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  • 三角函数积分表.pdf

    2019-08-29 11:31:52
    三角函数积分表,用于积分时查询;包含积分时只有sin,cos,tan,sec,csc,cot, sin and cos, sin and tan, cos and tan, sin and cot, cos and cot, tan and cot的函数
  • 最新实用三角函数不定积分手册作者:彭日昌 出版社:水利电力出版社 出版时间:1989-07-00 开本:16开 印刷时间:1990-02-00 页数:840 版次:一版一印
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    正弦函数与三角函数积分及Matlab编程

    正弦函数和三角函数的积分及Matlab编程

    求正弦函数y = sinx从0到π的积分

    当x = 0时,积分为0,画出积分的函数曲线。

    定积分的结果为

    不定积分的结果为

    其中C是积分常量,由初始条件决定。当x = 0时,积分为I = 0,必有C = 1。结果为

    I = -cosx + 1

    根据积分的基本概念,将积分区域分为多份,用矩形法求曲线下的近似面积表示积分的近似值

    矩形法的函数是sum(f)。

    用梯形法求曲线下的近似面积表示积分的近似值

    梯形法的函数是trapz(f)。

    用数值积分的函数是quad和quadl,常用使用格式是

    S = quad(f,a,b)

    其中,f表示被积函数,a表示积分的下限,b表示积分的下限。

    用符号的函数是int,常用使用格式是

    S = int(f,a,b)

    程序如下

    %正弦函数的积分

    clear %清除变量

    x=linspace(0,pi); %自变量向量

    dx=x(2); %间隔

    y=sin(x); %被积函数

    s1=sum(y)*dx %矩形法积分

    s2=trapz(y)*dx %梯形法积分

    f=inline('sin(x)'); %被积的内线函数

    s3=quad(f,0,pi) %数值定积分

    s4=int('sin(x)',0,pi) %符号积分

    sc1=cumsum(y)*dx; %矩形法累积积分(精度稍差)

    sc2=cumtrapz(y)*dx; %梯形法累积积分

    figure %创建图形窗口

    plot(x,-cos(x)+1,x,sc1,'.',x,sc2,'o') %画解析式和矩阵法以及梯形法积分曲线

    s=int('sin(x)') %符号积分

    sc3=subs(s,'x',x); %替换数值求符号积分的值

    C=-sc3(1) %求积分常数

    hold on %保持图像

    plot(x,sc3+C,'c*') %画符号法积分曲线

    grid on %加网格

    fs=16; %字体大小

    xlabel('\itx','FontSize',fs) %横坐标

    ylabel('\intsin\itx\rmd\itx','FontSize',fs)%纵坐标

    title('正弦函数的积分','FontSize',fs) %标题

    legend('解析解','矩形法','梯形法','符号法')%图例

    2.三角函数和指数的积分

    [问题]求如下函数的积分

    y = eaxsinbx

    其中a = 0.5,b = 2。积分下限为0。画出积分的函数曲线。

    [数学模型]

    因此不定积分为

    当x = 0时,I应该为零,所以

    因此,从0开始的积分为

    [算法]可用积分的解析式直接画图,也可利用被积函数通过梯形求和指令cumtrapz求积分,数值积分指令quad求积分,还可通过符号积分int求解。

    程序如下。

    %数值积分和符号积分方法

    clear %清除变量

    a=0.5; %指数的常数

    b=2; %正弦函数的常数

    dx=0.1; %间隔

    xm=6; %上限

    x=0:dx:xm; %自变量向量

    s1=(exp(a*x).*(-b*cos(b*x)+a*sin(b*x)))/(a^2+b^2

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  • 入读国际高中或就读美高的同学普遍三角函数(trigonometric function)学得不是很好,有些还停留在画三角形、按计算器才能计算sin、cos、tan的水平,很大原因是国外教材注重自我探究,通过一系列的循循善诱来给出结论...

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    入读国际高中或就读美高的同学普遍三角函数(trigonometric function)学得不是很好,有些还停留在画三角形、按计算器才能计算sin、cos、tan的水平,很大原因是国外教材注重自我探究,通过一系列的循循善诱来给出结论,但国内是反过来的,先给出结论然后给出大量的例子来展现结论。一个很典型的例子就是诱导公式,很多国际高中考试是允许带公式表的,而关于诱导公式有很多,更夸张的是除了一份度制的还会有一份弧度制的,整整一大张,但其实就是“奇变偶不变,符号看象限”十字口诀。而积分对于高中生而言也是一块难点,换元法(by substitution)、分部积分法(by parts)等都是需要掌握。那么当三角函数遇到积分,就是恶梦的开始。本文基于A-Level further math对于三角函数积分的要求,结合IB、AP的内容,总结一下三角函数积分的常见方法与技巧。


    基本知识:

    (1)换元法

    (2)分部积分法

    (3)常见三角函数积分

    (4)降幂公式

    (由二倍角公式推得
    )

    (5)积化和差公式

    (6)反三角函数求导

    (7)关于

    的积分


    一、换元法(By substitution)

    对于一次的

    ,以及
    都是可以计算的,

    所以对于三角函数积分,如果能够通过换元能变成

    那么就是可以积分的。

    Question 1: Find

    Solution: 令

    注:换元法的标志

    ,一般找

    Question 2: Find

    Solution: 令
    ,

    稍微难一点还有利用恒等式

    进行转化后求解的。

    Question 3: Find

    Solution: 因为

    所以

    二、降幂

    对于

    ,可以想办法把它变成一次的,只要是一次的,我们都是能积分的。

    Question 4: Find

    Solution: 因为

    所以

    三、积化和差

    注:在IB、AP中是不要求积化和差公式的,即使在国内高中也不强调,不过在A-Level further math是要求的。

    对于

    都可以转化为两个一次的正余弦相加,所以就能积分。

    Question 5: Find

    Solution: 因为

    所以

    四、分部积分法(By parts)

    对于反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数和指数函数("反、对、幂、三、指"),如果是对其中任意两种函数乘积的积分,那么我们就可以考虑用分部积分法。

    Question 6:Find

    Solution:

    五、构造方程求解

    构造方程求解主要还是应用了分部积分法,持续用分部积分法直至与原被积函数相同,而从求解出原函数。

    Question 7: Find

    Solution: 根据分部积分法,

    再对
    进行分部积分法,于是

    那么

    六、利用反三角函数求积分

    根据反三角函数求导公式可知,

    那么对于型如

    的积分,我们都可以借助反三角函数积分。

    Question 8: Find

    Solution:

    七、三角换元

    有些被积函数中并没有出现三角函数,但是我们可以通过换元法把它转化成关于三角函数的积分(毕竟我们已经讲了这么多关于三角函数的积分了):

    可以令

    可以令

    可以令

    Question 9: Find

    Solution: 令
    ,则
    ,那么

    又因为
    ,所以

    于是

    八、灵光一现

    有些三角函数积分不属于我们上述所讲的任何一种定式,那么就只能靠运气和努力了,多尝试说不定就积出来了。

    Question 10:

    Solution:

    感谢 @米修米修 Question 10,我们也可以这么做


    本文总结了常见的三角函数积分方法与技巧,比如换元法、分部积分法、三角换元等,不过还有一些关于

    的积分没有写进去,因为其本质还是换元法。三角函数积分一个难点是公式很多,比如二倍角、和差化积等,所以在熟练公式的基础上才能更好的解决这一类问题。

    如果有其他方法与技巧,欢迎交流讨论,希望点赞支持~

    想了解更多数学知识可参阅:

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含三角函数的积分