距离定义)”

    7.

    夹角余弦(Cosine)

    有没有搞错,又不是学几何,怎么扯到夹角余弦了?各位看官稍安勿躁。几何中夹角余弦可用来衡量两个向量方向的差异,机器学习中借用这一概念来衡量样本向量之间的差异。

    (1)在二维空间中向量A(x1,y1)与向量B(x2,y2)的夹角余弦公式:

    (2)

    两个n维样本点a(x11,x12,…,x1n)和b(x21,x22,…,x2n)的夹角余弦

    类似的,对于两个n维样本点a(x11,x12,…,x1n)和b(x21,x22,…,x2n),可以使用类似于夹角余弦的概念来衡量它们间的相似程度。

    即:

    夹角余弦取值范围为[-1,1]。夹角余弦越大表示两个向量的夹角越小,夹角余弦越小表示两向量的夹角越大。当两个向量的方向重合时夹角余弦取最大值1,当两个向量的方向完全相反夹角余弦取最小值-1。

    例如 在TF-IDF上的应用,见博文“tf-idf”

    在向量空间模型里的应用

    TF-IDF权重计算方法经常会和余弦相似度(cosine

    similarity)一同使用於向量空间模型中,用以判断两份文件之间的相似性。

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  • 相信很多学习向量空间模型(Vector Space Model)的人都会被其中的余弦定理公式所迷惑..   因为一看到余弦定理,肯定会先想起初中时的那条最简单的公式cosA=a/c(邻边比斜边),见下图: 但是,初中那条...

    相信很多学习向量空间模型(Vector Space Model)的人都会被其中的余弦定理公式所迷惑..

     

    因为一看到余弦定理,肯定会先想起初中时的那条最简单的公式cosA=a/c(邻边比斜边),见下图:

    但是,初中那条公式是只适用于直角三角形的,而在非直角三角形中,余弦定理的公式是:

    cosA=(c2 + b2 - a2)/2bc

    不过这条公式也和向量空间模型中的余弦定理公式不沾边,迷惑..

     

    引用吴军老师的数学之美系列的余弦定理和新闻的分类里面的一段:

    -------------------引用开始分界线------------------------

    假定三角形的三条边为 a, b 和 c,对应的三个角为 A, B 和 C,那么角 A 的余弦

    如果我们将三角形的两边 b 和 c 看成是两个向量,那么上述公式等价于

    其中分母表示两个向量 b 和 c 的长度,分子表示两个向量的内积。

    举一个具体的例子,假如新闻 X 和新闻 Y 对应向量分别是x1,x2,...,x64000 和y1,y2,...,y64000,

    那么它们夹角的余弦等于

     

    -------------------引用完毕分界线------------------------

     

    高中那条公式又怎么会等价于向量那条公式呢?

    原来它从高中的平面几何跳跃到大学的线性代数的向量计算..

    关于线性代数中的向量和向量空间,可以参考下面两个页面:

    Egwald Mathematics: Linear Algebra

    Linear Algebra: Direction Cosines

     

    在线性代数的向量计算的余弦定理中,

    * 分子是两个向量的点积(wiki),点积的定理和计算公式:

    The dot product of two vectors a = [a1a2, … , an] and b = [b1b2, … , bn] is defined as:

     

    点积(dot product),又叫内积,数量积..(Clotho注: product常见的是产品的意思,但在数学上是乘积的意思.)

     

    * 分母是两个向量的长度相乘.这里的向量长度的计算公式也比较难理解.

    假设是二维向量或者三维向量,可以抽象地理解为在直角坐标轴中的有向线段,如图:

    d2 = x2 + y2   ->   d = sprt(x2 + y2)

     

    d2 = x2 + y2 + z  ->   d = sprt(x2 + y2 + z2)

     

    三维以上的维度很难用图来表示,但是再多维度的向量,也仍然可以用这条公式来计算:

    dn2 = x12 + x22 + .. + xn  ->   dn = sprt(x12 + x22 + .. + xn2)

     

    在文本相似度计算中,向量中的维度x1,x2..xn其实就是词项(term)的权重,一般就是词项的tf-idf值.

    而这条看上去很抽象的公式,其实就是为了计算两篇文章的相似度.

     

    文本相似度计算的处理流程是:

    1.对所有文章进行分词

    2.分词的同时计算各个词的tf值

    3.所有文章分词完毕后计算idf值

    4.生成每篇文章对应的n维向量(n是切分出来的词数,向量的项就是各个词的tf-idf值)

    5.对文章的向量两篇两篇代入余弦定理公式计算,得出的cos值就是它们之间的相似度了

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  • 向量法证明余弦定理 (1)证明思路分析 由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出现.那么可以与哪些向量知识产生联系呢? 向量数量积的定义式:a·b=|a||b|cosθ.其中θ为a.b的夹角. 在这一点联系上与向量法证明正弦定理...

    向量法证明余弦定理 (1)证明思路分析 由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出现.那么可以与哪些向量知识产生联系呢? 向量数量积的定义式:a·b=|a||b|cosθ.其中θ为a.b的夹角. 在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处.但又有 所区别.首先因为无须进行正.余弦形式的转换.也就省去添加 辅助向量的麻烦.当然.在各边所在向量的联系上依然通过向量加 法的三角形法则.而在数量积的构造上则以两向量夹角为引导. 比如证明形式中含有角C.则构造·这一数量积以使出现cosC.同样在证明过程中应注意两向量夹角是以同起点为前提. (2)向量法证明余弦定理过程: 如图.在△ABC中.设AB.BC.CA的长分别是c.a.b. 由向量加法的三角形法则可得=+. ∴·= =2+2·+2 =||2+2||||cos(180°-B)+||2 =c2-2accosB+a2 即b2=c2+a2-2accosB 由向量减法的三角形法则可得: =- ∴·= =2-2·+2 =||2-2||||cosA+||2 =b2-2bccosA+c2 即a2=b2+c2-2bccosA 由向量加法的三角形法则可得 =+=- ∴·= =2-2·+2 =||2-2||||cosC+||2 =b2-2bacosC+a2. 即c2=a2+b2-2abcosC 评述:(1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法的三角形法则. (2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定.与属于同起点向量.则夹角为A,与是首尾相接.则夹角为角B的补角180°-B,与是同终点.则夹角仍是角C. 在证明了余弦定理之后.我们来进一步学习余弦定理的应用. 利用余弦定理.我们可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)已知三边.求三个角. 这类问题由于三边确定.故三角也确定.解唯一, (2)已知两边和它们的夹角.求第三边和其他两个角. 这类问题第三边确定.因而其他两个角唯一.故解唯一.不会产生类似利用正弦定理解三角形所产生的判断取舍等问题. 接下来.我们通过例题评析来进一步体会与总结.【查看更多】

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  • 而要确定两个向量方向是否一致,这就要用到余弦定理计算向量的夹角了。余弦定理对我们每个人都不陌生,它描述了三角形中任何一个夹角和三个边的关系,换句话说,给定三角形的三条边,我们可以用余弦定理求出三角形...
  • 向量的夹角公式是什么?

    千次阅读 2020-12-18 20:44:53
    展开全部平面向量夹角公式:32313133353236313431303231363533e4b893e5b19e31333431373139cos=(ab的内积)/(|a||b|)(1)上部分:a与b的数量积坐标运算:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2(2)下部分:是a与b的模的...
  • 首先既然要证明余弦定理,就要了解余弦定理到底是个什么东西。我们先来看一下三角形。我们在初中已经了解关于三角形全等的知识,我将它在这里理解为,给定一个全等的条件,就得到了一个唯一确定的三角形。至于它是...
  • 余弦相似度公式

    2021-05-22 03:51:49
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    千次阅读 2021-02-05 08:16:47
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  • 想到Lucene中的评分机制,也是算一个相似度的问题,不过它采用的是计算向量间的夹角(余弦公式),在google黑板报中的:数学之美(余弦定理和新闻分类) 也有说明,可以通过余弦定理来判断相似度;于是决定自己...
  • 向量余弦算法,是将文本作为一个多维空间的向量,计算两个文本的相识度即计算判断两个向量在这个多维空间中的方向是否是一样的。而这个多维空间的构成是通过将文本进行分词,每个分词代表空间的一个维度。 下面...
  • 三角函数:正弦余弦定理及应用

    万次阅读 2018-02-28 15:55:13
    1.余弦定理公式余弦定义主要作用是依靠已知三角形的两条边及其夹角,求第三边的情况,如下图:这里我们不处理向量(矢量)运算,单纯的从标量数值长度的推算入手,建立垂线后,得到的直角三角形ADC,可以通过勾股...
  • 向量余弦算法计算文本相似度

    千次阅读 2019-07-28 16:39:58
    计算文本相似度有多种方式,这里简单介绍一下其中的一种:词向量余弦。 词向量余弦向量余弦算法,是将文本作为一个多维空间的向量,计算两个文本的相识度即计算判断两个向量在这个多维空间中的方向是否是一样的。...
  • 余弦定理的证明及其应用

    万次阅读 2019-06-05 19:33:28
    余弦定理 余弦定理,顾名思义,与余弦函数cos有关,具体的是这样的 对于任意一个三角形ABC,有如下结论 a2=b2+c2-2bc·cosA b2=a2+c2-2ac·cosB c2=a2+b2-2ab·cosC 为什么呢? 余弦定理的证明 在上面那...
  • 点积 与 余弦定理

    2020-03-04 17:45:31
    点乘、点积,也叫数量积, 几何表示为: ...向量表示为: a⋅b=∑aibi=a1b1+a2b2a \cdot b=\sum{a_ib_i}=a_1b_1+a_2b_2a⋅b=∑ai​bi​=a1​b1​+a2​b2​ 于是有 ∣a∣∣b∣cosθ=a1b1+a2b2=>cosθ=a1...
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  • 高中数学-余弦定理的证明方法公式

    千次阅读 2019-10-04 20:56:35
    余弦定理和正弦定理在运用的过程中,通过...本文主要从向量法、三角函数法、辅助圆法来讲解证明余弦定理! 今天高中数学的三种证明余弦定理的方法公式就分享到这里,更多高中数学学习视频资料,可以联系老师! ...
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  • 方向余弦怎么求

    万次阅读 2021-02-05 08:17:13
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    千次阅读 2018-12-26 10:50:23
    而要确定两个向量方向是否一致,这就要用到余弦定理计算向量的夹角了。 余弦定理对我们每个人都不陌生,它描述了三角形中任何一个夹角和三个边的关系,换句话说,给定三角形的三条边,我们可以用余弦定理求出...
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  • 余弦定理和新闻的分类

    千次阅读 2021-05-03 10:29:24
    余弦定理就这样通过新闻的特征向量和新闻分类联系在一起。我们在中学学习余弦定理时,恐怕很难想象它可以用来对新闻进行分类。 补充:什么是TF-IDF: TF-IDF(Term Frequency - Inverse Document Frequency, 单文本...
  • 向量空间模型(VSM)的JAVA实现,从文档表示到相似度计算,使用两种相似度计算方式:cos和tf-idf算法
  • 正弦定理和余弦定理

    万次阅读 2014-04-02 00:46:54
    1          1正弦定理: A a sin = B b sin = C c sin =  2R ( R 为三角形外接圆半径 )   2 余 弦 定 理 : a 2 =b 2 +c 2 -2
  • 文本相似度计算之余弦定理

    千次阅读 2019-05-13 14:31:37
    前言 余弦相似度,又称为余弦相似性,是通过计算两个向量的夹角余弦值来评估他们的相似度。余弦相似度将向量根据坐标值,绘制到向量空间中。...先简单的重温一下高中数学知识,余弦定理 这个公式大家不知道...

空空如也

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向量余弦定理公式

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