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  • 1) 系数矩阵,未知向量,右端常量;2)方程组相容:方程组有解;...其矩阵消元法实现可参考MyMathLib系列.6)奇次线性方程组,当秩A=s7)非奇次线性方程,增广矩阵,有解充分必要条件(秩A=秩(A:B))

    1) 系数矩阵,未知向量,右端常量;
    2)方程组相容:方程组有解;
    3)奇次线性方程,平凡解,非平凡解;
    4)n元奇次线性方程组有非零解的充要条件为A的秩小于n;
    5)基础解系;基础解系中的所含解向量个数=自由未知量个数=未知量个数-系数矩阵的秩(基本未知量)。其矩阵消元法实现可参考MyMathLib系列.
    6)奇次线性方程组,当秩A=s<n时一定有基础解系;且基础解系中含n-s个解向量;
    7)非奇次线性方程,增广矩阵,有解充分必要条件(秩A=秩(A:B)) 算法参见MyMathLib.
    8)非奇次线性方程的特解,一般解,特解为0就是奇次方程的解;
    9)线性空间:V是非空集合,为数域K上的向量组集合;对V内的元素定义加法和数乘运算,如果V对这两种运算封闭,且具有八条基本性质:
    A+B=B+A;(A+B)+C=A+(B+C);A+0=A;A+(-A)=0;k(A+B)=kA+kB;(k+l)A=kA+lA;(kl)A=k(lA);1A=A;.
    10)实线性空间,复线性空间;
    11)基底,或基,坐标向量,自然基底,维数,n维线性空间;
    12)坐标变换公式,过渡矩阵P:Y=P^-1 X或X=PY;
    13)线性变换:变换T如果满足:T(A+B)=TA+TB,T(kA)=kT(A),则称为线性变换.
    14)数乘变换,恒等变换,零变换.满秩线性变换,正交变换。线性相关的向量组经过线性变换仍是线性相关的向量组;
    15)如果T(ε1,ε2...,εn)=(Tε1,Tε2,..,Tεn)=(ε1.ε2..εn)A,则称A为T在此基底下的矩阵(坐标矩阵)。求坐标矩阵的算法可参见MyMathLib.
    16)T在两个基底下的矩阵分别为A,B,两个基底间的过渡矩阵为P则有(P^-1)AP=B.
    17)矩阵的相似:如果存在可逆矩阵P使得:(P-1)AP=B,则A~B. 反身性,对称性,传递性.
    18)相似矩阵可以看作是同一线性变换在不同基底下的矩阵

    
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  • 而它的基础解系所向量个数为n-r(A)②非齐次线性方程组Ax=b的通解是它对应的其次线性方程组Ax=0(导出组)的通解加上Ax=b的一个特解。那么这个非齐次线性方程组的通解中有多少个线性无关的向量?它又有多少个线性无关...

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    50717dcc839d90d501fb227d4a170ab1.gif线性方程组解的结构

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    01前言

    (1)今天我们来讨论线性方程组解的结构问题。

    (2)①齐次线性方程组Ax=0的通解结构较简单,就是它的基础解系的线性组合。而它的基础解系所含向量个数为n-r(A)

    ②非齐次线性方程组Ax=b的通解是它对应的其次线性方程组Ax=0(导出组)的通解加上Ax=b的一个特解。那么这个非齐次线性方程组的通解中有多少个线性无关的向量?它又有多少个线性无关的解向量?今天我们就来回答这个问题。

    (3)①向量组线性无关的证明应该怎么处理?

    用定义法, 注意对题目条件的翻译。

    ②第二问相当于验证是解且线性无关, 如何处理?

    用定义法验证是解, 线性无关的证明同样是定义法, 注意需要打开括号重组。

    ③第三问是本题的关键, 需要验证所有的解均可以被该向量组线性表出, 如何处理?

    注意这里恒等变形的技巧。表出系数其实也有规律, 不知道大家是否发现了, 我在视频的最后做了简单的梳理和小结。

    02题目

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    03讲解04文稿

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  • 线性方程组与矩阵

    2018-07-28 19:42:07
    通常,我们把有这种形式的方程:a1x1+a2x2+⋯+anxn=ba1x1+a2x2+⋯+anxn=b{ a }_{ 1 }{ x }_{ 1 }+{ a }_{ 2 }{ x }_{ 2 }...而线性方程组(线性系统)是一个或多个相同变量的线性方程的集合,例如⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪...

    通常,我们把有这种形式的方程:

    a1x1+a2x2++anxn=b
    叫做一个n元的线性方程.(这里我们只讨论复数域的情况)
    而线性方程组(线性系统)是一个或多个含相同变量的线性方程的集合,例如
    {a11x1+a12x2++a1nxn=b1a21x1+a22x2++a2nxn=b2am1x1+am2x2++amnxn=bn
    是一个含m个方程的n元线性方程组.
    对于这样的方程组,用“矩阵”来存储方程组中的系数:
    [a11a12a1na21a22a2nam1am2amn]

    这样,上面的矩阵称为m×n矩阵.注意,一个矩阵中存储的不只是其中的“数”,同时也存储了各个数的“位置”.
    其中,我们把只有一列(或只有一行)数的矩阵称为列(行)向量:
    [b1b2bn][c1c2cn]
    如果两个矩阵中元素的的行数和列数相同,则称为同型矩阵.
    这样,当且仅当两个同型矩阵中对应位置的元素相等时,两个矩阵相等.

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  • 线性方程组求解的技术包括克莱默法则、高斯消去法等等。 We have learnt about solving the systems of linear equations. Different techniques like Cramer's rule, Gauss Elimination, etc exist for them. 但...

    线性方程组求解的技术包括克莱默法则、高斯消去法等等。

    We have learnt about solving the systems of linear equations. Different techniques like Cramer's rule, Gauss Elimination, etc exist for them.

    但现实生活中存在大量的方程是非线性的,我们知道的各种数值方法如牛顿-拉斐逊法、Regula Falsi法等。

    But a large number of equations in real life are Non-linear in nature.We know various numerical methods like Newton-Raphson method, Regula Falsi method, etc in order to find a numerical solutions to such equations.

    下面是上述迭代方法在“非线性方程组”中的推广。非线性方程组可以由“超越方程”或“N阶方程”或“多项式方程”或它们的组合构成。

    Here comes the generalization of the iteration methods mentioned above applied to a "System of Non-Linear Equations". The system of non-linear equations may consist of "Transcendental Equations" or "Nth order equations" or "Polynomial Equations" or Combinations of them.

    该脚本演示了使用“牛顿-拉斐逊方法”求解3个自变量的“非线性方程组”

    This script demonstrates the use of "The Newton - Raphson Method" to solve a "System of Non-Linear Equations" in 3 Independent Variables.

    The method proceeds as follows. Let f = f (x,y,z) ; g = g (x,y,z) ; h = h (x,y,z) be 3 non-linear equations. Let (fx , fy , fz) ; (gx , gy , gz) ; (hx , hy , hz) be the partial derivatives w.r.t x,y,z of f,g,h respectively. Let x0 , y0 , z0 be the initial approximations to the exact root.

    Denote xk , yk ,zk = kth approximation to the root

    fk , gk , hk = Value of f,g,h at (xk , yk ,zk)

    fxk , gxk , hxk = Value of fx , gx , hx at (xk , yk ,zk)

    fyk , gyk , hyk = Value of fy , gy , hy at (xk , yk ,zk)

    fzk , gzk , hzk = Value of fx , gx , hx at (xk , yk ,zk)

    Tran(A) = Transpose of matrix "A"

    Inv(A) = Inverse of Matrix "A"

    Eig(A) = Eigenvalues of matrix "A"

    We create 3 matrices as follows :-

    J = [fxk fyk fzk ; gxk gyk gzk ; hxk hyk hzk] = The jacobian matrix , ";"(semicolon) denotes a new row

    xyzk = Tran([xk yk zk]) = The kth values of x,y,z

    Fk = Tran([fk gk hk]) = Matrix of function values

    The formula to find (k+1)th approximation to root is : - xyzkplus1 = (xyzk - inv(J)*Fk)

    "The Newton - Raphson Method" uses one initial approximation to solve a given equation y = f(x).In this method the function f(x) , is approximated by a tangent line, whose equation is found from the value of f(x) and its first derivative at the initial approximation.

    The tangent line then intersects the X - Axis at second point. This second point is again used as next approximation to find the third point.

    In the similar way, we find (k+1)th "Matrix" of approximation at each Iteration. Instead of a "Derivative" we take a "Partial derivative".

    IMPORTANT NOTE : There exists a "Sufficient Condition" that need to be fulfilled so that the iterations converge.

    The condition is as follows :- || Max( eig ( inv ( J ) ) ) || >= 1 ,that is, the magnitude of the largest eigenvalue of inverse of the jacobian must be greater than unity.

    The script proceeds in the same way and performs upto 5 iterations. The Accuracy required (required no. of decimal places) is taken as input from the user. The error between solutions of each iteration is checked every time and if found less than required accuracy, the iterations are stopped.

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  • 内容主要说明:以下是我编的一个解六元方程组的MATLAB程序代码,但运行时出现错误,请各位能人指教-----S=solve('a*b-a*c-e-f=h','a*c+a*d-f+g=i','-a*b-a*d-e+g=j','a*b-a*d+e+g=k','-a*c+a*d+f+g=m','a*b+a*...
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  • doolittle分解法解线性方程

    千次阅读 2017-10-10 15:42:08
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    2020-04-17 10:48:49
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    千次阅读 2019-04-23 09:29:21
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空空如也

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